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compÊndio do blog fatos matemÁticos diversos assuntos interessantes de matemática em vários níveis prof ms paulo sérgio c lino volume 1 n 1 Álgebra elementar Álgebra linear análise combinatória aritmética biograas http fatosmatematicos.blogspot.com julho de 2010

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sumário 1 Álgebra elementar 1.1 um caso particular de equação quártica parte 1 1.2 um caso particular de equação quártica parte 2 1.3 outro modo de deduzir a fórmula de bháskara 1.4 transformações de radicais 1.5 regra de descartes e a equação quadrática 1.6 algumas propriedades das equações cúbicas 1.7 o triângulo mágico 3x3 1.8 a lei dos cossenos através da regra de cramer 6 6 7 9 9 10 12 13 15 2 posts de Álgebra linear 2.1 sistemas lineares no balanceamento de equações químicas 2.2 criptogrando através de matrizes 2.3 o método de eliminação de gauss para sistemas lineares 2.4 a desigualdade de cauchy-schwarz 17 17 19 20 24 3 posts de análise combinatória 3.1 o princípio da casa dos pombos 3.2 mais sobre o princípio da casa dos pombos 3.3 coecientes binomiais e o triângulo de pascal 3.4 coecientes binomiais e o binômio de newton 26 26 27 29 32 4 posts de aritmética 4.1 somando com o soroban 4.2 o quadrado mágico da besta 4.3 uma sequência de quadrados perfeitos 4.4 a multiplicação no egito 4.5 curiosidades dos números 1,5 e 6 4.6 as barras de napier 2 34 34 35 35 36 37 38

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compêndio do blog fatos matemáticos volume 1 n 1 5 posts de biograas 5.1 grandes matemáticos arquimedes de siracusa 5.2 george pólya 5.3 johannes kleper 5.4 george cantor 5.5 grandes matemáticos leonhard euler 40 40 42 43 44 45 3

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prefácio esta revista foi criada com objetivo de facilitar a leitura e o arquivamento dos posts do blog fatos matemáticos atualmente o blog possui mais de 300 posts divididos em diversas áreas da matemática optei em dividir a revista em 4 volumes conforme a tabela abaixo volume 1 Áreas abordadas Álgebra elementar Álgebra linear análise combinatória aritmética biograas 2 curiosidade matemáticas cálculo cálculo avançado equações diferenciais geometria analítica 3 geometria espacial geometria plana história da matemática instrumentação para o ensino da matemática matemática aplicada probabilidade 4 poemas e frases matemáticas provas sem palavras raciocínio lógico recreações matemáticas teoria dos números trigonometria os posts serão apresentados na ordem cronológica em que foi publicado no blog mas os posts que foram divididos em várias partes serão apresentados de forma consecutiva 4

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compêndio do blog fatos matemáticos volume 1 n 1 direitos autorais o objetivo deste compêndio é divulgar a matemática em todos os seus níveis buscando deste modo melhorar a educação do país peço a compreensão de todos vocês no caso de copiar qualquer post que seja educado e cite este compêndio ou o seu autor as sugestões serão sempre bem-vindas e podem ser encaminhadas para linnux2001@gmail.com atenciosamente prof ms paulo sérgio costa lino 5

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capítulo 1 Álgebra elementar 1.1 um caso particular de equação quártica parte 1 autor prof ms paulo sérgio c lino sabemos que a equação completa de 4o grau pode ser resolvida através de radicais através do método de ferrari reduzindo a equação original numa equação cúbica chamada de resolvente apresento aqui uma da equação quártica diferente dos casos particulares de equação biquadrada equação incompleta e equação simétrica este caso particular é dado por x4 2p x2 qx r 0 1.1 onde p é um número real positivo qersão reais quaisquer que satisfazem a seguinte condição q2 p 3 4p r 1.2 para resolver a equação procedemos do seguinte modo x4 2p x2 qx r x4 p x p x qx r 0 completando quadrados temos p x 2 2 2 q -p x 2p 2 p 3 4p r q2 =0 4p usando a condição 1.2 segue que p q x =± p x 2 2p 2 ou seja obtemos duas equações quadráticas e através da fórmula de bháskara obtemos as 6

