Malba

 

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Description

é um livro de matemática.

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malba tahan as maravilhas da matemÁtica com o parecer matemÁtico em posfÁcio do prof jessÉ montello bacharel e licenciado em matemÁtica pela faculdade nacional de filosofia e catedrÁtico de anÁlise matemÁtica e cÁlculo atuarial da u f r j segunda edição brasileira 1973 copyright © 1972 by bloch editores s a direitos exclusivos para a língua portuguesa bloch editores s a rua do russell 804 rio de janeiro gb brasil printed in brazil

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obras de malba tahan aqui citamos apenas 16 das 113 obras de m t o homem que calculava prémio da academia brasileira de letras romance em 25.a edição traduzido para o inglês e para o espanhol a sombra do arco íris em 10.a edição novela-antologia a única no mundo na qual são citados 843 poetas brasileiros céu de allah em l l a edição coletânea dos mais famosos contos orientais salim o mágico romance sírio-libanês maktub lendas orientais traduzido para o inglês o mistério do mackenzista romance policial verídico a arte de ler e de contar histórias em 6.a edição obra puramente didática numerologia estudo do número do nome e do destino paca tatu contos infantis mistificações literárias o negro em literatura romance do filho pródigo novela histórica inspirada no evangelho de são lucas a arte de ser um perfeito mau professor obra didática o mundo precisa de ti professor estudo da ética profissional do professor obra didática lendas do céu e da terra em 13 a edição obra aprovada pela igreja católica antologia da matemática obra recreativa e cultural sob o olhar de deus romance espiritualista ao coronel urassy benevides o bom e dedicado amigo que tanto se interessou pela publicação deste livro homenagem do autor malba tahan caxambu 1972.

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sumário oumariu prefácio introdução 1 estranho vocabulário de termos incompreensíveis 2 os mártires da matemática 3 o papa que foi esquartejado papa 4 como surgiram o e o a matemÁtica É a rainha das ciÊncias a aritmÉtica É a rainha da matemÁtica karl friedbich gauss 9 11 13 19 25 29 37 37 41 51 51 5 5numeração numeração pré-colombiana pré-colombiana 6 definições euclidianas 7 o número quatro na mística oriental e o número três entre os romanos entre os romanos o pensamento matemÁtico 8 8 as aparências que enganam as aparências que enganam 10 o heptágono 10 o heptágono 11 um repouso 11 um repouso 9 a curva predileta dos 9 a curva predileta dos poetas regular e seu perfume regular e seu peifume de dezoito séculos de dezoito séculos 55 55 59 65 65 69 69 73 73 83 83 85 89 91 91 12 os ternos pitagóricos e o amor sincero 12 os ternos pitagóricos e o amor sincero 13 as curvas matemáticas nos animais e nas plantas 13 as curvas matemáticas nos animais e nas plantas 14 o problema das bolas misturadas precisamos procurar o pensamento matemÁtico onde Êle se conserve puro isto É na aritmÉtica henri poincarÉ ciÊncia e mÉtodo 15 a geometria ideal e a realidade 15 a geometria ideal 16 17 18 18 16 o quadrado mágico e o jogo de xadrez o quadrado magico e o jogo de xadrez seu venâncio e as dez pontas de cigarro patas e chifres no palácio do rei patas e chifres no palácio do rei 97 101 101 19 a 19 a 20 o 20 o alta matemática das abelhas geómetras alta matemática das abelhas geómetras número pi numa trova bem rimada número pi numa trova bem rimada 105 105 113 113 115 115 21 círculos que se tocam com harmonia e beleza 21 círculos que se tocam com harmonia e beleza

