TALLER OBSERVACION PARA GRADOS 10°

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TALLER CONICAS

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1 taller de conicas grado 10° observa el proceso ejemplo 1 en las siguientes ecuaciones diga que posible curva es 1 y2-4x2=4 2 x=2y2 5 9x2-4y2-18x-16y-43=0 8 4x+3=0 11 y 2 x +3 3 14 x2+y2-25=0 17 y=5x2 3 2x-3y+6=0 6 4x2+y2=4 9 5y-3=0 12 y 2x2-4x+5 15 3x2+2x-3y+5=0 18 4x2+9y2=36 3 recta oblicua 8 recta vertical 4 9x2+4y2-18x+16y-11=0 7 4x2 ­9y2=36 10 3x2+3y2+12x-18y 27 13 x 2y2+3y-1 16 2y2-3y+4x-6=0 soluciones 1 hiperbola vertical 4 elipse 5 hiperbola 6 elipse 2 parábola horizontal 7 hiperbola horizontal 9 recta horizontal 12 parábola vertical 15 parábola vetical 18 elipse 10 circunferencia 13 parábola horizontal 16 parábola horizontal 11 recta oblicua 14 circunferencia 17 parábola vertical ejemplo 2 encontrar una ecuación del círculo con centro en 2 -3 y un radio 4 solución x-h2 y-k2 r2 x-22 y+32 42 x2 -4x+4+y2+6y+9 16

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1 x2 y2 4x 6y 3 0 ejemplo 3 dada la ecuación x2 y2 6x ­2y ­15 0 mostrar que la gráfica de esta ecuación es un círculo y encontrar su centro y su radio solución x2 y2 6x ­2y ­15 0 x2 6y y2 ­ 2y 15 x2 6x 9 y2 ­ 2y 1 15 9 1 x 32 y ­ 12 25 6 2 2 2 2 2 h 3 k=1 r2 c 3 1 r=5 ejemplo 4 determinar la gráfica de la ecuación 2x2+2y2+12x-8y+31=0 solución 2x2 2y2 12x ­ 8y 31 0 2 x2 y2 6x ­ 4y 31/2 0 x2 6x y2 ­ 4 31/2 x2 6x 9 y2­4y+4 31/2 +9+4 x 32 y ­ 22 5/2 r2 5/2 r ¡ no existe no hay gráfica ejemplo 5 encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación x2 y2 16x 2y 65 0

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1 soluciÓn ordenando y completando trinomios cuadrados perfectos en x y y se tiene x 2 16 x y 2 2 y 65 0 x 2 16 x 64 y 2 2 y 1 64 1 65 0 x 82 y 12 0 por lo tanto el centro y el radio de la circunferencia son respectivamente c 8,1 r 0 o sea que la gráfica es sol el punto 8 -1 ejemplo 6 el diámetro de una circunferencia es el segmento de la recta definida por los puntos d 8 2 y e 4,6 obtener la ecuación de dicha circunferencia soluciÓn el centro es el punto medio del diámetro cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento en este caso a b x xb 8 4 h a 2 2 2 y yb 2 6 k a 2 2 2 por lo tanto el centro es c 2,2 el radio es la es la distancia del centro c a cualquiera de los extremos del diámetro es decir r 2 4 2 6 36 16 52 la ecuación de la circunferencia pedida es 2 2 x 22 y 22 52 ejemplo 7 hallemos la ecuación de la parábola con foco 2,0 y directriz la recta x -2 dibujemos la grafica.

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1 solución según los datos del problema tenemos que el eje focal es el eje x por lo tanto la ecuación es ejemplo 8 una parábola tiene su vértice en el origen su eje focal es el eje x y pasa por el punto 5,10 hallemos su ecuación y dibujemos su grafica solución como el vértice es 0,0 y ele je focal es el eje x entonces la ecuación de la parábola es de la forma =4px donde desconocemos el valor de p puesto que la parábola pasa por el punto 5,10 entonces sus coordenadas deben satisfacer la anterior ecuación por tanto luego la ecuación de la parábola es como p es negativo entonces la parábola aparece dibujada a la izquierda del origen ejemplo 9 encontrar una ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta y 1 y como foco el punto f 3 7

