Saberes y Ciencias Marzo 2014 número 25 año 3

 

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Saberes y Ciencias suplemento Marzo 2014

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Sabere ienciaS marzo 2014 · número 25 año 3 · Suplemento mensual matemáticas

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2 Marzo · 2014 Editorial Equidad de género Las condiciones de vida se han degradado sin distinción de género; las personas que viven en condiciones precarias han aumentado en México cuando en otros países de América Latina, especialmente en el cono sur, han mejorado significativamente. La mitad de la población mexicana vive mal y las posibilidades de que puedan ser revertidas esas condiciones en la brevedad de nuestras vidas no se vislumbran. Ante el deterioro del ingreso familiar, otros miembros de la familia se han incorporado a los mercados laborales: el trabajo infantil y el de las mujeres ha aumentado, y aun así hay pérdida progresiva del poder de compra. Hay una mayor incorporación de las mujeres en actividades remuneradas, ya sea que trabajen para otro o para ellas: de cada 100 personas ocupadas en el municipio de Puebla, 43 son mujeres y 57 hombres; por cada 100 mujeres de 12 años o más, 42 están trabajando, y de cada 100 hombres de 12 años o más, 61 están laborando. La masculinización del trabajo remunerado dificulta la incorporación de las mujeres, y la tasa de desempleo femenino es más alta que la del masculino, a pesar de que el promedio de escolaridad femenino es más alto que el masculino, y en ambos casos, se ubican tres años por encima de la media nacional. En la elección de cargos de representación popular se incorpora a mujeres atendiendo la normatividad que fija criterios de equidad; aun así, su participación en dichos procesos no corresponde a su peso relativo ni a su nivel de preparación: por lo general se les nomina en las últimas posiciones o en cargos de poca relevancia; las mejores posiciones se reservan para los candidatos de sexo masculino. En la pasada renovación de ayuntamientos de la entidad, solamente en siete por ciento del total de planillas registradas las primeras regidurías (presidente municipal) las ocupaban mujeres, y en el caso de la elección de diputados locales uninominales, 35 por ciento de las candidaturas registradas fueron mujeres. Existiendo la norma de equidad electoral se le evade cuando los partidos políticos las proponen para casos perdidos o de poca relevancia. En las actividades de docencia y de investigación universitaria ha aumentado la participación de las mujeres, pero su peso decrece cuando los cargos y las remuneraciones son más rentables. En el caso de la Universidad Autónoma de Puebla 45 por ciento de su planta académica es de sexo femenino, cuando la contratación es de horas clase, las mujeres son 49 por ciento; si son Profesores Investigadores Asociados, son 45 por ciento, y en la máxima categoría (Titular) son 35 por ciento. Si la referencia es el acceso al Programa de Estímulos al Personal Docente, en los dos niveles más bajos las mujeres son 44 por ciento y, en los dos niveles más altos, 39 por ciento. Si consideramos el perfil académico (PROMEP) según grado de escolaridad, del total de docentes con estudios de maestría o especialidad, las mujeres representan 43 por ciento, y si el grado es de doctor, las mujeres son 37 por ciento. Otra de las distinciones de la élite académica universitaria de la UAP es su membresía al Sistema Nacional de Investigadores; existen cuatro niveles posibles; en el más bajo las mujeres son 44 por ciento; en el nivel I son 38 por · La imagen de nuestra portada es una obra de Maurits Cornelius Escher, llamada “Límite circular III”, es un grabado en madera de 417 milímetros de diámetro. Tomada del libro La magia de M. C. Escher. Ed. Taschen. 2003, pág. 180 8 9 10 11 ciento; en el nivel II, 21 por ciento, y en el nivel III, 12 por ciento. La mayor incorporación de las mujeres al mercado laboral no se corresponde con su acceso a niveles de mandos y/o remuneraciones superiores, la equidad de género publicitada no es concomitante a las políticas ni a las estrategias del poder ejecutivo, pero no es sólo eso, hay una acendrada cultura que reivindica la hegemonía de género y desvaloriza el aporte de las mujeres en el desarrollo. Casco medidor de aceleraciones para corregir las señales vestibulares con ayuda de estimulación galvánica MARIBEL REYES ROMERO Y VLADIMIR ALEXANDROV Matemáticas on line DANIEL MOCENCAHUA MORA La matemática tiene vida propia RAÚL LINARES GRACIA Contenido 3 es la escuela de matemáticas de la BUAP? 12 ¿Qué JUAN ANGOA Necesidad de un programa integral para la formación de maestros en matemáticas de enseñanza media superior basado en contenidos, didáctica y evaluación (PIFMA-Matemáticas) ANDRÉS FRAGUELA COLLAR 4 Entrevista La escuela de Físico Matemáticas fue un trabajo en equipo, se respiraba entusiasmo: Pérez Romero DENISE LUCERO MOSQUEDA Física computacional, dinámica de sistemas y multidisciplina FERNANDO ROJAS R. 13 14 15 16 5 6 7 Ser y no ser: esa es la paraconsistencia R. O. VÉLEZ SALAZAR, J. ARRAZOLA RAMÍREZ, I. MARTÍNEZ RUIZ, V. BORJA MACÍAS 1728 cuboZ PABLO ZELENY Una mujer en las matemáticas de 1900 PATRICIA DOMÍNGUEZ SOTO Juegos matemáticos diseñados por alumnos de la Preparatoria Benito Juárez YOLANDA ZAMORA CORONA De palabras, teoremas y palabrotas DE PALABRAS, TEOREMAS Y PALABROTAS Un calendario perpetuo AGUSTÍN CONTRERAS CARRETO Cambio climático en México DENISE LUCERO MOSQUEDA Misoginia azul SERGIO CORTÉS SÁNCHEZ 17 Homo sum es un suplemento mensual auspiciado por La Jornada de Oriente DIRECTORA GENERAL Carmen Lira Saade DIRECTOR Aurelio Fernández Fuentes CONSEJO EDITORIAL Alberto Carramiñana Jaime Cid Monjaraz Alberto Cordero Sergio Cortés Sánchez José Espinosa Julio Glockner Mariana Morales López Raúl Mújica COORDINACIÓN EDITORIAL Sergio Cortés Sánchez REVISIÓN Aldo Bonanni EDICIÓN Denise S. Lucero Mosqueda DISEÑO ORIGINAL Y FORMACIÓN Leticia Rojas Ruiz Dirección postal: Manuel Lobato 2109, Col. Bella Vista. Puebla, Puebla. CP 72530 Tels: (222) 243 48 21 237 85 49 F: 2 37 83 00 www.lajornadadeoriente.com.mx www.saberesyciencias.com.mx AÑO III · No. 25 · Marzo 2014 18 El pelícano onírico La vaca metafísica… y la lechera JULIO GLOCKNER Directorio 19 Tekhne Iatriké Las matemáticas en la medicina JOSÉ GABRIEL ÁVILA-RIVERA 20 Tras las huellas de la naturaleza La sucesión de Fibonacci JUAN JESÚS JUÁREZ, TANIA SALDAÑA, CONSTANTINO VILLAR 21 Mitos Los mitos acaban con la curiosidad RAÚL MÚJICA 22 Efemérides astronómico Marzo 2014 Calendario J R 22 Mi experiencia en elFextranjero V L J OSÉ AMÓN ALDÉS ERNANDO OAIZA UÁREZ Tus comentarios son importantes para nosotros, escríbenos a: info@saberesyciencias.com.mx 23 A ocho minutos luz muerte luminosa Una RAÚL MÚJICA 24 Agenda Épsilon JAIME CID

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Marzo · 2014 3 Juan Angoa * E n la Facultad de Físico-Matemáticas de la BUAP existe una entidad académica llamada escuela de matemáticas, que se encarga a grosso modo de formar matemáticos, difundir y crear conocimiento matemático. Así dicho es decir nada, ya que el ciudadano común sólo tiene la idea, equivocada, de que la matemática es hacer muchas cuentas, o pensar en cosas ininteligibles. No sabe que la matemática es un pensamiento que ha vivido en todas las culturas, en todas las épocas; que los hombres la han creado en distintas formas, organizados de distintas maneras, resolviendo diferentes problemas, siempre amparados en la esperanza de que el ser humano es capaz de crear modelos conceptuales lo suficientemente robustos para resolver estos problemas. En la ciudad de Puebla, se funda la Escuela de Físico-Matemáticas en 1950. Es el rector Horacio Labastida Muñoz quien, preocupado por el nulo quehacer en la matemática y la física en nuestra universidad (lo que nos condena a una ignorancia y retraso), propone su formación. Es importante notar que la fundación de la escuela de Físico-Matemáticas es un acto de reivindicación cultural y no un proyecto de desarrollo jangoa@fcfm.buap.mx tecnológico. Es tan fuerte la importancia cultural de esta fundación que, la sola presencia del estudio de las ciencias exactas resulta ser un agravio a las fuerzas conservadoras del estado; así, en 1966 la escuela es destruida físicamente y cierra sus puertas. La ciencia exacta, no lo sabían los conservadores de Puebla, por sí misma no atenta a la fe, pero sí al pensamiento intolerante y dogmático dentro y fuera de la fe. Es el maestro Luis Rivera Terrazas quien refunda la escuela de Físico-Matemáticas en 1968, nuevamente en el formato del maestro Labastida, para llenar un vacío cultural. También son fundadas por este tiempo las escuelas de Economía y Filosofía y Letras. Poco a poco la UAP (aun no BUAP) incorpora nuevas visiones y actitudes intelectuales a la provinciana sociedad poblana. Notar que fundar carreras es fundar profesiones y fundar profesiones es proponer nuevas formas de ganarse la vida y tener una forma de ganarse la vida es tener una actividad socialmente aceptada, ya que realizarla justifica un salario. En el mundo y en el país, nuevas formas de concebir la democracia se van proponiendo en el gran marco de los movimientos estudiantiles, pero en la UAP significa nuevas luchas contra la oposición. El maestro Luis Rivera Terrazas, al menos para distinguir pugnas, propone que al seno de la Escuela de Físico-Matemáticas se pueda impulsar la creación de tecnología del siglo XX, y se fundan las carreras de Técnico en Electrónica y Técnico en Computación, ya no son las ingenierías la única fuente de la tecnología nacional, sino la electrónica y la computación, con una fuerte formación matemática y física. En esta nueva oleada se funda también el centro de Cálculo; el ¿Qué es la escuela de matemáticas de la BUAP? maestro Terrazas ofrecía a la sociedad poblana una opción en la formación de técnicos con base científica y esto resolvió varias querellas con algunos sectores de ella, al menos los interesados en tener mano de obra calificada. Pero la matemática, en todo este tiempo, no había logrado desarrollar una personalidad y un espacio de trabajo propio. Había dado servicio desde su fundación, y ya sea por ausencia de matemáticos y luego por exceso de trabajo; no se hacían matemáticas al gusto de los matemáticos. Es el 3 de mayo de 1973 cuando se refunda la cerrera de matemáticas; es gracias a la presencia de grandes matemáticos poblanos que es sostenible este proyecto, así: Raymundo Bautista, José de Jesús Pérez Romero, Fernando Velázquez, son los matemáticos que acompañan a la UAP en este proyecto cultural. En 2013 cumplimos 40 años de desarrollar el que en un inicio fue el proyecto cultural de divulgar, difundir y hacer pensamiento matemático; ahora tenemos una facultad de Matemáticas con un posgrado de calidad (lo que eso signifique), varios grupos de investigación en diversas líneas de la matemática, nuestra escuela de matemáticas es referente nacional e internacional en algunas líneas de investigación; les podemos informar al maestro Labastida y al maestro Terrazas que no somos ignorantes del pensamiento matemático, que en la BUAP (antes su UAP) se tiene una actividad intensa en las ciencias exactas, tal vez donde entreguemos malas cuentas sea en el rubro de la democracia, la tolerancia y la actitud crítica. Tal vez sea tiempo de que los científicos nacionales le hagamos más caso al espíritu científico, que además es lo único perdurable, y menos caso a la evaluación.