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22 o milhão seu retrato e seu prestígio 23 a estranha numeração dos maias 24 homens e mulheres numa festa mal organizada 25 curiosidades numéricas que assombram os calculistas 2 6 0 problema dos anjos de efraim 27 a unidade caçula o micrômetro 28 a pirâmide humana de newton 29 a curva perfeita do laço de fita 30 o problema das quinze laranjeiras bem plantadas 31 filhos netos e perucas em equação 32 gato e rato aos pulos uniformes 33 a idade fantasiosa de um poeta 34 o palmo o palminho e outras medidas 35 goethe e a tabuada da feiticeira 36 problemas charadas e enigmas 37 curva patológica com ponto isolado 38 ao reflorir suave das rosáceas 39 o simples complicadíssimo e o não-simples corriqueiro 40 o problema da besta e a solução do sábio 41 o estranho mistério dos calculistas famosos 42 circunferência feita com retas 43 a paixão e a vez de sofia kovalevskaia 44 um paradoxo incrível no infinito 45 quatro símbolos universais famosos 46 as barricas passam a fronteira 47 o método experimental em matemática 48 o Último e famoso teorema de fermat 49 o ponto de ouro sua beleza e seu mistério Índice das curiosidades Índice alfabético de nomes citados 119 125 129 131 133 137 141 145 151 153 157 159 163 169 173 179 183 189 193 195 197 199 203 207 215 219 221 227 251 253 prefácio agrada-me mais a dúvida do que o saber dizia dante e esta é a essência da matemática completa séculos depois benjamín franklin muita gente lamenta ter estudado isso ou aquilo consideram tempo perdido ou esforço inútil em relação à matemática porém não houve até hoje quem lastimasse o tempo empregado em seu estudo o arrependimento só brotou no espírito daqueles que não poderiam ter levado em adiantamento os estudos da matemática o próprio voltaire embora escritor não hesitou em afirmar havia mais imaginação na cabeça de arquimedes do que na de homero declarava o espanhol rey pastor um dos maiores geômetras deste século 1888-1961 a recreação matemática é um dos mais preciosos recursos motivadores de que podemos dispor para lecionar com êxito uma turma de adolescentes e salientando a importância do ensino da parte histórica da matemática opinou felix klein 1849-1925 um dos mais insignes didatas na matéria o professor que ensina a matemática desligada de sua parte histórica comete verdadeiro atentado contra a ciência e contra a cultura em geral.

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aquele que ensina matemática e que não pratica de quando em quando uma recreação aritmética pode ser um gênio como poincaré um novo weierstrass do século xx um george cantor da Álgebra moderna mas será sempre um péssimo um detestável professor e aqui acrescentamos as judiciosas palavras de edward everett 1794-1865 em orações e discursos a matemática existiu não unicamente nos domínios da metafísica mas na simples contemplação real da razão suprema Á razão humana em sua inspiração percorrendo toda a natureza e a vida em busca de imaginação para expressar a sabedoria e o poder de deus encontra a matemática simbolizada no engenho da obra do criador deus dimensionou os céus como se usasse régua e compasso e um sábio antigo sem falsidade ou irreverência ousou dizer deus é um geômetra ademais as divagações curiosas as recreações numéricas apresentam para o sábio valor imenso vejamos a opinião de joseph louis françois bertrand 1822-1900 um dos maiores vultos da análise matemática mathesis essas pesquisas curiosas que euler apreciava acima de todas as divagações científicas não devem ser consideradas como recreações pueris e inúteis pois por sua natureza intelectual valem tanto como as mais belas descobertas teóricas uma simples recreação aritmética sobre números primos até ao matemático poderá interessar como disse o analista alemão ]acob jacobi 1804-1851 um dos génios exponenciais da análise a finalidade única da ciência é honrar o espírito humano e dentro desse ponto de vista uma recreação entre números vale tanto quanto uma nova teoria sobre o sistema dos mundos e deve o professor de matemática conhecer as recreações numéricas os paradoxos curiosos e os episódios pitorescos relacionados com a ciência cumpre pois ao bom professor apresentar a matemática com encanto e simplicidade de modo a torná-la leve e agradável ao educando fazer dela uma ciência cheia de atrações e faces pitorescas £ preciso que o adolescente tome gosto pela matemática que na opinião do filósofo e matemático francês charles laisant 1841-1920 é o mais maravilhoso instrumento criado pelo homem para a descoberta da verdade introdução se o ensino da matemÁtica nos cursos bÁsicos fosse feito como realmente deveria ser com vivo interesse clareza e simplicidade essa fabulosa ciÊncia exerceria sobre todos os homens estranha e desmedida fascinaÇÃo rey pastor 1898-1961 conferÊncias 102 a finalidade precípua deste livro pode ser esclarecida em poucas palavras pretendemos oferecer uma coletânea bem variada de pequenos trechos sobre os mil e um temas curiosos vivos e interessantes que repontam no campo imensurável da ciência e que vão reflorir com as sete cores da fantasia no prodigioso jardim da matemática o leitor que abrir este livro professor estudante ou curioso vai encontrar em suas páginas não teorias mirabolantes ou integrais rebarbativas mas pequenos episódios dados históricos problemas pitorescos definições estranhas curvas patológicas direta ou indiretamente relacionadas com a matemática a diversidade dos assuntos abordados é imensa saltamos de um tema para outro bem diverso e assim procedemos não só para explorar certos contrastes mas também para evitar as velhas rotinas e assim passamos na sucessão descontínua das ideias e dos fatos de um problema pitoresco para a crítica de alguma carcomida definição de euclides da torre faraônica do alexandrino para um comentário irreverente de marcel boll deixamos o verboso geômetra francês para ouvir certo paradoxo desconcertante de bertrand russell 1872-1970 e antes de encerrar as páginas voamos em dois segundos para roma do século i e palestramos com abacistas escravos nas escadarias do palácio de tibério césar,

