EAC Módulo 1 2012 - Noções de Combinatória - Aula 5

Embed or link this publication

Popular Pages


p. 1

projeto vestibular noÇÕes de anÁlise combinatÓria mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória matemÁtica prof bruno vianna ao primeiro o terceiro de 8 modos pois não pode ser igual ao primeiro e ao segundo a resposta é 9 x 9 x 8 648 a análise combinatória serve para desenvolver métodos de contagem de elementos de um certo conjunto formado sob certas condições 1 fatorial denominamos fatorial de um número natural n n 1 ao produto de todos os números desde n até a unidade representamos o fatorial de n por n logo n n n-1 n-2 2 3 1 exemplos a 4 4 3 2 1 24 b 6 6 5 4 3 2 1 720 por convenção temos 1 1 e 0 1 observações muito importantes estratégias postura devemos sempre nos colocar no papel de quem deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar no exemplo 1 nos colocamos no papel de eratóstenes ou da pessoa que escolheria suas possíveis combinações de roupas já no exemplo 2 nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos divisão devemos sempre que possível dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples no exemplo 2 formar um nº de 3 dígitos foi dividido em escolher cada um dos três dígitos não adiar dificuldades pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar no exemplo 2 a escolha do primeiro dígito era uma decisão mais restrita do que as outras pois o primeiro não pode ser igual a 0 assim conforme acabamos de ver postergá-la só serve para causar problemas 3 permutação simples número de maneiras de embaralhar elementos sem que estes se repitam ex 3 quantos anagramas existem da palavra sol sol ,slo ,osl ols los lso 6 anagramas 3 x 2 x 1 6 anagramas obs para simplificar expressões contendo fatoriais devemos impor com que os maiores fatoriais se igualem ao menor 2 princípio fundamental da contagem p.f.c se um certo acontecimento pode ocorrer de m modos distintos e um outro acontecimento de n modos também distintos então ambos ocorrerão de m.n modos distintos ex 1 eratóstenes tem 2 calças e 3 blusas quantas combinações de roupas eratóstenes ter 2 calças c1 e c2 combinações c1b1 c2b1 6 combinações 3 blusas b1 b2 e b3 c1b2 c2b2 c1b3 c2b3 3 x 2 blusas calças ex 2 quantos são os números de 3 algarismos distintos o primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos pois ele não pode ser igual a zero o segundo pode ser escolhido de 9 modos pois não pode ser igual 1 4 permutação com repetição número de maneiras de embaralhar elementos contado que alguns elementos apareçam repetidos 2012

[close]

p. 2

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória exercÍcios matemÁtica prof bruno vianna ex 4 quantos anagramas tem a palavra progressao observe a letra r repete-se 2x o repete-se 2x s repete-se 2x 01 lançando-se uma moeda cinco vezes seguidas quais os resultados possíveis 02 tenho 5 tintas de cores diferentes obter o nº de maneiras de pintar uma bandeira formada por 4 listras verticais e iguais 03 quantos anagramas da palavra abril existem a 25 b 120 c 720 d 3125 10 9 8 7 1 10 p 453.600 2 2 2 8 5 -permutações circulares são as realizadas em torno de um círculo e contadas sempre no mesmo sentido a partir de um mesmo elemento representamos as permutações circulares de n elementos distintos é dado por pcn n 1 ex 5 de quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular pc5 5 ­ 1 4 24 maneiras 6 arranjo simples são agrupamentos que diferem entre si pela ordem ou pela natureza ex 6 a senha de um cartão é formada por duas letras distintas acompanhadas por uma seqüência de três algarismos distintos quantas senhas podem ser confeccionadas 26 x 25 x 10 x 9 x 8 468.000 letras algarismos 04de quantas maneiras seis pessoas podem se sentar numa mesa circular a 12 b 24 c 50 d 60 e 120 05 pm-05-1 cada soldado de um quartel deve registrar uma senha para sua identificação a senha deve ser formada por quatro símbolos ­ duas letras diferentes da palavra brasil seguidas de dois algarismos quaisquer que não precisam ser diferentes o número de senhas distintas que podem ser registradas é a 2700 b 3000 c 3240 d 3600 06 pm-04-1 num acidente automobilístico após ouvir várias testemunhas concluiu-se que o veículo suspeito de causar o acidente tinha placa do rio de janeiro começava com kn terminava em 32 e apresentava os demais algarismos distintos entre si pelas informações obtidas pode-se concluir que o número total de placas a serem investigadas é igual a a 2340 b 2480 c 2500 d 2600 7 combinação simples cn p n n p n p p são agrupamentos que diferem entre si apenas pela natureza não importa a ordem ex 7 em uma turma de 15 alunos queremos formar grupos de 6 alunos quantos grupos poderemos formar 07 pm-04-1 durante 30 dias será feita por dois policiais militares a segurança de uma testemunhachave considerando que a mesma dupla nunca se repetirá o melhor número possível de policiais que participarão dessa operação é a 7 b 9 c 11 d 13 c15,6 15 15 .14 .13 .12 .11.10 .9 5005 9 15 6 9 6 .5 .4 3 2 .1 2 2012

