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matemática 1 capítulo · triângulo retângulo · pitágoras e razões trigonométricas · aplicações do capítulo 1 1 capítulo 2 3 · arcos de circunferência · arcos côngruos e circunferência trigonométrica · aplicações do capítulo 2 módulo 1 capítulo ·funções trigonométricas ·seno cosseno e tangente ·aplicações do capítulo 3

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2 relacionar etapas da história da trigonometria com a evolução da humanidade e da própria matemática analisar gráficos das funções trigonométricas estabelecer e aplicar as relações no círculo trigonométrico resolver problemas que envolvam arcos e ângulos definir e calcular domínio imagem zeros e períodos construir gráficos das funções trigonométricas diretas traduzir situações contextuais da linguagem corrente para a linguagem matemática equações e gráficos e vice-versa c apítulo 1 · triÂngolo retÂngulo · pitÁgoras e razÕes trigonomÉtricas · aplicaÇÕes do capÍtulo 1 tagram é um quebra-cabeça chinês muito antigo que não se sabe ao certo quem foi o inventor formado por 7 peças 5 triângulos 1 quadrado e 1 paralelogramo com essas peças podemos formar várias figuras mudando as posições criando novos cenários para decorações engenharia etc veja alguns exemplos fonte http professoraclaudelice.blogspot.com/p/aulas.html fonte http mervy.in/index.php?pag=blog&cat=matem%e1tica&id=17 módulo i

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3 1 introduÇÃo o que é a trigonometria o significado da palavra trigonometria do grego trígônon triângulo e metron medida nos remete ao estudo puro e simples das medidas dos lados ângulos e outros elementos dos triângulos a comprovada importância do triângulo ­ figura básica em qualquer estudo de geometria ­ justifica o grande interesse pelo assunto extraído do livro matemática ciência e aplicações ­ ed atual exemplo determine o valor de x na figura abaixo solução aplicando o teorema de pitágoras temos x2 32 42 x2 9 16 x2 25 x 25 triÂngulo retÂngulo É o triângulo que possui o ângulo de 90° ângulo reto x 5 cm teorema de pitÁgoras obs o triângulo retângulo que possui os lados 3 4 e 5 é chamado de triângulo pitagórico a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo o triângulo pitagórico é utilizado como base para determinar outros triângulos retângulos que possuem os lados proporcionais ao do pitagórico comentário em todo triângulo retângulo a medida da hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos a2 b2 c2 matemática 1

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4 curiosidade razÕes trigonomÉtricas a seno em um triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa anaxágoras viveu no século v a.c e eratóstenes no século iii a.c ambos conheciam bem a distância entre as cidades de siene e alexandria e sabiam que em determinado dia do ano em siene o sol aparecia a pino bem na vertical no alto do céu e refletia-se no fundo de um poço profundo no mesmo dia em alexandria o sol encontrava-se cerca de 7,2 graus afastado da vertical veja os quadros abaixo anaxágoras propôs-se a questão qual a distância do sol à terra resolveu-a utilizando semelhança de triângulos e a hipótese adicional de que a terra era plana errou feio eratóstenes fez-se outra pergunta qual a circunferência da terra e acertou em cheio mesmo para padrões de precisão atuais sen cateto oposto hipotenusa b cosseno em um triângulo retângulo o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa cos cateto adjacente hipotenusa c tangente em um triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a tangente também é conhecida como a razão entre o seno pelo cosseno tg cateto oposto ou cateto adjacente tgx senx cosx tabela trigonomÉtrica exemplo1 mijardino estava brincando com sua pipa até que ele deixou prender no topo de um poste conforme a figura determine os valores x e h solução sen30° 1 2 h 20 cos30° 3 2 x 20 1 h 2 20 2h 20 h 10 m 3 x 2 20 2x 20 3 x 10 3 m exemplo2 uma rampa plana de 26 m de comprimento faz ângulo de 300 com o plano horizontal uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de fonte http revistaescola.abril.com.br/ensino-medio/estimule-boas-perguntas-obter-solucoes-ainda-melhores-432055.shtml a b c d e 26 m 13 m 13 3 m 12 m n.d.a módulo i