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4 Marzo · 2014 Denise Lucero Mosqueda * La La escuela de Físico Matemáticas fue un trabajo en equipo, se respiraba entusiasmo: Pérez Romero Jesús Pérez Romero estudió en la escuela de Físico Matemáticas de la Universidad Autónoma de Puebla, fue docente y director del Instituto de Ciencias de esta máxima casa de estudios. De la mano de grandes hombres de ciencia, visionarios y progresistas colaboró en la consolidaEn 1950 se funda la escuela de Físico Matemáticas con la anuencia del entonces rector de la universidad Horacio Labastida y el apoyo de los ingenieros Alberto Ancona y Luis Rivera Terrazas. La escuela se echó andar pero había un gran problema, no había científicos que dieran clases, el México de los 50 no es el de hoy, la gente con posgrado se podía contar con las manos. Por aquél entonces el rector Labastida le escribió a Carlos Graef, estudiante del doctorado en física en Estados Unidos para compartir la noticia de la creación de la escuela. Carlos Graef le respondió a Labastida que si algún día regresaba a México y no encontraba trabajo vendría a esta universidad a dar clases. Tiempo después Graef llegó al Observatorio de Tonantzintla y trabajó en la UAP. Los primeros graduados de la escuela fueron Virgilio Beltrán, Augusto Moreno, Mari Carmen Ancona, Eugenio Ley Koo. En 1961 ingresé a la universidad y a 11 años de fundada, la escuela se reducía a una pieza en el Carolino, un cuarto oscuro para revelado de fotografías, tres escritorios y si acaso una veintena de libros, no éramos más de una docena de estudiantes en toda la escuela. Raymundo Bautista y yo decidimos estudiar paralelamente la carrera de química; nos daba miedo, nadie se imagina cómo podríamos vivir de las matemáticas. En 1962, a instancia del ingeniero Alberto Ancona, fundamos el Círculo Estudiantil Matemático, era una ción de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas que hoy se enorgullece de tener un sólido nivel académico y posgrados de competencia internacional. Pérez Romero comparte con Saberes y Ciencias parte de esta historia. En 1972 el ingeniero Terrazas me mandó a llamar y me recordó aquella despedida en 66 “oiga, cuando cerraron la escuela usted dijo que regresaría ¿era serio? Le ofrezco tiempo completo A.” En el instituto ganaba 7 mil pesos, era un buen sueldo, el tiempo completo a en la UAP era de 3 mil, se lo comenté al ingeniero y me dijo: “¿dónde está su compromiso con el país?”. Me regresé a Puebla a ganar la mitad (ríe). En 1973 decidí irme a Estados Unidos, a Kansas Tech University a estudiar cosas que había descubierto en el Instituto Nacional del Petróleo. Cuando regresé a Puebla, la universidad había cambiado, ya no era el ambiente hostil de los 60; Terrazas era rector. Ese año fui nombrado presidente de la Sociedad Matemática Mexicana, era la primera vez que la presidencia estaba en provincia. El apoyo de la UAP para hacer matemáticas fue relevante; le propusimos a la SEP un proyecto inspirado en el Centro matemático de la Alemania Federal, un castillo habilitado para hacer matemáticas. En ese entonces López Portillo era presidente y había aprobado el proyecto de la sede de la sociedad en el Convento del Carmen en Atlixco, presentamos los planos del proyecto y lo sometimos a votación ante la sociedad, fue aprobado por unanimidad. Vino una crisis económica en el país que acabó con el dinero y el proyecto. Raymundo Bautista fue nombrado director del Instituto de Ciencias de la UAP (ICUAP); organizó foros internacionales con líderes mundiales en la materia, se respiraba un ambiente matemático. Fui director académico del ICUAP mientras Bautista estaba en Kiev haciendo una estancia de seis meses, después lo nombraron director del Instituto de Matemáticas de la UNAM y me quedé con la dirección del ICUAP. En 1989 concluí mi periodo al frente del ICUAP y regresé a la facultad a dar clases, antes los maestros no se jubilaban y morían de viejitos en la universidad pero la UAP se había complicado, me jubilé en 1993. Cuando cayó la Unión Soviética algunos científicos migraron a Puebla como David Hughes, Peot Dovol y posteriormente llegaron científicos cubanos con muy buen nivel como Fraguela y Jiménez Pozo. Sigo yendo a la universidad; me invitan como joya de museo a que platique de estas cosas, de la importancia de generar un ambiente propicio para las ciencias. Hoy permea la idea neoliberal del individualismo, el Sistema Nacional de Investigadores promueve que los científicos acumulen puntos; yo no me imagino a mis profesores haciendo puntos; en el tiempo en que luchábamos para consolidar la escuela de Físico Matemáticas los maestros estaban puestos para dar pláticas donde fuera y de su bolsa pagaban los pasajes, era compromiso y convicción de hacer algo por este país, ahora a los investigadores los han metido a este sistema que valora por puntos. Los proyectos grandes se hacen en equipo, como la consolidación de la escuela donde ahora hay doctorado, antes ni soñar ¡bah! ni la carrera completa. EN EL TIEMPO EN QUE LUCHÁBAMOS PARA CONSOLIDAR LA ESCUELA DE FÍSICO MATEMÁTICAS LOS MAESTROS ESTABAN PUESTOS PARA DAR PLÁTICAS DONDE FUERA Y DE SU BOLSA PAGABAN LOS PASAJES, ERA COMPROMISO Y CONVICCIÓN DE HACER ALGO POR ESTE PAÍS, AHORA A LOS INVESTIGADORES LOS HAN METIDO A ESTE SISTEMA QUE VALORA POR PUNTOS deniselucero@gmail.com cosa de chamaquitos, los más avanzados éramos Raymundo y yo de segundo año; cinco compañeros de primero y algunos alumnos de preparatoria que gustaban de la disciplina. En aquel entonces conseguimos un proyector y unas filminas del Instituto Latinoamericano de Comunicación Educativa (ILCE) sobre temas de matemáticas, física y astronomía. Nos íbamos a dar conferencias a las secundarias y preparatorias de la ciudad y adicionalmente organizábamos conferencias para universitarios; había que ir a la Ciudad de México a conseguir conferencistas, Emilio Lluis Riera, presidente de la Sociedad Matemática Mexicana, Alfonso Nápoles Gándara, primer matemático doctorado en Estados Unidos, Félix Rencillas, Carlos Ímaz, José Adem, los gurús de las matemáticas en ese tiempo daban conferencias en el Salón Barroco. También organizamos un ciclo de conferencias de física, invitamos a Carlos Graef, Alberto Barajas, Virgilio Beltrán y otros más, se respiraba entusiasmo, los sábados por la tarde venían a darnos clases, era fin de semana por la noche y la escuela estaba trabajando, había recelo por ello. Graef y Beltrán convencieron al rector de la UNAM, el doctor Chávez de que comisionara a Leopoldo García-Colín, Fernando Chaos y al propio Virgilio de dar clases en Puebla de tiempo completo. La escuela de físico matemáticas de Puebla era una sorpresa para el país, fuera de la capital era la única que tenía personal con buena presentación, en ese entonces ya había varias escuelas de ciencias en el país, Merida, Morelia, Monterrey, Sonora, el Poli, pero no tenían profesores. De 1963 a 66 García-Colín organizó cursos de invierno, de un mes de duración y becaban a los alumnos de la provincia para que vinieran a Puebla a aprender lo que no podían aprender en sus escuelas. En aquel tiempo el Instituto Nacional de la Investigación Científica (INIC) patrocinó esos cursos; fue una lucha conseguir las becas, el instituto contaba con un presupuesto ridículo para toda la República. A Raymundo Bautista, Rolando Rodríguez y a mí nos convencieron de irnos a la UNAM a terminar la carrera, nos becaron y firmamos un convenio comprometiéndonos a regresar para reabrir la escuela de matemáticas. Cumplimos el compromiso y regresamos a Puebla siendo pasantes, pero ese año destruyeron la escuela, la quemaron, al frente del contingente combativo venía el rector José Garibay, las fuerzas conservadoras habían ganado. Nos expulsaron de la universidad; no sabíamos qué hacer, vimos destruidos nuestros esfuerzos, estábamos devastados. Cuando nos corrieron le dije al ingeniero Terrazas, “yo no soy García- Colín, apenas soy pasante pero si algún día hay oportunidad de reabrir la escuela cuente conmigo, yo sí regreso”. Me fui al Instituto Nacional del Petróleo con GarcíaColín como director de investigación, fui a hacer matemáticas aplicadas, algo de lo que nadie tenía idea. Entrevista

