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carlos roberto da silva explorando equaÇÕes cartesianas e paramÉtricas em um ambiente informÁtico mestrado em educaÇÃo matemÁtica puc/sp são paulo 2006

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carlos roberto da silva explorando equaÇÕes cartesianas e paramÉtricas em um ambiente informÁtico apresentada à banca examinadora da pontifícia universidade católica de são paulo como exigência parcial para obtenção do título de mestre em educaÇÃo matemÁtica sob a orientação da professora doutora celina aparecida almeida pereira abar dissertação puc/sp são paulo 2006

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banca examinadora

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autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos a reprodução total ou parcial desta dissertação e por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos assinatura local e data

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não é o ângulo reto que me atrai nem a linha reta dura inflexível criada pelo homem o que me atrai é a curva livre e sensual a curva que encontro nas montanhas do meu país no curso sinuoso dos seus rios nas ondas do mar nas nuvens do céu no corpo da mulher preferida oscar niemeyer

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dedico este trabalho a minha família e aos meus pais pelo apoio e compreensão de minhas ausências.

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agradecimento À celina por sua orientação administrada com competência pela dedicação amizade e paciência aos professores doutores marlene alves dias e saddo ag almouloud pelas sugestões oferecidas na qualificação À todos os professores do programa de estudos pós-graduados da pontifícia universidade católica de são paulo pelos ensinamentos que orientaram aos caminhos da pesquisa em educação matemática aos meus amigos e colegas do mestrado acadêmico ­ 2004 andré marcelo yumi ubiratan raquel cleber joão pedro maurício lourival edith marinete renato vera diana renata rosimeire enfim a todos que de alguma forma contribuíram para esta pesquisa ao francisco da secretaria que sempre se prontificou na minha parte documental À puc pela sua excelência À secretaria da educação do estado de são paulo pela bolsa mestrado que me foi concedida À márcia renata cida e magali pela amizade e revisão deste trabalho aos meus companheiros de trabalho pela amizade e incentivo aos alunos que contribuíram para a realização da seqüência didática À rosangela nicole e gleice que compreenderam as minhas ausências e de alguma forma propiciaram o desenvolvimento desta pesquisa.

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resumo esta dissertação tem por objetivo verificar se um ambiente informático permite ao aluno reconhecer algumas propriedades de curvas por meio de representações e interpretações gráficas de maneira dinâmica com o uso de parâmetros para uma melhor compreensão de suas equações identificamos que a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico e as conversões entre alguns registros de representação semiótica possibilitam ao aluno refletir sobre a correlação entre algumas propriedades geométricas de curvas planas e suas equações cartesianas ou paramétricas para esta pesquisa elaboramos uma seqüência didática com base em alguns elementos de uma engenharia didática e aplicamos durante cinco sessões a um grupo de 10 alunos da 3ª série do ensino médio verificamos que as construções gráficas de algumas curvas planas variando os valores reais de parâmetros em suas equações para o desenvolvimento de um gif animado permitem ao aluno observarem os efeitos geométricos provocados pela sua variação favorecendo o entendimento da noção de parâmetro na geometria analítica palavras-chave geometria analítica parâmetro equações cartesianas ou paramétricas curvas planas winplot.

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abstract this research has as objective verify if in a computer science environment allows to the student to recognize some curves properties through representations and graphical interpretations in dynamic way with the use of parameters for one comprehension better of its equations we verified that the articulating between the points of view cartesian and parametric and the conversions among some registers of semiotic representation it makes the student think about the correlation that exists between some properties geometric of the plane curves and its cartesian or parametric equations for this research we elaborate a didactic sequence based on some topics of the didactic engineering and we apply during five sessions in a group of 10 students taking the third year of high school we verified that the graphic constructions of some plane curves varying the real values of its parameters in its equations for the development of an gif graphic information format they allow the students to observe the geometric effect caused by this variation what it favors the understanding of the parameter notion in analytical geometry key-words analytical geometry parameter cartesian or parametric equations plain curves winplot.