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5 observaÇÕes se observarmos com atenção percebemos que sen 30° ½ e cos 60° ½ isto acontece porque os ângulos são complementares isto é a soma dos ângulos resulta 90° o seno de um ângulo agudo é sempre igual ao cosseno do seu complemento e vice-versa exemplo sen10° cos80° sen40° cos50° cos60° sen30° etc a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° como no triângulo retângulo já existe um ângulo conhecido de 90° concluímos que a soma dos outros dois é 90° solução desenvolvendo os ângulos internos na figura temos sendo assim a hipotenusa do triângulo retângulo menor é 500 m logo 90° nota perceba que sen30° é ½ e sen60° é 2 podemos concluir que todo cateto oposto a 30° é a metade da hipotenusa e todo cateto oposto a 60° é a metade da hipotenusa multiplicado por 3 quando um cateto está oposto a 45° ele é igual a metade da hipotenusa multiplicado por 2 3 sen60° h 500 cos60° hipotenusa oposto a 30° 2 oposto a 60° hipotenusa 3 2 3 h 2 500 h 250 3m 1 x 2 500 h 250 m x 500 triÂngulo isÓsceles o triângulo isósceles é um triângulo que possui dois lados congruentes sendo o 3° lado geralmente chamado de base os ângulos da base são iguais 01 j.j jenoveva costuma seguir todos os dias um trajeto que vai de sua casa até a loja que trabalha este trajeto é representado pelo esquema abaixo determine a menor distância da casa dela até o local de trabalho figura uma questão clássica determine o valor de x e y na 02 um móvel parte de a e segue numa direção que forma com a reta ac um ângulo de 30 0 sabe-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h qual a menor distância que o móvel se encontra da reta ac após 3 horas de percurso a b c d e 50 km 150 km 100 km 75 km 65 km matemática 1

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6 03 determine o valor do segmento ac na figura abaixo 07 obtenha o valor de x na figura abaixo 04 uma pessoa vê o topo de uma torre sob um ângulo de 30° caminhando 100 m em linha reta aproximando ­se da torre alcança um segundo ponto de onde vê o topo sob um ângulo de 60° qual a distância da torre ao segundo ponto 05 uerj millôr fernandes em uma bela homenagem à matemática escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo Às folhas tantas de um livro de matemática um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma figura ímpar olhos rombóides boca trapezóide corpo retangular seios esferóides fez da sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito quem és tu ­ indagou ele em ânsia radical sou a soma dos quadrados dos catetos mas pode me chamar de hipotenusa millôr fernandes trinta anos de mim mesmo a incógnita se enganou ao dizer quem era para atender ao teorema de pitágoras deveria dar a seguinte resposta a sou a soma dos catetos mas pode me chamar de hipotenusa b sou o quadrado da soma dos catetos mas pode me chamar de hipotenusa c sou o quadrado da soma dos catetos mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa d sou a soma dos quadrados dos catetos mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa e n.d.a 06 ufpel ­ rs em um recente vendaval um poste de luz de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a uma distância x do solo a parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 3 m da base do mesmo a que altura x do poste quebrou a b c d e 3m 4m 5m 9m n.d.a 08 obtenha o valor de x na figura a seguir de acordo com as mediadas indicadas 09 a hipotenusa de um triângulo retângulo é 10 cm e a diferença entre os catetos é 2 cm determine a soma dos lados deste triângulo 10 ao projetar um shopping center um arquiteto idealizou o estacionamento no piso do térreo e hipermercado no primeiro piso sendo de 8 m o desnível entre esses pisos para transportar os carrinhos de compras foi projetada uma esteira rolante plana ligando um ponto a do piso do térreo a um ponto b do primeiro piso sabe-se que a distância ac é igual a 83m determine o valor de 11 unicamp ­ sp caminhando em linha reta ao longo de uma praia um banhista vai de um ponto a a um ponto b cobrindo a distância de 1200 m quando em a ele avista um navio parado em n de tal maneira que o ângulo nÂb é de 60° e quando em b verifica que o ângulo nba é de 45° a faça uma figura ilustrativa da situação descrita b calcule a distância a que se encontra o navio da praia 12 puc campinas ­ sp uma pessoa encontra-se num ponto a localizado na base de um prédio conforme mostra a figura abaixo se ela caminhar 90 metros em linha reta chegará a um ponto b de onde poderá ver o topo c do prédio sob um ângulo de 60° quantos metros ela deverá se afastar do ponto a andando em linha reta no sentido de a para b para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30° módulo i

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7 aplicações capítulo 1 01 uma formiga está no vértice a de um cubo e quer ir até o vértice b conforme nos mostra a figura de acordo com essa mesma figura ela tem duas opções para percorrer a o percurso acb passando pelo vértice c b o percurso amb passando pelo ponto m que é o ponto médio da aresta cd sabendo que a aresta do cubo mede 10 cm e considerando 2 1,4 e 5 2,2 qual dos dois percursos é mais curto 02 dois ciclistas partem do ponto p no mesmo instante seguindo as direções indicadas na figura abaixo a velocidade média de um é de 15 km/h e a do outro é de 20 km/h após 4 horas eles estarão nos pontos a e b respectivamente nesse instante qual será a distância entre eles 06 vunesp um pequeno avião deveria partir de uma cidade a rumo a uma cidade b ao norte distante 60 quilômetros de a por um problema de orientação o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste ao perceber o erro ele corrigiu a rota fazendo um giro de 120° à direita em um ponto c de modo que o seu trajeto juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido formaram aproximadamente um triângulo retângulo abc como mostra a figura com base na figura a distância em quilômetros que o avião voou partindo de a até chegar a b é a b c d e 30 3 40 3 60 3 80 3 90 3 07 a figura mostra um poste cravado verticalmente no solo e sustentado por dois cabos que formam com a hori¬zontal ângulos a e b se os pontos de fixação dos cabos ao terreno alinhados com a base do poste distam uma medida d a altura do poste pode ser calculada por 03 ugf ­ rj a medida de ed indicada na figura é a b c d e 5 3 cm 6 cm 8 cm 10 cm 10 3 cm 08 cesgranrio ­ rj uma rampa plana de 36 m de comprimento faz ângulo de 300 com o plano horizontal uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de 04 unama a figura abaixo representa um barco atravessando um rio partindo de a em direção ao ponto b a forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto c segundo um ângulo de 60° sendo a largura do rio de 120 m a distância percorrida pelo barco até o ponto c é a b c d e 240 3 m 240 m 80 3 m 80 m 40 3 m 05 obtenha o valor de x na figura a seguir de acordo com as mediadas indicadas a b c d e 3 5 7 9 10 fonte http www.empiliz.com/empilhadores.htm a b c d e 36 m 18 m 18 3 m 12 m n.d.a matemática 1