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Marzo · 2014 5 Pablo Zeleny * MEMORIZAR FÓRMULAS SIN DESARROLLAR LA NOCIÓN DE ÁREA Y PERÍMETRO A PARTIR DE SITUACIONES CONCRETAS LLEVA AL ALUMNO A MEMORIZAR PARA CONTESTAR UN EXAMEN, PERO ESTE CONOCIMIENTO ES FRÁGIL 1728 c u bo Z L a didáctica tradicional insiste en iniciar con definiciones, olvidando que el aprendizaje debe partir de situaciones concretas; los niños tienen dificultades porque adquirir los conceptos matemáticos requiere un proceso largo y actividades, no porque los niños sean flojos. Estas dificultades el docente, con gran decepción, las descubre en los exámenes; los alumnos confunden perímetro, área y volumen, porque para ellos se reduce simplemente a recordar la fórmula, y no son capaces de distinguir claramente entre la fórmula para un perímetro o la fórmula para hallar el área de un rectángulo. Memorizar fórmulas sin desarrollar la noción de área y perímetro a partir de situaciones concretas lleva al alumno a memorizar para contestar un examen, pero este conocimiento es frágil. Cualquier adulto o maestra puede sorprenderse de que esto sea así; sin embargo, debemos trabajar de manera diferente; para ello me permito contar una pequeña historia: hace varios años pensé que si tuviera muchos dados podría hacer muchas actividades didácticas; en 2000 alguien me regaló varios cubos de madera, pero eran insuficientes, yo quería hacer una pirámide triangular de “10 pisos”. En 2012 compré 600 dados de foamy de dos centímetros de lado y di una clase para explicar la fórmula del “binomio al cuadrado”. En agosto de este año compré dados de foamy de 5 centímetros, pero no eran suficientes, así que hace un par de meses me asomé a una papelería y vi que tenían dados… y salí con mil 800 dados; estaba feliz; al fin tenía suficientes; podría jugar con ellos: En esta ocasión hablaremos de volumen. Se puede pedir a los niños que formen los cubos según la siguiente lista secuencia: 1=1, 23= 8, 33=27, 43=64, 53=125, 63=216, 73=343, 3 8 =512, 93=729, 103=1000, 113=1331, 123=1728, además de la experiencia concreta podemos descubrir que 33 + 43 +53 = 63, espero que no saque su calculadora, pues 27 + 64 + 125 = 216 Existe otra terna famosa (3, 4, 5), también conocida como terna pitagórica, pues 32 + 42 = 52 También podemos usar cubos de foamy para mostrar cómo se construyen los cubos “paso a paso”. Se explica cómo se construye “seis al cubo” a partir de “cinco al cubo”. Construimos el cubo de lado 5, después hacemos tres capas de 5x5, tres tiras de 5x1 y necesitaremos un cubo “solitario”; posteriormente colocamos las tres capas 5x5 sobre tres caras del cubo anterior; después agregamos las tres tiras, y finalmente nos hace falta el cubo solitario para completar, con este proceso se explica la fórmula: (n+1)3 = n3 + 3n2 +3n +1 Finalmente, vemos niños trabajando con cubos. Los niños aprenden con todos los sentidos ¿Por qué limitarnos a lápiz y papel? Los niño deben trabajar con cuboZ. pzeleny61@hotmail.com · pzeleny@facm.buap.mx

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6 Yolanda Zamora Corona * Marzo · 2014 donde se informe con claridad las reglas a observar y el material necesario para una buena interacción de los participantes en el juego. Los resultados obtenidos han sido excelentes, ya que los alumnos, a partir de su aprendizaje y comprensión de las matemáticas, han desarrollado el pensamiento creativo, han concursado y ganado premios, obteniendo el primero, segundo y tercer lugar en la Feria de la ciencia, cultura y deporte que se realiza el mes de mayo de cada año en la preparatoria. También se han presentado en ferias de ciencia en la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la BUAP, en preparatorias y secundarias de la SEP y en actos académicos que realizan varias instituciones, entre los que destaca la Noche de Estrellas organizado por el INAOE, BUAP, Victorinox. En este momento está en trámite el registro de la patente de una marca para los juegos que se han desarrollado en nuestra preparatoria. D esde hace 11 años mis alumnos han diseñado, probado y elaborado juegos de mesa matemáticos como parte de las actividades que se desarrollan dentro de los cursos I, II y III de la materia de Matemáticas que imparto en la preparatoria Benito Juárez García de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (BUAP), y que tienen un valor en la evaluación de las asignaturas. El objetivo de este tipo de trabajo es que el alumno, al elaborar los juegos, aplique los razonamientos matemáticos desplegando el ingenio y la gran imaginación que tienen. A través de esta importante actividad se genera material didáctico que resulta divertido y además útil como una herramienta que facilita el aprendizaje y la comprensión de las matemáticas en los diferentes niveles escolares, desde primaria hasta preparatoria. En el desarrollo de esta actividad los alumnos de la preparatoria interactúan con otras áreas disciplinares y herramientas, dado que en la fabricación de estos artefactos lúdicos interactúan necesariamente con otras áreas, como la física, comunicación, diseño gráfico, software especializado, etcétera. Son varios tipos de juegos que se han elaborado. Unos son adaptaciones de juegos que ya existen y sólo se les hacen variaciones para articularlos con el lenguaje y la expresión matemática, tales como loterías, dominós, memoramas, etcétera. Otros, elaborados por ellos mismos son juegos originales producto de su perspicacia, como por ejemplo el Magic Math Box, Carrera de Números, Gaticas, Palitos Matemáticos, etcétera. SE HAN PRESENTADO EN FERIAS DE CIENCIA EN LA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS DE LA BUAP, SECUNDARIAS, PREPARATORIAS Y EN LA NOCHE DE ESTRELLAS En su confección se pide a los alumnos que estos juegos reúnan las siguientes características: que usen su creatividad al diseñarlos, que sea estimulante y divertido, que tengan como motivo principal el uso de las matemáticas, según el caso pueden ser elementales de primaria, secundaria o preparatoria, según sea el público destino del juego. También se pide que deben tener buena presentación, calidad, instructivo del juego y_zcorona@hotmail.com

