EAC - Módulo 3 - 2012 - Aula 16 - Probabilidade

 

Embed or link this publication

Description

Questões de Vestibulares/ENEM

Popular Pages


p. 1

projeto vestibular probabilidade experimento determinístico mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade seja u um espaço amostral eqüiprovável e a um de seus eventos denomina-se probabilidade do evento a o número pa tal que p a n a nu experimentos que ao serem realizados repetidas vezes em condições consideradas idênticas apresentam resultados essencialmente idênticos são denominados experimentos determinísticos onde na número de elementos do evento a nu número de elementos do espaço amostral u como a é subconjunto de u decorre que 0 na nu dividindo todos os membros da desigualdade por nu vem 0 n a nu 0 p a 1 nu nu nu experimento aleatório experimentos que ao serem realizados repetidas vezes em condições consideradas idênticas apresentam resultados diferentes não sendo possível portanto a previsão lógica dos resultados são denominados experimentos aleatórios ou casuais espaço amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório indicaremos o espaço amostral por u probabilidade de não ocorrer um evento sendo a evento complementar do evento a do espaço amostral u temos p a p a 1 evento É qualquer subconjunto do espaço amostral o conjunto Ø é chamado evento impossível o conjunto espaço amostral u é também um evento chamado de evento certo os subconjuntos unitários de u são chamados eventos elementares ou eventos simples exercícios resolvidos 01 uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15 uma bola é extraída ao acaso da urna qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11 espaço amostral u {1,2,3 13,14,15 espaço amostral eqüiprovável o espaço amostral de um experimento aleatório é chamado eqüiprovável se todos os seus eventos elementares têm a mesma chance de ocorrer evento requerido a {11,12,13,14,15 nºs maiores ou iguais a 11 na 5 nu 15 p a n a 5 1 33,3 nu 15 3 probabilidade definição uma probabilidade é uma função que associa a cada evento a um número pa de forma que i para todo evento a 0 pa 1 ii pu 1 iii se aebsão eventos mutuamente excludentes isto é eventos que não podem ocorrer simultaneamente ab então pa b pa pb num espaço amostral equiprovável temos 1 É certo que também podemos simplificar a idéia de probabilidade quando as situações estudadas são de fácil compreensão p nº de casos favoráveis 5 1 33,3 nº total de casos 15 3 2012

[close]

p. 2

projeto vestibular mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade exercício resolvido 02 um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima qual a probabilidade desse número ser a menor que 3 p 2 1 33,3 6 3 b maior ou igual a 3 p 4 2 66,6 6 3 observe que pa pb 1 2 1 3 3 ou seja como p a p a 1 temos que p b p a 03 uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25 uma bola é extraída ao acaso a qual a probabilidade de o nº da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3 probabilidade da união de eventos se aebsão eventos quaisquer de um experimento aleatório do mesmo espaço amostral u então n a b n a nb n a b 12 25 8 múltiplos de 3 p b 25 múltiplos de 2 p a múltiplos de 2 e 3 4 25 12 8 4 16 p a b 0,64 64 25 25 25 25 p a b dividindo ambos os membros dessa igualdade por nu temos n a b n a nb n a b nu nu nu nu b qual a probabilidade do nº da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7 onde concluímos que p a b p a pb p a b 5 25 3 múltiplos de 7 p b 25 múltiplos de 5 p a múltiplos de 5 e 7 p a b Ø pode ocorrer que os eventos a e b do espaço amostral u não tenham elementos comuns nesse caso são chamados de eventos mutuamente exclusivos ou eventos disjuntos quando isso ocorre temos a b pa b 0 p a b 5 3 8 0,32 32 25 25 25 probabilidade condicional logo se exclusivos temos aebsão eventos mutuamente denomina-se probabilidade de b condicionada a a a probabilidade de ocorrência do evento b sabendo que vai ocorrer ou que já ocorreu o evento a representaremos esse caso por p b a lê-se probabilidade de b dado a p a b p a pb u resumindo abpabp a p b a b Ø ou a b observe que sabendo que o evento a ocorreu então os casos favoráveis à ocorrência do evento b estão em a b pabp a p b pabab Ø 2 2012