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tomemos para servir de exemplo uma das palavras entre as complicadas e obscuras a nossa escolha vai recair sobre o hexadecaedróide o que será nos domínios da ciência um hexadecaedróide depois de aludir ao hexa prefixo erudito de origem grega que dá a idéia de seis ao deca prefixo de origem grega que dá a ideia de dez ao edro do grego hedro face c à terminação óide que exprime formação parecença o gcômctra explica muito sério com a maior naturalidade e sem o menor traço de dúvida ou incerteza tratar-se de um poliedro tetradimensionol cujo contorno é formado por 16 tetraedros tem 32 faces triangulares 24 arestas e 8 vértices.3 ao ouvir essa definição um tanto estranha o leitor certamente protestará e com muita razão sendo um poliedro de quatro dimensões isto é tctradimcnsional é claro que o hexadecaedróide não existe no espaço cm que vivemos tridimensional não há corpo algum com quatro dimensões sim concorda prontamente o geômetra Ésse poliedro realmente não existe não poderá existir jamais É uma simples abstração mas isso não impede que receba belíssimo e erudito nome de batismo que venha a ser estudado por suas notáveis propriedades e que possa ser projetado e desenhado rigorosamente no nosso espaço isto é num espaço de três dimensões podemos até conhecida a sua aresta calcular a sua área tota c achar seu volume em metros cúbicos sem erro vejam como o matemático é imaginoso c surpreendente estuda as propriedades calcula a área determina o volume de um poliedro que não existe e que jamais chegará a existir deixemos porém essas abstrações matemáticas c passemos ao mundo real tomemos inicialmente o termo eqüidecomponível vejamos como esclarecer o seu conceito 3 cf mutila c ghycka esthétiques des proportions datis ia nature et dans les ars paris 1927 pág 434 14 consideremos os dois polígonos a c b que aparecem na figura ao lado a é um quadrilátero ou melhor é um retângulo nesse retângulo a uma das dimensões é precisamente o triplo da outra b é um hexágono regular não-convexo com lados paralelos apresentando cinco ângulos retos e um ângulo reentrante de 270 graus.4 os polígonos acbnão são iguais mas cada um deles como os polígonos aebsão figuras a figura mostra pode ser decomeqüidecomponíveis posto em três quadrados os seis quadrados assim obtidos são iguais dizemos então que os polígonos acbsão decomponíveis em figuras respectivamente iguais são por êsse motivo denominados figuras eqiiidecomponíveis eis a definição rigorosa formulada de acordo com os princípios da lógica matemática duas figuras são eqiiidecomponíveis quando podem ser decompostas em partes respectivamente iguais fica assim explicado de maneira bem clara c elementar o conceito de figuras eqüidecomponíveis passemos agora ao trilíneo a que se chama um trilíneo ensina o filósofo e matemático p sergescu em les recherches sur 1 lnfini mathématique e ensina com surpreendente clareza chama-se trilíneo a uma figura fechada formada por dois segmentos perpendiculares ab e ac e um arco bc o trilíneo é uma espécie de triângulo retângulo cuja hipotenusa tenha sido substituída por uma curva simples Ê um triân4 esse hexágono não-convexo apresenta diagonais exteriores e Êsse diagonais singulares 15