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Marzo · 2014 7 Agustín Contreras Carreto * Un calendario perpetuo L a luz del Sol, a través del hermoso vitral del Convento de Alba de Tormes, pintaba de hermosos colores un sobrio féretro de plata. Varias personas se acercaron a él, guiadas por un individuo delgado y de baja estatura. —¡Oh, miren qué raro! —exclamó una dama del grupo, y leyó a sus acompañantes la placa que explicaba la presencia de la caja fúnebre—. ”Aquí yace el cuerpo de Santa Teresa de Ávila, más conocida como Santa Teresa de Jesús y considerada como la Santa Patrona de los escritores. Murió el jueves 4 de octubre y fue sepultada el viernes 15 de octubre del año 1582...”. Y dirigiéndose al guía para una aclaración, preguntó: “¿Cómo no se descompuso después de 10 días sin sepultura?” —¡Ah, es que era santa! —explicó el joven español, dejando a todos asintiendo, pero boquiabiertos. Marcelo Santaló era un joven catalán que realizaba su servicio social como guía de turistas en museos y observatorios, lo cual era común en España para un aspirante a astrónomo. No solía extenderse en sus explicaciones a quienes, en su concepto, quizá no se interesaran por ellas o no las comprendieran cabalmente. A muchos brillantes intelectuales españoles, como Marcelo Santaló, México les dio refugio cuando tuvieron que huir de la cruel dictadura de Francisco Franco, allá por el año de 1939. Como premio, México se enriqueció con la cultura y dedicación de esta gente, que influyó enormemente en la formación de muchas generaciones de estudiantes. Tuve la suerte de ser su alumno cuando él ya casi era un níveo septuagenario, siempre muy entusiasta y vigoroso, y yo era todavía adolescente. Sus alumnos de Cosmografía en la Escuela Nacional Preparatoria de Tacubaya, de la UNAM, nos sentimos afortunados de haber sido sus pupilos y honrados de que nos considerara en un nivel superior de entendimiento respecto a los turistas a los que guiaba cuando joven, porque a nosotros sí nos explicó con detalle muchos misterios, como el del cuerpo incorrupto de la santa, que tiene una explicación larga y fascinante: el día en que murió la Patrona de los Escritores coincidió con el día en que dejó de funcionar el calendario juliano y se sustituyó por el gregoriano, instituido por el Papa Gregorio XIII para que comenzara al día siguiente que, en vez de 5, pasaría a ser 15 de octubre. Esto sucedió en España y en los países católicos como México. Los países europeos no católicos no acataron las órdenes del Papa en ese entonces. En Rusia y países cercanos a ella se introdujo el calendario gregoriano en febrero de 1918. En Inglaterra y sus colonias se adoptó hasta 1752, y por entonces fue necesario añadir 11 días: el 3 de septiembre pasó a ser el 14 de septiembre de ese año. Japón cambió hasta 1873 y Grecia en 1923. Con respecto a estos desfases, el profesor Santaló nos informó de otro misterio, sacado de los archivos históricos: Miguel de Cervantes murió el sábado 23 de abril de 1616 y William Shakespeare expiró el martes 23 de abril de 1616. ¡En la misma fecha murieron los dos gigantes de la literatura! (dicen que esta es una de las razones por las que la Unesco instituyó el 23 de abril como “el Día Mundial del Libro y del Derecho de Autor”). Pero, ¿por qué uno murió en sábado y el otro en martes? La respuesta es simple: si España adoptó el calendario gregoriano en 1582 y en Inglaterra e Irlanda lo hicieron hasta 1752, esto significa que los Titanes no murieron el mismo día, sino que lo hicieron con una diferencia de 10 días. acontri@fcfm.buap.mx El problema del calendario en las diferentes sociedades cuenta con una larga historia que no abordaré por ahora. Sólo les diré que nuestro profesor nos dio dos fórmulas que fueron descubiertas por el enorme matemático y astrónomo alemán Karl Friedrich Gauss. Una sirve para calcular el día de la semana de una fecha determinada. Con la otra se obtiene en qué fecha caerá el Domingo de Pascua de cualquier año (con ella ¡podríamos planear las vacaciones de Semana Santa de cualquier año venidero!); como tiene que ver con los movimientos y fases de la Luna, es decir, con un calendario lunar, y el calendario gregoriano es solar, la Semana Santa varía mucho de año en año. Se necesitaba ser no solamente un buen matemático, sino también un buen astrónomo para obtener dicha fórmula. Gauss sobrepasaba con mucho estos requisitos. Ahora entiendo que sus alumnos de la prepa estábamos al nivel de los turistas cuando le preguntamos al profesor Santaló: —¿Cómo le hizo Gauss para hallar esta fórmula? —¡Ah, es que era genio! —fue su lógica respuesta. Calcular el día de la semana de cualquier fecha es más sencillo y, aunque tampoco nos explicó el maestro cómo se obtuvo la fórmula, logré entenderlo fácilmente durante mis estudios en la carrera de matemático. Tiene que ver con la llamada aritmética modular o aritmética residual, en donde lo más importante son los residuos que se obtienen al dividir un número natural (es decir, un número del conjunto {1, 2, 3, 4, 5,...}), llamado dividendo, entre otro, llamado divisor, como nos enseñaron en la primaria, para ver cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Por ejemplo, si hoy es jueves, ¿qué día de la semana será dentro de 100 días? Como cada siete días vuelve a ser jueves, lo que tenemos que descubrir es cuántas semanas enteras hay en 100 días y, lo más importante, cuántos días adicionales hay, aparte de esas semanas completas: dividimos 100 entre 7; obtenemos 14 y sobran 2. Es decir, en 100 días hay 14 semanas completas después de las cuales regresaremos a un jueves, más dos días que nos llevarán al sábado. Entonces, dentro de 100 días será sábado, igual que dentro de dos días. Aquí lo más importante fue el residuo de la división. En la aritmética módulo 7 se considera que 100 y 2 son el mismo número. Los únicos residuos posibles al dividir entre 7 son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. En la fórmula para calcular el día de la semana de una fecha dada, que les mostraré abajo, usaremos la siguiente notación: dado un número natural n, cuando escribamos (n)7, nos referiremos al residuo de dividir n entre 7. Por ejemplo, (100)7=2. Esto lo podemos extender a números negativos. Baste un ejemplo: (-80)7 = 4, ya que -80 =7(-12)+4, es decir, el residuo al dividir -80 entre 7, es 4. Dicho de otra manera, saber qué día de la semana cayó hace 80 días equivale a preguntarse qué día de la semana será dentro de 4 días. Otra notación que usaremos en la fórmula es la siguiente: si x es un número real positivo o cero, [x] denotará al mayor número natural o cero que es menor o igual a x, o sea, el número n, natural o cero, tal que n≤ x < n+1. Por ejemplo, [3.1416]=3, porque 3 ≤ 3.1416 < 4. Vamos también a asignar un número (un residuo de la división entre 7) a cada día de la semana: domingo=0, lunes=1, martes=2, miércoles=3, jueves=4, viernes=5, sábado=6. Asimismo, cada mes del año tendrá una clave, que denotaremos con m, considerando a marzo como el primer mes de un año dado y a enero y febrero como los dos últimos meses del año precedente: el valor de m es 11 para enero, 12 para febrero, 1 para marzo, 2 para abril, 3 para mayo, 4 para junio, 5 para julio, 6 para agosto, 7 para septiembre, 8 para octubre, 9 para noviembre y 10 para diciembre. Note que a los últimos cuatro meses se les ha asignado un número que era el que les correspondía cuando se les bautizó, en los lejanos tiempos del Imperio Romano, lo que puede ayudar a recordar las claves. Cada año N lo descompondremos en la forma N=100 C+ A, donde C es la centuria y A es el año particular dentro del siglo. La letra d denotará el día del mes de la fecha dada. Pondremos un par de ejemplos: para la fecha 3 de abril de 1951, tenemos los valores: d=3, m=2, N=1951, C=19, A=51. En cambio, para el 28 de febrero de 1950, tenemos los valores: d=28, m=12, N=1950, C=19, A=50. Pasemos ya a establecer la anunciada fórmula: Para hallar S, el día de la semana del día d, del mes m, del año N=100 C + A, en el calendario gregoriano (o sea, a partir del 15 de octubre de 1582), se usa la siguiente fórmula: S= (d + [ ⅕ (13m - 1)] + A + [¼ A] + [¼ C] – 2 C)7 Podemos corroborar lo que decía la placa: que Santa Teresa fue sepultada el viernes 15 de octubre de 1582: para esta fecha obtenemos los valores: d=15, m=8, N=1582, C=15, A=82. Entonces 13m-1=(13 X 8)1=104-1=103; [⅕ (13m-1)]=[⅕ (103)]=[20.6]=20; [¼ A]= [¼ 82]= [20.5]=20; [¼ C]=[¼ 15]=[3.7]=3. Entonces: S=(15 + 20 + 82 + 20 + 3 - 30)7 = (110)7 = 5 = viernes Santa Teresa fue sepultada el primer viernes del calendario gregoriano. 11 días antes, 4 de octubre, tendría que ser lunes ((-11)7=3), si esa fecha hubiera sido de otro año no tan especial. Pero como sabemos, en ese año el 4 de octubre fue precisamente el día anterior al 15 de octubre, así que fue jueves (= lunes + 3 días). Esto muestra lo que tenemos que hacer para calcular días de la semana de fechas julianas (de antes del 5 de octubre): calcularlas como si fueran gregorianas y aumentar 10 días (o, mejor dicho 3 días, pues (10)7=3). Les dejo esta tareíta: que comprueben con la fórmula los días de la semana en que murieron Cervantes y Shakespeare, y fechas asequibles como la próxima Navidad, sus cumpleaños y, ya teniendo algo de soltura, con efemérides nacionales o internacionales, hasta que se aprendan de memoria la formulita y ya no necesiten de esos calendarios con propaganda que nos dan por todos lados en estos días de año nuevo (y hasta hagan alarde de ¡supermemoria!). ¡Feliz año 2014!

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8 Marzo · 2014 Maribel Reyes Romero y Vladimir Alexandrov * movimientos de la cabeza) y un microprocesador montados en un casco cuya señal de salida sería una señal análoga a las señales de los sensores vestibulares, esta señal análoga estaría procesada por un modelo matemático que simula la función vestibular. Este sistema aún bajo investigación puede usarse como una prótesis de corrección para los sensores vestibulares. Puede ser de gran ayuda por ejemplo para el entrenamiento de cosmonautas y pilotos en simuladores de vuelo. Debido a las restricciones geométricas de estos simuladores no les es posible simular los efectos de las fuerzas inerciales sobre los sensores vestibulares que se presentan en un vuelo real. Este casco puede ayudar a simular tales efectos sobre los sensores vestibulares. El inicio de este trabajo es una colaboración científica entre la BUAP y la Universidad Estatal de Moscú. con ayuda de estimulación galvánica · Diseño de un casco medidor de aceleraciones para corregir las señales vestibulares con ayuda de estimulación galvánica E l aparato vestibular y el sistema oculomotor son esenciales para controlar la postura en reposo y en movimiento. Los sensores del aparato vestibular que incluyen a los canales semicirculares, el sáculo y el utrículo detectan los movimientos de la cabeza. Bajo condiciones extremas de movimiento (tropiezos, empujones, microgravedad en el espacio exterior, sobrecarga en aviones, entre otros), cuando hay desórdenes del aparato vestibular, o debido a una edad avanzada, el funcionamiento de estos sensores es deficiente. Por ello surge la necesidad de corregir las señales de los sensores vestibulares. Para este propósito se han ideado prototipos de prótesis vestibular, pero en la práctica clínica aún no han sido implementados. Una condición para el desarrollo adecuado de un corrector de las señales del sistema vestibular es diseñar un software y un mecanismo que detecte y analice los movimientos humanos y genere las señales correctivas necesarias. Para esta tarea hemos propuesto el uso de electrodos superficiales para estimular eléctricamente a los nervios vestibulares, ya que la estimulación galvánica de baja amplitud podría ayudar a corregir las señales del aparato vestibular. Esto genera diversos cuestionamientos que están bajo actual investigación tal como los parámetros adecuados para la estimulación galvánica que eviten efectos secundarios no deseados. Proponemos también el uso de correctores basados en sensores microelectromecánicos que consisten en microacelerómetros y microgiróscopos (los cuales detectarían los maribelrr@gmail.com · vladimiralexandrov366@hotmail.com