[close]

p. 3

projeto vestibular temos então pb a n a b n a mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade exercícios propostos dividindo numerador e denominador do segundo membro da igualdade por nu temos n a b nu pb a n a nu pb a p a b p a 01 enem-2010 o diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando há alguns anos a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e hoje é de 37,0 embora não fosse uma informação científica ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio obtendo o quadro a seguir logo p a b p a pb a então para a ocorrência ao mesmo tempo de dois eventos temos que a probabilidade de ocorrer a e b é igual à probabilidade de ocorrer a multiplicada pela probabilidade condicional de b dado a os eventos aebsão chamados eventos independentes ou seja a ocorrência de um evento não depende da ocorrência do outro quando vale a igualdade p a b p a pb escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0 a probabilidade de ela calçar 38,0 é a 1 3 b 1 5 c 2 5 d 5 7 e 5 14 exercícios resolvidos 04 uma urna contém exatamente sete bolas quatro azuis e três vermelhas retira-se ao acaso uma bola da urna registrase sua cor e repõe-se a bola da urna a seguir retira-se novamente uma bola da urna e registra-se sua cor calcular a probabilidade de a sair uma bola azul e outra vermelha 02 enem-07 a queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera causa alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias a tabela abaixo apresenta números relativos a pacientes internados em um hospital no período da queima da cana escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital por problemas respiratórios causados pelas queimadas a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a a 0,26 o que sugere a necessidade de implementação de medidas que reforcem a atenção ao idoso internado com problemas respiratórios b 0,50 o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a população nas regiões das queimadas c 0,63 o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil pode ser negligenciado d 0,67 o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das queimadas e 0,75 o que sugere a necessidade de que em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas o atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado 3 2012 queremos que a primeira bola retirada seja azul e a segunda seja vermelha a probabilidade de a primeira bola ser azul é 4 e a probabilidade de a segunda bola sair vermelha é 3 7 7 assim a probabilidade de obtermos a sequência a e v é 4 3 12 p 7 7 49 b saírem duas bolas de cores diferentes temos duas sequências possíveis com as respectivas probabilidades aevp1 4 3 12 ou veap2 3 4 12 7 7 49 7 7 49 12 12 24 assim a probabilidade total é p p p2 1 49 49 49

[close]

p. 4

projeto vestibular 03 enem-07 mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade 05 uerj-06-2ºex com o intuito de separar o lixo para fins de reciclagem uma instituição colocou em suas dependências cinco lixeiras de diferentes cores de acordo com o tipo de resíduo a que se destinam vidro plástico metal papel e lixo orgânico uma das principais causas da degradação de peixes frescos é a contaminação por bactérias o gráfico apresenta resultados de um estudo acerca da temperatura de peixes frescos vendidos em cinco peixarias o ideal é que esses peixes sejam vendidos com temperaturas entre 2 ºc e 4 ºc selecionandose aleatoriamente uma das cinco peixarias pesquisadas a probabilidade de ela vender peixes frescos na condição ideal é igual a a 1 b 1 c 1 2 3 4 d 1 5 e 1 6 sem olhar para as lixeiras joão joga em uma delas uma embalagem plástica e ao mesmo tempo em outra uma garrafa de vidro a probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo menos uma lixeira é igual a a 25 b 30 c 35 d 40 06 fgv-09 em uma festa de final de ano dez funcionários de uma pequena empresa de consultoria se reúnem para participar do amigo secreto cada um traz um presente que é distribuído ao acaso entre os dez a quantas possibilidades há de distribuir os presentes b qual é a probabilidade de certo funcionário receber exatamente o presente que trouxe 07 fgv-09 uma prova consta de 15 testes de múltipla escolha cada um com 5 alternativas das quais apenas uma está correta um aluno não sabe nada e por isso marca todas as respostas ao acaso qual é a probabilidade de ele acertar ao menos um teste a 0,8 b 1 ­ 0,2 15 15 15 04 enem-06 a tabela ao lado indica a posição relativa de quatro times de futebol na classificação geral de um torneio em dois anos consecutivos o símbolo significa que o time indicado na linha ficou no ano de 2004 a frente do indicado na coluna o símbolo significa que o time indicado na linha ficou no ano de 2005 a frente do indicado na coluna a probabilidade de que um desses quatro times escolhido ao acaso tenha obtido a mesma classificação no torneio em 2004 e 2005 e igual a c 0,2 15 15 15 d 1 ­ 0,8 e 0,2 0,8 08 fgv o espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos números inteiros positivos e 1 2 3 seja pi a probabilidade de o resultado ser igual a i suponha i que pi m o valor da expressão p é i 4 i 1 5 1 d 8 a a 0,00 d 0,75 b 0,25 e 1,00 c 0,50 b 1 6 c 1 7 e impossível de determinar 09 fgv-rj 2011 a em um laboratório uma caixa contém pequenas peças de mesma forma tamanho e massa as peças são numeradas e seus números formam uma progressão aritmética 5 10 15 500 2012 4

