modulo ley del seno y ley del coseno

 

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liceo agrícola de ovalle tadeo perry barnes matemática módulo trigonometría cuarto año medio contenidos ley del seno cálculo de alturas mediante uso de tangente teorema del coseno cálculo de superficies triangulares 1

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profesores de estado sr noel Álvarez Álvarez sr cristian duque rodríguez 2

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ley del seno objetivos deducir la ley del seno aplicar la ley del seno a la solución de problemas prácticos relativos al ámbito agrícola instrucciones desarrolla las siguientes actividades en forma individual para luego compara tus resultados con los de tus compañeros si tienes dudas consulta al profesor actividad 1 dibuja en tu módulo un triángulo que tenga un ángulo de medida 44º y otro de medida 35º ahora completa las siguientes actividades ¿cuánto mide el tercer ángulo de cada triángulo ¿cuánto suman los tres ángulos del triángulo mide lo más exacto que puedas los lados de cada triángulo y completa los siguientes datos ab bc ac realiza ahora las siguientes divisiones ángulo opuesto a ab ángulo opuesto a bc ángulo opuesto a ac ab seno bc seno ac seno ¿cómo son los resultados si dibujas un triángulo cualquiera ¿crees que sucederá lo mismo actividad 2 dibuja un triángulo cualquiera y calcula nuevamente las divisiones anteriores 3

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¿son las divisiones iguales entre si ¿sucederá lo mismo con cualquier triángulo que dibujes 4

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lo que has visto anteriormente se conoce como la ley del seno esta ley relaciona la medida de los lados de cualquier triángulo con el seno del ángulo opuesto a cada lado ley del seno a seno b seno c seno veamos ahora como se aplica esta ley a problemas prácticos ejemplo 1 un potrero tiene forma triangular dos de sus ángulos miden 65º y 75º el mayor de sus lados mide 33 metros calcular las dimensiones de los otros dos lados del potrero solución la situación se puede representar gráficamente de la siguiente manera primero calcularemos el valor de x 33 seno75º 33 0,96 x x 0,64 x seno40º despejamos x regla de tres 22metros ahora calculamos el valor de y 5

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33 seno75º 33 0,96 y y 0,90 y seno65º despejamos y regla de tres 30,93metros por lo tanto las medidas del potrero son 33m 22m y 30,93m 6

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ahora te toca a ti resolver algunos problemas en cada caso dibuja la situación ubica los datos entregados y calcula los valores pedidos para ello sigue las indicaciones dadas en esta guía y el ejercicio resuelto 1 se desea determinar la longitud del lado que falta medir de un terreno triangular los dos lados más cortos del terreno miden 30,5 m y 50 m dos de sus ángulos miden 95° y 30° 2 un sitio tiene forma triangular su ángulo más pequeño mide 55° y el mayor 10° más su lado mediano mide 42 m ¿cuál es la longitud de los otros dos lados del sitio 3 encontrar la longitud de los otros dos lados de un terreno triangular si se sabe que uno de ellos mide 185 m la esquina opuesta al lado conocido forma un ángulo de 44° y otra de 38° 4 se desea determinar la longitud del lado mayor de un terreno triangular su lado menor mide 65 m y dos de sus ángulos miden 50° y 60° 5 se desea calcular el perímetro de un terreno que tiene la forma de un triángulo isósceles cuyos ángulos iguales miden 70° y cuyo lado más corto mide 78 m 6 un potrero tiene la forma y las medidas que se indican calcular el perímetro del potrero 7

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cÁlculo de alturas objetivos utilizar las razones trigonométricas en la solución de problemas prácticos calcular alturas inaccesibles valorar la matemática como una herramienta eficaz en la solución de problemas de la vida real instrucciones junto a otro compañero desarrolla las siguientes actividades en tu cuaderno realizando además los dibujos correspondientes si tienes dudas consulta las guías anteriores y tu cuaderno y luego consulta al profesor al final de esta guía encontraras también una pauta de autoevaluación patricio desea medir la altura de la torre de alta tensión pero se le hace imposible medir la distancia que hay desde su posición hasta el pie de ella luego de investigar procedimientos de medición indirecta procedió a hacer las siguientes mediciones se ubico a cierta distancia del pie de la torre y midió el ángulo de elevación este es de 40º se acerco 50m y midió nuevamente el ángulo de elevación ahora este era de 52º con estos datos ¿se podrá determinar la altura de la torre veamos como patricio lo hizo ya sabemos que la tangente relaciona los dos catetos por lo tanto tan 52º tan 40º h d h 1,28 d h d 50 h 0,84 d 50 tenemos entonces un sistema de ecuaciones h 1,28·d h 0,84·d 42 igualando ambas ecuaciones se tiene 1,28d 0,84d 42 1,28d ­ 0,84d 42 0,44d 42 d 42 0,44 9

