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ubiratan barros arrais expressÕes aritmÉticas crenças concepções e competências no entendimento do professor polivalente puc/sp sÃo paulo 2006

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ubiratan barros arrais expressÕes aritmÉticas crenças concepções e competências no entendimento do professor polivalente dissertação apresentada à banca examinadora da pontifícia universidade católica de são paulo como exigência parcial para obtenção do título de mestre em educação matemática sob orientação da profa dra sandra maria pinto magina puc/sp sÃo paulo 2006

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banca examinadora

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autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de foto copiadoras ou eletrônicos assinatura local e data

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dedicatÓria aos homens da minha vida meu filhão lucas e meu pai plácido Às mulheres da minha vida minha companheira natália e minha mãe dilma.

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agradecimentos À profa dra sandra maria pinto magina pela sabedoria incentivo paciência e a amizade tê-la como professora orientadora e amiga é um privilégio para poucos obrigado por permitir que eu seja um destes poucos À profa dra regina célia grando por ter aceito fazer parte da banca e por todas valiosas sugestões e contribuições que auxiliaram no desenvolvimento deste trabalho À profa dra maria célia leme da silva pelas sugestões e contribuições que auxiliarão no desenvolvimento deste trabalho À raquel f canova minha amiga companheira de estudos e colaboradora incansável sem sua presença constante seria impossível a realização deste trabalho À maria tereza dubus professora e amiga que tanto colaborou na minha formação como pessoa e profissional ao meu amigo josé luis feijó nunes por toda colaboração e incentivo que permitiram que eu chegasse ao término deste trabalho aos meus colegas de trabalho da e.e joão ramalho cuja convivência tem me transformado À direção e professores das escolas municipais pela colaboração para a realização deste trabalho À natália companheira de todas as horas meu amor agradeço pela presença constante incentivo compreensão por minhas sucessivas ausências para conclusão deste trabalho ao lucas meu filhão que com a sabedoria própria dos 6 anos de idade têm me ensinado tanto.

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sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma em verdade o que proporciona o máximo de prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem não é a posse mas a aquisição não é a presença mas o ato de atingir a meta carl friedrich gauss

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resumo o presente trabalho teve por objetivo identificar e analisar as crenças concepções e competências que os professores de 1ª a 4ª séries do ensino fundamental têm ao lidar com expressões aritméticas pesquisamos neste estudo a compreensão de uma classe particular de situações-problema que aqui chamamos de problemas de estruturas mistas nestes problemas temos estrutura aditiva e estrutura multiplicativa ocorrendo concomitantemente a sentença matemática que representa um problema deste tipo é uma expressão aritmética este trabalho teve como suporte teórico a teoria dos campos conceituais de gerard vergnaud as idéias de nóvoa e ponte trata-se de um estudo descritivo o qual foi desenvolvido a partir da elaboração e aplicação de um instrumento diagnóstico aplicado a 70 professores de quatro escolas do ensino fundamental da rede municipal de são bernardo do campo este instrumento foi composto por três partes 1 perfil 2 concepção e 3 competência a análise dos resultados obtidos foi realizada qualitativamente e seguindo a mesma ordem que foi composto o instrumento os resultados mostraram que o professor não concebe a expressão aritmética como um modelo matemático que representa uma situação-problema e a vêem como um aglomerado de cálculos com fim em si mesmos quanto a competência constatamos que os professores experimentam extrema dificuldade em lidar com situações que envolvem o duplo campo conceitual das estruturas mistas concluímos que para estes professores ainda não houve uma expansão das estruturas aditivas tão pouco das estruturas multiplicativas palavras-chaves expressões aritméticas campo conceitual formação de professor ensino fundamental estudo diagnóstico.

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abstract the present work is to identify and to analyse the beliefs conceptios and abilities of teachers who teach from first to fourth grade of basic education working with arithmetical expressions in this study we noticed that the comprehension of a particular groups of situation problems called by mixed structures in these problems we have additive and multiplicative structures that happen in the same time the mathematical sentence that represents a problem like this is an arithmetical expression this work is based on the theory about conceptual fields of gerard vergnaud linked in ideas of nóvoa and ponte a handle descriptive study was developed by an alaboration and aplication of an instrumental diagnosis put in practice by seventy teachers from four schools that work with basic education in são bernardo do campo the instrument was composed by three parts 1 outline 2 conception and 3 ability the analysis of the obtainned results was realized in agreement that the way the instrument was prepared the results showed that teachers didn t perceive the arithmetical conception as a mathematical model that represents a situation problem they realized it as a calculation set in relation to ability we certify that teachers found a huge problem to make an effort that envolve a doble conceptual field in mixed structures it follows that teachers didn t have the necessarily knowledge about additive and multiplicative structures key words arithmetical structures conceptual field teacher formation basic education diagnostic study

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sumÁrio capÍtulo i ­ apresentaÇÃo 1.1 introdução 01 1.2 justificativa 04 1.3 objetivo e questão de pesquisa 06 1.4 descrição dos capítulos subseqüentes 07 capÍtulo ii ­ fundamentaÇÃo teÓrica 2.1 introdução 09 2.2 teoria dos campos conceituais 10 2.3 o campo conceitual aditivo estruturas aditivas 14 2.3.1 raciocínio de composição 15 2.3.2 raciocínio de transformação 17 2.3.3 raciocínio de comparação 21 2.3.4 composição de composição 26 2.4 o campo conceitual multiplicativo estruturas multiplicativas 28 2.4.1 adição de parcelas iguais 29 2.5 formação de professores 31 2.6 crença concepção e competência 40

