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fabiano nader kenji chung soluÇÃo ­ equaÇÕes polinomiais exercÍcios propostos e1 soluÇÃo sendo r a terceira raiz temos que a primeira é 2r e a segunda é -2r 1 2r 2r ­ 1 r pelas relações de girard a soma das 3 raízes é 5 como a soma das duas primeiras é 1 então a terceira raiz é r 4 logo as raízes são -2·4 1 8 1 -7 2·4 8 e 4 o produto da primeira com a segunda é -7 · 8 -56 resposta letra c e2 soluÇÃo se 3 é raiz dupla de px então px é divisível por x ­ 3² tendo como quociente x² 3x 2 cujas raízes são -1 e -2 ou seja as outras raízes de px resposta -1 e -2 e3 soluÇÃo das relações de girard a soma das 4 raízes é 0 então r 1 2 3 0 r -6 onde r é a outra raiz então 4 x ­ 1 x ­ 2 x ­ 3 x 6 0 x² 3x 2·x² 3x ­ 18 0 x 3x³ 18x² 3x³ 9x² 54x 2x² 6x ­ 36 0 4 x ­ 25x² 60x ­ 36 0 então m -25 n 60 p -36 assim m p ­ 25 ­ 36 ­ 61 resposta letra d e4 soluÇÃo f o resto da divisão de um polinômio por x é seu termo independente no caso de px será 5 vezes o oposto do produto de suas raízes pelas relações de girard ou seja 5·3·2²· 1³· 1 60 v as raízes de px são 3 3 3 1 1 1 i -i ou seja 6 reais e 2 complexas 8 f x é o termo de maior grau logo terá como coeficiente o coeficiente dominante que no caso de px é 5 resposta fvf e5 soluÇÃo do enunciado temos a -2bc ou seja bc a/2 das relações de girard temos abc -8 substituindo bv por ­ a/2 nessa igualdade temos ­ a²/2 -8 a² 16 a ± 4 substituindo 4 e -4 no polinômio podemos verificar que apenas 4 é raiz então a 4 assim o polinômio px é divisível por x ­ 4 obtendo como quociente x² x ­ 2 0 logo becsão iguais a 2 e -1 assim temos a/b a/c 4/2 4 1 2 ­ 4 -2 resposta letra c e6 soluÇÃo v px tem como raízes i e ­i raízes complexas como px tem 4 raízes tem no máximo 2 reais as raízes de x² bx c v 1 e -2 são raízes de x² x ­ 2 ou seja b 1 e c -2 v se a divisão de x ­ 3 tem resto 0 então 3 é raiz de px ou seja 3² 3b c 0 i dividindo x² bx c por x ­ 1 temos como resto b c 1 que é igual a 2 então b c 1 ii resolvendo o sistema de i e ii temos que b -5 e c 6 ou seja px x² 1 x² 5x 6 f se b -1 e c -6 então px x² 1 x² x ­ 6 tem como raízes reais x -2 e x 3 sabemos que x² 1 é sempre positivo nos reais então x² x ­ 6 vai definir o sinal de px então px 0 para x -2 ou x 3 resposta vvvf e7 soluÇÃo 4 x x² x 1 x² 1 4 -x x² x² 2 2x² x 1 2x² 2 -x 3 então qx x² 2 e rx -x 3 assim qx · rx x² 2·­ x 3 ­x³ 3x² ­ 2x 6 fabiano nader kenji chung 0

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fabiano nader kenji chung resposta letra a e8 soluÇÃo como m nepsão raízes de x³ x² x ­ 2 0 temos m³ ­ m² m ­ 2 0 n³ ­ n² n ­ 2 0 p³ ­ p² p ­ 2 0 somando essas equações temos m³ n³ p³ ­ m² n² p² m n p ­ 6 0 i das relações de girard vem m n p 1 e mp np mn 1 ii assim m n p² m² n² p² 2mp np mn 1² m² n² p² 2·1 substituindo em i temos m³ n³ p³ 1 1 ­ 6 0 m³ n³ p³ 4 resposta letra d m² n² p² -1 iii e9 soluÇÃo raiz real 1 de multiplicidade 2 x ­ 1² raiz complexa i x² 1 4 como admite menor grau possível então a equação é x ­ 1²·x² 1 x² 2x 1·x² 1 x x² 2x³ 2x