[close]

p. 5

projeto vestibular mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade se retirarmos ao acaso uma peça da caixa qual é a probabilidade expressa em porcentagem de obtermos um número maior que 101 b explique por que podemos afirmar que 101 19 não é um número primo 10 fgv 2011 em um grupo de 300 pessoas sabe-se que 50 aplicam dinheiro em caderneta de poupança 30 aplicam dinheiro em fundos de investimento 15 aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimento simultaneamente sorteando uma pessoa desse grupo a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é a 0,05 b 0,20 c 0,35 d 0,50 e 0,65 14 fgv-2010 uma empresa de turismo opera com 3 funcionários para que haja atendimento em cada dia é necessário que pelo menos um funcionário esteja presente a probabilidade de cada funcionário faltar num dia é 5 e o evento falta de cada um dos funcionários é independente da falta de cada um dos demais em determinado dia a probabilidade de haver atendimento é a 0,857375 b 0,90 c 0,925750 d 0,95 e 0,999875 15 a figura abaixo representa um alvo de dardos composto de três círculos concêntricos de raios r 2r e 3r sabendo que um competidor acertou o alvo qual é a probabilidade dele ter acertado a parte clara do alvo a 1/3 b 1/2 c 1/4 d 1/9 e 4/9 16 enem-08 a vida na rua como ela é o ministério do desenvolvimento social e combate à fome mds realizou em parceria com a onu uma pesquisa nacional sobre a população que vive na rua tendo sido ouvidas 31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras nesse levantamento constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever 74 que apenas 15,1 vivem de esmolas e que entre os moradores de rua que ingressaram no ensino superior 0,7 se diplomou outros dados da pesquisa são apresentados nos quadros abaixo 11 fgv-2010 extraímos uma bola da urna representada abaixo anotamos o seu número e a devolvemos à urna retiramos uma segunda bola anotamos o seu número e o adicionamos ao anterior qual é a probabilidade de que a soma seja 4 12 numa urna contendo 5 bolas brancas e 10 bolas pretas cada vez que se retira uma delas procede-se da seguinte maneira se a bola for branca não se repõe esta bola porém acrescenta-se 6 outras bolas pretas se a bola for preta repõe-se esta bola juntamente com outras 5 bolas brancas a probabilidade da segunda bola retirada desta urna ser branca é a 20 b 25 c 33,333 d 40 e 50 13 uma urna a contém x bolas vermelhas e y bolas brancas uma urna b contém z bolas vermelhas e w bolas brancas uma bola é retirada da urna a e colocada na urna b e então uma bola é retirada da urna b a probabilidade desse última bola ser vermelha é a c z 1 z 1 w 1 x xz zy xyzw 1 b d xz xyzw 1 xy xz zy xyzw 1 no universo pesquisado considere que p seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas e q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é a decepção amorosa escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-se que seja igual a 40 a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto p ou do conjunto q então a probabilidade de que ela faça parte do conjunto interseção de p e q é igual a a 12 b 16 c 20 d 36 e 52 5 2012