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1 solucion p 3 lr qq 4p 12 ec x-h2 4p y-k x+32 4x3 y-4 x2 6x 9 12y 48 x2 6x 12y 57 0 ejemplo 10 dada la parábola que tiene por ecuación y2 6x 8y 1 0 encontrar el vértice el foco una ecuación de la directriz una ecuación del eje y la longitud del lado recto trazar la gráfica solución y2 6x 8y 1 0 y2 8y 6x ­1 y2 8y 16 -6x ­ 1 16 y 4 6x 15 y 42 6 x ­ 15 /6 5 1 4 p 6 p 1 v ,4 2 2 21 2 v ejemplo 11 determinar la gráfica de la ecuacion 25x2+16y2+150x+128y-1119=0 encontrar los vértices focos excentricidad y extremos del eje menor.

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1 solucion 25x2+16y2+150x+128y -1119=0 25x2+150x 16y2 +128y 1119 25 x2 6x 16y2 8y 1119 25 x2 6x +9 16y2 8y+16 1119 25x9 +16x16 2 2 25 x+3 16y+4 1600 1600 25x +32 16y+42 1600 1600 1600 1600 x+32 y+42 1 c 3 4 64 100 b2 a2 b=8 a=10 a2 =b2+c2 100=64 c2 c 6 e c/a 6/10 0,6 ejemplo 12 encontrar una ecuación de la elipse para la cual los focos están en 8 2 y 4 2 y la excentricidad es 2/3 hacer un dibujo de la elipse solución la distancia entre los focos es 12 por lo tanto c 6 y e c/a 2/3 6/a =2/3 a 63/2 9 a=9 a2 b2 c2 81=b2+36 b 45 6.8 ecuac de la elipse x+2 2 y-2 2 =1 81 45 2 a b2 5x2+4x+4 9y2-4y+4 =405 5x2+20x+20 +9y2 -36y+36 =405 405 5x2+9y2+20x-36y+369 =0

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1 ejemplo 13 los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos f5 0 f 5,0 v14,0yv2 4,0 respectivamente determine la ecuación de la hipérbola dibujar su gráfica e indicar las asíntotas soluciÓn como los focos están sobre el eje x la ecuación de la hipérbola es de la forma x2 y2 1 a2 b2 en este caso a 4 c 5 de donde b 25 16 3 en consecuencia la ecuación de la hipérbola x2 y2 es 1 16 9 ahora luego las ecuaciones de las asíntotas son las rectas y 3 x 4 y 3 y x 4 ejemplo 14 dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por 7 y 2 9 x 2 63 determine coordenadas de los focos de los vértices ecuaciones de las asíntotas trazar la gráfica.

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1 soluciÓn la ecuación 7 y 2 9 x 2 63 puede escribirse en las formas equivalentes la última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y en este caso a 3 b 7 luego c 9 7 4 con estos datos se tiene f0 4 f 0 -4 v10 3 y v20 -3 y2 x2 0 se deduce que las ecuaciones de las 9 7 3 3 asíntotas son las rectas de ecuación yeyxx 7 7 además de la ecuación ejemplo 15 una hipérbola cuyo centro es el punto c2 3 tiene sus focos sobre la recta y 3 además la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades trazar la gráfica y determine coordenadas de los vértices focos y ecuaciones de las asíntotas.

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1 soluciÓn ahora puesto que los focos están sobre la recta y 3 paralela al eje x la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma las coordenadas de los focos son xhcyy 3 esto es f7 3 y f 3 3 igualmente las coordenadas de los vértices son xhayy 3 esto es v16 3 y v2 2 3 además de la ecuación se deduce que y son las ecuaciones de las asíntotas ejemplo 16 dada la hipérbola cuya ecuación en su forma general es 3y2 ­ x2 4x ­ 6y ­ 13 0 determine y grafique centro focos vértices y ecuaciones de las asíntotas.

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1 soluciÓn la ecuación general puede escribirse en las formas equivalentes esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto c2 1 y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por c2 1 en esta caso x 2 además a2 4 b2 12 con lo cual c a2 b2 4 las coordenadas de los focos son x 2 e y 1 4 esto es f2 5 y f 2 -3 igualmente las coordenadas de los vértices son x 2 e y 1 2 esto es v12 3 y v22 -1 las ecuaciones de las asíntotas son las rectas y 1 1 3 y 1 1 3 x 2 e x 2

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