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compêndio do blog fatos matemáticos raízes x1 x2 x3 x4 volume 1 n 1 1 p 2q 3p 2 2 p p 1 2q 3p 2 2 p p 1 2q 3p 2 2 p 1 p 2q 3p 2 2 p 1.3 exemplo 1.1 resolva a equação quártica x4 10x2 15x 5 0 como p 5 q 15 e r -5 a condição 1.2 está satisfeita e por 3 segue que as raízes são dadas por e 4 5 5 x ± 3 5+6 2 2 4 5 5 x ± 3 5-6 2 2 exercício 1.1 verique se as equações abaixo satisfazem a condição 1.2 e em caso armativo ache suas raízes 1 x4 4x2 4x 1 0 2 x4 8x2 8 2x 4 0 3 x4 6x2 5 3x 4 0 4 x4 2x2 5x 6 0 observação 1.1 É claro que existem muitas equações quárticas que não satisfazem a condição acima mas este caso serve de motivação para o método de ferrari 1.2 um caso particular de equação quártica parte 2 autor prof ms paulo sérgio c lino considere a equação particular do quarto grau ax4 bx3 cx2 bx a 0 dividindo ambos os membros por x2 temos ax2 bx c 7 b a 2 x x

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compêndio do blog fatos matemáticos de modo que note que 1 1 2 a x 2 +b x +c=0 x x 1 x x 2 x2 2 1 =0 x2 volume 1 n 1 1.4 assim fazendo y x 1/x na equação 1.4 acima segue que ay 2 2 by c 0 ay 2 by c 2a 0 cuja solução é dada por y -b ± 8a2 b2 4ac 2a com esses valores de y podemos facilmente achar os valores de x e resolver por completo a equação dada exemplo 1.2 resolva a equação quártica 2x4 3x3 x2 3x 2 nesta equação a 2 b 3 e c -1 assim y -3 ± 8 · 4 32 4 · 2 · 1 4 y1 5 2 e y2 1 substituindo na expressão y x 1/x obtemos as equações x2 x 1 0 e 2x2 5x 2 0 1+i 3 1-i 3 a primeira equação tem x1 e x2 como soluções e a segunda equação 2 2 1 possui x3 -2 e x4 como soluções 2 observação 1.2 essa equação do quarto grau é um caso particular de um classe de equações polinomiais chamada equações recíprocas que são dada por a0 xn a1 xn-1 an-1 x an 0 1.5 onde cada raiz corresponde a raiz 1 com a mesma multiplicidade É possível mostrar que a condição sobre os coecientes da equação 1.5 acima seja simétrica é que a0 a1 an-1 an an an-1 a1 a0 são por exemplo equações recíprocas as seguintes 1 2x2 5x 2 0 2 x3 4x2 4x 1 0 3 2x3 5x2 5x 2 0 referência bibliográca catunda omar et alli matemática de lizado ao livro técnico s.a rio de janeiro gb/1972 8 2o ciclo ensino atua-

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compêndio do blog fatos matemáticos volume 1 n 1 1.3 outro modo de deduzir a fórmula de bháskara autor prof ms paulo sérgio c lino a fórmula muito utilizada para resolver equações quadráticas conhecida no brasil por fórmula de bháskara é deduzida completando quadrados um modo alternativo de provar essa fórmula vem da seguinte observação se na equação ax2 bx c 0 em que a 0 tivéssemos b 0 a equação seria incompleta e muito fácil de ser resolvida com esta idéia em mente introduzimos uma nova variável y x m na equação dada e escolhemos m de modo que o termo linear seja nulo na equação quadrática na variável y ou seja ay m2 by m c 0 ay 2 b 2amy am2 bm c 0 escolhemos m b de modo que 2a 2 b b2 2 ay a +c=0 2a 2a y=± 2a ay 2 b2 4ac 4a logo -b ± x 2a onde b2 4ac é o famoso discriminante da equação 1.4 transformações de radicais autor prof ms paulo sérgio c lino neste post irei deduzir uma fórmula para reduzir expressões b na soma ou diferença de dois radicais sim ples com a hipótese de que a ± bebsão números positivos da forma a± nestas condições partimos da igualdade a± b x± y elevando ambos os membros ao quadrado temos a± b x ± 2 xy y de modo que a=x+y 1.6 9

