(Exercícios propostos resolvidos Livro 3 CAP. 02 Funções trigonométricas)

 

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fabiano nader kenji chung soluÇÃo ­ funÇÕes trigonomÉtricas exercÍcios propostos nÍvel 1 e1 soluÇÃo sen4/3 sen4/3 sen 3 -3/2 cos5/6 cos 5/6 cos 6 3/2 sen7/4 sen2 7/4 sen 4 -2/2 então sen 4 5 7 .cos sen 3 6 4 2 3/2·3/2 2/2² ¾ 2/4 5/4 resposta 5/4 e2 soluÇÃo sabemos que a medida do seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complementar portanto sen 2 x cos x resposta letra d e3 soluÇÃo a forma da curva representada no gráfico é da função seno porém está deslocada em 1 unidade `para cima ou seja a função representada no gráfico é dada por fx 1 sen x resposta letra b e4 soluÇÃo pelo gráfico temos que f sen k 1 como sen 2 1 então k 2 também pelo gráfico temos que g 2 cosm·/2 -1 como cos -1 então m/2 |m 2 portanto |m k resposta letra b e5 soluÇÃo se fx 2 ­ cos x com 0 x 2 então o valor máximo de fx é m 2 ­ ­ 1 3 e o valor mínimo de fx é m 2 ­ 1 1 logo m/2m 3/2 resposta letra a e6 soluÇÃo 3 /6 /12 formam uma p.g infinita de razão ½ assim sua soma é dada por s 3 1 ­ ½ 2/3 como tg 2/3 tg 3 3 então cotg 2/3 1/tg2/3 1/3 3/3 resposta letra d e7 soluÇÃo como -1 sem 90 · t ­ 105 1 temos 2 possibildades 1 fmáxt a b e fmímt a ­ b a b 14 4 i e a ­ b 9,6 ii somando i e ii obtemos 2a 24 a 12 e b 14,4 ­ 12 b 2,4 2 fmáxt a ­ b e fmínt a b a ­ b 14,4 i e a b 9,6 ii somando i e ii temos 2a 24 a 12 e b 9,6 ­ 12 b -2,4 assim o valor de a é 12 e b ± 2,4 resposta 12 e ± 2,4 e8 soluÇÃo sen t /2 varia de -1 a 1 então seu valor mínimo é -1 assim a pressão mínima é p 50 50· 1 50 ­ 50 0 mas sen 3/2 -1 então t ­ /2 3/2 t 4/2 2 resposta letra d fabiano nader kenji chung 0

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fabiano nader kenji chung e9 soluÇÃo o gráfico da função seno está representado na figura abaixo como podemos observar pelo gráfico sen 2 sen 3 sen 4 ou seja essa sequência é estritamente decrescente resposta letra b e10 soluÇÃo y a·senbx a amplitude bx período pelo gráfico a variação de y é de -3 a +3 na função y sen x seria de -1 a 1 ou seja no caso da questão a amplitude é 3 a 3 ainda pelo gráfico o período da função varia de 2 a /2 portanto o período é /2 ­ /2 /2 /2 a constante b representa uma relação inversamente proporcional isto é quanto maior a freqüência menor o período periodo da função senx 2 periodo da função senbx logo 2 ­ x ­ bx /2 x/bx ½ 1/b b 2 portanto a 3 e b 2 resposta letra b e11 soluÇÃo o ponto q está na função fx localizado no ponto y 0 então cos x 0 x /2 ou 3/2 pelo gráfico sabemos que q 2 0 pois é o primeiro y 0 ou seja o de menor valor já o ponto p tem abscissa x 0 ou seja f0 cos 0 1 assim o ponto p tem coordenadas 0 1 logo a área do triângulo é a 2 ·1 2 /4 resposta letra b e12 soluÇÃo 2 /4 /8 /2 1 ­ ½ 2/2 pois trata-se da soma de uma p.g infinita de razão ½ e primeiro termo a1 /2 assim sen 2 /4 sen 0 resposta letra b e13 soluÇÃo se janeiro é o mês 1 t 1 então outubro é o mês 10 t 10 assim em outubro a quantidade de peixes em toneladas foi p10 720 250·sen 10/4 720 250 · sen 2 720 250 · 1 720 250 970 resposta letra a e14 soluÇÃo fabiano nader kenji chung 1