[close]

p. 6

projeto vestibular mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade 17 puc-rio-2011 jogamos três dados comuns simultaneamente qual a probabilidade de que os três números sorteados sejam distintos 1 2 17 d 36 a 1 36 5 e 17 b c 5 9 para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a a 5 b 13 c 31 d 40 18 puc-rio-2011 considere uma urna contendo 5 bolas pretas e 5 bolas brancas retiram-se simultaneamente e de maneira aleatória 3 bolas de dentro desta urna a qual a probabilidade de que todas as bolas retiradas sejam brancas b qual a probabilidade de que entre as bolas retiradas duas bolas sejam brancas e uma bola seja preta 19 enem-2010 a figura i abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade a com a cidade b cada número indicado na figura ii representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada assim há uma probabilidade de 30 de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto c ao ponto b passando pela estrada e4 e de 50 quando se passa por e3 essas probabilidades são independentes umas das outras 21 uerj 2011 2ºex qualif inserindo-se 3 moedas uma de cada vez a probabilidade de que a máquina libere 3 bolas sendo apenas duas delas brancas é aproximadamente de a 0,008 c 0,040 b 0,025 d 0,072 22 ufrj-2009 joão criou uma senha de 4 algarismos para o segredo de seu cofre mais tarde quando foi abrir o cofre joão percebeu que não lembrava mais qual era a senha mas sabia que os algarismos eram 1 3 8 e 9 ele então resolveu escrever todos os números possíveis formados pelos 4 algarismos e em seguida tentar abrir o cofre sorteando ao acaso um a um os números de sua lista sem repetir números já testados a determine quantos números joão escreveu b calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na 12ª tentativa 23 uff-2010-2ºf dois dados cúbicos não viciados cujas faces estão numeradas de 1 a 6 são jogados aleatoriamente e simultaneamente sobre uma mesa plana se a soma dos valores sorteados for um número par paulo ganha a partida se a soma for um número ímpar lúcia ganha ao perder a primeira partida lúcia diz que não irá mais jogar porque a regra favorece paulo seu argumento é o seguinte dentre os onze valores possíveis para a soma os inteiros de 2 a 12 há seis números pares e apenas cinco números ímpares logo paulo tem maior probabilidade de ganhar a calcule a probabilidade de lúcia ganhar uma partida justifique sua resposta b use o item a para verificar se o argumento de lúcia está correto valor sorteado é o número escrito na face do cubo oposta à face que está apoiada na mesa paula deseja se deslocar da cidade a para a cidade b usando exatamente duas das vias indicadas percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível o melhor trajeto para paula é a e1e3 d e2e5 b e1e4 e e2e6 c e2e4 20 uerj 2011 2ºex qualif uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes sendo 10 bolas de cada cor ao inserir uma moeda na máquina uma bola é expelida ao acaso observe a ilustração 6 2012

[close]