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compêndio do blog fatos matemáticos e b 4xy elevando a ao quadrado e subtraindo b do resultado segue que a2 b x2 2xy y 2 4xy x y2 volume 1 n 1 e portanto x-y a2 b c 1.7 de 1.6 e 1.7 é fácil ver que a± b a+c ± 2 a-c 2 exemplo 1.3 transformar 8 60 em dois radicais resolução temos acima segue que a 8 b 60 de modo que a2 b 64 60 4 e pela fórmula 8 60 5 3 exercício 1.2 transforme os radicais abaixo 1 2 6-2 5 5 3 r 5 1 este é um caso em que é desaconselhável usar a fatoração acima descubra por que 3 a+3 12a r a 3 referência bibliográca sangiorgi oswaldo matemática curso ginasial 54 ed companhia ed nacional são paulo 1963 1.5 regra de descartes e a equação quadrática autor prof ms paulo sérgio c lino rené descartes em seu trabalho la geométrie descreveu uma regra que determina o número de raízes positivas e negativas de uma equação polinomial se os termos de um polinômio com coecientes reais são colocados em ordem decrescente de grau então o número de raízes positivas do polinômio é ou igual ao número de permutações de sinal ou menor por uma diferença par e o números de raízes negativas do polinômio é igual ao número de permanência ou menor por uma diferença par 10

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compêndio do blog fatos matemáticos volume 1 n 1 usaremos essa regra para ilustrar gracamente as possibilidades das raízes da equação quadrática sem usar a fórmula de bháskara para isso seja a equação ax2 bx c 0 1.8 onde a becsão reais com a 0 dividindo a equação 1.8 por a temos x2 px q 0 1.9 bceq o discriminante da equação 1.9 é dada por p2 4q sabemos a a que conforme o sinal de temos duas raizes reais iguais duas raízes reais distintas ou duas onde p raízes complexas consideremos agora a parábola de referência qp p2 4 no plano poq assim conforme as coordenadas dos pontos p q juntamente com a regra de descartes teremos as informações sobre as raízes por exemplo se peqsão positivos e o ponto p q está abaixo da parábola de referência teremos duas raízes negativas o diagrama abaixo ilustra todos os possíveis casos observação 1.3 nas regiões r3 e r4 sejam e as raízes reais e de sinais opostos sendo a raiz negativa e a raiz positiva a diferença entre essas regiões é a seguinte em r3 temos maior que e em r4 temos maior que além disso os pontos sobre a curva signica que a equação 1.9 possui duas raízes reais e iguais exemplo 1.4 1 x2 2x 3 0 complexas 11 a2 3 e pelo diagrama acima a equação possui duas raízes

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compêndio do blog fatos matemáticos 2 x2 2x 1 0 iguais volume 1 n 1 b 2 1 e pelo diagrama acima temos duas raízes reais e os pontos c d e e no diagrama acima são referentes as equações x2 4x 1 0 x2 x 1 0 e x2 4x 2 0 respectivamente e a análise ca à cargo de leitor referência bibliográca wikipédia 1.6 algumas propriedades das equações cúbicas autor prof ms paulo sérgio c lino denição 1.1 uma equação do 3 grau é uma expressão da forma ax3 bx2 cx d 0 sendo a b c d r com a 0 1.10 fazendo a mudança de variável x y b 3a obtemos a equação 1.11 y 3 py q 0 onde p b2 c 2 a 3a e q 2b3 bc d 2 3 27a 3a a assim o estudo da equação 1.10 reduz ao estudo das equações da forma 1.11 o teorema fundamental da Álgebra arma que toda equação polinomial de grau n possui n raízes em c contando suas multiplicidades dessa forma 1.11 possui 3 raízes em c teorema 1.1 a equação 1.11 possui pelo menos uma raiz real demonstração seja f x x3 +px+q sendo limx f x limx f x e f uma função contínua existe r tal que f 0 corolário 1.1 se p 0 a equação 1.11 possui uma única raiz real de sinal contrário ao do termo independente demonstração sendo f x 3x2 p 0 segue que f x é crescente para todo x r o que garante a unicidade da raiz seja a raiz da equação x3 px q 0 assim 3 p q 0 q 2 2 p 0 ou seja o sinal da raiz real é oposto ao sinal do termo independente 12