[close]

p. 3

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória matemÁtica prof bruno vianna 08 obter o número de anagramas da palavra pernambuco tais que a começando pelas letras per nesta ordem b terminando pelas letras buco em qualquer ordem c tendo as letras perna juntas nesta ordem d tendo as letras nambuc juntas em qualquer ordem 09 o número de anagramas da palavra matematica é 10 10 a 10 b 6 c d 7 3!2!2 10 uff-97-1ªf com as letras da palavra prova podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante os valores de xeysão respectivamente a 48 e 36 c 72 e 36 e 72 e 24 b 48 e 72 d 24 e 36 14 um shopping center possui 4 portas de entrada para o andar térreo 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento de quantas maneiras diferentes uma pessoa partindo de fora do shopping center pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados a 12 b 17 c 19 d 23 e 60 15 um campo de futebol tem 7 entradas o número de modos desse campo estar aberto pode ser expresso por a 27 b 27 1 c 7 d 7 1 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 16 durante a copa do mundo que foi disputada por 24 países as tampinhas de coca-cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares por exemplo 1º lugar brasil 2º lugar nigéria 3º lugar holanda se em cada tampinha os três países são distintos quantas tampinhas diferentes poderiam existir a 69 b 2024 c 9562 d 12144 e 13824 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 17 dos 10 candidatos a um emprego apenas 3 serão convocados quantos grupos distintos de convocados poderão ser formados a 3 b 120 c 720 d 1000 11 ufrj -as antigas placas para automóveis com duas letras seguidas de quatro algarismos estão sendo substituidas por novas com três letras seguidas de quatro algarismos nestas placas bem como nas antigas são utilizadas as 23 letras do alfabeto português mais as letras k w e y calcule quantos carros a mais podem ser emplacados com o novo sistema 12 puc a figura a seguir mostra o mapa com 4 regiões disjuntas de quantas maneiras podemos colorir esse mapa usando apenas as cores verde amarelo azul e branco se as regiões vizinhas não podem receber a mesma cor a 36 b 48 c 72 d 108 e 256 13 unama-pa ­ dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada se cada salada é composta de cinco frutas diferentes então o número de saladas diferentes que se pode preparar é a 8 b 10 c 56 d 120 e 6.720 186 o número de anagramas da palavra policia existem a 2520 b 5040 c 720 d 360 19 ufrj-adap uma agência de turismo está fazendo uma pesquisa entre seus clientes para montar um pacote de viagens à europa e pede aos interessados que preencham o formulário abaixo com as seguintes informações a ordem de preferência entre as 3 companhias aéreas com que trabalha a agência a 1° e a 2° opções dentre 4 possíveis datas de partida apresentadas pela agência os nomes de 4 cidades diferentes a serem visitadas que devem ser escolhidas de uma lista de 10 fornecida pela agência sem ordem de preferência 3 2012