x² 1 4 x ­ 2x³ 2x² 2x 1 resposta letra e 5 e10 soluÇÃo para que não admita raiz real px primeiramente tem que ter grau par ou seja o coeficiente de x tem que ser nulo m ­ 1 m²+1 0 m 0 então px x² kx 1 mesmo com grau par px pode ter raízes reais para que isso não aconteça seu discriminante tem que ser negativo assim 0 k² 4·1·1 0 k² 4 -2 k 2 portanto para que px não admita raiz real m 1 e -2 k 2 resposta letra d e11 soluÇÃo se 2 i é raiz 2 ­ i também é então x ­ 2 ­ i x ­ 2 i x² 4x 5 divide fx efetuando essa divisão temos como quociente qx x² 5x p 15 e resto rx 36 4px ­ 5p q ­ 75 0 então 36 4p 0 p -9 e ­ 5p q ­ 75 0 q 30 assim qx x² 5x -9 15 x² 5x 6 então as raízes de qx que também são raízes de fx são -2 e -3 cuja soma é -5 resposta letra e e12 soluÇÃo sendo 3r r e r/3 as raízes de px pelas relações de girard sabemos que sua soma é -13/18 ou seja 3r r r/3 -13/18 13r/3 -13/18 r -1/6 ainda pelas relações de girard 3r · r · r/3 -m m -r³ então m 1/6³ 1/216 m 1/216 resposta letra e e13 soluÇÃo se aebsão raízes de x² mx 2 0 então a b m e a·b 2 da mesma forma se a 1/b e b 1/a são raízes de x² px q 0 então a 1/b b 1/a p e a 1/b b 1/a q resolvendo a última equação q ab 1 b · ab 1 a ab 1²/ab mas ab 2 então q 2 1²/2 3²/2 9/2 resposta letra a e14 soluÇÃo sendo a b a+b as raízes de f das relações de girard temos que a b a b -4 2a+b -4 a b -2 i a·b aa+b ba+b 5 ab a+b² 5 substituindo i temos ab 2² 5 ab 1 ii e k aba+b substituindo i e ii k -1· 2 2 assim z 2 2i que não é imaginário puro tem módulo 2² 2² 8 22 é conjugado de 2 ­ 2i e z² 2²1 i² 8i tangente do argumento principal 2/2 1 então o argumento principal de z é igual a 45º resposta letra e fabiano nader kenji chung 1

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fabiano nader kenji chung e15 soluÇÃo sendo a b aq e c aq² as raízes de px das relações de girard temos a aq aq² 6 a aq q² 6 a 6/q1 +q i e a·aq·aq² 8a a²·q³ 8 ii substituindo i em ii temos 2 2 6²/q²1 q² · q³ 8 9q 1 2q q 2 9q 2 4q 2q 2q² 5q 2 0 q 2 ou q 1/2 como a p.g é crescente q 2 substituindo em i a 6/22+1 6/6 1 então as raízes de px são a 1 b 2 e c 4 b a c 4 portanto c ­ b ­ a 4² 2¹ 1 16 ­ 2 ­ 1 13 que é um número primo resposta letra a e16 soluÇÃo soma das raízes p q 2009 produto das raízes pq 2010 a equação que tem p 1 e q 1 como raízes tem soma p 1 q 1 p q 2 2009 2 2007 e produto p 1 q 1 pq p q 1 2010 ­ 2009 1 2 logo a equação é x² 2007x 2 0 resposta letra a e17 soluÇÃo sendo k ­ r k k r as raízes de px pelas relações de girard temos que k ­ r k k r 12 3k 12 k 4 e kk ­ r k r 48 44² r² 48 16 ­ r² 12 r² 4 r ± 2 então o conjunto solução da equação px 0 é {2 4 6 resposta letra b e18 soluÇÃo como podemos perceber todos os expoentes dos termos não nulos de x são pares então se r é raiz ­ r também é pois quando elevado a uma potência par terá o mesmo valor que r terá como fx é um polinômio de grau par pode ter todas as raízes complexas porém pode ter raízes reais resposta letra a 4 e19 soluÇÃo por briot ruffini vemos que 1 é raiz da equação dividindo o polinômio x x³ 4x² x 1 0 