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fabiano nader kenji chung como podemos notar pela figura o ângulo é a soma do ângulo reto com um ângulo agudo y então cos cos 2 y cos 2· cos y ­ sen 2· sen y -1/5 sen y sen y 1/5 pelo triângulo temos sen y x/10 1/5 x 2 cm resposta 02 e15 soluÇÃo 2cos²x cosx ­ 1 0 sendo cos x y temos 2y² y ­ 1 0 1 4·2· 1 1 8 9 y 1 ± 3 2·2 y 1 3 4 2/4 1/2 ou y 1 ­ 3 4 -4/4 -1 então cos x ½ x /3 ou x 2 ­ /3 5/3 ou cos x -1 x logo o conjunto solução para a equação é x 3 5/3 resposta letra a cos x cos x -1 e16 soluÇÃo 9 1/3 3² =3 -2cos x -1 cos x ½ a menor solução é x /3 resposta letra c e17 soluÇÃo o período das duas funções é igual a 3/2 e estão defasadas em meio período 3/2 2/x 4x/3 logo f1y k sen y sen y 1 f13/8 3 então k 2 assim f1x 2 sen 4x/3 da mesma forma f2y k ­ sen y sen y 1 f23/8 3 então k 4 assim f2x 4 ­ sen 4x/3 resposta letra b e18 soluÇÃo cos x ­ cosx ­ ± mas o cosseno de qualquer ângulo vai de -1 a 1 e 1 e -1 logo não existe solução real para essa inequação conjunto solução 2 resposta letra d e19 soluÇÃo temos sen x n² 4n 4 ­ 4 n n 4 e existirá solução se e somente se -1 n 4 1 seja n pode ser igual a -5 -4 ou -3 3 soluções resposta letra c -5 n -3 ou e20 soluÇÃo 1 falsa p 2 e 2 2/365 365 2 verdadeira sen 2/365 · t 1 2/365 · t /2 t 365/4 91,25 considerando que 3 meses são 90 dias esse resultado ocorreu no 92º dia que já é o mês 4 ou seja o mês de abril 3 verdadeira ft 18,8 ­ 1,3 · sen 2/365 · l 18,8 ­ 1,3 · 1 17,5 horas 17h30 logo estão verdadeiras apenas as alternativas 2 e 3 resposta letra d questÕes de pernambuco p1 soluÇÃo dividindo a equação sen²x 3·senx·cosx 2·cos²x 0 por cos²x temos tg²x 3·tgx 2 0 sendo tgx y temos y² 3y 2 0 y 1 ou y 2 ou seja tgx 1 ou tgx 2 resposta letra c p2 soluÇÃo seja x a distância percorrida pelo barco como representada na figura fabiano nader kenji chung 2