p. 7

projeto vestibular mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade 24 puc-2010 ­ 2ª f considere o lançamento de três dados comuns a qual é a probabilidade de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5 b qual é a probabilidade de que os três números sorteados sejam diferentes 25 uerj-2011-2ª fase para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros um juiz principal que apita o jogo e seus dois auxiliares que ficam nas laterais suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros sendo x um deles após essa escolha um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal calcule a probabilidade de x ser o juiz principal 26 uerj-2009-esp os baralhos comuns são compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes denominados copas espadas paus e ouros com treze cartas distintas de cada um deles observe a figura que mostra um desses baralhos no qual as cartas representadas pelas letras a j qeksão denominadas respectivamente ás valete dama e rei região b ­ círculo de raio 4 cm com centro no centro de s suponha que a probabilidade de que o ponto p pertença a uma região contida em s seja proporcional à área da região determine a probabilidade de que p pertença simultaneamente às regiões a e b 28 ufrj-2011 um ponto m é selecionado ao acaso no interior de um círculo c de raio 2 e centro o em seguida constrói-se um quadrado também centrado em o que tem m como ponto médio de um de seus lados calcule a probabilidade de que o quadrado assim construído esteja inteiramente contido no círculo c 29 obmep-2012-n3-1ªfase pedro vai participar de um programa de prêmios em que há uma urna contendo quatro bolas com valores diferentes e desconhecidos por ele que serão sorteadas uma a uma até que ele decida ficar com uma delas ele observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as descarta se o valor da terceira bola sorteada for maior que os das duas primeiras ele ficará com ela e caso contrário ficará com a bola que restou qual é a probabilidade de pedro ficar com a bola de maior valor a 1 4 b 1 3 c 3 8 d 5 12 e 1 2 30 obm-2012-1ªf-n3 o triângulo abc tem lados ab 6 ac 8 e bc 10 escolhe-se um ponto x ao acaso no interior do triângulo abc sejam pa pb e pc as probabilidades de que o vértice do triângulo abc mais próximo de x seja a b e c respectivamente então a pa pb pc b pa pb pc c pa pc pb uma criança rasgou algumas cartas desse baralho e as n cartas restantes não rasgadas foram guardadas em uma caixa a tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa ao acaso as seguintes cartas d pa pb pc e pa pb pc 31 ita-2012 dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos se os dois atiradores disparam simultaneamente então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a a 2 9 b 1 3 c 4 9 d 5 9 e 2 3 calcule o valor de n 27 ufrj-2010 um ponto p é aleatoriamente selecionado num retângulo s de dimensões 50 cm por 20 cm considere a partir de s as seguintes regiões região a ­ retângulo de dimensões 15 cm por 4 cm com centro no centro de s e 32 obm-2011-nível universitário zé roberto precisa sortear alguns números primos para elaborar uma questão de teoria dos números para a olimpíada de matemática ele resolve jogar um dado comum e ir somando os pontos até alcançar um primo ele pede para o seu filho mais velho umberto ir anotando as respostas da primeira vez que ele joga o dado sai o número 2 umberto anota que o primeiro primo será p1 2 no segundo lançamento sai 1 como 1 não é primo zé roberto 7 2012

[close]

p. 8

projeto vestibular mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade volta a lançar o dado e desta vez sai 4 umberto anota que o segundo primo será p2 5 zé roberto lança o dado novamente e obtém 6 neste momento seu segundo filho doisberto que assistia ao sorteio declara tenho a intuição de que o próximo primo será p3 11 zé roberto fica um pouco surpreso mas decide continuar a lançar o dado normalmente qual a probabilidade de que o palpite de doisberto venha a se confirmar gabaritos 01 d 05 c 08 d 11 1/3 15 a 02 e 06 a 10 09 a 80 12 d 16 a 03 d b 1/10 bdem 13 c 17 c 19 e b 1/24 b 5/9 20 c 04 a 07 d 10 c 14 e questão 8 como as probabilidades dos elementos do espaço amostral têm soma 1 temos questão 09 a 500 5 n 15 n 100 500 =105 n 15 n 80 a probabilidade é igual a 80 b porque o número 101 19 1.2.3 19.20 101 19 19 1.2.3 18.20 101+1 é divisível por 19 questão 10 resposta c como 15 do grupo fazem os dois tipos de aplicação teremos 0,15300 45 fazendo as duas aplicações como 50 aplicam em poupança teremos 0,50 300 150 pessoas aplicando em caderneta de poupança assim 150 ­ 45 105 pessoas aplicam só em caderneta de poupança como 30 aplicam em fundos teremos 0,30300 90 pessoas aplicando em fundos assim 90 ­ 45 45 pessoas aplicam só em fundos logo o total de pessoas do grupo que não aplicam em poupança nem em fundos é 300 ­ 105 ­ 45 ­ 45 105 portanto a probabilidade procurada é questão 11 18 a 1/12 b 5/12 21 b 23 a 50 25 1/10 27 p 22 a 24 b 50 24 a 1/36 26 n 40 16 24 3 3000 31 d 28 ½ 29 d 30 a 32 343 1296 algumas resoluções questão 06 a há 10 possibilidades de distribuir os presentes b a probabilidade de certo funcionário receber exatamente o presente que trouxe é 9 1 10 10 questão 07 resposta d a probabilidade de ele acertar cada teste marcando a resposta ao acaso é 1/5 e a de ele errar é 4/5 15 15 a probabilidade de ele errar todos os testes é 4/5 0,8 logo a probabilidade de ele acertar ao menos um é dada pela probabilidade do evento complementar de ele errar 15 todos logo a probabilidade procurada é 1 0,8 105 0,35 300 questão 14 resposta e a probabilidade de os 3 faltarem é 0,05 0,05 0,05 0,000125 a probabilidade de haver atendimento ao menos um comparecer é 1 0,000125 0,999875 8 2012