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Marzo · 2014 9 Daniel Mocencahua Mora * Matemáticas on line L as matemáticas son un producto de la humanidad y por lo mismo la han acompañado en los distintos modos de expresión de la misma: huesos y tablillas en la antigüedad, calculadoras y reglas de cálculo en tiempos modernos. En la sociedad de la información este acompañamiento ha sido natural en la internet. En este artículo comento y recomiendo ligas donde se puede disfrutar de esta bella ciencia. Sitios Los sitios tienen un tema y estructura definida. Por ejemplo me gusta de Epsilones (www.epsilones.com) su colección de temas de matemáticas y Star Trek, sin dejar pasar su “bestiario” y su catálogo de curvas. De Sector Matemática (www.sectormatematica.cl) su sección de matemáticas y cine, pero tal vez sea muy fructífero que revises su sección de revistas y disfrutes de su sección de cuentos, donde está el clásico “romance de la derivada y el arcotangente”. En el sitio de la Sociedad Matemática Mexicana (sociedadmatematicamexicana.org.mx) te puedes enterar de los congresos y actos relacionados con nuestra ciencia a nivel nacional e internacional; también hay actividades y un sitio de libros y publicaciones. Una sorpresa para muchos será enterarse de que los Simpson son escritos por varios matemáticos. Los temas tratados pueden verse en: http://mathsci2.appstate.edu/~sjg/simpsonsmath/. Es más natural reconocer las referencias matemáticas de Futurama, serie con la que comparte escritores: http://mathsci2.appstate.edu/~sjg/futurama/. Un sitio de cómics humorísticos de matemáticas es http://xkcd.com/, el detalle es que debes saber matemáticas para entender los chistes. Un sitio en español, y con chistes más sencillos está en http://chistemat.es/, magnífico trabajo que tiene un sitio hermano, http://esquemat.es/, en donde puedes ver, con esquemas o resúmenes gráficos, conceptos para secundaria o preparatoria. Blogs Son como diarios en donde la estructura está definida por el tiempo: la primera entrada que ves es la última que se escribió. Un blog que muestra las matemáticas en todo su esplendor es Gaussianos (gaussianos.com): teoremas y demostraciones, desarrollos, historias e historia, son varios de sus temas. Otro de mis blogs favoritos es el de Tito Eliatron Dixit (eliatron.blogspot.mx/), quien además ha sido anfitrión, organizador y participante del Carnaval de Matemáticas, un acto de publicaciones de blogs sobre el tema. Para los más chicos recomendamos el blog de Mati y sus matiaventuras (pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras), con ideas y problemas accesibles para chicos y grandes. En el blog de ZTFNews (ztfnews.wordpress.com/) existen muchas entradas con datos históricos y relaciones actuales de la matemática con los problemas de la sociedad y la cultura. Y aunque no sea solamente de matemáticas es altamente recomendable Microsiervos (www.microsiervos.com/), con un humor muy geek y datos muy interesantes. Si eres profesor tal vez te interese el blog matemáticas maravillosas (http://matematicas-maravillosas.blogspot.mx/) donde el bloguero comparte desde historias hasta conceptos de educación, videos y métodos. Libros Existen libros que puedes leer en un dispositivo móvil, ya sea directamente desde el navegador o en formatos PDF o epub. En este caso es altamente recomendable Libros maravillosos (http://www.librosmaravillosos.com/); ahí se rescatan los libros de Yakov Perelman: Matemáticas, Aritmética y Álgebra recreativa, los cuales nos han motivado a muchos desde hace tiempo. Los libros de Adrián Paenza los podrás encontrar en http://cms.dm.uba.ar/material/paenza. Adrián ha pedido explícitamente a su editorial que sus libros en papel se vendan, pero en PDF se regalen. · Imagen tomada de https://www.desmos.com/calculator/gafbe0otjh ticos (http://www.fotomat.es/). Rafael Parra (@rafaelito_p) tuitea datos acerca de las propiedades de los números: amigos, abundantes o primos, de todo eso y más es lo que habla. Aprende Matemáticas, en su página de Facebook, (https://www.facebook.com/pages/AprendeMatem%C3%A1ticas/127118800676835), comparte noticias, conceptos e ideas. En el grupo Física y Matemáticas en PDF (https://www.facebook.com/groups/135721943283748/) puedes acceder a documentos y libros de ambas materias, además de comentar dudas y aportar ideas. En Juegos Matemáticos (https://www.facebook.com/jogosmatematicos) podrás ver videos de juegos y rompecabezas matemáticos en acción. Video En youtube tenemos varios canales interesantes. Educación matemática (http://www.youtube.com/user/ramica0) cuenta con documentales y videos de cómo resolver algunos tipos de problemas. Una estrella de los videos matemáticos es Vi Hart (http://www.youtube.com/user/Vihart), te recomiendo mucho el de los flexágonos. Ya es clásico consultar la Khan Academy (http://www.youtube.com/user/khanacademy) para aprender matemáticas básicas. Si lo tuyo es la primaria, con Ever Salazar (http://www.youtube.com/user/EverST88) puedes ver “videos matemáticos cortitos y bonitos”. Hablando de videos revisa los videos de matemáticas y matemáticos en TED (http://www.ted.com/search?q=math) una iniciativa que busca difundir el conocimiento global por medio de sus mejores exponentes. Destacamos el video de Mandelbrot acerca de la rugosidad (http://new.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness), grabado poco antes de su muerte, y el de Terry Moore (http://new.ted.com/talks/terry_moore_why_is_x_the_unknown) que explica por qué la x es la incógnita en el álgebra. Dos videos que no te puedes perder son de Cristóbal Vila (http://vimeo.com/eterea). El primero es “Nature by numbers”, donde verás la belleza de los números en la naturaleza. El segundo, “Inspiration” tiene imágenes en movimiento de varios conceptos físicos y matemáticos que no siempre se ven de ese modo tan bonito. Por último, te recomendaré tres sitios para graficar o calcular. Desmos es una calculadora/graficadora potente y muy fácil de usar, revisa los ejemplos en su página inicial (https://www.desmos.com/). Geogebra es una joya que, tanto en línea como en tu pc o tablet, te permite hacer geometría (http://www.geogebra.org/cms/es/), si pones una ecuación te da su gráfica, y viceversa, si pones una recta te da su ecuación. Finalmente, Wolfram Alpha es un buscador semántico que te da información numérica de casi cualquier cosa: prueba poniendo tu nombre (Daniel es el lugar 11 entre los más usados), escribe una expresión, como “sinxy”, o pide que te haga la batiseñal escribiendo “bat insignia” (http://www.wolframalpha.com). Esta es una selección personal y necesariamente acotada, por lo que si deseas ir descubriendo algunas otras fuentes puedes visitar mi blog http://pibichos.wordpress.com/ o seguirme en twitter en @dmocenca. Redes sociales Si quieres leer o comentar sobre mate puedes ir al Facebook o twitter. Es muy atractivo ver chistes de matemáticas en ambas redes: https://www.facebook.com/Ma 7hJok3s para Facebook y yo sigo a @Ingeniero_Dice en Twitter. El primero es más visual y tiene chistes del tipo “¿qué sucede cuando x tiende a infinito?” y el segundo es más textual con frases como “—¿Quieres ser mi Sol? —Sí :) —Bueno, aléjate 149.600.000 kilómetros de mí“. También sigo a @notemates, que de manera gráfica, con fotos de muy buena calidad y arte, nos da ejemplos de conceptos matemá- d.mocenca@gmail.com

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10 Marzo · 2014 Raúl Linares Gracia * L a matemática en su forma empírica tiene inicios poco claros ya que estuvieron envueltos en cierto halo de misterio, los Pitagóricos astrónomos consumados le daban un cierto poder mágico a los números, hasta que en el siglo VI a. C. Tales de Mileto cuyo esquema compara un primer triángulo formado por la altura de una pirámide, su sombra proyectada en la arena y el rayo de sol rasante, con un segundo triángulo, construido, a su vez, por un cuerpo cualquiera, accesible en su altura, por la proyección también de su sombra, y por un rayo luminoso semejante, es decir Tales recrea las condiciones para estudiarlas y formular un resultado general. Sin embargo, estos inicios mágicos tuvieron una influencia en muchas generaciones de filósofos como Platón, quien pensaba que las matemáticas ya estaban hechas y éstas habitaban en el mundo de las ideas y lo que los filósofos debían hacer era descubrirlas; muchos científicos consideran a las matemáticas como una herramienta, las consideran: “el lenguaje con el que está escrita la naturaleza”. Así muchos de los ahora llamados matemáticos aplicados consideran que la matemática debe surgir y tener aplicaciones a problemas concretos. Es mi objetivo dar un ejemplo donde la matemática surge de tratar de resolver un problema teórico y tiene una aplicación fundamental en el mundo contemporáneo. Euclides de Alejandría es un filósofo griego del siglo tercero antes de nuestra era, él es conocido porque escribió: Los Elementos, tratado que está compuesto por 13 libros; algunos tratan sobre geometría, otros sobre aritmética, la gran mayoría de las proposiciones contenidas en Los Elementos ya existían cuando apareció Euclides; algunas son atribuidas a matemáticos que lo precedieron en más de 200 o 300 años. En ningún momento se ha atribuido a Euclides la autoría original de las proposiciones que aparecen en su magna obra. Su labor como revisor fue titánica, pues tuvo que encontrar las definiciones más precisas, los postulados más sencillos y el orden adecuado de las proposiciones. Los Elementos es la obra matemática antigua más importante e influyente a partir del siglo III a. C. hasta finales del siglo XIX. Los Elementos en las versiones modernas, constan de 132 definiciones, cinco postulados, cinco axiomas y 465 proposiciones distribuidas en 13 libros. El antiguo profesor alejandrino no sólo enseña una ciencia, sino que, en cierto modo, parece empeñado en enseñar a aprenderla y construirla. Los Elementos contenían el acervo primordial y común de los geómetras alejandrinos y por ende de los matemáticos helénicos. Los Elementos marcaron un hito decisivo en la geometrización de las matemáticas y de sus dominios de aplicación. Euclides se convierte en el epónimo no tanto de una disciplina matemática como de un método de axiomatización. Proclo llama la atención en tres pasos que aparecen en las pruebas de Los Elementos: a) el enunciado, b) la demostración, c) la conclusión. Mismos principios que hasta la fecha permanecen invariantes. La matemática tiene vida propia Pues bien, de los cinco axiomas, el quinto o axioma de las paralelas, causó muchas dudas, de hecho el mismo Euclides no estaba seguro de si era un axioma o un teorema. Una versión (de las muchas que existen) del axioma de las paralelas es la siguiente: Dada una recta por un punto fuera de ella pasa una recta y sólo una recta paralela a la recta dada. Muchos fueron los matemáticos de diferentes nacionalidades y épocas que trataron de dilucidar al respecto, pero no es hasta el siglo XIX que dos matemáticos crearon una nueva geometría, Nikolai Ivanovich Lobatchevsky (1793-1856), a la que llamó Geometría Imaginaria, y Janos Boyai (1802-1860) él la llama geometría absoluta, ellos publicaron independientemente presentaciones organizadas de una geometría no-euclideana sobre una base sintética deductiva con el entendimiento de que esta nueva geometría era lógicamente tan legítima como la de Euclides, sus axiomas son: Los cuatro primeros axiomas de Euclides y su quinto axioma es: Por un punto fuera de una recta pasa más de una línea paralela. Inicialmente ellos trataron de encontrar alguna contradicción o inconsistencia, sin embargo no encontraron ninguna, por lo cual el modelo era una nueva geometría, las reacciones no se hicieron esperar, catalogando a esta nueva geometría como un simple ejercicio lógico que no servía para nada. Sin embargo, a lo largo del siglo XIX, con esta nueva geometría se habían rebasado ampliamente los límites de la experiencia física, se había transgredido finalmente la vieja regla aristotélica que confinaba a la geometría a las tres dimensiones del espacio, el acto de abstracción tiene la finalidad de hacernos conscientes de una relación considerada en sí y por sí, independientemente de los casos particulares a los que se puede aplicar. Louis Weber, decía: “Las geometrías no euclidianas habían tenido el efecto de despojar a la intuición espacial de ese carácter apodíctico que la volvía absoluta y eternamente necesaria para todos los espíritus, la desaparición de los a priori era no sólo visible en las acreditadas geometrías antes mencionadas”. Con satisfacción se tomaba nota de que a lo largo del siglo XIX la geometría y el análisis fueron objeto de una paciente elaboración que debía eliminar cada vez más la intuición, y depositar el valor demostrativo de esas ciencias en los elementos del pensamiento puro. Años después Albert Einstein al tratar de fundamentar su teoría de la relatividad encontró que el modelo matemático que necesitaba en su teoría era la geometría hiperbólica. Para muchos, como Weber, este hecho es el parteaguas en el desarrollo de la matemática moderna, pues la matemática no deberá buscar la justificación de su existencia en otras ciencias, la matemática tiene vida propia. Límite circular I Límite circular IV (Cielo e Infierno), imágenes tomadas de La magia de M. C. Escher. Ed. Taschen rlinares@fcfm.buap.mx