[close]

p. 4

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória matemÁtica prof bruno vianna 22 na figura a seguir temos um esboço de parte do centro da cidade do recife com suas pontes as setas indicam o sentido do fluxo de tráfego de veículos de quantas maneiras utilizando apenas o esboço poderá uma pessoa ir de carro do ponto a ao ponto b e retornar ao ponto de partida passando exatamente por três pontes distintas supondo que nenhum campo seja deixado em branco determine de quantas maneiras diferentes pode o formulário ser corretamente preenchido a 10.205 b 12.520 c 15.120 d 5.210 a 8 b 13 c 17 d 18 e 20 20 num programa transmitido diariamente uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas mas nunca na mesma ordem para esgotar todas as possíveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente a 100 dias b 10 anos c 1 século d 10 séculos e 100 séculos 23 uff um piano de brinquedo possui sete teclas que emitem sons distintos entre si correspondentes às sete notas da pauta acima se forem pressionadas ao mesmo tempo no mínimo três teclas e no máximo seis teclas o total de sons diferentes que podem ser obtidos é d ó sl o á l f á m í r é s í 21 ufrj ­ 97 pne um construtor dispõe de quatro cores verde amarelo cinza e bege para pintar cinco casas dispostas lado a lado ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam a mesma cor por exemplo duas possibilidades diferentes de pintura seriam a 21 b 28 c 42 d 63 e 98 24 puc-2000 a partir de outubro os telefones do rio de janeiro irão gradualmente adotar oito algarismos em vez de sete por causa da necessidade de oferta de novas linhas o algarismo a ser acrescentado será o primeiro e será necessariamente 3 ou 8 supondo-se que no sistema em vigor qualquer combinação de sete algarismos é um número de linha possível o número de possíveis novas linhas é a b c d e 4 determine o número de possibilidades diferentes de pintura 710 107 2x107 3x107 108 2012

[close]

p. 5

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória matemÁtica prof bruno vianna 25 enem-2009 doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador o jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma primeiro foram sorteados 4 times para compor o grupo a em seguida entre os times do grupo a foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo e o segundo seria o time visitante a quantidade total de escolhas possíveis para o grupo a e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de a uma combinação e um arranjo respectivamente b um arranjo e uma combinação respectivamente c um arranjo e uma permutação respectivamente d duas combinações e dois arranjos 26 uerj-2001 28 ufrj-99-pe um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um único turno de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha ponto algum em caso de empate cada equipe ganha 1 ponto ao final do campeonato tivemos a seguinte pontuação determine quantos jogos terminaram empatados trechos complementares de duas cadeias de nucleotídeos de uma molécula de dna observe que uma cadeia se dispõe em relação à outra de modo invertido adaptado de lopes sônia bio 3 são paulo saraiva,1993 considere as seguintes condições para a obtenção de fragmentos de moléculas de dna todos os fragmentos devem ser formados por 2 pares de bases nitrogenadas cada fragmento deve conter as quatro diferentes bases nitrogenadas o número máximo de fragmentos diferentes que podem ser assim obtidos corresponde a a 4 b 8 c 12 d 24 27 ufrj-00-pne em todos os 53 finais de semanas do ano 2.000 júlia irá convidar duas de suas amigas para sua casa em teresópolis sendo que nunca o mesmo par de amigas se repetirá durante o ano a determine o maior número possível de amigas que júlia poderá convidar b determine o menor número possível de amigas que ela poder· convidar 5 desse campeonato 29 ufrj ­ 2001 ­ pe a mala do dr z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos cada um dos quais podendo variar de 0 a 9 ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo mas sabe que atende às condições a se o primeiro algarismo é ímpar então o último algarismo também é ímpar b se o primeiro algarismo é par então o último algarismo é igual ao primeiro c a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5 quantas combinações diferentes condições estabelecidas pelo dr z atendem às 30 uff-2011-1ªf muitos consideram a internet como um novo continente que transpassa fronteiras geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo atualmente para que as informações migrem de um computador para outro um sistema de endereçamento denominado ipv4 internet protocol version 4 é usado nesse sistema cada endereço é constituído por quatro campos separados por pontos cada campo por sua vez é um número inteiro no intervalo [0 28 1 por exemplo o endereço ipv4 do servidor web da uff é 200.20.0.21 um novo sistema 2012

