EAC Módulo 1 2012 - Função Quadrática - Aula 2

 

Embed or link this publication

Popular Pages


p. 1

projeto vestibular funÇÃo quadrÁtica definição f rr mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica xv matemÁtica prof bruno vianna b substituindo xv em 2a fx ax bx c raíz ou zero fx =0 e ax bx c 0 2 2 y ax2 bx c temos yv yv yv yv yv yv x1 b 2a x2 b 2a onde b 2 4ac representação gráfica b b a c b 2a 2a b2 b2 a 2 c 4a 2a b2 b2 c 4a 2a b 2 2b 2 4ac 4a 2 b 4ac b 2 4ac 4a 4a 4a 2 b daí v 2a 4a apÊndice revisando equaÇÕes do 2º grau ax2 bx c 0 multiplicar por 4a 4a ax2 bx c 4a 0 4a2x2 4abx 4ac 0 somar b2 4a2x2 4abx +b2 4ac b2 2ax b2 b2 4ac vemos que quando 0 a parábola tangencia o eixo x num único ponto que é a própria solução da equação do 2º grau x b b 0 b0 b 2a 2a 2a 2a raiz quadrada 2ax b 2 b 2 4ac 2ax b b 2 4ac 2ax b b 2 4ac x b b 2 4ac 2a x b 2a logo pela figura concluímos que 1 2012

[close]

p. 2

projeto vestibular soma das raízes mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica observações matemÁtica prof bruno vianna s x1 x 2 bbbb 2 b b s 2a 2a 2a 2a a produto das raízes p x1 x2 2 2 2 p b b b b 2 4a 4a 2 2a 2a sinais do delta >0 =0 <0 nº de soluções 2 1 nenhuma exercÍcios de fixaÇÃo 01 dada a função fx -x2 4x 5 o gráfico da mesma está representado abaixo vcabb 2 b 2 4ac 4ac c 4aa a 4a 2 sbaepca resolução de alguams equações do 2º grau incompletas a x 25 0 x2 25 x 25 x=5 c3x2 12 0 3x2 12 x2 12 3 x 4 x=2 2 b x x 0 x x 1 0 x 0 ou x 1 0 x 0 ou x -1 d 3x2 6x 0 3x x 2 0 3x 0 ou x 2 0 x 0 ou x 2 as coordenadas corretas dos pontos do gráfico são a b c d e c 0,5 c 0,4 c 0,5 c 0,5 c 0,5 a 1,0 a 0 1 a 0 1 a 1,0 a 1,0 b 5,0 b 0,5 b 0,5 b 4,0 b 5,0 v 3,9 v 2,9 v 9,2 v 3,4 v 2,9 2 resolução das equações do 2º grau completas a x2 5x 6 0 x 5 5 2 41 6 5 25 24 21 2 5 1 51 6 4 x1 3 e x 2 2 2 2 2 2 02 cesgranrio o vértice da parábola fx x2 x é o ponto a 1,0 b 1/2 1/4 c 0,0 d 1/2,3/4 e 1,2 03o valor mínimo da função real fx x2 x 1 é resolução por soma e produto a x2 5x 6 0 s b 5 5 a 1 e p c 6 6 a 1 a -1 b 0 temos que pensar em dois números que somados resultam 5 e multiplicados resultam 6 2 e 3 2 3 5 e 2 3 6 portanto x1 2 e x2 3 1 2 2 d 3 3 e 4 c 2 2012

[close]

p. 3

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica matemÁtica prof bruno vianna 04 dados os dois gráficos abaixo quais das funções abaixo correspondem aos gráfico de f1 e f2 respectivamente ponto atingido pela granada no solo considerado como o eixo ox é a 30 m c 50 m b 40 m d 60 m f1 4 f2 -4 4 0 2 4 -16 07 uerj-2005 numa operação de salvamento marítimo foi lançado um foguete sinalizador que permaneceu aceso durante toda sua trajetória considere que a altura h em metros alcançada por este foguete em relação ao nível do mar é descrita por h 10 5t t2 em que t é o tempo em segundos após seu lançamento a luz emitida pelo foguete é útil apenas a partir de 14 m acima do nível do mar o intervalo de tempo em segundos no qual o foguete emite luz útil é igual a a 3 b 4 c 5 d 6 a f1x -x2 +16 e f2x -x2 4x b f1x x2 -16 e f2x -x2 4x c f1x -x2 4 e f2x x2 4x d f1x x2 4x e f2x -x2 36 e f1x x2 4x 2 e f2x 2x2 3x 2 05 08 uff considerem m nepnúmeros reais e as funções reais f e g de variável real definidas por fx mx2 nx p e gx mx p a alternativa que melhor representa os gráficos de f e g é a b c considerando o gráfico acima referente ao trinômio do 2º grau y ax 2 bx c pode-se afirmar que a a 0 b 0 c 0 b a 0 b 0 c 0 c a 0 b 0 c 0 d a 0 b 0 c 0 e a 0 b 0 c 0 exercÍcios propostos 06 um soldado entrincheirado em um terreno horizontal lança uma granada que parte do nível do solo e descreve uma trajetória que obedece à equação d e 09 ufrrj o custo de produção de um determinado artigo é dado por cx 3x2 15x 21 se a venda de x unidades é dada por vx 2x2 x para que o lucro lx vx cx seja máximo devem ser vendidas a 20 unidades b 16 unidades c 12 unidades d 8 unidades e 4 unidades y 1 2 2 40 x x sendo x e y medidas em 45 9 9 metros a distância entre o ponto de lançamento e o 2012 3