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Marzo · 2014 11 Andrés Fraguela Collar * E l hecho de que el desarrollo del pensamiento lógico matemático sea uno de los ejes principales de la educación básica y media superior hace que la matemática no sea una asignatura más del programa educativo, sino que su papel en el contexto de la educación es más relevante, ya que de la forma en que se aprenda la matemática depende, en gran medida, que se desarrollen las capacidades de pensamiento lógico y abstracto, que son tan necesarias para poseer una visión científica del mundo que nos rodea y para la construcción del conocimiento en general. Para lograr estas competencias y mejorar el nivel de la enseñanza de matemáticas se requiere fortalecer la formación de los maestros en los contenidos y procedimientos de los programas de asignatura, así como en los conocimientos que complementan su preparación docente para que puedan alcanzar una visión global debidamente estructurada de los programas que imparten, así como del carácter transversal del conocimiento matemático dentro del programa educativo en cada nivel de enseñanza. Con ello se logrará fortalecer el llamado pensamiento lógico matemático, lo cual resulta imprescindible como base para la promoción y adquisición del conocimiento en general. Adicionalmente se requiere profundizar en las metodologías didácticas requeridas para impartir el conocimiento en cada nivel de enseñanza en estrecha relación con los contenidos. Todo lo anterior puede ser logrado satisfactoriamente si se distingue entre la forma en que el maestro debe adquirir y promover el conocimiento y si el maestro aprende las matemáticas siguiendo una metodología ordenada cuya secuencia no debe alterarse esencialmente. Esta secuencia incluye los siguientes pasos: a) Comenzar por los aspectos conceptuales, procedimentales y actitudinales de los contenidos requeridos en cada nivel de enseñanza, de una manera estructurada y rigurosa, sin caer en formalidades extremas innecesarias, pero con el rigor necesario, porque de lo contrario se pierde la esencia de la matemática como ciencia. El rigor necesario en la matemática es una herramienta muy útil, aun desde los niveles más básicos de la educación, pues es lo que permite justificar y unificar metodologías de solución de muchos problemas aparentemente diferentes. b) Entender el origen práctico de los conceptos matemáticos y la relación de los resultados importantes con la aplicación práctica es el aspecto fundamental que sirve como base para la motivación y para poder aplicar de manera correcta la correspondiente metodología didáctica en la enseñanza de la matemática. c) Comenzar por aplicar los conceptos y resultados matemáticos en la operatividad y el cálculo para posteriormente poder aplicarlos en la solución de problemas. No se puede desarrollar la habilidad del pensamiento lógico y abstracto aplicado a la solución de problemas si antes no se ha desarrollado la habilidad de realizar operaciones matemáticas y efectuar cálculos. d) Desarrollar la capacidad de conjeturar afirmaciones matemáticas generales y de poder demostrarlas con rigor. e) Aprender a modelar situaciones prácticas utilizando herramientas matemáticas y saber interpretar Necesidad de un formación de maestros en matemáticas para la de enseñanza media superior basado en contenidos, didáctica y evaluación programa integral (PIFMA-Matemáticas) las soluciones matemáticas obtenidas del análisis de los modelos en el lenguaje del mundo real que da origen al problema. Es necesario comprender el campo de aplicabilidad práctica y las limitaciones de cada uno de los temas principales de matemáticas que se estudian en la educación media superior. Sin embargo, hemos visto que existen múltiples dificultades que limitan el desarrollo de estas competencias, por lo cual concluimos que existe una imperiosa necesidad de incidir en la formación de los maestros, alrededor de los temas mencionados, como uno de los aspectos clave para la solución de los problemas que enfrenta el sistema nacional de educación. Dada la importancia de este problema no se le puede continuar dando soluciones locales o a medias, y por ello se requiere de la implementación de un programa integral, apoyado por las instituciones de educación superior y soportado por la SEP, dirigido de una forma escalonada a todos los maestros del estado. Es por ello que un conjunto de investigadores de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la BUAP, bajo la dirección del Dr. Andrés Fraguela Collar, ha propuesto la creación de un programa de capacitación al que se ha denominado PIFMA-Matemáticas: Programa Integral para la Formación de Maestros de Matemáticas, el cual ha sido ya aprobado por el Consejo Universitario de Docencia de la BUAP. En la confección del programa se han tenido en cuenta todas las limitaciones detectadas a la vez que se proponen las vías para erradicarlas. Esta propuesta incluye los tres ejes temáticos de la enseñanza de las Matemáticas: sentido numérico y pensamiento algebraico, forma espacio y medida y manejo de la información; así como su correspondencia con los siete temas principales que componen los programas de educación matemática de nivel medio superior: aritmética, álgebra, probabilidad y estadística, geometría y trigonometría, y cálculo diferencial e integral. Dicha propuesta se plantea los siguiente propósitos: Desarrollar un programa integral de capacitación y formación de maestros en matemáticas del nivel medio superior que ponga énfasis en los contenidos y los aspectos conceptuales de los programas curriculares y en la necesaria formación complementaria del maestro, de una forma sistemática y estructurada, partiendo desde lo más básico, de manera que el maestro no pierda de vista el papel integrador y la transversalidad del conocimiento matemático, profundizándose en los aspectos didácticos y metodológicos de la enseñanza, de forma simultánea y no independiente a la impartición de los contenidos. El programa se impartirá a través de dos diplomados y cada diplomado será impartido en forma de cursos y talleres con una metodología constructivista y con una duración entre 16 y 20 semanas a razón de ocho horas por semana (cuatro horas los viernes y sábados), lo cual hace un total de 128 a 160 horas. Próximamente este programa será impartido en forma presencial a los profesores de las Preparatorias de la BUAP. Invitamos a todos los maestros de Educación Media Superior del estado de Puebla a que participen en este programa de capacitación que jugará un papel fundamental en el desarrollo de su actividad docente y sin duda repercutirá favorablemente en su evaluación dentro del Programa de Estímulos. Para mayor información dirigirse a: 2295500 extensión 7555. ESTA PROPUESTA INCLUYE LOS TRES EJES TEMÁTICOS DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS; ASÍ COMO SU CORRESPONDENCIA CON LOS SIETE TEMAS PRINCIPALES QUE COMPONEN LOS PROGRAMAS DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE NIVEL MEDIO SUPERIOR: ARITMÉTICA, ÁLGEBRA, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA, Y CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL You're the Best (Mathematics) Teacher! Por Message Keeper en www.flickr.com Imagen tomada de https://www.tutellus.com/925/aprende-a-ensenar-matematicas-de-primaria pifma@fcfm.buap.mx