[close]

p. 9

projeto vestibular questão 17 p 6 5 4 20 5 6 6 6 36 9 mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade p 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 1 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 questão 18 há c10,3 =120 maneiras de se retirarem 3 bolas da urna a tirar três bolas brancas pa c5,3 10 1 c10,3 120 12 p 1 24 b tirar duas brancas e uma preta c c 50 5 pb 5 2 5,1 c10,3 120 12 questão 19 alternativa d assumindo como trajeto congestionado aquele composto por pelo menos uma via congestionada a melhor opção para paula é o trajeto e2e5 já que este apresenta neste caso a menor probabilidade de congestionamento dentre os trajetos possíveis e1e3 p 1 ­ 0,2 0,5 0,90 e1e4 p 1 ­ 0,2 0,7 0,86 e2e5 p 1 ­ 0,3 0,6 0,82 e2e6 p 1 ­ 0,3 0,4 0,88 outra solução e1 congestionada e e3 congestionada p 0,8 0,5 0,4 e1 livre e e3 congestionada p 0,2 0,5 0,1 e1 congestionada e e3 livre p 0,8 0,5 0,4 e1e3 p 0,4 0,1 0,4 0,90 e1 congestionada e e4 congestionada p 0,8 0,3 0,24 e1 livre e e4 congestionada p 0,2 0,3 0,06 e1 congestionada e e4 livre p 0,8 0,7 0,56 e1e4 p 0,24 0,06 0,56 0,86 analogamente e2e5 p 0,82 e e2e6 p 0,88 logo e2e5 é o de menor probabilidade questão 22 a são 4 algarismos distintos tem-se que 4 24 joão escreveu 24 números bsolução da banca olhando-se uma lista qualquer dos 24 números possíveis observe que a probabilidade da senha correta estar na nésima posição não depende de n deste modo a probabilidade de joão acertar na 12ª tentativa é igual à probabilidade de joão acertar na primeira que é 1/24 solução mais simples para que joão acerte apenas na 12ª tentativa obrigatoriamente ele deve errar as onze tentativas anteriores e acertar a 12ª logo questão 23 a o espaço amostral desse experimento é o conjunto a com 36 elementos a 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 o evento a soma dos valores sorteados é um número ímpar é o conjunto e com 18 elementos e 1 2 1 4 1 6 2 1 2 3 2 5 3 2 3 4 3 6 4 1 4 3 4 5 5 2 5 4 5 6 6 1 6 3 6 5 logo a probabilidade de lúcia ganhar é igual a 18/36 1/2 50 b o cálculo feito no item a mostra que paulo e lúcia têm a mesma probabilidade de ganhar uma partida questão 24 temos no lançamento de três dados 63 possibilidades a o evento ter soma 5 tem casos 1,2,2 2,2,1 1,2,1 1,1,3 1,3,1 e 3,1,1 então p 6/216 1/36 b o evento ter todos os números diferentes vale 6 × 5 × 4 logo p 6.5.4 216 5/9 questão 25 a {x a2 a3 a4 a10 98 c9 2 36 3 1º sorteio p x 2 1 c10,3 10 9 8 120 10 3 2 1 1 3 1 p xjuÍz 3 10 10 9 2012

