Grandezze proporzionali

 

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grandezze direttamente ed inversamente proporzionali premessa grandezze con il termine grandezza si intende tutto ciò che è misurabile sono grandezze la lunghezza che si misura col metro il tempo che si misura con il secondo o i minuti o le ore la capacità che si misura con il litro il volume che si misura con il m3 la velocità che si misura in m/s le grandezze possono dividersi in due categorie grandezze costanti e grandezze variabili quelle costanti sono quelle che non variano il tempo dell ora di matematica la distanza tra due paesi ecc quelle variabili sono quelle che cambiano la lunghezza del lato del quadrato il tempo impiegato a percorrere una certa distanza la velocità molto interessanti sono le grandezze variabili che sono in relazione tra di loro il tempo impiegato a percorrere una certa distanza e la velocità con cui si percorre la stessa distanza il perimetro del quadrato al variare del lato la somma pagata per acquistare quaderni ed il numero di quaderni ecc funzioni È molto importante trovare relazioni collegamenti corrispondenze tra valori di grandezze variabili alcune relazioni prendono il nome di funzioni la funzione è un legame fra grandezze variabili che ad ogni valore assegnato ad una di esse variabile indipendente fa corrispondere uno ed un solo valore dell altra variabile dipendente le funzioni si dividono in due categorie le funzioni empiriche e le funzioni matematiche quelle empiriche sono quelle i cui valori corrispondenti si trovano solo attraverso la misura dei valori delle grandezze esempio la temperatura in funzione del giorno la

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temperatura si può solo misurare non c è alcun calcolo che mi permette partendo dalla data del giorno di trovare la temperatura relativa a quella data quelle matematiche sono quelle che possono essere scritte come operazioni matematiche cioè per trovare i valori corrispondenti è possibile eseguire dei calcoli ad esempio il lato del quadrato e l area si dice che l area è funzione del lato infatti se conosco la misura del lato subito posso trovare l area e viceversa alcune coppie di valori corrispondenti della funzione area del quadrato sono 1;1 2;4 3;9 anche il perimetro del quadrato è funzione del lato del quadrato alcune coppie di valori corrispondenti sono 1;4 2;8 3;12 nelle funzioni matematiche siamo noi a dare dei valori ad un grandezza e con il calcolo troviamo l altra es il perimetro del triangolo equilatero ed il lato se il lato è 4 e subito deduciamo che il perimetro è 12 perché eseguiamo il calcolo 43 =12 la variabile che si ottiene con il calcolo si chiama variabile dipendente mentre l altra variabile indipendente i matematici si sono accordati per indicare con la lettera x i valori della variabile indipendente e con la lettera y i valori della variabile dipendente con tali lettere possiamo scrivere una formula [che in generale si indica con y fx esempi perimetro del triangolo equilatero 2p=3.l diventa y=3.x area del quadrato a=l2 diventa y=x2 riportando su un diagramma ortogonale le coppie di valori corrispondenti si ottiene il grafico cartesiano della funzione tra le grandezze che variano in relazione tra di loro particolarmente interessanti sono le grandezze direttamente proporzionali grandezze inversamente proporzionali due grandezze legate da una relazione di valori corrispondenti si dicono direttamente proporzionali se al raddoppiare dei valori della prima raddoppiano i valori corrispondenti della seconda se al triplicare della prima triplicano i valori corrispondenti della seconda se al dimezzarsi dei valori della prima si dimezzano i valori corrispondenti della seconda due grandezze legate da una relazione di valori corrispondenti si dicono inversamente proporzionali se al raddoppiare dei valori della prima si dimezzano i valori corrispondenti della seconda se al triplicare della prima i valori corrispondenti della seconda diventano un terzo se al dimezzarsi dei valori della prima raddoppiano i valori corrispondenti della seconda

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esempio la grandezza perimetro e il lato di un quadrato esempio la base e l altezza di tutti i possibili rettangoli di area 36cm2 sono due grandezze inversamente proporzionali base x h y 2 18 3 12 4 9 6 6 9 4 lato x 2p y 1 4 2 8 3 12 4 16 5 20 nella tabella dei valori i valori corrispondenti sono incolonnati si vede bene che la grandezza lato passando dal valore 1 al valore 3 triplica e i valori corrispondenti della grandezza 2p passando da 4 a 12 triplicano anch essi nella tabella dei valori i valori corrispondenti sono incolonnati si vede bene che la grandezza base passando dal valore 2 al valore 6 triplica e i valori corrispondenti della grandezza altezza passando da 18 a 6 diventano un terzo anch essi la caratteristica delle grandezze direttamente proporzionali è che è costante il rapporto tra due qualsiasi valori corrispondenti la caratteristica delle grandezze inversamente proporzionali è che è costante il prodotto tra due qualsiasi valori corrispondenti indicati con y i valori di una grandezza ad indicati con y i valori di una grandezza ad esempio il perimetro e con x i valori esempio l altezza e con x i valori dell altra ad esempio il lato risulta dell altra ad esempio la base risulta yhxy ho ykoy kx x x k si definisce costante di proporzionalità e h si definisce costante di proporzionalità e h y=kx funzione di proporzionalità diretta funzione di proporzionalità inversa y x quindi riferendoci all esempio sopra,per trovare k cioè la costante o coefficiente di proporzionalità diretta basta dividere un valore per il suo corrispondente y 16 4 k=4 quindi y=4x è la x 4 funzione di proporzionalità diretta k quindi riferendoci all esempio sopra,per trovare h cioè la costante o coefficiente di proporzionalità diretta basta moltiplicare un valore per il suo corrispondente 36 h x y 2.18 36 h=36 quindi y è x la funzione di proporzionalità inversa il grafico cartesiano della funzionalità di proporzionalità diretta è una semiretta uscente dall origine si riportano in ascissa i valori della x ed in ordinata i valori della y si disegnano i punti individuati dalle coppie di valori corrispondenti si uniscono e si prolunga il grafico cartesiano della funzionalità di proporzionalità inversa è una ramo di iperbole equilatera si riportano in ascissa i valori della x ed in ordinata i valori della y si disegnano i punti individuati dalle coppie di valori corrispondenti si uniscono e si prolunga

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se due grandezze sono direttamente proporzionali il rapporto tra due valori della prima grandezza è uguale al rapporto diretto dei valori della seconda grandezza corrispondenti riferendoci all esempio sopra prendo i valori del lato 2 e 3 i valori corrispondenti dello spazio sono 8 e 12 2 il rapporto dei valori del lato è il 3 rapporto diretto dei valori corrispondenti 8 2 del perimetro è che semplificato fa 12 3 2 8 cioè 3 12 se due grandezze sono inversamente proporzionali il rapporto tra due valori della prima grandezza è uguale al rapporto inverso dei valori della seconda grandezza corrispondenti riferendoci all esempio sopra prendo i valori della base 2 e 3 i valori corrispondenti della altezza sono 18 e 12 2 il rapporto dei valori della base è il 3 rapporto inverso dei valori 12 corrispondenti della altezza è che 18 2 2 12 semplificato fa cioè 3 3 18 grafico funzione prop inversa y o x

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