Análisis Matemático I - para Estudiantes de Ingeniería

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Análisis Matemático I - para Estudiantes de Ingeniería

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analisis matemÁtico i para estudiantes de ciencia e ingenieria tercera edicion sistema de numeros reales relaciones y funciones lim ites y continuidad derivadas aplicaciones de la derivada diferenciales eduardo espinoza ramos

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impreso en el perÚ 20 03 2002 39 ediciÓn derechos reservados w -jtr » · · · t w jr tfjr a r jr r seir/jir tv jr jr jerr árs¿r jr/jir r m ja tr y r i» ü i i t este libro no puede reproducirse total ó p a rc ia lm e n te por ningún m é to d o í los an d e fo to c o p ia f |i g .rá fico e le c tró n ico omec á n ic o in clu yendo sni sistemas í j registros magn é tic osode alim e n ta ció n d e datos sin expreso consentim ie nto f f £ i » d e l autor y editor í i í i i í í ruc ley dede re ch os del autor registro come rc ia l escritura p u b lica n9 10070440607 n9 13714 ne 10716 n2 4484 f £ t i i»

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presentacion eduardo espinoza ramos catedrático en la especialidad de matemática pura me hace el honor de pedirme la presentación de su obra análisis matemático i para estudiantes de ciencia e ingeniería el objeto principal de la presente obra análisis matemático i es precisamente llenar el vacío que existe para su fácil y mejor aprendizaje desarrollando y analizando los conceptos básicos necesarios y su aplicación hacia las especialidades de ingeniería de tal manera que permita a los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo práctico y comprensible el método didáctico empleado en todo el libro consta de cinco capítulos sistema de números reales relaciones y funciones límites y continuidad derivadas y sus aplicaciones y diferenciales para orientación del estudiante el trabajo llevado a cabo por el autor en esta obra es digno de elogio su lenguaje sencillo y desarrollo al alcance del estudiante producto de sus años de experiencia como docente universitario le permiten tratar rigurosamente estos desde el punto de vista científico en forma didáctica y amena los ejercicios y/o problemas cuidadosamente seleccionados complementan los propósitos y métodos empleados en la teoría finalmente expreso mi felicitación al autor de la obra eduardo espinoza ramos quien ya se suma a la legión de autores nacionales que tienen más conocimiento de nuestra realidad universitaria ing eduardo bulnes samame jefe de departamento de ciencias de la universidad ricardo palma i a-secretario academico de la facultad de ingenieria

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prologo en la presente obra intitulada análisis matemático i para estudiantes de ciencia e ingeniería en su 3ra edición hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital motivo por el cual se ha ampliado la demostración de propiedades así como los conceptos básicos teóricos e incluyendo propiedades y teorema de acuerdo a las exigencias de la nueva curricula al igual que su 2da edición se expone en forma teórica y práctica los conceptos de sistemas de números reales relaciones y funciones límites y continuidad derivadas y sus aplicaciones así como la regla de l hospital las funciones hiperbólicas y la diferencial con sus aplicaciones así mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde a las aplicaciones de las derivadas antes de los teoremas de rolle y del valor medio también se han incluido mas ejercicios desarrollados y propuestos en las practicas y exámenes de las diversas universidades de la capital proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de área académica la parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado tratando de noperder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que confunde al lector la lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del álgebra elemental geometría plana y trigonometría la presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas física ingeniería economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos comentarios y sugerencias.

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d octor pedro contreras ch amorro ex-director de la escuela profesional de matemática pura de la universidad nacional mayor de san marcos catedrático principal en pos-grado de la facultad de matemática pura de la unmsm miembro fundador de la academia nacional de ciencia y tecnología del perú catedrático de la universidad particular ricardo palma doctor eu g en io caban ill a s lapa doctor en matemática pura universidad federal de río de janeiro brasil director de pos-grado en la universidad nacional mayor de san marcos catedrático de la universidad nacional del callao lic anton io ca ld er o n l ea ndro ex-jefe de departamento académico de la facultad de ing pesquera y alimentos de la universidad nacional del callao jefe de departamento académico de la facultad de ciencias naturales y matemática de la universidad nacional del callao coordinador del area de matemática en la facultad de ingeniería de la universidad ricardo palma lic se r g io l ey v a h aro ex jefe del centro de computo de la facultad de ingeniería química de la universidad nacional del callao catedrático en la facultad de ingeniería ambiental y de recursos naturales de la universidad nacional del callao lic jua n bernui barros director del instituto de investigación de la facultad de ciencias naturales y matemática de la universidad nacional del callao catedrático de la universidad nacional mayor de san marcos lic palerm o so t o so to catedrático de la universidad nacional mayor de san marcos catedrático de la universidad particular ricardo palma mg jo se q uik e br oncano catedrático de la universidad nacional mayor de san marcos coordinador del área de matemática en la facultad de ciencias matemáticas puras lic guillermo mas azahuanche catedrático de la universidad nacional del callao catedrático de la universidad nacional de ingeniería catedrático de la universidad ricardo palma eduardoesp in ozaramos

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dedicatoria este libro lo dedico a mis hijos ronald jo rgeyd ia n a que dios ilumine sus caminos para que

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indice capitulo i s í » temasdenumerosreales 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 introducción definición axiomas de sustitución axiomas distributivas teorema de igualdad para la adición teorema de igualdad para la multiplicación teorema de cancelación para la adición teorema de cancelación para la multiplicación sustracción de números reales división de números reales ejercicios desarrolladosrepresentación de los números reales desigualdades axioma de la relación de orden definición teorema teorema teorema teorema teorema 1 2 4 4 4 4 4 5 5 5 6 10 11 12 12 12 13 13 14 14