por x ­ 1 temos como quociente o polinômio x³ 2x² 2x ­ 1 que pode ser dividido novamente por x ­ 1 pois 1 é raiz obtendo 4 como quociente o polinômio x² 3x 1 então as raízes inteiras de x x³ 4x² x 1 0 é a raiz 1 de multiplicidade 2 as raízes não inteiras são as raízes da equação x² 3x 1 0 9 ­ 4 5 x 3 ± 5 2 como m á a maior das raízes não inteiras m 3 5 2 assim m 1/m 3 5 2 2 3 5 3 5 2 2 3 5 4 3 5 ­ 3 5 2 -6/2 -3 resposta letra b e20 soluÇÃo s -b/a px ­ 1 ax ­ 1² bx ­ 1 c ax² 2ax a bx ­ b c px ­ 1 ax² b ­ 2ax a c ­ b então s1 b ­ 2a a s1 2a ­ b a logo s1 ­ s 2a ­ b a ­ b/a 2a ­ b b a 2a/a 2 resposta letra d questÕes de pernambuco p1 soluÇÃo se 1 i é raiz da equação então 1 ­ i também é sendo r a outra raiz das relações de girard temos que 1+i 1-ir 12 2r 12 r 6 ainda das relações de girard 1 i 1 ­ i 6 a a 8 1 i 1 ­ i 61 i 61 ­ i b 2 6 6i 6 ­ 6i b b 14 assim a b -8 14 6 resposta 06 p2 soluÇÃo 0-0 verdadeiro como px é um polinômio de 3º grau só possui 3 raízes e segundo o gráfico as três são reais -2 1 1 1-1 verdadeiro observação do gráfico fabiano nader kenji chung 2

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fabiano nader kenji chung 2-2 verdadeiro pois é o ponto onde p gráfico corta o eixo dos y 3-3 verdadeiro px x 2 x 1 x ­ 1 x 2 x² 1 x³ 2x² x ­ 2 ou seja a 1 b 2 c -1 d -2 logo |a b c d 0 4-4 falso p2 2³ 2·2² 2 ­ 2 8 8 ­ 4 p2 12 resposta vvvvf p3 soluÇÃo i certa para que fa·fb 0 fa 0 e fb 0 ou fa 0 e fb 0 ou seja fa e fb tem mesmo sinal então no intervalo [a,b ou não tem raízes ou possui um número par de raízes observe no gráfico teorema de bolzano ii certa para que fa·fb 0 fa e fb têm sinais diferentes logo existe uma raiz ou um número ímpar de raízes no intervalo [a,b teorema de bolzano iii errada se fa·fb 0 a ou b são raízes mas não necessariamente ambas então fx é divisível por x ­ a ou por x ­ b resposta letra c p4 soluÇÃo sejam r/q r e rq as raízes da equação das relações de girard r/q · r · rq 64 r³ 64 r 4 se uma das raízes é 2 e a progressão geométrica é crescente então r/q 2 4/q 2 q 2 e rq 4·2 8 assim as raízes são 2 4 e 8 cuja soma é 2 4 8 14 resposta letra d p5 soluÇÃo 0-0 verdadeiro se -2i é raiz 2i também é e ambas são complexas como a equação é de 3º grau possui apenas mais uma raiz que é real pois as complexas estão sempre aos pares com seu conjugado 1-1 verdadeiro se 1 2i 1 ­ 2i também é então q 1 2i 1 ­ 2i 1 4 5 que é ímpar 68 34 34 34 34 34 34 2-2 falso 1 ­ i 1 ­ i² 1 -2i -1 2i 2 · i 2 3-3 falso sendo a o argumento principal de 1 i tg a 1/1 1 a /4 4-4 verdadeiro são vértices de um triângulo equilátero que também é isósceles resposta vvffv p6 soluÇÃo sejam r -r e k as raízes da equação r e ­r simétricas das relações de girard r r k -1 então 1³ 1² -4· 1 m 0 -1 1 4 m 0 m -4 resposta letra a k -1 p7 soluÇÃo fx tem como raízes -1 1 e 2 e corta o eixo dos y no ponto 1 ou seja seu termo independente é 1 sendo a o coeficiente dominante de f temos fx ax 1 x ­ 1 x ­ 2 ax² 1 x ­ 2 ax³ 2ax² ax 2a assim o coeficiente independente é 2a 1 a ½ então fx ½ · x³ 2x² x 2 portanto f6 ½ ·6³ 2·6² 6 2 ½ · 140 70 resposta 70 p8 soluÇÃo 0-0 verdadeiro por definição 1-1 falso nesse caso admitirá no máximo n ­ 1 raízes complexas não reais pois um polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real 2-2 falso isso só se aplica para coeficientes reais 3-3 falso o termo independente que será múltiplo das raízes inteiras se existirem 3 fabiano nader kenji chung