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sumÁrio capÍtulo i apresentaÇÃo da pesquisa 18 1 introduÇÃo 18 2 a questÃo de pesquisa 21 3 hipÓteses de pesquisa 22 4 referenciais teÓricos 23 4.1 registros de representaÇÃo semiÓtica 25 4.2 a mudanÇa de quadros 35 4.3 flexibilidade entre pontos de vista 36 5 metodologia de pesquisa 39 capÍtulo ii estudos sobre o objeto matemÁtico 41 1 revisÃo bibliogrÁfica e estudo sobre o objeto matemÁtico 41 2 consideraÇÕes gerais inerentes Às origens da geometria analÍtica 47 2.1 o inÍcio do simbolismo algÉbrico e o conceito de parÂmetro 48 2.2 coordenadas grÁficos de funÇÕes e variÁvel 51 2.3 origens da geometria analÍtica 54 2.4 as curvas planas algÉbricas ou transcendentes 60 2.5 outras curvas planas e a importÂncia do uso de parÂmetros 70 2.6 a representaÇÃo paramÉtrica de curvas e o uso de parÂmetros 87 2.7 consideraÇÕes didÁticas e epistemolÓgicas gerais 90 capÍtulo iii a noÇÃo de parÂmetro na geometria analÍtica de objeto cientÍfico a objeto de ensino-aprendizagem 98 1 alguns conceitos didÁticos ligados ao processo de ensinoaprendizagem 98 2 proposta parÂmetros e orientaÇÕes curriculares de matemÁtica para o ensino mÉdio 99 3 alguns princÍpios norteadores da informÁtica na educaÇÃo 109 3.1 ambiente informÁtico 110 3.2 a transposiÇÃo didÁtica 110

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3.3 a transposiÇÃo informÁtica 111 3.4 o software winplot 113 3.4.1 limitaÇÕes do software winplot 116 3.4.2 consideraÇÕes relevantes 117 3.5 gif animator 118 3.5.1 limitaÇÕes do gif animator 119 capÍtulo iv a sequÊncia didÁtica 120 1 justificativas das escolhas feitas 120 2 procedimentos metodolÓgicos 122 3 apresentaÇÃo e anÁlise a priori da seqÜÊncia didÁtica 124 capÍtulo v a experimentaÇÃo e a anÁlise a posteriori 185 1 experimentaÇÃo anÁlise a posteriori e validaÇÃo 185 1.1 experimentaÇÃo 186 1.2 a organizaÇÃo da experimentaÇÃo 186 1.2.1 a coleta de dados 189 1.2.2 pÚblico alvo 189 2 anÁlise das observaÇÕes das duas primeiras sessÕes 191 3 anÁlise das observaÇÕes das trÊs Últimas sessÕes 196 4 conclusÃo da anÁlise a posteriori 216 capÍtulo vi consideraÇÕes finais 222 1 objetivos e resultados da pesquisa 222 2 anÁlise dos resultados em funÇÃo dos fundamentos teÓricos e metodolÓgicos 224 3 anÁlise dos resultados em funÇÃo das hipÓteses de pesquisa 225 4 questÕes futuras para o ensino e aprendizagem da noÇÃo de parÂmetro na geometria analÍtica 226 referÊncias bibliogrÁficas 229 anexos anexo 1:sessÃo i 233 anexo 2 sessÂo ii 239

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anexo 3 sessÃo iii 243 anexo 4 sessÃo iv 246 anexo 5 sessÃo v 249 anexo 6 ­ convite 253 anexo7­certificado 254

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Índice de figuras figura1:parÁbola de apolÔnio boyer 1996 p.105 27 figura 2 cÔnica de descartes como elipse 27 figura 3 figura-fundo campo quadriculado e grÁfico da reta 30 figura 4 figura-fundo:campo quadriculado e grÁfico da reta 31 figura 5 latitude e longitude boyer 1996 p 181 53 figura 6 cÔnica de descartes como circunferÊncia 57 figura 7 cÔnica de descartes como hipÉrbole 58 figura 8 cÔnica de descartes como elipse 58 figura 9 cÔnica de descartes como reta 59 figura 10 cÔnica de descartes como parÁbola 59 figura 11 cÚbica de descartes boyer 1996 p 233 61 figura 12 o tridente de descartes 62 figura 13 cissÓide de dioclÉs 65 figura 14 conchÓide de nicomedes 65 figura 15 espiral de arquimedes 66 figura 16 quadratriz de hÍpias 66 figura 17 hipÉrboles de fermat 68 figura 18 parÁbolas de fermat 68 figura 19 espiral de fermat 69 figura 20 curva de agnesi 69 figura 21 ciclÓide 70 figura 22 limaÇon de pascal 71 figura 23 hipÉrboles de descartes 72 figura 24 parÁbolas de descartes 72 figura 25 circunferÊncias de descartes 73 figura 26 pÉrolas de sluze 74 figura 27 involuta de um cÍrculo 74 figura 28 parÁbola divergente de newton 75 figura 29 lemniscata de bernoulli 76 figura 30 espiral sinusoidal como hipÉrbole eqÜilÁtera 77 figura 31 espiral sinusoidal como reta 78 figura 32 espiral sinusoidal como parÁbola 78