[close]

p. 4

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica matemÁtica prof bruno vianna 10 ufrj oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de equação 13 uerj-01-1ªex ­ a figura abaixo mostra um anteparo parabólico que é representado pela função f x fx 1 8 y x 2 x 2 na qual os valores xeysão dados 7 7 em metros 3 2 x 2 3x 3 0 oscar acerta o arremesso e o centro da bola passa pelo centro da cesta que está a 3m de altura determine a distância da cesta ao eixo y 11 num campo de treinamento um projétil e um míssil são lançados no mesmo instante de bases distantes 20 km uma da outra a trajetória do projétil é uma parábola de equação y x2 4x e a trajetória do míssil é uma reta de equação y ax b essa situação está representada no esquema abaixo em que os eixos xeysão graduados em quilômetros uma bolinha de aço é lançada da origem e trajetória retilínea ao incidir no vértice do refletida e a nova trajetória é simétrica à relação ao eixo da parábola o valor do incidência corresponde a a 30º b 45º c 60º segue uma anteparo é inicial em ângulo de d 75º x 14 um dia na praia a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas supondo que neste dia a temperatura ft em graus era uma função do tempo t medido em horas dada por ft t2 bt ­ 156 quando 8 t 20 pede-se a o valor de b b a temperatura máxima atingida neste dia 15 uerj numa partida de futebol no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado o jogador chorão chutou a bola em direção ao gol de 2,30m de altura interna a sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol a bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol após o chute de chorão nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento determine a e b sabendo que o míssil deverá atingir o projétil quando este alcançar a altura máxima da sua trajetória ponto e 12 uff-92 ­ 2ª fase o lucro mensal l de certa fábrica é dado por lx -x2 18x -32 sendo x medido em milhares de peças,e l em milhões de reais calcule o número de peças que devem ser produzidas mensalmente a para que a fábrica obtenha o lucro máximo b para que o lucro seja de r 40.000.000,00 4 a representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir 2012

[close]

p. 5

projeto vestibular a equação da parábola era do tipo y mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica matemÁtica prof bruno vianna x2 k 36 o ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi a na baliza b atrás do gol c dentro do gol d antes da linha do gol 16 puc considere a função f 8,3]r definida por fx x2 12x 35 então a imagem de f é um intervalo de comprimento a 75 b 78 c 81 d 83 e 90 19 ufrj-98-pne um fabricante está lançandoa série de mesas super 4 os tampos das mesas dessa série são retangulares e têm 4 metros de perímetro a fórmica usada para revestir o tampo custa r 10,00 por metro quadrado cada metro de ripa usada para revestir as cabeceiras custa r 25,00 e as ripas para as outras duas laterais custam r 30,00 por metro r 10,00/m2 r 25,00/m r 30,00/m 17 uerj-06-2ºex um barco percorre seu trajeto de descida de um rio a favor da correnteza com a velocidade de 2 m/s em relação à água na subida contra a correnteza retornando ao ponto de partida sua velocidade é de 8 m/s também em relação à água considere que o barco navegue sempre em linha reta e na direção da correnteza a velocidade da correnteza seja sempre constante a soma dos tempos de descida e de subida do barco seja igual a 10 min assim a maior distância em metros que o barco pode percorrer neste intervalo de tempo é igual a a 1.250 b 1.500 c 1.750 d 2.000 18 ufrj-92 considere a função y fx definida por a determine o gasto do fabricante para revestir uma mesa dessa série com cabeceira de medida x b determine as dimensões da mesa da série super 4 para a qual o gasto com o revestimento é o maior possível 20 ufrj-2001-pne um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu decorar uma árvore de natal gigante ficou combinado que cada um terá um número n de 1 a 40 e que os enfeites serão colocados na árvore durante os 40 dias que precedem o natal da seguinte forma o morador número 1 colocará 1 enfeite por dia a partir do 1º dia o morador número 2 colocará 2 enfeites por dia a partir do 2º dia e assim sucessivamente o morador número n colocará n enfeites por dia a partir do n-ésimo dia a quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o morador número 13 b a sra x terá colocado ao final dos 40 dias um total de m enfeites sabendo que nenhum morador colocará mais enfeites do que a sra x determine m 21 afa-00 o retângulo com base no eixo das abcissas está inscrito numa parábola conforme figura abaixo o valor de x que faz esse retângulo ter perímetro máximo é a 1 b 0,5 c 0,25 d 0,125 2 y 8 y 4 x se 0 x 2 2 y x 6 x se 2 x 6 a esboce o gráfico de y fx no intervalo de [0,6 b para que valores de x temos fx 5 ­x x 2 x 5 2012