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fabiano nader kenji chung então sen 30º 100/x ½ resposta letra b x 200m p3 soluÇÃo 0 0 verdaddeiro sec x 1/cos x se sec x cos x então 1/cos x cos x cos²x 1 mas sen²x cos²x 1 logo sen²x 1 1 sen²x 0 1 1 falso se tg x 1 então x 45º para x no primeiro quadrante então sec x 1/cos x 1/cos 45º 1 2/2 2/2 2 2 2 2 verdadeiro cossec x 1/sen x se cossec x sen x então 1/sen x sen x sen²x 1 sen x ± 1 logo x /2 k com z pertencente aos inteiros 3 3 verdadeiro pois tg /4 1 e a tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes ou seja variando 4 4 falso sen x sen · cos x sen x · cos sen x resposta vfvvf p4 soluÇÃo 0 0 verdadeiro 5 horas da tarde são 17 horas após 0 hora assim t5 6· cos 17 ­ 13 12 31 6· cos 3 31 6· 1/2 31 3 31 34º 1 1 verdadeiro a temperatura é máxima quando o cosseno atinge seu valor máximo ou seja cos x ­ 13 12 1 logo x ­ 13 12 0 x ­ 13 0 x 13h 2 2 falso a menor temperatura é atingida quando o cosseno tem seu valor mínimo ou seja -1 então a temperatura é dada por t 6· 1 31 -6 31 25º 3 3 falso um dos motivos para o gráfico estar errado é que a menor temperatura atingida é 25º e o gráfico já começa em 20º 4 4 falso a temperatura é mínima quando cos x ­ 13 12 -1 ou seja x ­ 13 12 x ­ 13 12 x 25 ou seja após 25 horas 1 dia e 1 hora assim é mínima às 1 da manhã resposta vvfff p5 soluÇÃo sen 60º x 2,4 3/2 resposta letra a 2x 3 ·2,4 x 1,7 · 1,2 2,04 m p6 soluÇÃo a correto sen x sen x pois se x é um ângulo agudo x está no terceiro quadrante onde o seno é negativo b correto sen x ­ senx sen x ­ sen x c correto sen x 2 sen x sen x 2 sen x e sen x sen x sen x d incorreto sen x /4 sen x ­ /4 só se x /4 substituindo x /4 temos sen /2 sen 0 1 0 e correto sen ­x sen x sen x está no quarto quadrante onde o seno é negativo resposta letra d fabiano nader kenji chung 3

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fabiano nader kenji chung p7 soluÇÃo pt 96 18 cos2t 0 0 verdadeiro o valor máximo da pressão arterial é quando o cosseno tem seu valor máximo 1 então pt 96 18·1 96 18 114 1 1 verdadeiro o valor mínimo é quando o cosseno é -1 pt 96 18· 1 96 ­ 18 78 2 2 verdadeiro cos 2t cos 2t+1 pois 2 multiplicado por qualquer número sempre dará um arco côngruo a 2 multiplicado pelo sucessor desse número ou seja terá sempre o mesmo cosseno 3 3 falso p1/3 96 18 · cos 2/3 96 18· 1/2 96 ­ 9 87 4 4 falso um dos motivos para o gráfico estar errado é que a pressão mínima é atingida quando cos 2t -1 ou seja 2t 2t 1 t ½ o que não consta no gráfico resposta vvvff p8 soluÇÃo se o diâmetro é 4 o raio é 2 pela lei dos cossenos temos 23² 2² 2² 2·2·2· cos aÔc assim aoc 120º logo boc 180 ­ 120 60º resposta 60 12 4 4 8· cos aoc 4 8· cos aoc cosaoc -½ p9 soluÇÃo os triângulos acp e bdp são semelhantes assim o ângulo bpd também mede 30º de acordo com a figura temos sen 30º 500/x ½ x 1000 m sen 30º 600/y ½ y 1200 m assim a distância total percorrida por joana foi de 1000 1200 2200 m 2,2 km resposta letra b p10 soluÇÃo 0 0 falso o valor mínimo e o máximo da função é quando cos x -1 e cos x 1 respectivamente então temos mínimo fx 3 2· 1 3 ­ 2 1 máximo fx 3 2·1 3 2 5 logo a imagem de f é [1 5 1 1 verdadeiro o período é calculado dividindo 2é calculado dividindo 2 pelo número que multiplica x assim o período de f é 2/3 2 2 falso 3 2 cos3x 0 cos3x -2/3 o cosseno é negativo no segundo e terceiro quadrantes logo apresenta duas soluções 3 3 verdadeiro o valor mínimo da função é 1 4 4falso fx é sempre maior que zero resposta fvfvf p11 soluÇÃo seja x a altura do prédio a partir do ponto de medição fabiano nader kenji chung 4