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1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 teorema ejercicios desarrollados ejercicios propuestos inecuaciones conjuntos solución de una inecuación resolución de una inecuación inecuación de primer grado en una incógnita inecuación de segundo grado en unaincógnita inecuaciones polinómicas inecuaciones fraccionarias inecuaciones exponenciales inecuaciones irracionales ejercicios desarrollados ejercicios propuestos valor absoluto propiedades básicas para resolverecuaciones e inecuaciones donde interviene valor absoluto 15 15 23 29 31 31 31 33 38 42 45 47 58 84 101 102 104 106 111 116 155 176 177 178 180 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 máximo entero propiedades del máximo entero inecuaciones logarítmicas ejercicios desarrollados ejercicios propuestos conjuntos acotados axiomas del supremo o axiomasde la mínima cota superior principio arquimediano ejercicios propuestos

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capitulo ii 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.26 introducción relaciones binarias gráfica de una relación de r en r ejercicios desarrollados ejercicios propuestos funciones dominio y rango de una función criterio para el calculo del dominio y rango de una función aplicaciones de a en b funciones especiales evaluación de una función función definida con varias reglas decorrespondencia trazado de gráficas especiales ejercicios desarrollados ejercicios propuestos operaciones con funciones composición de funciones propiedades de la comprensión de funciones ejercicios desarrollados ejercicios propuestos funciones inyectivas suryectivas y biyectivas funciones crecientes decrecientes y monotomas calculo de rango de funciones inyectivas monotomas función inversa función inversa de una composición ejercicios desarrollados ejercicios propuestos 182 191 198 202 212 215 216 217 218 219 224 224 225 229 247 258 264 270 270 282 293 295 297 298 300 300 313

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capitulo iii 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 limites y continuidad introducción definición ejercicios propuestos proposición proposición teorema unicidad de limite teorema teorema propiedades sobre limite de funciones ejercicios desarrollados ejercicios propuestos limites laterales ejercicios propuestos limites al infinito ejercicios propuestos limites infinitos ejercicios propuestos teorema de sándwich limites trigonométricos ejercicios propuestos función exponencial y logarítmica el numero e calculo de limites de la forma uní v í x a ejercicios desarrollados ejercicios propuestos 325 326 334 337 337 338 339 339 340 343 354 365 370 375 381 386 389 390 391 399 404 408 409 410 413

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asíntota de una curva ejercicios propuestos continuidad de una función tipos de continuidad ejercicios propuestos problemas sobre limite problemas propuestos 418 424 426 427 433 440 446 capitulo iv lader iv a d a definición inierpretación geométrica de la derivada definición definición derivadas laterales derivabilidad y continuidad algunas reglas de derivación derivadas de una función compuesto regla de la cadena derivación de la función exponencial y logarítmica teorema derivación de las funciones trigonométricas teorema derivadas de las funciones trigonométricas derivación de las funciones trigonométricas regla de derivación para las funciones trigonométricas inversas derivación implícita derivada de la función de la forma y f x sr ejercicios desarrollados 499 451 453 453 454 455 457 462 464 468 471 474 477 482 484 486 487

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4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 ejercicios propuestos ecuaciones de la tangente y normal a una curva ecuaciones paramétricas derivadas de orden superior ejercicios desarrollados ejercicios propuestos 511 526 529 533 538 555 capitulo v 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 a p l ic a c io nesdelader iv a d a valores máximos y mínimos de una función teorema extremos de una función teorema de los valores intermedios teorema de rolle teorema del valor medio teorema de la función constante teorema de la diferencia constante función creciente y decreciente teorema criterio de la primera derivada para extremos relativos criterio de la segunda derivada para extremos relativos concavidad y punto de inflexión ejercicios desarrollados ejercicios propuestos razón de cambio promedio y razón de cambio constante formula que relaciona dos variables cuya razón de cambio es constante razón de cambio promedio 565 566 566 569 570 573 574 575 574 580 581 582 583 587 626 639 640 641

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5.19 5.20 5.21 5.22 razones instantáneas velocidad y aceleración rectilínea razones de cambio relacionadas procedimiento aconsejado para resolver problemas de variables relacionadas 641 642 642 642 643 651 658 661 673 678 680 684 687 693 694 698 701 704 706 708 710 711 717 722 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29 5.30 5.31 5.32 5.33 5.34 5.35 5.36 5.37 5.38 5.39 5.40 5.41 problemas desarrollados problemas propuestos aplicación a la económica ejercicios desarrollados problemas propuestos la regla de l hospital ejercicios desarrollados ejercicios propuestos funciones hiperbólicas ejercicios propuestos derivadas de las funciones hiperbólicas ejercicios propuestos funciones hiperbólicas inversas derivación de las funciones hiperbólicas inversas ejercicios propuestos diferenciales diferenciales como una aproximación diferenciales de orden superior ejercicios propuestos bibliografia

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sistema de números reales 1 capitulo i 1 1.1 sistema de nÚmeros reales.flst r o pu c c lo n .e1 sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos es el resultado de una enorme cantidad de reílexión por parte del hombre los enteros positivos es decir 1,2,3 pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra civilización los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en egipto en fechas tan tempranas como es 300 a.c los antiguos egipcios y babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos con los cuales podían efectuarse las operaciones de adición y multiplicación aunque la división no se desarrolló por completo estos antiguos pueblos usaron ciertas fracciones tenemos pues que los números racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización un número racional es cociente de dos enteros los babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo del aritmética y el álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los egipcios esta notación en principio análoga a nuestro sistema decimal excepto por el hecho de que su base es 60 en lugar de 10 una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo de los matemáticos nuestro sistema decimal con los números llamados arábigos fue inventado por los hindúes e introducido en europa occidental en el siglo xii a través de las traducciones de textos arabes sin embargo la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho en llegar.

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