[close]

p. 10

projeto vestibular questão 26 mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade número de cartas guardadas na caixa n probabilidade de retirada de um rei pr 0,075 uma carta de copas pc 0,25 um carta de copas ou um rei pc r 0,3 o rei de copas pr c pr pc ­ pr c pr c 0,075 0,25 0,3 0,025 para que o quadrado esteja inteiramente contido em c a distância de m ao centro de c deve ser menor do que ou igual a 1 n l l ou seja m pertence a um círculo cm de raio e 2 2 1 1 n 40 n 40 questão 27 por hipótese a probabilidade de que o ponto p pertença a uma região f contida em s é dada pela razão entre a medida da área de f e a medida da área de s assim a probabilidade de que o ponto p pertença a ambas as mesmo centro c então a probabilidade pedida é p áreacm 2 1 áreac 4 2 área a b regiões é dada por área s questão 29 numeramos as quatro bolinhas de 1 a 4 do menor para o maior valor há 4 × 3 × 2 ×1 24 ordens possíveis para a retirada das bolinhas todas igualmente prováveis dessas retiradas pedro fica com o prêmio de maior valor nos seguintes casos 1 a bolinha 4 sai na 3ª retirada neste caso seu número é necessariamente maior que os das duas primeiras 2 a bolinha 4 sai na 4ª retirada desde que a bolinha 3 saia em uma das duas primeiras retiradas caso contrário ou seja se ela sair na 3ª retirada pedro ficará com ela por seu número ser maior que o das duas primeiras o número de possibilidades para o primeiro caso é 3 × 2 ×1 6 para o segundo caso há 2 possibilidades para a posição em que sai a bolinha 3 1ª ou 2ª 2 possibilidade para a bolinha que sai na 3ª posição e 1 possibilidade para a bolinha que sai na 4ª retirada num total de 2 × 2 ×1 4 possibilidades logo o número de casos favoráveis é 6 4 10 e a probabilidade de que pedro tire o prêmio de maior valor é 10 5 24 12 seja c a região sombreada na figura abaixo então,a área ab 16 ­ 4 × área c observando-se o triângulo retângulo oln tem-se que o ângulo lÔn mede 60º assim a medida da área do setor circular omn é é 2 3 cm portanto a medida da área da região c é logo a medida da área de a b é 2 8 cm 2 e a área do triângulo oln 3 8 2 3 cm 2 3 8 2 16 4 3 2 3 cm como a medida da área de s é 1000 cm tem-se que a probabilidade solicitada é p 2 16 24 3 3000 questão 28 a diagonal do quadrado inscrito é igual ao diâmetro do círculo c ou seja d 4 a medida l do lado deste quadrado é por pitágoras 2l 16 ou seja l 2 2 2 outra solução é como segue pedro tira o prêmio máximo em duas situações quando a bolinha 4 sai na 3ª posição ou quando ela sai na 4ª posição e a bolinha 3 sai em uma das duas primeiras a probabilidade do primeiro evento é ¼ e a do segundo é 1 2 1 logo a probabilidade de ele tirar o 4 3 6 prêmio máximo é 1 1 5 4 6 12 10 2012

[close]

p. 11

projeto vestibular questão 30 mÓdulo iii ­ parte 16 matemÁtica prof bruno vianna probabilidade na figura od e oe são mediatrizes dos lados ab e ac respectivamente para que o ponto x esteja mais próximo de a ele deve estar no retângulo adoe para que o ponto x esteja mais próximo de b ele deve estar no triângulo dbo e finalmente para que o ponto x esteja mais próximo de c ele deve estar no triângulo eco desta forma teremos que 3 4 s adoe 3 4 1 s dbo 1 pa pb e 2 68 2 6 8 4 s abc s abc 2 2 1 como devemos ter papb pc 1 pc 4 então papb pc questão 32 solução para que o palpite de doisberto venha a se confirmar o próximo resultado do dado não pode ser 1 senão a soma até ai seria 1 6 7 que é um primo menor que 11 doisberto estará certo se o próximo resultado do dado após o 6 inicial for maior que 1 e alguma sequência de resultados do dado após o 6 inicial tiver soma igual a 5 pois 11 6 5 as sequências de resultados com essa propriedade são 5 4 1 3 2 3 1 1 2 3 2 2 1 2 1 2 e 2 1 1 1 a probabilidade de que o palpite de doisberto venha a se confirmar é portanto igual à probabilidade de que após o 6 inicial saia uma dessas sequências de resultados a qual é 11 2012

[close]

Comments

no comments yet