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fabiano nader kenji chung então tg 60º x/50 3 x 503 50 · 1,73 86,5 como o ponto de medição tem 1 metro a altura do prédio é aproximadamente 86,5 1 87,5 metros resposta letra b p12 soluÇÃo o período da função é 2/m f0 a b · sen 0 3=a+0 a 3 im [1,5 a ­ b 5 3­b=5 b -2 assim a 3 b -2 e m 2 resposta letra d m 2 p13 soluÇÃo como a função tem período 2 temos que 2 b 2 b 1 uma vez que a função passa pelo ponto 0,3 temos b a · sen 0 c 3 c 3 assim a função é do tipo y a · senx 3 e como passa pelo ponto ½ 5 temos a 2 a função é y 2 · senx 3 assim a b c² 2 1 3² 6² 36 resposta 36 p14 soluÇÃo 2cos x sec x 1 2 cos x ­ 1/cos x 1 2 cos²x ­ 1 cos x 2 cos²x ­ cos x -1 0 raízes cos x 1 x 0 e cos x -1/2 x 120º ou x 240º ou seja formam um triangulo eqüilátero pois os pontos estão marcados de 120º em 120º como o raio do círculo trigonométrico é 1 então o lado do triângulo eqüilátero inscrito a ele é 3 logo sua área é 3²·3/4 34/4 resposta letra c p15 soluÇÃo s 1 sen a sen² a sen³ a 1 sen a sen²a sen³a formam uma p.g infinita de primeiro termo 1 e razão sen a assim sua soma é dada por s a1 1 se multiplicarmos o numerador e o deno min ador por 1 sena teremos 1 q 1 sena 1 1 sena 1 sena 1 sena 1 sena s sec2 a tga sec a 1 sena 1 sena 1 sen2a cos2 a cos2 a cos2 a s sec a sec a tga resposta letra a fabiano nader kenji chung 5

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fabiano nader kenji chung p16 soluÇÃo como a função tem período 8 temos 2 c 8 e c 4 de f0 12 segue que a b 12 de f4 8 segue que a bcos 2 ou a ­ b 2 resolvendo o sistema obtemos a 7 e b 5 então abc/10 7·5·4/10 14 resposta 14 p17 soluÇÃo 0 0 verdadeiro por definição de cálculo do período 1 1 verdadeiro pois o cosseno de qualquer ângulo é no mínimo -1 e no máximo 1 2 2 verdadeiro f 2 cos3/2 0 3 3 falso não necessariamente por exemplo x 9 f 9 cos 3 cos 3 ½ 0 e x 0 4 4 falso um exemplo que contradiz a afirmativa é o do item anterior resposta vvvff p18 soluÇÃo pelo formato da função vemos que trata-se de uma função seno que corta o eixo dos y no ponto 3 então é uma função do tipo fx 3 senmx como podemos ver no gráfico período da função é ou seja 2/m m 2 logo a função representada no gráfico é fx 3 ­ sen 2x resposta letra c p19 soluÇÃo 2 ­ sen t 8 ­ 6y sen t 6y ­ 6 sabemos que -1 sen t 1 então -1 6y ­ 6 1 5/6 y 7/6 assim o comprimento do intervalo é c 7/6 ­ 5/6 2/6 logo 6c 6 · 2/6 2 resposta 02 5 6y 7 p20 soluÇÃo pela expansão do binômio de newton temos 5 5 1 sen x ­ 1 1/32 sen x 1/32 sen x ½ x /6 ou x 5/6 resposta letra c aprofundamento a1 soluÇÃo os valores da expressão vão se anular pois tg 1º tg 89º tg 2º tg 88º só restará log tg 45º log 1 0 resposta 00 a2 soluÇÃo:o domínio de y log sen x é sen x 0 isso ocorre quando 0 x ou 2 x 3 ou seja 2k x 2k 1 pois o seno é positivo no primeiro e no segundo quadrantes resposta letra e a3 soluÇÃo f 4 sen /4 cos /4 2/2 2/2 2 f2/4 /2 sen /2 cos /2 1 0 1 f3/4 sen 3/4 cos 3/4 2/2 2/2 0 f4/4 sen cos 0 -1 -1 f5/4 sen 5/4 cos 5/4 -2/2 2/2 2 f6/4 3/2 sen 3/2 cos 3/2 -1 0 -1 f7/4 sen 7/4 cos 7/4 2/2 2/2 0 f8/4 2 0 sen 0 cos 0 0 1 1 a partir daí os valores vão se repetindo f9/4 f 4 f10/4 f 2 logo a imagem da função possui 5 elementos 2 -1 0 1 2 resposta letra c fabiano nader kenji chung 6