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gulo retângulo degenerado o famoso triângulo de barrow ou triângulo característico que aparece no estudo do cálculo diferencial é um trilíneo abundante colheita de termos totalmente esdrúxulos poderíamos fazer no dicionário de matemática do prof francisco vera 5 trata-se de um livro notável c o seu autor ao lado do famoso rey pastor é incluído entre os mais famosos matemáticos deste século as suas obras aliás numerosas sobre todos os ramos da ciência são de projeção mundial apontemos apenas cinco dos mil conceitos estudados e esclarecidos pelo prof vera multivértice oxigônio pitmene plectóide e del vejamos inicialmente como definir um multivértice figura que poucos geômetras consultados de momento por um aluno saberiam traçar sobre uma folha de papel marque por exemplo seis pontos quaisquer tenha porém o cuidado de fazer com que não haja na figura três pontos em linha reta se você unir os seis pontos dois a dois por meio de segmentos de retas e admiti-los prolongados vai obter uma figura formada por quinze rctas distintas a essa figura o geômctra dá a denominação de um multivértice.6 resolvido o caso do multivértice passemos ao estranho oxigônio vamos abrir o dicionário do prof vera na letra o lá está de forma bastante sintética oxigônio acutângulo assim um banalíssimo triângulo equilátero é um oxigônio o chamado hexagrama escudo de david é formado por dois oxigônios passemos agora ao conceito de pitmene 5 6 7 f vera kapelusz buenos aires 1960 f vera op cit pág 458 f vera op cit pág 496 16 7 a palavra é de origem grega chama-se pitmene de um número natural n ao resto da divisão desse número por 9 É o resultado que se obtém quando se aplica a um número a chamada regra dos nove fora 8 assim o pitmene de 1.705 é 4 o pitmene de 88 é 7 o pitmene de 189 é 9 o grego não conhecia o zero o termo como se vê é difícil e exótico dentro da sua forma helênica erudita mas a sua noção é muito simples aparece até no curso primário plectóide ensina o prof vera era o nome que os gregos antigos davam à superfície que é agora denominada helicóide o helicóide é conhecidíssimo aparece em todos os parafusos cada parafuso é pois para falar difícil uma espécie de plectóide e o del você que já estudou matemática que conhece com todas as minúcias a geometria e domina os prodigiosos segredos da trigonometria poderá definir o del que é um del ora o del esclarece mais uma vez o prof vera é a primeira sílaba da palavra delta nome da quarta letra do alfabeto grego chama-se del ao acréscimo dado a uma função assim consideramos a função y x2 que toma os valores 1 4 9 16 25 36 quando atribuímos a x respectivamente os valores 1 2 3 4 5 6 quando a função passou de 25 para 36 teve um acréscimo de 11 esse acréscimo 11 é o del da função quando x passa de 5 para 6 o del de uma função pode ser positivo nulo negativo e pode ser até infinito 8 f vera op cit pág 516 17

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o del afinal é coisa muito séria para uma função esclarecemos assim sob forma simples c elementar certos conceitos que pareciam complicados obscuros e dificílimos algumas palavras porém inventadas pelos matemáticos parecem tiradas de um vocabulário sem pé nem cabeça já disse voltaire há algo de prodigioso na imaginação dos matemáticos 2 os mártires da matemática assim como hÁ os mÁrtires do dever os mÁrtires da liberdade e os mÁrtires da fÉ É claro que devem ter havido tambÉm no eterno evoluir da ciÊncia os mÁrtires da matemÁtica quando surgirÁ um novo e genial chateaubriand que depois de pesquisar o passado se resolva a assombrar o mundo com uma nova e emocionante histÓria dos mÁrtires do algebrismo curiosidades a origem do verbo decifrar o vocábulo cifra que vem do árabe sifr o que significa vazio tomou na frança a forma chiffre e em portugal a forma cifra a numeração árabe logo que surgiu não era compreendida por uma grande maioria da população as pessoas de limitada cultura viam nas cifras arábicas sinais cabalísticos complicadíssimos era preciso interpretar as cifras isto é decifrar aqueles símbolos estranhos foi assim que surgiu o verbo decifrar ainda no ano de 1529 o fisco florentino exigia que a universidade fixasse os preços dos livros não por meio de cifras algarismos arábicos mas por meio de letras claras algarismos romanos pois o fisco não dispunha de funcionários capazes de interpretar as tais cifras cf rey pastor e manuel pereyra aritmética vol 1927 pág 48 a matemática também já teve seus mártires e é justo que sejam assinalados pela história aqueles que deram a vida pela ciência dos números o escritor francês a rebière em seu livro mathématiques et mathérnaticiens,1 refere-se a singular e curioso episódio querendo certa vez o tzar ivan iv apelidado o terrível divertir alguns nobres que o acompanhavam propôs um problema a george petrakov geômetra da corte tratava-se de determinar quantos tijolos seriam necessários à construção de um edifício regular cujas dimensões eram indicadas a resposta de petrakov foi rápida e a construção terminada pouco tempo depois veio confirmar a exatidão de seus cálculos o tirano impressionado com esse fato mandou queimar o matemático persuadido de que assim procedendo livrava o povo russo de feiticeiro perigoso 1 paris 1926 pág 260 a matemática e a duração da vida segundo mareei boll geômetra francês a duração da vida humana vai depender do progresso da matemática nos domínios das ciências biológicas com o auxílio da matemática a vida de um homem dentro de um futuro bem próximo será em média de quatrocentos anos aguardemos pois com paciência as pesquisas dos matemáticos dentro das ciências biológicas para que a terra seja povoada de matuzaléns quatrocentões e todos bem felizes da vida com muita saúde e muita energia 18