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figura 33 espiral sinusoidal como cÚbica de tschirnhaus 79 figura 34 cÚbica de tschirnhaus 80 figura 35 espiral sinusoidal como cardiÓide 81 figura 36 espiral sinusoidal como circunferÊncia 81 figura 37 espiral sinusoidal como lemniscata de bernoulli 82 figura 38 epiciclÓide 83 figura 39 epitrocÓide 84 figura 40 hipociclÓide 85 figura 41 hipotrocÓide 86 figura 42 ciclÓide de euler 88 figura 43:parÁbola de apolÔnio boyer 1996 p.105 91 figura 44 latitude e longitude boyer 1996 p 181 91 figura 45 cÔnica de descartes 92 figura 46 parÁbolas de fermat 92 figura 47 cissÓide de dioclÉs 92 figura 48 limaÇon de pascal 92 figura 49 epitrocÓide 92 figura 50 hipotrocÓide 93 figura 51 menu equaÇÃo do winplot 114 figura 52 menu ver do winplot 115 figura 53 ­ sessÃoi 1a 129 figura 54 ­ sessÃoi 2a 130 figura 55 ­ sessÃoi 1b 130 figura 56 ­ sessÃoi 2b 131 figura 57 ­ sessÃoi 3a 134 figura 58 ­ sessÃoi 3c 134 figura 59 ­ sessÃoi 3a 136 figura 60 ­ sessÃoi:3c 136 figura 61 ­ sessÃo ii equaÇÕes paramÉtricas 139 figura 62 ­ sessÃoii 1a 144 figura 63 sessÃo iii:1a 155 figura 64 sessÃo iii 1c 156 figura 65 sessÃo iii 1d 157 figura 66 sessÃo iii 1d 158 figura 67 sessÃo iii 1e 159

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figura 68 sessÃo iii 2a 160 figura 69 sessÃo iii 2b 161 figura 70 sessÃo iii 2c 148 figura 71 sessÃo iii 3a 163 figura 72 sessÃo iii 3a 164 figura 73 sessÃo iv 1a 171 figura 74 sessÃo iv 1a 172 figura 75 ­ sessÃo iv 1a 172 figura 76 ­ sessÃo iv conchÓide de nicomedes 173 figura 77 ­ sessÃo iv involuta de um cÍrculo 174 figura 78 ­ sessÃo v atividade 1 175 figura 79 ­ sessÃo v 1a 181 figura 80 ­ sessÃo v atividade 2 cartesiano 183 figura 81 ­ sessÃo v gif animado 183 figura 82 ­ sessÃo ii resposta 1a 194 figura 83 ­ sessÃo iii resposta 1d 198 figura 84 ­ sessÃo iii resposta 1d 198 figura 85 ­ sessÃo iii resposta 3a 199 figura 86 ­ sessÃo iii resposta 3b 199 figura 87 ­sessÃo iv 1a 202 figura 88 ­ sessÃo iv 1a 202 figura 89 ­ sessÃoiv 2c 203 figura 90 ­ sessÃo iv 2 204 figura 91 sessÃo iv 2g 205 figura 92 ­ sessÃo iv 2f 206 figura 93 ­ sessÃo v respsotas 1a 208 figura 94 ­ sessÃo v 1bg1 208 figura 95 ­ sessÃo v respostas 1b 209 figura 96 ­ sessÃo v gifg1 210 figura 97 ­ sessÃo v gifg1 210 figura 98 ­ sessÃo v gifg2 211 figura 99 ­ sessÃo v gifg2 211 figura 100 ­ sessÃo v gifg3 212 figura 101 ­ sessÃo v gifg3 213 figura 102 ­ sessÃo v gifg4 213

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