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fabiano nader kenji chung a4 soluÇÃo 2secx senx tgx 2 · 1/cosx ­ senx · senx/cosx 2/cosx ­ sen²x/cosx 2 ­ sen²x cosx substituindo sen²x por 1 ­ cos²x temos 2 ­ 1 ­ cos²x cosx 1 cos²x cosx 1/cosx cos²x/cosx 1/cosx cosx percebe-se pelo gráfico que a fnção é crescente e o menor valor estabelecido por ela é para x 0 tem-se no intervalo de [0 2 para x 0 tem-se f0 1/cos0 cos0 1/1 1 2 logo no intervalo [0 2 o menor valor assumido pela função f é 2,0 resposta letra a a5 soluÇÃo a população atinge seu valor máximo quando o cosseno atinge seu valor máximo que é 1 ou seja cos6t 1 6t 2k t k/3 onde k 0 1 2 assim t 0 0 anos t 1/3 4 meses t 2/3 8 meses então p será máxima 4 meses depois de começar o ano ou seja depois de abril no começo de maio ou no começo de setembro depois de 8 meses quando acaba agosto e assim por diante resposta letra b 3 2 3 2 a6 soluÇÃo sabemos que sen²y cos²y 1 então x 7x x 1 x 5x 2 raízes x 1 ou x -1/2 resposta letra a 2x² x ­ 1 0 a7 soluÇÃo sabemos que a zero hora a onda tem valor máximo de altura 3 metros e novamente será alta as 12 horas sendo assim o período é 12 como a maré baixa tem uma altura de 0,03 metros que ocorre às 6 horas encontramos h0 3 h6 0,03 h12 3 isso só ocorre na função da letra a resposta letra a a8 soluÇÃo sendo e os ângulos agudos de um triângulo retângulo então 90º 2 sen 2 2 cos 2 0 1 ­ cos²2 ­ 2 cos 2 0 1 ­ 2 cos² ­ 1² 2·2·cos² ­ 1 0 1 4·cos 4·cos² -1 4·cos² 2 0 resposta letra c 4 cos sen /2 cos ½ 4 cos 1 /2 portanto sen cos a9 soluÇÃo b é o conjunto das raízes de f fx 77 · sen5x 5/6 0 5x 5/6 k k z x 6 k/5 k z sejam m b ,0 e n b ,0 isto significa que m é o conjunto dos elementos negativos de b e n é o conjunto dos elementos positivos de b além disso 6 k/5 0 k/5 1/6 k 5/6 para que x pertença a m /6 k/5 0 k 5/6 para que x pertença a n como x é função crescente de k tem-se que maior elemento de m m 6 0 · /5 /6 pois k 5/6 e k z menor elemento de n n 6 1 · /5 /30 pois k 5/6 e k z portanto m n 6 /30 -2/15 resposta letra e a10 soluÇÃo tg²x ­ 1 1 ­ cotg²x 4 tg²x ­ 1 1 ­ 1/tg²x 4 tg 2x ±1 assim 2x /4 k/2 x /8 k/4 k z o conjunto solução é /12 k /4 k z resposta letra d tg²x ­ 1² 4tg²x [2tgx 1 ­ tg²x ² 1 tg²2x 1 fabiano nader kenji chung 7

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