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d 95,5 este valor nos indica que patricio se encontraba a 95,5m de la torre en la segunda observación y a 145,5m en total 95,5 50 con cualquiera de estas distancias 95,5 ó 145,5 mas el ángulo de elevación podemos calcular la altura de la torre supongamos que tomamos la distancia total 145,5m y el ángulo de elevación desde esa distancia 40º tendremos h tan 40º 145,5 h por lo tanto la altura de la torre es de 120,76 metros recuerda que al considerar 0,83 sólo dos decimales el resultado final se verá un poco modificado pero el error no 145,5 es significativo h 120,76m según lo visto anteriormente y los datos entregados ¿cómo calcularías la altura de la araucaria al otro lado del barranco ¿cuál es el ancho del barranco haz el triángulo correspondiente y ubica los datos entregados de esta forma te será más fácil saber que hacer resuelve los siguientes ejercicios siguiendo las indicaciones que encontraste y la ayuda del profesor 1 el mástil de una bandera se encuentra en lo alto de un peñasco por lo tanto su base es inaccesible desde un punto del suelo el ángulo de elevación de su extremo es de 53º caminando 33 m hacia la bandera el ángulo de elevación es de 642 calcular la altura del extremo del mástil 2 desde un punto de observación el ángulo de elevación de la copa de un aromo es de 60º al distanciarse 40 m el ángulo de elevación es de 45º.¿cuál es la altura del aromo 3 desde un punto de un terreno horizontal se ve el extremo de un poste con un ángulo de elevación de 30º acercándose 20 m de tal manera que la distancia al 4 extremo del poste disminuya en 10 m el ángulo de elevación es de 45º ¿a qué distancia de la base del poste se encuentra ahora el observador 5 un observador situado a la orilla de un río ve un árbol situado a la otra orilla bajo un ángulo de 60º alejándose 35 m lo ve bajo un ángulo de 35º hallar el ancho del río y la altura del árbol 10

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6 se desea saber la altura de un silo situado en la orilla opuesta de un río la visual del extremo superior de él desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º aproximándose 26 m hasta la orilla del río el ángulo es de 31º hallar a la altura del silo b el ancho del río 7 desde un punto hacia el sur poniente hay un álamo 10 m más alto que una casa que se encuentra en la misma línea 62 m más lejos los ángulos de elevación son 40º y 15º calcular a la distancia desde el punto al álamo b la altura de la casa 11

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autoevaluación y coevaluación ahora te invitamos a que evalúes tu desempeño y el de tus compañeros de grupo durante el transcurso de la unidad marca con una cruz la opción que creas representa tu desempeño y el de tu compañero de mesa 1 el trabajo fue fácil medianamente fácil difícil muy difícil 2 el tiempo dado para realizar el trabajo fue suficiente escaso nos quedo tiempo libre no 3 actuamos responsablemente y concentrados en el trabajo si 4 el trabajo fue de mi agrado fue complicado fue aburrido 5 el profesor nos motivó mucho poco nada 6 fui respetuoso siempre a veces casi nunca nunca 7 fui responsable con el trabajo siempre a veces casi nunca nunca 8 hoy aprendi por lo tanto me merezco un mb b s i 12

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evaluaciÓn formativa ley del seno y cálculo de alturas i calcula la superficie en hectáreas y el perímetro en metros de cada uno de los siguientes terrenos triangulares trata de usar tu calculadora científica la máximo de sus posibilidades 4 ptos c/u ii resuelve cada uno de lo siguientes problemas para ello deberás hacer el dibujo correspondiente con la ubicación delos datos y el cálculo necesario 1 un hombre cuyos ojos están a 1,7 metros del suelo ve la parte superior de un obelisco formando un ángulo de 45º con la horizontal ángulo de elevación acercándose 30 m el ángulo de elevación es de 60º ¿ qué altura tiene el obelisco 2 encontrar la longitud de los otros dos lados de un terreno triangular si se sabe que uno de ellos mide 185 m la esquina opuesta al lado conocido forma un ángulo de 44° y otra de 38° 3 un observador situado a la orilla de un río ve un árbol situado a la otra orilla bajo un ángulo de 60º alejándose 35 m lo ve bajo un ángulo de 35º hallar el ancho del río y la altura del árbol 4 se desea calcular el perímetro de un terreno que tiene la forma de un triángulo isósceles cuyos ángulos iguales miden 70° y cuyo lado más corto mide 78 m 13

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5 se desea saber la altura de un silo situado en la orilla opuesta de un río la visual del extremo superior de él desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º aproximándose 26 m hasta la orilla del río el ángulo es de 31º hallar la altura del silo y el ancho del río 6 desde un punto de observación el ángulo de elevación de la copa de un aromo es de 60º al distanciarse 40 m el ángulo de elevación es de 45º.¿cuál es la altura del aromo 7 se desea determinar la longitud del lado mayor de un terreno triangular su lado menor mide 65 m y dos de sus ángulos miden 50° y 60° 14

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teorema del coseno objetivos aplicar el teorema del coseno en la resolución de problemas relativos al área agrícola analizar la pertinencia de las soluciones aplicar diversos modelos matemáticos en la resolución de problemas instrucciones desarrolla las siguientes actividades en forma individual para luego compara tus resultados con los de tus compañero si tienes dudas consulta al profesor el teorema del coseno es una generalización del teorema de pitágoras para cualquier triángulo mediante este teorema podemos calcular el lado desconocido de cualquier triángulo sabiendo la medida de dos de sus lados y la medida del ángulo que ellos forman c2 a2 b2 ­ 2·a·b·coseno veamos si funciona este teorema actividad 1 anotando tus resultados c lado a lado b baacb con los datos que tomaste recién calcula usando el teorema del coseno cuánto mide el lado desconocido del triángulo c luego mide con tu regla y comprueba que tan exacto es el valor encontrado con el teorema actividad 2 aplica el teorema del coseno calculando el lado desconocido de cada triángulo 15

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