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capÍtulo iii ­ expressÕes aritmÉticas 3.1 introdução 45 3.2 expressões aritméticas sob a ótica do ensino 46 3.2.1 expressões aritméticas ontem 46 3.2.1.1 os diários de classe 47 3.2.1.2 os exames de admissão ao ginásio 48 3.2.1.3 a proposta curricular de 1986 50 3.2.2 expressões aritméticas hoje 52 3.2.2.1 o pcn 53 3.2.2.2 os livros didáticos 54 3.3 expressões aritméticas sob a ótica da pesquisa 65 3.3.1 pesquisas no ambiente computacional 65 3.3.2 pesquisas no ambiente educacional 66 3.3.2.1 leila modanez 67 3.3.2.2.olga nakamura 68 3.4 expressões aritméticas sob a ótica dos campos conceituais 69 capÍtulo iv ­ metodologia 4.1 introdução 73 4.2 discussão teórico-metodológica 73 4.3 estudo piloto 75 4.4 estudo principal 82 4.5 universo de estudo 82 4.6 instrumento diagnóstico 83 4.6.1 o perfil 84

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4.6.2 a concepção 86 4.6.3 a competência 89 4.7 procedimento 93 capÍtulo v ­ anÁlise dos resultados 5.1 introdução 95 5.2 o perfil 96 5.2.1 formação 96 5.2.2 tempo de experiência docente 98 5.2.3 séries em que atuam ou atuaram 99 5.2.4 lugar da docência 100 5.3 concepções e crenças 103 5.4 competência 118 capÍtulo vi ­ conclusÃo 6.1 introdução 140 6.2 síntese dos resultados obtidos 142 6.3 retomando a questão de pesquisa 154 6.4 sugestões para futuras pesquisas 156 referÊncias bibliogrÁficas 157 anexos

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capÍtulo i apresentaÇÃo 1.1 introduÇÃo calcule a expressÃo abaixo esta frase imperativa vem perseguindo os alunos de matemática há muito tempo os nossos avós que tiveram oportunidade de estudar bem como nossos pais contam histórias de sucessos e insucessos relacionadas a este objeto matemático conhecido como expressões aritméticas ou expressões numéricas mas por eles apelidado de carroção termo que traz em si uma carga semântica significativa um apelido com um peso desta envergadura não deve ter sido atribuído ao acaso de fato desde o início do século passado as expressões numéricas são conteúdo obrigatório nas aulas de matemática e em alguns casos utilizadas como divisor de águas bons alunos conseguiam resolver os carroções quanto aos maus esta história repete-se até hoje com novos personagens mas a trama é a mesma uma história de horror na minha experiência com formação de professores ao longo de 12 anos nunca ouvia uma queixa sequer dos professores a cerca deste objeto matemático a exceção dos últimos 4 anos que a queixa tem se repetido como um verdadeiro mantra.

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2 certa vez ao término de uma oficina que estava ministrando para professores de 1ª a 4ª séries do ensino fundamental uma professora juntou seu material e me disse que ela tinha que sair correndo pois tinha que preparar sua aula de expressões aritméticas ela expressava um verdadeiro descontentamento ao narrar isto incomodado com a situação perguntei por que tem que ensinar expressões aritméticas sem obter resposta continuei a indagá-la por que você ensina expressões aritméticas e novamente não obtive resposta a não ser uma expressão atônita em seu rosto como a comunicar-me sua incompreensão às minhas perguntas insisti onde você quer chegar com este tema foi um rol imenso de perguntas e por parte dela apenas uma expressão vazia aflita como quem perguntasse a si mesma o que estou fazendo finalmente a professora respondeu eu não sei mas tenho que ensinar isso pois faz parte do programa da 4ª série todo ano é essa mesma agonia aproveitei o ensejo e comecei mesmo que superficialmente a falar um pouco de problemas de estruturas mistas 1 problemas que envolvem estruturas aditivas e estrutura multiplicativa concomitantemente trabalhando muitas vezes um espectro grande de raciocínios quando a professora percebeu que a sentença matemática 2 que representava estes problemas era uma expressão aritmética ela ficou maravilhada e começou junto com as colegas numa busca frenética de situações que propiciassem esta abordagem foi fantástico observar o trabalho desta professora a partir de então nos nossos encontros de formação parece que o que mais a seduziu a partir desse episódio foi poder perceber que expressões aritméticas poderiam ser desenvolvidas com significado e muito mais que isto que as propriedades 1 2 a estrutura mista será definida e discutida com mais rigor no capítulo iii sentença matemática jargão muito comum entre os professores de 1ª a 4ª séries para se referirem aos modelos matemáticos que representam uma dada situação.

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3 aritméticas poderiam ser percebidas com mais facilidade por parte dos alunos quando tentassem materializar as situações propostas no problema percebeu também quantos raciocínios estavam ali envolvidos raciocínios que o cotidiano não daria conta e que a criança poderia dar sentido a muitas propriedades aritméticas esta professora em pouco tempo começou a contagiar as colegas ao seu redor esta professora me trouxe a memória a minha própria experiência de aluno nas séries iniciais quando eu me perguntava com raiva para que servia aquilo enquanto minha professora tentava me ensinar as expressões aritméticas hoje me dou conta que as dificuldades vividas por essa professora são as mesma vivida pela maior parte dos professores de 1ª a 4ª séries e até mesmo de muitos especialistas professores de matemática que agoniados se questionam para que servem as expressões aritméticas por que devo ensiná-las o que elas representam o que fazer para dar significado a estas expressões são estes questionamentos que constituem o ponto de partida deste trabalho independentemente do aparente sucesso obtido no caso relatado acima o que temos é um resultado particular resultado de uma prática espontaneísta intuitiva e localizada tanto minha como da professora para um entendimento mais amplo e profundo sobre as estruturas mistas faz-se necessário um estudo investigativo de caráter científico.

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