[close]

p. 6

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória 32 uerj-2010-1ºex matemÁtica prof bruno vianna está sendo proposto o ipv6 nessa nova versão cada endereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0 216 1 com base nessas informações é correto afirmar que a o número de endereços diferentes no sistema ipv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema ipv4 b existem exatamente 4 28 1 endereços diferentes no sistema ipv4 c existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema ipv4 d o número de endereços diferentes no sistema ipv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema ipv4 e existem exatamente 2 1 endereços diferentes no sistema ipv4 31 uerj-07-01ºex.qual sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar em grupos de quatro o manual do candidato do vestibular estadual 2007 um desses grupos está apresentado a seguir 8 4 considere como um único conjunto as 8 crianças ­ 4 meninos e 4 meninas ­ personagens da tirinha a partir desse conjunto podem-se formar n grupos não vazios que apresentam um número igual de meninos e de meninas o maior valor de n é equivalente a a 45 b 56 c 69 d 81 33 uerj-2010-2ºex ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009 com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos para atender às condições de reposição das aulas o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de a 80 b 96 c 120 d 126 34 uerj-2010-2ªf um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da digitação em qualquer ordem de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre na figura em destaque as teclas azuis representam as habilitadas previamente considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente nesse caso o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o manual é igual a a 24 b 35 c 70 d 140 6 se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre calcule o valor de n m 2012

[close]

p. 7

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória matemÁtica prof bruno vianna 35 ufrj-2010 considere trajetórias estabelecidas no espaço por segmentos de reta consecutivos de modo que todos os segmentos tenham comprimento 1 e sejam paralelos a um dos seguintes vetores 0,0,1 0,1,0 ou 1,0,0 assim as duas sequências de pontos a seguir definem trajetórias diferentes que partem do ponto 0,0,0 e chegam ao ponto 2,1,2 a primeira tem comprimento 5 e a segunda comprimento 7 trajetória 1 0,0,0 1,0,0 1,1,0 2,1,0 2,1,1 2,1,2 trajetória 2 0,0,0 0,1,0 0,1,1 0,1,2 0,1,3 0,1,2 1,1,2 2,1,2 determine quantas trajetórias assim definidas partem do ponto 0,0,0 chegam ao ponto 4,3,2 e têm o menor comprimento possível 36 ufrj-07-pne nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana o número de maneiras diferentes de formar as três equipes é menor do que 300 37 uff-2011-2ªf o diretor de uma escola quer montar uma equipe de quatro monitores voluntários sendo que cada um deles atuará em apenas uma das quatro disciplinas matemática física química e português sete alunos se candidatam para serem monitores abel bia cauê davi enzo fábio e lia sabe-se que entre os candidatos apenas fábio e lia apresentaram algumas restrições para participar da equipe de monitores lia não aceita ser monitora de matemática ou física e fábio só aceita participar se ele for monitor de matemática sabe-se também que caso sejam escolhidos para compor uma equipe de monitores as restrições de fábio e lia serão atendidas determine a quantas equipes diferentes de monitores o diretor poderá formar excluindo lia e fábio ao mesmo tempo b quantas equipes diferentes de monitores o diretor poderá formar incluindo lia e fábio ao mesmo tempo c quantas equipes diferentes de monitores o diretor poderá formar ao todo 7 questões de vestibulares de 2011 38 enem-2011 em um jogo disputado em uma mesa de sinuca há 16 bolas 1 branca e 15 coloridas as quais de acordo com a coloração valem de 1 a 15 pontos um valor para cada bola colorida o jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada arthur bernardo e caio escolhem os números 12 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas com essa escolha quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é a arthur pois a soma que escolheu é a menor b bernardo pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele contra 4 possibilidades para a escolha de arthur e 4 possibilidades para a escolha de caio c bernardo pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele contra 5 possibilidades para a escolha de arthur e 4 possibilidades para a escolha de caio d caio pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele contra 5 possibilidades para a escolha de arthur e 8 possibilidades para a escolha de bernardo e caio pois a soma que escolheu é a maior 39 fgv-rj-2012 cinco estudantes param para pernoitar em um hotel à beira da estrada há dois quartos disponíveis um com duas camas e outro com três de quantas maneiras eles podem se dividir em dois grupos um com duas pessoas e outro com três para se hospedar no hotel a 80 b 40 c 20 d 10 e 5 40 fgv-sp-2012 usando as letras do conjunto {a,b,c,d,e f g,h,i j quantas senhas de 4 letras podem ser formadas de modo que duas letras adjacentes isto é vizinhas sejam necessariamente diferentes a 7 290 d 6 840 b 5 040 e 11 220 2012 c 10 000