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não menos interessante é o caso que o algebrista francês f j duarte cita com destaque no prefácio de um de seus livros nouvelles tables logarithmiques.2 em 1746 o matemático espanhol rodrigo mendoza ao rever uma tábua náutica de sua autoria verificou que havia nela um erro em meio de uma imensa tabela que continha milhares de valores um dos elementos dados que seria precisamente 0,7134 havia sido substituído por outro número por exemplo 0,7164 um pouco diferente do verdadeiro na sua parte decimal o engano numérico em si parecia não ter importância alguma aquela diferença mínima na casa dos milésimos não deveria exigir nem mesmo a intercalação de simples errata mendoza porém ficou seriamente preocupado com o equívoco que poderia ser atribuído à falta de perícia de sua parte ao usar a tabela um piloto por triste fatalidade poderia ser levado a empregar o número errado como se fosse certo e dessa troca de valores adviria com certeza um desastre uma fragata encalhada um naufrágio com centenas de mortos preocupado ao extremo com as possíveis consequências desastrosas ou com as prováveis calamidades decorrentes do erro o infeliz calculista praticou o ato extremo de desespero enforcou-se o geômetra russo sacrificado pela ignorância perversa de ivan o terrível e o calculista espanhol levado ao suicídio foram dois mártires da preocupação de rigor que orienta o espírito matemático a leitura meditada de certas páginas da história traz ao nosso espírito a certeza de que além do espanhol mendoza e do russo petrakov houve várias outras figuras que poderíamos apontar como verdadeiros mártires da matemática citemos por exemplo o caso de pitágoras século vi a c que foi massacrado juntamente com sua esposa teano e trinta e oito discípulos pelos partidários de cilo inimigo rancoroso dos gcômetras ao lado de pitágoras colocaríamos a dedicada hipatia 375-415 filha do matemático théon de alexandria que conseguiu captar dezenas de discípulos que dela se aproximaram atraídos pela sua eloquência pela sua beleza e pelas suas virtudes 2 paris 1928 gauthier-vilars 20 os cristãos intolerantes não viam a jovem com simpatia pois hipatia era pagã embora na sua escola se formasse entre outros o futuro bispo de ptolemais sinésio de cirene essa formosa mulher dotada de excepcional tatento para as abstrações da geometria que comentou as obras de apolônio e diofante teve um fim trágico foi linchada pela população exaltada durante um motim ocorrido nas ruas de alexandria não devemos esquecer o estranho luís lílio médico matemático c astrônomo calabrês do século xvi que na realidade se chamava aloigi giglio latinizado para alousius lilius a convite do papa gregório xiii participou do concurso que reuniu todos os astrónomos cristãos para retificar o calendário juliano luís lílio estudou êsse problema de alto relevo para a humanidade e apresentou um plano completo para a medida do tempo ao longo dos séculos mas luís lílio ficou tomado de grave preocupação moral e se os seus cálculos não estivessem certos teria havido de sua parte algum erro no valor aproximado do ano trópico torturado pela angústia da incerteza sentindo a imensa responsabilidade que pesava sobre seus ombros luís lílio praticou um ato de desespero suicidou-se sua obra apresentada ao papa e aos cardeais por seu irmão antónio foi aprovada pelo papa gregório xiii em sua célebre bula de 1582 que estabeleceu o novo calendário no mundo cristão luís lílio inscreveu-sc assim entre os mártires da matemática e há sobre êsse drama pungente do matemático angustiado uma particularidade impressionante o primeiro erro não previsto para o cálculo de luís lílio ocorrerá precisamente no ano 3320 nesse ano os astrónomos deverão retificar a obra do genial calabrês o mês de fevereiro do ano 3320 deverá ter apenas vinte c sete dias o outro erro será assinalado no ano 6640 em ambos os casos o dia descontado resultará de uma falta de cálculo tão insignificante que de modo algum justificaria o suicídio outro mártir famoso da matemática foi arquimedes o grande geômetra da antiguidade quando as tropas romanas sob o comando de marcelo investiram contra siracusa arquimedes achava-se num canto da praça de juno preocupado com o estudo e resolução de um problema 21