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fabiano nader kenji chung 4-4 falso se pa 0 significa que a é raiz de px então px é múltiplo de x ­ a resposta vffff n p9 soluÇÃo seja n o grau do polinômio fx então suas raízes são 2¹ 2² 2³ 2 das relações de girard temos que n 2¹·2²·2³· ·2 2²¹ 1 2 3 n 21 1 nn/2 21 n² n 42 n² n ­ 42 0 n 6 ou n -7 não convém assim fx tem 6 raízes ou seja grau 6 resposta letra c p10 soluÇÃo por briot-ruffini vemos que 2 é raiz de x³ 3x ­ 2 0 dividindo esse polinômio por 2 obtemos como quociente o polinômio x² 2x 1 que possui duas raízes reais iguais a -1 então x³ 3x ­ 2 x ­ 2 x² 2x 1 fazendo o estudo de sinais temos x­2=0 x=2 x² 2x 1 0 x 1 então logo x³ 3x ­ 2 0 quando x 2 as 20 primeiras soluções inteiras para essa desigualdade são 3 4 5 22 cuja soma é dada por s 3 2220/2 25 ·10 s/10 25 resposta 25 p11 soluÇÃo 0-0 verdadeiro pois x ­ 1² é fator de px 1-1 falso não é divisível por x ­ 1³ pois 1 é raiz de multiplicidade 2 que é menor que 3 2-2 falso a equação possui seis raízes reais mas não são todas distintas estaria certo se fosse três raízes reais distintas 3-3 verdadeiro pois x ­ 2 tem expoente 1 ou seja a raiz 2 tem multiplicidade 1 ou seja é raiz simples 4-4 verdadeiro qx x² x ­ 2 x 1 x ­ 2 que são fatores de px resposta vffvv p12 soluÇÃo sejam r/q r r·q as raízes da equação das relações de girard temos que i r/q r rq 7 1/q 1 q 7/r ii r·r/q r/q · rq r·rq 28 1/q 1 q 28/r² iii r/q · r· rq -k k -r³ igualando i e ii temos 7/r -28/r² 7r 28 r -4 substituindo em iii k 4³ 64 k 64 resposta 64 fabiano nader kenji chung 4

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fabiano nader kenji chung p13 soluÇÃo se 3 2i é raiz 3 ­ 2i também é sendo r a terceira raiz das relações de girard temos que 3 2i 3 ­ 2i r 0 6+r=0 r -6 ainda das relações de girard temos que -63 2i 3 ­ 2i -c c 6·9 4 6·13 c 78 resposta 78 p14 soluÇÃo das relações de girard temos que x1 x2 x3 6 i x1·x2·x3 1 ii x1x2 x1x3 x2x3 3 iii o polinômio x³ ax² bx c que tem como raízes x1x2 x1x3 e x2x3 terá -a x1x2 x1x3 x2x3 a x1x2 x1x3 x2x3 -3 de iii b x1 x1 x2 x3 x2 x1 x2 x3 x3 x1 x2x3 substituindo ii b x1·1 x2·1 x3·1 x1 x2 x3 6 de i c -1 de ii -c x1x2 · x1x3 · x2x3 x1·x2·x3² 1² 1 assim abc 3·6· 1 18 resposta 18 p15 soluÇÃo temos que a b 5 i e ab q ii baaba+b a+b a+b a · b · a · b a · b ab 243 substituindo i e ii temos 5 5 5 q 243 q =3 q 3 resposta 03 p16 soluÇÃo 0-0 verdadeiro por briot-ruffini vemos que 1 é raiz da equação e é um número racional 1-1 falso das relações de girard s 18/9 -2 ;p 20/9 p 9s 20/9 9· 2 142/9 2·9 18 2-2 verdadeiro 9p s 9· 20/9 ­ 2 20 ­ 2 18 3-3 verdadeiro a soma das raízes é s 