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12 Marzo · 2014 Fernando Rojas R. * Física computacional, dinámica de sistemas y multidisciplina D esde hace varias décadas en el mundo se ha diseminado un conjunto de ideas novedosas en sí mismas que, lo son aun más cuando juntas son capaces de explicar un conjunto grande de fenómenos y eventos que ocurren en nuestro entorno. Desde la dinámica de los ecosistemas, pasando por las diferentes escalas a las que puede uno referirse (autoorganización de las hormigas, el forrajeo visto como un proceso de difusión anómala, las formaciones espaciotemporales de la masa vegetal en zonas de poca humedad), hasta las redes metabólicas que enlazan procesos internos de los organismos vivos en diferentes facetas y órganos o bien la dinámica de comunidades humanas, movilidad, opinión, segregación, etcétera. De manera particular, muchas ideas y técnicas de la formulación teórica de la Mecánica se han retomado y extendido al estudio de sistemas cuya evolución no está vinculada con los principios de la Mecánica ni con los tipos de interacción típicos asociados a la idea de fuerzas fundamentales de la naturaleza: la escala del sistema particular y las relaciones entre sus variables, así como el conjunto de parámetros que intervienen, definen comportamientos que permiten caracterizar y entender la evolución Un ejemplo simple y que tiene muchos años es el caso del modelo de Lotka-Volterra: Vito Volterra (18601940) se interesó por la aplicación matemática en la Biología, extendiendo y desarrollando la obra del matemático belga Pierre François Verhulst, uno de los padres de la ecuación logística (de gran importancia en la teoría del caos), cuando sobre un problema de poblaciones de peces diseñó un modelo sobre el crecimiento de poblaciones competitivas expresada como sistema de dos ecuaciones diferenciales. Alfred James Lotka (1880-1949), escribió varios artículos sobre procesos oscilantes en Química, en donde de manera independiente a Volterra trabajó con la misma ecuación logística de Verhulst, pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan. El modelo que hoy se conoce con el nombre de ambos Lotka-Volterra representa aún la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones, reacciones químicas y otros modelos matemáticos: dx/dt=Ax-Bxy dy/dt=-Cy+Dxy Un modelo de dinámica de poblaciones, asociado con los dos tipos principales de células que regeneran nuestros huesos, se puede obtener también del modelo mencionado si a los términos “cruzados” (que contienen el producto xy) se les asigna un exponente a la variable x y a la variable y respectivamente. Estos exponentes están relacionados con los mensajes químicos entre las poblaciones y con la información que reciben de la médula ósea. El resultado computacional de esta dinámica es una estructura porosa, como era de esperarse para la región travecular del hueso, pero además permite comprender y evaluar parámetros y cantidades que pueden alterar de manera importante el crecimiento normal del hueso. Las mismas técnicas numéricas (o computacionales) se emplean en la solución de estos y muchos otros problemas relacionados con la dinámica de sistemas que incluyen, además de los ecosistemas, la fisiología o los comportamientos sociales, los problemas típicos de la Física. La solución de un sistema de tres partículas que interactúan gravitacionalmente no tiene por qué ser una curva regular y conocida. De hecho, no lo es salvo condiciones iniciales muy específicas: se trata de un sistema caótico. Tenemos pues, presente, la posibilidad y la necesidad de uso de una herramienta que se ha vuelto fundamental —como lo es la computadora— conjuntamente con nuestra capacidad de construir y modificar modelos que puedan coadyuvar, con una buena actitud de cooperación y comunicación, a la solución de problemas que actualmente son resueltos por la vía de la experiencia y la intuición en el mejor de los casos, o por la voluntad o conveniencia, en el peor. frojas@fcfm.buap.mx

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Marzo · 2014 13 R. O. Vélez Salazar, J. Arrazola Ramírez, I. Martínez Ruiz, V. Borja Macías * Ser y no ser: esa es la paraconsistencia · De Izquierda a derecha: Bertrand Russell (1872-1970), Guillaume de l'Hôpital (1661 - 1704), Newton C. A. da Costa (1929), Stanisław Jaśkowski (1906 -1965) E n la lógica clásica existe un cierto “rechazo” hacia las contradicciones que, por lo general, tienen la forma de la conjunción de A y ¬A . Esto es a tal grado de que cuando nos encontramos con una contradicción, nos detenemos a buscar aquello que la originó para inmediatamente negarlo (lo cual constituye lo que conocemos como reducción al absurdo). Decimos que la lógica clásica es consistente precisamente porque no valida contradicciones. La “gravedad” de las contradicciones en la lógica clásica puede ser que, si se acepta cualquier contradicción entonces cualquier proposición se vuelve teorema, lo cual vuelve trivial la teoría en la que estemos trabajando (la proposición (A˄¬A) →B es teorema en la lógica clásica y puede interpretarse como “la contradicción dada por A y ¬A deduce cualquier proposición B”) y en una teoría trivial no hay diferencia entre sus proposiciones, pues todas son demostrables. Esto conlleva a considerar que el “peligro real” de cualquier teoría no es que pueda tener contradicciones, ¡sino que pueda ser trivial! Aquí cabe preguntarse: ¿habrá lógicas que puedan tener contradicciones pero que no sean triviales? La respuesta es afirmativa; de hecho existen varias situaciones que motivan la existencia de teorías inconsistentes pero no triviales. A estas teorías las llamamos paraconsistentes. Como un primer ejemplo, consideremos la paradoja descubierta por Bertrand Russell en 1901. Intuitivamente es válido el principio bajo el cual, dada una propiedad P, existe un conjunto de objetos que satisfacen tal propiedad P (por ejemplo dada la propiedad “x es número par” es intuitivo afirmar que existe un conjunto de números que satisfacen la propiedad e incluso por siglos lo hemos llamado como el conjunto de los números pares y es simple saber si un elemento pertenece o no al conjunto). Sin embargo, no con cualquier propiedad las cosas resultan tan bien. Si consideramos la propiedad es “x es un conjunto que no es elemento del mismo conjunto x” y definimos a R como el conjunto formado por aquellos conjuntos que satisfacen tal propiedad, es decir, R={x : x no es elemento de x}, parecería que no existe ningún inconveniente hasta que nos preguntamos si R pertenece a R o no. Si analizamos la definición de R observaremos que si R pertenece a R por la definición R no pertenece a R. Análogamente si R no pertenece a R entonces R pertenece a R, en ambos casos podemos llegar a una expresión del tipo A y ¬A , lo cual es una contradicción. En este punto tenemos dos opciones: desechar la idea de que cada propiedad define un conjunto como lo hicieran o cambiar la lógica para que este problema no la haga trivial. La primera opción dio pie al trabajo de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel; pero si optamos por la segunda podemos adaptar la lógica y convertirla en una lógica paraconsistente. Entonces R pertenece a R y R no pertenece a R, como antes, pero habrá propiedades que R sí cumple y otras que no, es decir, tendremos una teoría contradictoria pero no trivial: ¡una teoría de conjuntos paraconsistente! En los principios del Cálculo podemos hallar otro ejemplo de una teoría inconsistente pero no trivial. Un infinitesimal se define como un número positivo con la propiedad de que es más pequeño que cualquier otro número. Cuando el marqués Guillaume de l'Hôpital escribió, en 1696, el primer texto de Cálculo, su primer principio establecía que “dos magnitudes que difieren por un infinitesimal son la misma”, es decir, dos magnitudes diferentes no lo son (cuando la diferencia es un infinitesimal). A pesar de esta inconsistencia, aquellos que desarrollaron el Cálculo obtuvieron resultados correctos y ciertamente no dedujeron cualquier resultado; nuevamente la teoría no es trivial. De no haber permitido este tipo de inconsistencias el cálculo no habría progresado y hoy la matemática no sería la misma. Hace algunas décadas, Stanisław Jaśkowski y Newton da Costa propusieron, independientemente, el estudio de las lógicas que pudieran tener teorías contradictorias no triviales. Ellos son considerados los fundadores de lo que más tarde, el filósofo peruano Francisco Miró-Quesada llamó lógica paraconsistente. Diversos grupos en distintas partes del mundo, principalmente en Australia, Brasil, Estados Unidos y Polonia, han desarrollado distintos sistemas paraconsistentes y en la actualidad no existe una lógica paraconsistente sino una extensa gama de sistemas entre los cuales podemos mencionar las lógicas discusivas, lógicas adaptivas, lógicas para la inconsistencia formal, lógicas relevantes, algunas lógicas multivaluadas, etcétera. Cada día estas lógicas adquieren mayor importancia no sólo por su papel dentro de la matemática y la filosofía sino por las aplicaciones que encuentran en diversas áreas. Entre ellas tenemos a la computación: para manejar bases de datos inconsistentes, en muchos enfoques de inteligencia artificial, por ejemplo para la representación y manejo de conocimiento o las creencias y el aprendizaje. En el derecho podríamos citar la lógica de las normas (Vernengo, Von Wright). También encuentra aplicaciones en la ciencia como posible “unificación” de teorías aceptadas pero que son lógicamente incompatibles, por ejemplo en física tendríamos el caso de la teoría general de la relatividad y la mecánica cuántica. Bibliografía Angoa Amador, J.J. y otros, 2009, Topología y sistemas dinámicos, Tomo II. Textos Científicos, México, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Béziau, Jean-Yves, 2002, What is paraconsistent logic? In Batens et al. [6]. 95-111, Press, 2000. Carnielli, Walter A. y Joao Marcos, 2002, “A taxonomy of C-systems” en Carnielli Walter A y otros, (editores) Paraconsistency. The logical way to the inconsistent, USA, Marcel Dekker, Inc. Carnielli, Walter A. y otros, 1974, “Logics of Formal Inconsistency” en Da Costa, Newton C. A., On the Theory of Inconsistent Formal Systems. Notre Dame Journal of Formal Logic, Da Costa, Newton C. A. y Otavio Bueno. Paraconsistent Logic. Perzanowski, Jerzy,1999, “Fifty years of paraconsistent logics” en Logic and logical philosophy, Volume 7. Middleburg, C. A., A Survey of Paraconsistent Logics. ruvelsa@yahoo.com · arrazola@fcfm.buap.mx · imartinez@fcfm.buap.mx · vero0304@gmail.com