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inteiramente absorvido com seus cálculos e raciocínios enlevado pelas abstrações de suas pesquisas não percebeu que os assaltantes inimigos já haviam tomado a cidade cujas ruas eram percorridas por grupos exaltados e violentos de soldados romanos muitos dos quais se entregavam ao saque e à pilhagem conta-se que em dado momento um soldado romano aproximou-se do geômetra e intimou-o a ir no mesmo instante à presença de marcelo rccusou-sc arquimedes a atender àquela intimação e replicou que só iria à presença do general depois de ter encontrado a solução do problema que naquele momento prendia a sua atenção enfurecido com a recusa o soldado sacou da espada e matou o geômetra no mesmo instante há ainda outra versão para a morte de arquimedes três ou quatro romanos percorriam por ordem superior as ruas de siracusa em busca de mercenários foragidos esses soldados avistaram arquimedes e curiosos aproximaram-se dele estranharam a atitude do geômetra como poderia aquele siracusano sob o crepitar da guerra alheio a tudo distrair-se em rabiscar figuras na areia este velho deve ser um feiticeiro palpitou um dos soldados que estará tramando contra roma vamos acabar com suas artimanhas e dizendo isso começou a pisotear a figura que arquimedes esboçara o geômetra protestou que estás fazendo ó romano não apagues a figura deixa-me cm paz o zelo que o sábio revelou pelo desenho irritou os soldados que o assassinaram no mesmo instante uma terceira versão para o fim trágico do geômetra siracusano pode ser lida no historiador plutarco cm vida de marcelo dirigia-se arquimedes para o palácio em que se alojara marcelo c levava numa caixa certos instrumentos matemáticos compassos pequenas esferas transferidores modelos de triângulos e t c que pretendia o sábio com aquele pequeno laboratório de geometria afirmam alguns que êle pretendia mostrar a marcelo como seria possível medir o diâmetro do sol ou calcular a distância terra sol 22 alguns soldados desconfiaram qual seria o conteúdo de tal caixa ouro com certeza e arquimedes foi assaltado c morto por eles o certo conta-nos plutarco é que a morte do geômetra causou profundo desgosto a marcelo mandou procurar os parentes de arquimedes c honrou-os com assinalados favores anísio mânlio torquato severino boécio filósofo e poeta que viveu em roma na primeira metade do século vi poderia ser incluído entre os mártires da ciência são notáveis os seus trabalhos sobre aritmética música geometria e astronomia É dele a denominação de quadrivio dada às quatro partes em que os antigos dividiam a matemática eis os nove algarismos de boécio alguns foram totalmente modificados pelos calculistas esse famoso comentador de platão tinha a preocupação de inventar formas especiais para os diversos algarismos o cinco por exemplo na obra de boécio era representado por uma pequena haste vertical acrescida de uma curva com a abertura voltada para a esquerda os calculistas repeliram essas fantasias c preferiram para os algarismos formas mais simples e mais práticas as formas indoarábicas devemos acrescentar que foi graças às obras de boécio que a europa medieval pôde estudar c aprender geometria e aritmética boécio que teve a glória de ser citado por dante na divina comédia foi condenado à morte pelo rei teodorico e executado como traidor morreu sob tortura uma corda foi enrolada em sua cabeça e a seguir o carrasco apertou essa corda até causar a morte do condenado o suplício ocorreu no batistério da igreja de ticínio 23

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nem mesmo sôbrc sua sepultura puderam figurar os estranhos algarismos que êle havia tentado impingir aos matemáticos como se poderia explicar sua condenação boécio era homem íntegro e bondoso ao ser eleito cônsul moveu tremenda campanha contra os funcionários públicos desonestos e corruptos que roubavam camponeses e saqueavam os pequenos proprietários criando assim centenas de inimigos impiedosos e todos de certo prestígio na corte logo que houve oportunidade os nobres odientos inventaram uma série de intrigas contra o insigne matemático e este foi pelo próprio rei teodorico condenado à morte tinha o genial neoplatônico cinquenta e um anos de idade 3 o papa que foi esquartejado o papa silvestre ii É apontado como uma das figuras mais curiosas da histÓria da igreja nascido na franÇa por volta do ano 9 3 0 teve a glÓria de ser o primeiro a publicar em livro os algarismos do sistema indo-arÁb1co e indicar curiosidade um mártir da matemática na china escreveu o prof carlos galante de são paulo em seu livro matemática 1.ª série o ábaco também denominado quadrado calculador foi durante milhares de anos o único instrumento que a humanidade possuía para as operações de calcular segundo a lenda o ábaco foi inventado ao redor do ano 2000 a.c por um mandarim chinês com o intuito nobre de facilitar ao povo a facilidade de fazer as contas e assim conhecer o valor das mercadorias que era obrigado a entregar como impostos sua generosidade custou-lhe a vida pois ao imperador interessava manter o povo na mais completa ignorância o uso do ábaco entretanto foi-se expandindo aos poucos entre os povos vizinhos da china esse mandarim degolado por ordem de um tirano vinte séculos antes de cristo foi um dos primeiros mártires da matemática as quatro primeiras operaÇÕes com esses algarismos o fim do papa geÔmetra foi trÁgico na memorável dinastia espiritual duas vezes milenária dos sumos-pontífices devemos destacar de modo especial a figura de silvestre ii que foi matemático e por todos os títulos o homem mais sábio do seu tempo os historiadores apontam silvestre ii como pioneiro da divulgação no ocidente latino do sistema de numeração indo-arábica no longo desfilar dos séculos silvestre ii foi o único papa geômetra o seu nome era gerbert e a frança a sua pátria estudou a princípio em aurillac sua terra natal e mais tarde na espanha onde assimilou grande parte da ciência árabe ao traçar a biografia de gerbert escreveu o padre leonel franca s j foi professor na corte de oton ii da alemanha e depois em reims e finalmente em paris a celebridade européia que lhe aureolava o nome apontava-o como o homem mais sábio do seu tempo em 982 foi escolhido como abade de 25 24