[close]

p. 6

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica matemÁtica prof bruno vianna 22 enem 2010 nos processos industriais como na indústria de cerâmica é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e em muitas situações o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado para garantir a qualidade do produto final e a economia do processo em uma indústria de cerâmica o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função em que t é o valor da temperatura atingida pelo forno em graus celsius e t é o tempo em minutos decorrido desde o instante em que o forno é ligado uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 ºc e retirada quando a temperatura for 200 ºc o tempo de permanência dessa peça no forno é em minutos igual a a 100 d 130 b 108 e 150 c 128 determine a o número de peças que torna o lucro nulo b os valores de x que tornam o lucro negativo 23 uff-2002-2ªf um muro com 6 metros de comprimento será aproveitado como parte de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca determine as dimensões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá construir 25 enem 09 prova anulada a empresa wqtu cosmético vende um determinado produto x cujo custo de fabricação de cada unidade é dado pó 3x2 232 e o seu valor de venda é expresso pela função 180x ­ 116 a empresa vendeu 10 unidades do produto x contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo a quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa wqtu para obtenção do maior lucro é a 10 b 30 c 58 d 116 e 232 24 uff-99-2ª f a parábola abaixo representa o lucro mensal l em reais obtido em função do número de peças vendidas de um certo produto questão melhorada a empresa wqtu cosmético vende um determinado produto p o custo de fabricação de x unidades de p é dado por 3x2 232 e o valor de venda de x unidades é dado por 180x ­ 116 a empresa vendeu 10 unidades do produto p e deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo a quantidade de unidades a serem vendidas pela empresa wqtu para obtenção desse lucro máximo é a 10 b 30 c 58 d 116 e 232 6 2012

[close]

p. 7

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica matemÁtica prof bruno vianna 26 uff-2010-1ªf em mecânica clássica a norma g do campo gravitacional gerado por um corpo de massa m em um ponto a uma distância d 0 do corpo é diretamente proporcional a m e inversamente proporcional ao quadrado de d seja g f d a função que descreve a norma g do campo gravitacional gerado por um corpo de massa constante m em um ponto a uma distância d 0 desse corpo É correto afirmar que f 2d é igual a a observe na foto um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais cujo eixo horizontal ox é tangente ao solo e o vertical oy representa o eixo de simetria da parábola ao entrar no túnel um caminhão com altura ap igual a 2,45 m como ilustrado a seguir toca sua extremidade p em um determinado ponto do arco parabólico f d 4 b f d 2 c 4 f d d 2 f d e f d calcule a distância do ponto p ao eixo vertical oy 29 uerj-2009-esp observe a parábola de vértice v gráfico da função quadrática definida por y ax2 bx c que corta o eixo das abscissas nos pontos a e b 27 uerj-2010-2ª fase um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos pa e cq em três partes como mostra a figura admita que os segmentos de reta pa e cq estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo paqc tem medida s determine o maior valor em m2 que s pode assumir 28 uerj-2007-2ªf a foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base ab=8m e altura central oc=5,6m calcule o valor numérico de b2 4ac sabendo que o triângulo abv é equilátero 30 ufrj-2010-pne determine a equação da parábola que passa pelo ponto p1 0,a e é tangente ao eixo x no ponto p2 a,0 sabendo que a distância de p1 a p2 é igual a 4 2012 7