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14 Marzo · 2014 Patricia Domínguez Soto * R osa es una estudiante de doctorado en matemáticas en una muy conocida universidad. Un día de primavera, Rosa caminaba por un pasillo, muchas veces recorrido, del departamento de matemáticas cuando de pronto fijó su atención en un póster de la IBM que tenía como título “Hombres de las matemáticas modernas”, la primera pregunta que cruzó por su cabeza fue ¿y las mujeres?. Rosa leyó el poster, el cual tenía una visión cronológica de los matemáticos más importantes con sus biografías, de 1000 a 1900. Rosa encontró a muchos matemáticos, junto con sus principales resultados, que ella había escuchado repetidas veces en sus cursos de licenciatura y maestría. De pronto, la estudiante se llenó de júbilo ¡había una mujer! Emmy Amalie Noether; presurosa, la estudiante quiso saber qué había hecho Emmy Noether en las matemáticas y comenzó a leer. Conforme leía sentía un pesar muy grande; lo que estaba escrito era lo siguiente: Emmy Noether, llamada Der Nother, como si fuera un hombre, tuvo un puesto en la Universidad de Göttingen, pero sin remuneración alguna. Era gorda, áspera y ruidosa, pero cariñosa y sociable. Nada se decía con respecto a sus logros matemáticos. Rosa sintió que debía conocer sobre los logros matemáticos de E. Noether y buscó su biografía, la cual, resumida es la siguiente: mujer en las Una Matemáticas de 1900 Desarrolló conceptos básicos que conducían a un grupo de principios que unificaban álgebra, geometría, álgebra lineal, topología y lógica Emmy Amalie Noether, nacida el 23 de marzo de 1882 en Erlangen, Bavaria, Alemania. Estudió en la escuela Höhere Töchter Schule, en Erlangen (1889-1897) donde aprendió alemán, inglés, francés, aritmética y recibió lecciones de piano. Emmy decide estudiar matemáticas en la universidad de Erlangen (1900-1902), pero era un tiempo difícil para las mujeres, pues en esa época eran aceptadas extraoficialmente sólo como oyentes y debían solicitar permiso a cada profesor de cátedra para asistir a sus clases. En 1903 Emmy estudia en la Universidad de Göttingen, también en calidad de alumna oyente. Entre los años 1908 y 1915, Emmy trabaja en el Instituto de Matemáticas de Erlangen, pero sin remuneración ni nombramiento oficial. Durante este tiempo Emmy trabaja con el matemático algebrista Ernst Otto y Herman Minkowski. En 1915 se incorpora al Instituto de Matemáticas de Göttingen, donde trabaja con Felix Klein y David Hilbert en las ecuaciones de la teoría de la relatividad de Einstein. En 1918 demuestra dos teoremas básicos tanto para la relatividad general como para la física de partículas elementales; uno de estos teoremas es conocido como el Teorema de Noether. Pese a su trabajo académico, Emmy era discriminada por su sexo para ser aceptada como investigador y docente titular en la universidad de Göttingen. Durante 1920 Emmy realiza estudios fundamentales sobre álgebra abstracta, Trabaja en las trabaja la teoría de grupos, teoría de anillos grupos representativos y teoría de ecuaciones de la números. Además Emmy desarrolló conceptos básicos que conducían a un teoría de grupo de principios que unificaban álgebra, geometría, álgebra lineal, topolola relatividad de gía y lógica. Einstein En 1932 los organizadores del Congreso Internacional de Matemáticas ajo celebrado en Zurich le solicitan a Emmy sesiones plenarias y ese mismo trab era a su my año le es concedido el prestigioso premio en matemáticas AckermannPese ico, Em su sexo r Teuner Memorial Prize. Pero la discriminación de Emmy continuó por o ém m po acad inada tada co te otros motivos; el gobierno nazi que había tomado el poder en Alemania en rim ep en 1933 le prohibió dictar clases en todo el territorio alemán (por tener disc ser ac r y doc ad de raíces judías). para stigado niversid Emmy emigra a USA en septiembre de 1933 como profesor invitado inve en la u gen lar Göttin en Bryn Mawr College, Pennsilvania, en 1935 Emmy consigue que el periotitu do de su calidad académica sea extendido, pero en abril de 1935 Emmy tiene una cirugía uterina y muere de una infección postoperatoria. Rosa, con toda esta información sobre los logros matemáticos de Emmy, se siente cerca de ella como matemática y mujer, sin importar nacionalidad, color o religión. El póster, que tuvo en Rosa al inicio un impacto negativo tiene ahora otro significado, ya que Emmy fue una mujer valiente que se abrió paso entre un círculo de varones muy selectos —matemáticos muy importantes—, por lo que el póster es un recordatorio constante de ese valor y esfuerzo de Emmy. Emmy recuerda a todas las mujeres valientes que han sido y son discriminadas por razones de sexo, raza y religión, pero que a pesar de ello continúan abriéndose camino en este mundo. · La ilustración de Emmy Amalie Noether ha sido tomada de http://www.mimitabby.com/blog/day-13-amalie-emmy-noether-mother-of-algebra pdsoto@fcfm.buap

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Marzo · 2014 15 Juan Angoa * En un principio fue el verbo”, dice el texto bíblico. Para la religión la palabra es el principio de todo, al menos como revelación, como rezo, que es conexión de lo carnal y lo divino. Para la ciencia, la palabra común y corriente es un obstáculo para la exactitud deseada; sin embargo, el científico, pescando en la cotidianidad, le pone cuerno a la palabrota y se vuelve unicornio en su modelo. Para el literato, es animal salvaje que debe dominarse sin perder su salvajismo. Para el filosofo Heráclito, la palabra es la conexión del universo. Así, nos encontramos con organismos vivos, las palabras, que tienen la osadía de agruparse moverse y sonar, hasta hacer hablar a distintos modelos de la realidad; cómo logran esto, no lo sé; sólo tengo la certeza de que lo hacen. El trabajo que presento es una colección de sorpresas y preguntas, sin ninguna respuesta; tal vez sólo tenga la intención de crear un estado de ánimo, y me sorprendo al descubrirme ofreciendo palabras que hablan de las palabras. En el periodo de la escolástica, periodo que tan bien describe Umberto Eco, existieron dos escuelas enfrentadas: los nominalistas y los realistas. Para los nominalistas los sustantivos se creaban de manera totalmente artificial, pero para los realistas cada nominación de la realidad a través de una palabra expresaba características materiales de la cosa. Debo confesar que en un principio fueron de mis simpatías los nominalistas, pensando que crear lenguajes naturales es prerrogativa de los seres humanos agrupados en sociedades, y que por tanto las palabras eran construcciones artificiales de los hombres para los hombres. Además, que por ningún lugar de la palabra encontraba las características de las cosas que atrapaban las palabras. Narraré dos experiencias que me hicieron dudar de mis primigenias convicciones. Según algunos científicos japoneses, al crear cristales de agua “oyendo el agua” a Mozart o Bethoven, estos cristales resultan de diferentes maneras y de formas bellas, y lo más importante: si el agua se exponía a una palabra violenta o pesimista, el cristal resultante resultaba incompleto y sin armonía. La otra experiencia viene de la práctica del biomagnetismo, el cual interroga al cuerpo acerca de sus “pares magnéticos” activados, a través de los “nombres” de éstos, no solo presentados al cuerpo en forma oral, sino incluso en ¡en forma escrita! Tal vez estas experiencias a algunos no les parezcan “serias”, así que apelo a la antisolemnidad de sus espíritus creativos para tomarlos como una simple motivación para rediscutir la vieja polémica de los nominalistas y realistas. Propongo la siguiente hipótesis de trabajo: los lenguajes naturales captan la realidad con tal profundidad que podemos sentir la armonía del universo ante secuencias de palabras de un idioma que no conocemos. Al mismo tiempo el lenguaje natural, creación del hombre, que es parte del universo, permite a éste dialogar consigo mismo a través de esta creación humana. Es con Hegel, filósofo alemán, en donde el concepto de totalidad presenta una lucidez impresionante. Él propone que el espíritu universal, la filosofía, creada por la conciencia del ser, el hombre, se eleva para romper el cerco del espíritu enajenado, el ser “ De palabras, teoremas y palabrotas que no se sabe espíritu. En Hegel, el papel del ser humano sólo se entiende dentro de la epopeya del ser en saberse y hacerse espíritu universal. Curioso es demostración, ya que esta última no importaba. Los matemáticos estamos tan concentrados en las secuencias lógicas de una demostración que lo que menos nos importa son los sonidos y cadencias que acompañan a tal discurso, pero creo que tampoco ponemos atención en todo el proceso de creación de conjeturas, en la nostalgia, pasión y coraje que anteceden a una demostración. El hecho de que en una demostración no se declaren todos estos hechos humanos, no implica que no existan y que además marquen de manera profunda a la misma demostración. El problema es cómo están presentes y cómo nos los hacemos presentes. Se dice que Lebesgue se inspiró en cómo pegaban ladrillos unos albañiles para la creación de su integral; Córdoba Barba, matemático español, cuenta que una pintura de Malevich y el baile de dragones chinos en Chinatown lo inspiraron para sendas demostraciones de teoremas. Así que las fuentes del discurso matemático son varias e imperceptibles; será esta razón por la cual el teorema guarda tanta vida. El teorema, con un cuerpo de palabrotas, palabras comunes, es creado como un discurso de síntesis de actos deseos con el que se atrapa a una realidad cambiante con la poderosa red del sistema formal, guarda tanta vida, y tal vez de ahí su gran capacidad camaleonica, de ser universal fuente de modelos de la realidad. Termino exhortando a la concurrencia a ver a la matemática, ya sea la que aprenden en el aula, la que se inventa en los institutos, siempre como un acto humano, cuyo cuerpo de signos le puede susurrar algo al universo. que las ciencias exactas son clasificadas por Hegel como parte del espíritu particular, ya que según ellas no atrapan al ser en su devenir, en sus contradicciones, que es la única forma de describir un mundo cambiante. Por otro lado, ignoro si los japoneses han creado cristales con agua expuesta a la declamación de un teorema, o si el biomagnetismo ha obtenido respuestas claras de un cuerpo interrogado acerca de conjeturas matemáticas, pero creo que la matemática como sublimación de los lenguajes naturales debe mantener en sus entrañas esa capacidad de diálogo del universo con el universo mediando este lenguaje. Así que puedo decir, igual que Hegel, que las matemáticas no modelan a la realidad cambiante, pero sí la llevan en sus entrañas. Recuerdo que hace unos años a un productor de radio, persona que creaba discursos sonoros, le interesó “oír” a un Teorema; me pidió que le reescribiera un teorema y su demostración en palabrotas, es decir en símbolos leíbles, para grabar la lectura de tal discurso. El resultado sonoro de tal experimento me resultó sorprenderte; al oír este teorema gocé la cadencia de los “existe” y los “para todo” como notas de un concierto, sin importarme los significados ni la validez de la Se dice que Lebesgue se inspiró en cómo pegaban ladrillos unos albañiles para la creación de su integral; Córdoba Barba, matemático español, cuenta que una pintura de Malevich lo inspiró para sendas demostraciones de teoremas jangoa@fcfm.buap.mx La imagen de fondo es la obra de Kazimir Malevich Black square and red square Integral de Lebesgue, tomada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:RandLintegrals.png

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