2 que é inteiro 4-4 falso o produto das raízes é p 20/9 que não é inteiro resposta vfvvf p17 soluÇÃo 0-0 verdadeiro pelo teorema sobre as raízes complexas como elas aparecem aos pares se uma equação de coeficientes reais tem grau ímpar pelo menos uma das raízes é real 1-1 falso podem ser complexas imaginárias 2-2 falso isso seria verdade se o polinômio possuísse apenas raízes complexas não reais 3-3 falso todo polinômio de coeficientes reais e grau ímpar possui pelo menos uma raiz real 4-4 verdadeiro coeficientes inteiros são reais logo vale o teorema sobre raízes complexas estão sempre aos pares no caso a raiz com seu conjugado resposta vfffv p18 soluÇÃo 0-0 falso a equação dada tem grau ímpar e coeficientes reais logo possui pelo menos uma raiz real 1-1 verdadeiro das relações de girard temos que ­ a 1 2 6 a -6 b 2·1 2·3 1·3 2 6 3 11 c 1·2·3 6 c -6 então px x³ 6x² 11x ­ 6 p5 5³ 6·5² 11·5 ­ 6 125 ­ 150 55 ­ 6 24 2-2 verdadeiro raízes reais 3 -1 -1 ½ ou seja 4 raízes reais 3-3 verdadeiro x ­ 2·x ­ 1 x² 3x 2 4-4 falso isso vale para coeficientes racionais resposta fvvvf p19 soluÇÃo sendo x1 x2 e x3 as raízes da equação das relações de girard temos que x1x2x3 8/2 4 mas x1x2 2 então 2x3 4 x3 2 substituindo a raiz na equação 2·2³ 8·2² 2k ­ 8 0 16 ­ 32 2k ­ 8 0 2k 24 k 12 resposta letra e p20 soluÇÃo se 1 3 é raiz 1 3 também é seja r a outra raiz das relações de girard temos que soma das raízes 1 3 1 3 r 0 2+r=0 r -2 produto das raízes -b -2·1+3 1 3 -b -2 · 2 -b 4 b -4 fabiano nader kenji chung 5

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fabiano nader kenji chung substituindo a raiz -2 na equação 2³ 2a ­ 4 0 então a² b² 6² 4² 36 16 52 resposta 52 -8 ­ 2a ­ 4 0 2a -21 a -6 p21 soluÇÃo 0-0 verdadeiro x² 2 x 3 x 3 e 3 e 3 são raízes de px 1-1 falso isso é impossível pois px tem coeficientes reais e grau 4 ou seja tem grau par e um número par de raízes reais pois as raízes complexas estão sempre aos pares 2-2 falso esse polinômio tem 5 raízes e px tem grau 4 3-3 falso a ilustração é apenas de parte do gráfico para x 2 px continuará crescendo ilimitadamente consequentemente será maior que 10 a partir de algum ponto 4-4 falso pela observação do gráfico sabemos que px tem mais uma raiz que está entre -2 e -3 e depois dela px 0 então não existe x -3 tal que px 0 resposta vffff p22 soluÇÃo sejam a e b as outras raízes das relações de girard a b 2 20/5 a b 4 ­ 2 2 ou seja a soma das outras duas raízes é igual a 2 produto 2ab 150/5 30 ab 15 o produto das outras duas raízes é ­ 15 raiz quadrada da soma das 3 raízes 4 2 resposta letra c p23 soluÇÃo i verdadeiro ax bx x³ x x ­ 1 x³ 2x 1 0 a interseção de ax e bx é um polinômio de grau 3 ou seja possui 3 raízes se interceptam em 3 pontos ii falso 1 é uma raiz em comum dos dois polinômios iii verdadeiro como 1 é raiz de ax então o resto da divisão de ax por x ­ 1 que é bx é zero iv verdadeiro soma das raízes de a 0 soma da raiz de b 1 0 1 1 resposta letra d fabiano nader kenji chung 6

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