[close]

p. 8

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica matemÁtica prof bruno vianna 31 uff-2010-2ªf-ij a figura abaixo representa um quadrado mnpq inscrito no quadrado abcd cuja área mede 16 cm2 34 puc-2012 sejam fx x2 1 e gx x2 1 então a equação fgx gfx -2 tem duas soluções reais o produto das duas soluções é igual a a -2 d 1 b -1 e 2 c 0 35 puc-2012 qual o maior valor de m para o qual a desigualdade x2 8x 15 m não admite solução real negativa determine a as medidas de am e mb para que a área do quadrado mnpq seja igual a 9 cm2 b as medidas de am e mb para que a área do quadrado mnpq seja a menor possível justifique suas respostas 32 afa-03observe o gráfico da função f abaixo y a -1 d 5 b 0 e 15 c 3 36 uerj-2012-2ª fase distância de frenagem é aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio é acionado até o momento em que ele para essa distância é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade que o carro está desenvolvendo no instante em que o freio é acionado o gráfico abaixo indica a distância de frenagem d em metros percorrida por um carro em função de sua velocidade v em quilômetros por hora 1 0 45 x sabendo que f é definida por ax 2 bx c se x 1 f x px k se x 1 analise as alternativas e marque a opção correta a ac 0 b pk 0 c p ­1 d ab 0 admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcançar a velocidade de 100 km/h calcule sua distância de frenagem em metros desafios 37 unicamp 2002 uma piscina cuja capacidade é de 120m3 leva 20 horas para ser esvaziada o volume de água na piscina t horas após o início do processo de esvaziamento é dado pela função vt ab ­ t2 para 0 t 20 e vt 0 para t 20 a calcule as constantes a e b b faça o gráfico da função vt para t [0,30 8 2012 33 unicamp 2002 uma transportadora entrega com caminhões 60 toneladas de açúcar por dia devido a problemas operacionais em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500kg a menos que o usual tendo sido necessário naquele dia alugar mais 4 caminhões a quantos caminhões foram necessários naquele dia b quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia?

[close]

p. 9

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica gabaritos 01 e 02 b 06 a 10 7m matemÁtica prof bruno vianna 38 aman-2005 um foguete de reconhecimento foi lançado de um ponto da superfície da terra e devido a defeitos estruturais 03 e 07 a 04 b 08 e 05 e precisa ser destruído sua trajetória plana segue o 09 d gráfico 2 11 a -2/9 e b 40/9 13 a 16 c y x 40 x 300 12 a 9.000 b 6.000 ou 12.000 14 a 28 b 40º 17 b 15 c com qual inclinação deve ser lançado um míssil do mesmo local em trajetória retilínea para destruir o foguete no ponto mais distante da terra obs considere o eixo das abscissas a superfície terrestre a arctg 10 c arctg 20 e arctg b arctg 5 d arctg 1 18 b x 5/4 e x 5 b ½ m 21 b 22 d 19 a gx 120 10x -10x2 20 a p13 364 b m 420 23 quadrado de lado 10 m 24 a a 3 25 b 1 50 27 20 000 m2 b devem ser vendidas 150 ou 450 peças 26 a 29 12 e y 2 2 x 2x 2 2 4 39 ita-2012-discursiva determine todos os valores de m tais que a equação 28 x 3m 2 ­ mx2 2mx m 2 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero 30 y 2 x 2 2 x 2 2 4 31 a am 2 2 cm 2 e mb 2 2 cm 2 ou vice-versa b am mb 2 cm 32 d 34 c 37 a a 38 a 33 a 24 caminhões b 2 500kg 35 e 36 128 3 e b 20 b está no final da lista 10 39 2 m 2 9 2012

[close]

p. 10

projeto vestibular resolução de algumas questões questão 23 mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica c equação da parábola matemÁtica prof bruno vianna lx a x ­ 100 x ­ 500 lx a x2 ­ 600 x 50000 como l0 ­ 1000 50 000 a ­ 1000 a 1 50 lx ­ desejamos encontrar x de modo que o perímetro do cercado é dado por 6 x y x 6 y como o muro de 6m será aproveitado tem-se que 34 x y x 6 y ou seja y 14 ­ x a área do cercado é dada por a x 6 y x 6 14 ­ x -x2 8x 84 0 x <14 que pode ser representada graficamente por um arco de parábola com concavidade voltada para baixo e vértice no ponto de abscissa xv assim x 150 peças ou x 450 peças devem ser vendidas 150 ou 450 peças questão 27 logo x2 ­ 600x 67500 0 ­ 12x 1000 350 0 8 4 que fornece o maior valor 2 1 para a área portanto o valor de y no cercado é y 14 ­ x 14 ­ 4 10 logo o cercado de maior área será o quadrado de lado igual a 10m pc aq y ad dp x 2 y 4 x 800 y 2 x 400 y 400 2 xayx 400 2 x x 2 x 2 400 logo amÁx 400 2 4 2 0 160000 0 4a 4 2 8 questão 24 a se l 0 x 100 é uma das raízes como o máximo de l ocorre para x 300 a outra raiz é x 500 o lucro é nulo para 100 peças ou para 500 peças b o lucro é negativo para 0 x 100 e 500 x 600 pela simetria da parábola amÁx 20 000 m 2 10 2012