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compêndio do blog fatos matemáticos volume 1 n 1 denição 1.2 o discriminante da equação 1.11 é dado por p3 q2 27 4 teorema 1.2 a equação 1.11 possui três raízes distintas se e somente se 0 demonstração se q 0 então 0 se e somente se p 0 se e somente se x3 +px 0 possui 3 raízes reais distintas suponhamos que q 0 e a equação dada possui 3 raízes reais distintas assim f x x3 px q então f x possui dois pontos críticos x1 p 3 p 3 e x2 reais tal que f x1 · f x2 0 assim 0 f x1 · f x2 f x1 · f x1 x3 px1 q · x3 px1 q 1 1 4p3 27 reciprocamente se 0 então 4p3 -27q 2 0 pois q 0 assim p 0 donde segue 0 q 2 x3 px1 2 q 2 1 ou seja que f x 0 possui dois pontos críticos dados por x1 p 3 e x2 p 3 pelo teste da segunda derivada x1 é um ponto de máximo local e x2 é um ponto de mínimo local mas f x1 · f x2 f x1 · f x1 q 2 4p3 4 0 27 logo a equação 1.11 possui 3 raízes reais distintas observação 1.4 devido a este teorema 0 se e somente se x3 px q 0 admitir apenas uma raiz real 1.7 o triângulo mágico 3x3 autor prof ms paulo sérgio c lino uma das recreações matemáticas que pode ser utilizado em sala de aula é a composição dos quadrados mágicos que é um arranjo retangular 3 × 3 4 × 4 ou 5 × 5 em que os elementos das linhas colunas e diagonais possuem soma constante uma versão mais simples e introdutória do quadrado mágico que pode ser explorada numa aula de sistemas lineares é a composição do triângulo mágico conforme a gura ao lado em que 13

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compêndio do blog fatos matemáticos volume 1 n 1 a soma dos números 1 2 3 4 5 e 6 dispostos adequadamente nos lados deste triângulo é igual a 10 surgem as perguntas 1 será que existem outros arranjos de modo que a soma sejam outro valor além de 10 2 existe uma técnica para preencher esses números para responder essas perguntas fazemos um arranjo dos elementos r s t u v x no triângulo acima sendo esses elementos pertencentes ao conjunto {1 2 3 4 5 6 conforme gura abaixo suponhamos que a soma dos elementos em cada uma das três linhas sejam todos iguais a k um natural que queremos determinar assim temos um sistema linear com 3 equações e 6 variáveis ou seja r+s+t=k r+x+v =k t+u+v =k somando estas expressões temos 2r t v s x u 3k 1.12 mas r t v s x u 1 6 6 × 7/2 21 donde segue que s x u 21 r t v 1.13 substituindo 1.13 em 1.12 obtém-se r t v 3k 7 1.14 mas r t v 1 2 3 6 de modo que 3k 7 6 r t v 4 5 6 15 de modo que 3k 7 15 14 k 9 por outro lado k 12

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compêndio do blog fatos matemáticos volume 1 n 1 esses são os únicos valores possíveis para k ou seja existem apenas 4 triângulos mágicos cuja soma dos elementos do conjunto {1 2 3 4 5 6 é 9 10 11 e 12 substituindo 1.14 em 1.12 segue que s x v 314 k 1.15 fazendo k 9 12 em 1.14 obtém-se r t v igual a 6 9 12 e 15 respectivamente analogamente para esses mesmos valores de k na expressão 1.15 obtém-se s x u igual a 15 12 9 e 6 respectivamente assim para k 9 temos o par 6 15 ou seja a soma dos elementos dos vértices do triângulo é igual a 6 e dentre das escolhas possíveis a única é r 2 t 3 e v 1 e a soma dos elementos interiores aos lados é igual a 15 segue que a única escolha é s 4 x 6 e u 5 os outros casos são análogos 1.8 a lei dos cossenos através da regra de cramer autor prof ms paulo sérgio c lino as vezes a relação entre assuntos de áreas distintas da matemática nos surpreende muito por exemplo todos conhecem a lei dos cossenos que diz que o quadrado de um lado qualquer de um triângulo é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles e uma demonstração clássica segue através do teorema de pitágoras É interessante observar que regra de cramer para resolver sistemas lineares através de determinantes veja na imagem acima um exemplo pode ser usada para fornecer uma demonstração da lei dos cossenos para isso considere a gura abaixo aplicando a denição do cosseno nos triângulos adc e bcd segue que m b cos a e n a cos b de modo que c m n a cos b b cos a 1.16 analogamente a b cos c c cos b b a cos c c cos a 15 1.17 1.18

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