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bobbio na itália em 991 foi elevado a arcebispo de reims e mais tarde em 998 tornou-se arcebispo de ravena em 999 subiu ao trono de são pedro com o nome de silvestre ii as suas cartas publicadas por j havei mostram-nos como êle se ocupava com a matemática especialmente com a aritmética e com a geometria nesse tempo a sua maior benemerência é a de haver introduzido ou pelo menos vulgarizado no ocidente latino o emprego da numeração indo-arábica concorrendo assim para tornar o cálculo muito menos trabalhoso e menos complicado acusado por seus inimigos de ter vendido sua alma ao diabo ficou silvestre ii nas últimas semanas de sua vida sob o ódio e prevenção dos fanáticos logo depois de sua morte seu corpo foi arrastado para um pátio mutilado e a seguir esquartejado pelos cardeais É estranho o fim trágico do único papa que sabia aritmética c geometria silvestre ii o papa geômetra morreu no ano 1003 e deixou uma obra muito interessante intitulada regula de numerorum o trágico episódio do esquartejamento do corpo de silvestre ii está relatado cm a f vasconcelos no livro história da matemática na antiguidade pág 622 outra citação encontramos cm olavo bilac conferências pág 142 o historiador português a f vasconcelos conta-nos como foi acidentada embora brilhante a carreira do gcômetra que chegou a papa no século x gerbert de família muito pobre do auverne depois de fazer sua educação na escola abacial de aurillac passou à espanha onde recebendo o influxo das escolas árabes aprofundou o estudo das matemáticas adquirindo grande saber e conhecimento que o fizeram justamente admirado particularmente na construção de ábacos e de globos terrestres e celestes dos quais fazia uso nas suas lições mecânico distinto além disso parece que imaginou um certo relógio conservado durante muito tempo em magdeburgo e um órgão hidráulico que segundo o historiador guilherme de malmesburry existia na igreja de reims ainda no seu tempo 1250 a sua reputação e fama de um tão grande 26 saber levaram os contemporâneos à idéia de estar gerbert vendido ao diabo o que não obstou apesar das intrigas e das odiosas acusações de muitos que mestre tão notável fosse protegido de hugo capelo que lhe confiou a educação de seu filho roberto depois rei de frança sob o amparo de otão iii e do papa foi gerbert sucessivamente nomeado abade de bobbio 982 arcebispo de reims 991 arcebispo de ravena 998 e mais tarde eleito papa tomou o nome de silvestre ii 999-1003 com vida tão acidentada mas tão brilhante gerbert conseguiu formar uma importante biblioteca com as cópias de grande número de obras clássicas latinas e êle próprio compôs muitas obras científicas em que se compreendem um tratado sobre ábaco regula de ábaco computi com o aperfeiçoamento resultante do emprego de caracteres diferentes ou ápices para cada um dos números de 1 a 9 que permitiam apresentar os números da mesma maneira que com as cifras gobar mas sem o símbolo para zero que os árabes adotaram derivando-as das cifras devaganari da Índia deixou ainda um escrito aritmético de numerorum divisione e uma geometria com aplicações à agrimensura e à determinação da altura dos objetos inacessíveis.1 curiosidades os círculos perpendiculares dois círculos podem ser perpendiculares sim dois círculos que se cortam podem ser ortogonais Ê necessário e suficiente que as tangentes t e t a esses círculos sejam perpendiculares o ângulo u indicado na figura é o ângulo dos dois círculos como vemos na figura o ângulo u é reto 1 cf a vasconcelos história das matemáticas na antiguidade lisboa 1910 págs 622 e seguintes 27