[close]

p. 8

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória matemÁtica prof bruno vianna 41 fgv-sp-2012 oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte dirigem-se a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo a de quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel b as ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos como mostra a figura certo dia elas decidem almoçar no único restaurante da cidade quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante elas caminham somente para o norte ou para o leste a figura indica um possível caminho 45 ita-2007 dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com pelo menos 1 moça e 1 rapaz de quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada 46 ime-2011 objetiva um trem conduzindo 4 homens e 6 mulheres passa por seis estações sabe-se que cada um destes passageiros irá desembarcar em qualquer uma das seis estações e que não existe distinção dentre os passageiros de mesmo sexo o número de possibilidades distintas de desembarque destes passageiros é a 1 287 d 58 212 gabarito 01 32 02 320 06 a b 6 4 c 6 12 c 16 d 20 e 24 b 03 b 07 b d 5 6 13 c 17 b 21 324 25 a 28 17 31 b 35 1260 38 c b 210 32 c 36 sim 39 d 42 c 14 e 18 a 22 c 26 d 04 e b 14 112 e 62 822 c 44 200 42 puc-2012 seja a o conjunto dos números inteiros positivos com três algarismos seja b o subconjunto de a dos números ímpares com três algarismos distintos quantos elementos tem o conjunto b a 125 desafios 43 ufrj ­ 2000 ­ pe uma estante de biblioteca tem 16 livros 11 exemplares do livro combinatória é fácil e 5 exemplares de combinatória não é difícil considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis determine de quantas maneiras diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de combinatória não é difícil nunca estejam juntos 44 uma equipe esportiva composta por 6 jogadores está disputando uma partida de 2 tempos no intervalo do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até 3 substituições e para isto o técnico dispões de 4 jogadoras no banco quantas formações distintas podem iniciar o segundo tempo b 168 c 320 d 360 e 900 05 b 08 a 7 09 d 15 b 19 c 23 e 27 a 106 b 11 29 1800 33 c 30 c 34 10 37 a 120 b 40 c 340 40 a 41 a 560 43 792 44 195 45 125 46 d 8 2012

[close]