[close]

p. 11

projeto vestibular questão 29 mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica questão 30 matemÁtica prof bruno vianna os pontos a x1,0 e b x2,0 estão situados no eixo das abscissas logo raízes x1 e x2 são as raízes da função logo b b ab x2 x1 2a 2a b b 2 2a 2a a observe também que yv hvab yv 4a 4a 3 2 3 a 2 3 2a a 24 a2 2 4a 3 2a 4a 2 3 2 2a 2 2 2 16a 3 4a 4 a 2 y ax2 bx c e xv 2 2 b 2 2 b 4 2 a 2a c 2 2 16a 2 3 4a 2 2 4a 2 4a 2 43 12 como 2 2 é raiz y ax2 bx c 0 a 2 2 2 b 2 2 2 2 0 8a 2 2 b 2 2 0 8a 16a 2 2 0 8a 2 2 8a 2 2 a substituindo 0 8a 2 2 4 2 a 2 2 2 4 2012 11

[close]

p. 12

projeto vestibular substituindo mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica 2 4 matemÁtica prof bruno vianna b 4 2 a b 4 2 b 2 seja x o número de caminhões utilizados em um dia normal e y a quantidade em kg carregada em cada um y x 60.000 y 500 x 4 60.000 2 2 portanto uma das funções é y x 2x 2 2 4 a outra basta repetir o processo com a 0 1 2 das relações 1 e 2 temos yx 4y 500x 2.000 yx y 500 125x 3 substituindo-se 3 em 1 vem 500 125x x 60.000 125x2 500x 60.000 0 x 4x ­ 480 2 x 20 ou x 24não convém daí teremos y 2 2 x 2x 2 2 4 substituindo-se x 20 na relação 3 y 500 12520 y 3.000 assim naquele dia temos a x 4 24 resposta 24 caminhões b y ­ 500 2.500 resposta 2.500kg questão 34 temos que fgx gfx x2 12 1 ­ x2 12 ­ 1 x4 ­ 2x2 2 ­ x4 2x2 ­ 4x2 2 ­ 2 logo a equação desejada é ­ 4x2 2 ­ 2 que tem raízes 1 e ­ 1 portanto a soma das raízes é zero questão 35 para m>15 a equação x2 8x 15 ­ m 0 tem duas raízes de sinais opostos pois o produto das raízes é negativo em particular a desigualdade x2 8x 15 m admite solução negativa para m 15 toda solução é maior ou igual a zero questão 36 questão 31 a os triângulos retângulos amq e bnm possuem ângulos correspondentes congruentes e hipotenusas de mesma medida portanto eles são congruentes e assim am bn como cada lado do quadrado abcd tem medida 4 cm escrevendo-se x am tem-se aq bm ab am 4 x aplicando-se o teorema de pitágoras no triângulo retângulo amq tem-se x2 4 ­ x2 9 logo x 2 2 2 ou x 2 2 2 portanto am 2 ou vice-versa 2 cm 2 e mb 2 2 cm 2 b a área ax do quadrado mnpq em função da medida x do segmento am é dada por a x x 2 4 x 2 2 x 2 8x 16 com 0 x 4 o valor mínimo de a é atingido na abscissa do vértice da parábola que é gráfico de a logo am mb 2 cm questão 33 12 desafios 2012

[close]

p. 13

projeto vestibular mÓdulo i ­ parte 2 funÇÃo quadrÁtica matemÁtica prof bruno vianna questão 37 a do enunciado devemos ter v0 120 ou seja a b2 120 1 v20 0 ou seja a b 202 0 2 da relação 1 tem-se que a 0 e b 0 assim da relação 2 podemos escrever b 202 0 b 20 3 substituindo o valor de b em 1 temos a 10 3 resposta a e b 20 10 3 20 t2 para 0 t b do item a resulta vt 10 20 e vt 0 para t 20 logo o gráfico de vt para t [0 30 é onde é a inclinação observe o triângulo tg 100 tg 10 arctg 10 10 questão 39 questão 38 o gráfico da função com seus pontos está representado abaixo o míssil deverá ter a seguinte tragetória 13 2012

[close]

Comments

no comments yet