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o selo de maomé essa figura é por muitos autores denominada selo de maomé segundo a lenda maomé nos momentos mais solenes da sua vida tirava de sua cimitarra e traçava na areia sem levantar a ponta da cimitarra esses dois crescentes entrelaçados a figura do selo de maomé é estudada no capítulo das curiosidades geométricas denominado problema do traçado contínuo há um duplo erro nessa denominação dada a essa figura 1.° o crescente não é árabe é otomano é turco foi criado por maomé ii quando em 1453 conquistou constantinopla 2° maomé o profeta dos Árabes nunca usou cimitarra era um homem extremamente pacífico e bom 4 como surgiram o e o É interessante investigar ao longo da histÓria a origem dos sinais de operaÇÃo usados em matemÁtica como apareceu o sinal mais qual foi o calculista que inventou o sinal menos ao estudarmos a evoluÇÃo das notaÇÕes algÉbricas esbarramos com lendas que nÃo deixam de ser originais e certamente bem motivadoras a astróide curva unicursal famosa que foi estudada pelo geômetra suíço jacques bernoulli 16671748 a astróide é uma curva algébrica do 6.° grau que pode ser definida por uma equação cartesiana e derivada do círculo qual a origem do sinal mais da adição e do sinal menos da subtração como surgiram essas notações matemáticas tão práticas e tão simples há uma lenda muitas vezes citada que explica de forma bem curiosa a origem desses sinais tão correntes nos cálculos e nas fórmulas vamos apresentar a lenda na sua versão mais resumida havia já lá se vão muitos anos numa cidade da alemanha um homem que negociava em vinhos recebia esse homem diariamente vários tonéis de vinho os tonéis que chegavam do fabricante eram cuidadosamente pesados se o tonel continha mais vinho do que devia o homem marcava-o com um sinal em forma de cruz esse sinal indicava mais isto é mais vinho um excesso se ao tonel parecia faltar uma certa porção de vinho o homem assinalava-o com um pequeno traço tal sinal indicava menos isto é menos vinho uma falta desses sinais usados cf revista escola secundária n.° 2 28 29

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no papiro rhind o documento matemático mais antigo data do ano 2200 a.c a adição é cm geral indicada pela palavra t emet colocada entre as parcelas t emet asseguram os sábios egiptólogos é um verbo e significa totalizar em alguns casos o fabuloso ahmés autor do papiro emprega o verbo uah cuja tradução seria ajuntar assim a soma 9 1 o egípcio escrevia vinte séculos antes de cristo sob a forma nove ajunta um no caso da subtração já o calculista faraônico colocava a palavra chent tirar descontar entre o minuendo e o subtraendo no cálculo corrente porém as palavras uah e chent eram abolidas para indicar as duas operações adição e subtração usavam os calculistas egípcios um sinal muito interessante eram duas patas de avestruz quando as patas estavam voltadas para o sentido da escrita indicavam adição quando estavam no sentido contrário indicavam subtração entre os hindus como podemos observar na obra de baskara século xi a subtração era indicada por um simples ponto colocado entre dois números para indicar a adição e isso a partir do século xiii escrevia-se entre as parcelas a palavra latina plus a soma 7 5 por exemplo seria escrita 7 plus 5 o uso frequente do plus levou os calculistas a abreviar tal notação em vez de plus colocavam a letra inicial p encimada por pequeno traço meio recurvo a soma 7 plus 5 passou a ser expressa do seguinte modo outrora pelo marcador de vinho diz a lenda surgiram os símbolos e empregados hoje no mundo inteiro pelos matemáticos e calculistas.1 não aceitam alguns autores essa fantasiosa história do mercador de vinho e vão pesquisar nos antigos manuscritos e nos velhos compêndios de matemática origem mais racional para os sinais mais e menos vejamos inicialmente uma explicação que é endossada por historiadores de renome e de alto prestígio nos largos domínios da matemática 1 cf ball r iv 159 escreve esse historiador os símbolos e eram sinais comerciais que indicavam excesso ou deficiência de peso e f a vasconcelos historiador português acrescenta esses sinais foram aceitos primitivamente como abreviaturas e não como símbolos de operação cf vasconcelos h 71 hooper afirma os sinais mais e menos foram empregados a princípio pelos negociantes e depois aproveitados pelos matemáticos cf hooper the river mathematics londres 1951 30 31

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