p. 9

projeto vestibular resolução de algumas questões 34 n mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória matemÁtica prof bruno vianna 65 4 20 3 2 1 e m 5 43 10 3 2 1 logo n ­ m 20 ­ 10 10 35 nas condições apresentadas uma trajetória ligando 0,0,0 a 4,3,2 é mínima se e somente se seu comprimento é 9 e é determinada por uma sequência em qualquer ordem de 4 segmentos paralelos ao vetor 1,0,0 3 segmentos paralelos ao vetor 0,1,0 e 2 segmentos paralelos ao vetor 0,0,1 seja n a quantidade dessas trajetórias tem-se n resp 2060 36 sim pois o número de formas diferentes de organizar as nove pessoas em três equipes de três é 280 9 98 7 65 1260 4 3 2 62 c9,3 c6,3 c3,3 3 9 6 3 3 3 3 9 280 3 3!4 c examinemos o que acontece se lia participar das possíveis equipes e fábio na como lia não aceita trabalhar em matemática e nem em física feita a escolha para a atuação em matemática 5 modos distintos existirão 4 possibilidades para o preenchimento da vaga em física feitas essas escolhas se lia atuar em português restarão 3 maneiras distintas de se preencher a vaga de química e se ela atuar em química restarão 3 maneiras distintas de preencher a vaga em português portanto tem-se 5 x 4 x 1 x 3 5 x 4 x 3 x 1 120 equipes diferentes que podem ser formadas examinemos o que acontece se fábio participar das possíveis equipes e lia não como fábio só aceita atuar em matemática sobram 5 alunos que podem ser alocados sem restrições nas 3 disciplinas restantes tem-se então 1 x 5 x 4 x 3 60 equipes diferentes de monitores com a participação de fábio e a exclusão de lia o número total de equipes de monitores é igual ao número de equipes sem fábio e sem lia 120 mais o número de equipes com fábio e com lia 40 mais o número de equipes sem fábio e com lia 120 mais o número de equipes com fábio e sem lia 60 120 40 120 60 340 43 coloquemos os 11 exemplares de combinatória é fácil na estante deixando espaço entre cada um dos exemplares como indica a figura dispomos então de 12 posições 10 interiores e 2 extremidades para colocar os 5 exemplares de combinatória não é difícil o número total de escolhas de 5 posições dentre as 12 é r sim porque 280 é menor do que 300 37 a excluindo-se lia e fábio sobram 5 alunos que podem ser alocados sem restrições para atuarem nas 4 disciplinas portanto utilizando-se o princípio fundamental da contagem tem-se 5 x 4 x 3 x 2 120 equipes distintas que podem ser formadas b se fábio participa da equipe a escolha do aluno que atuará em matemática é única como lia não aceita ser monitora de física a escolha para a monitoria dessa disciplina pode ser feita de 5 maneiras distintas utilizando-se os candidatos restantes prosseguindo se lia atuar em português restam 4 possibilidades para o preenchimento da vaga de química e se ela atuar em química restam 4 possibilidades para a escolha do aluno que atuará em português portanto tem-se 1 x 5 x 1 x 4 1 x 5 x 1 x 4 40 equipes diferentes de monitores com as participações simultâneas de lia e fábio c12,5 12 792 5 7 resp 792 maneiras 44 nenhuma substituição 1 formação 1 substituição há 4 maneiras de escolher a substituta e 6 maneiras de escolher quem será substituída dando 4 6 24 formações diferentes 2 substituições há 6 maneiras de escolher as substitutas e 15 maneiras de escolher as que serão substituídas dando 6 .15 90 formações diferentes 9 2012

[close]

p. 10

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 5 noções de combinatória matemÁtica prof bruno vianna 3 substituições há 4 maneiras de escolher as substitutas e 20 maneiras de escolher as que serão substituídas dando 4 20 80 formações diferentes total 1 24 90 80 195 formações diferentes 45 as opções possíveis para o par m r representando número de moças e rapazes são 1,4 2,3 3,2 4,1 totalizando c4,1 c5 4 c4 2 c5,3 c4,3 c5 2 c4 4 c5,1 125 resp 125 formas distintas 46 lembremos que numa equação linear com coeficientes inteiros da forma x1 x2 x3 xk n o nº de soluções inteiras não-negativas é dado por n k 1 k 1 chamando de hi e mi a quantidade de homens e de mulheres respectivamente que vão descer na estação i se não há distinção entre os passageiros do mesmo sexo então só é importante quantos passageiros de cada sexo descerão em cada estação e não quais assim temos que i sendo um total de 4 homens a quantidade de maneiras distintas de os homens desembarcarem é dada pelo nº de soluções inteiras não-negativas da equação h1 h2 h3 h4 h5 h6 4 que é igual a 4 6 1 9 6 1 5 126 ii sendo um total de 6 mulheres a quantidade de maneiras distintas de as mulheres desembarcarem é dada pelo nº de soluções inteiras não-negativas da equação m1 m2 m3 m4 m5 m6 6 que é igual a 6 6 1 11 6 1 5 462 iii pelo princípio fundamental da contagem o total de possibilidades distintas de desembarque é 126 x 462 58 212 maneiras 10 2012

[close]

Comments

no comments yet