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8 09 o valor de x na figura é 14 cesgranrio-rj um disco voador é avistado numa região plana a uma certa altitude parado no ar em certo instante algo se desprende da nave e cai em queda livre conforme mostra a figura a que altitude se encontra esse disco voador a 3 m b5 m c5 3 m d5 3 1 m e5 3 3 m 10 puc ­ sp de um ponto a no solo visam-se a base b e o topo c de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina sob um ângulo de 30° e 45° respectivamente se o bastão mede 4 m de comprimento a altura da colina em metros é igual a a 3 b2 c2 3 d2 3 1 e2 3 3 11 nos triângulos retângulos apresentados nos itens a seguir são fornecidos um ângulo interno e a medida de um de seus lados determinar as medidas das incógnitas indicadas pelas letras considere as afirmativas l a distância d é conhecida ll a medida do ângulo e a tg do mesmo ângulo são conhecidas então tem-se que a a l sozinha é suficiente para responder à pergunta mas a ll sozinha não b a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta mas a l sozinha não c l e ll juntas são suficientes para responder à pergunta mas nenhuma delas sozinha o é d ambas são sozinhas suficientes para responder à pergunta e a pergunta não pode ser respondida por falta de dados 15 uesc-ba pretende-se construir uma rampa de menor compri¬mento d ligando dois níveis diferentes de pisos de modo que seu ângulo de inclinação a não seja maior que 20° 12 a figura mostra um edifício que tem 15 m de altura com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício o comprimento dessa escada é de a b c d e 12 m 30 m 15 m 17 m 20 m se os pisos têm altura respectivamente de 2,8 m e 1,1 m em relação ao solo e sendo sen 20° 0,34 então o comprimento d que melhor satisfaz ao problema é a 3,4 m b 4,4 m c 5,4 m d 6,4 m e 7,4 m 13 especex 2005 um topógrafo querendo conhecer a altura de um penhasco mediu a distância do ponto a até a beira do rio ponto e obtendo 20 metros a largura do rio eb é desconhecida a figura abaixo mostra os ângulos bÂc 30º e bÊc 60º a altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi a 15 3m b 12 3m c 10 3m d 20 3m e 40 3m módulo i

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9 c apítulo 2 arcos de circunferÊncia arcos côngruos e circunferência trigonométrica aplicações do capítulo 2 medida de arco as unidades mais utilizadas na medição de arcos são o grau ° e o radiano rad estas medidas não levam em consideração ao tamanho da circunferência ou seja uma circunferência de raio igual a 5 cm por exemplo possui 360° e uma circunferência de raio igual a 10 cm por exemplo possui 360° grau ° um arco mede 1 grau 1° quando eqüivale a 1 360 da circunferência que o contém radiano rad um arco mede 1 radiano 1 rad quando o seu comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém qualquer circunferência possui 360° ou 2 rad os velÓdromos fonte http www.canalolimpico.com.br/artigos/a-historia-do-ciclismo-no-brasil-regras-e-infografico velocidade olímpica ­ disputada apenas por homens é realizada por dois times de três ciclistas as equipes largam de posições opostas do velódromo e na primeira volta são lideradas por um ciclista que sai de cena quando a volta é completada na segunda volta outro ciclista assume a ponta saindo da pista ao término do percurso na última etapa o terceiro competidor completa a prova e em seguida são somados os pontos dos três ciclistas para se estabelecer o vencedor fonte www.canalolimpico.com.br conversÃo de medidas já que como unidade de medida podemos utilizar tanto o grau como o radiano precisamos aprender converter uma unidade na outra como qualquer circunferência tem 360° ou 2 rad podemos estabelecer a seguinte correspondência 360° 2 rad simplificando por 2 temos seja uma circunferência de centro o a qual tomamos dois pontos distintos a e b a seguir ainda sobre a circunferência tomemos um terceiro ponto m distinto dos anteriores relativamente aaeb m apresenta duas possibilidades a situar-se na parte assinalada na figura o percurso mais curto entre a e b ou b ao contrário situar-se na outra parte não assinalada o percurso mais longo entre a e b dado dois pontos pertencentes à circunferência eles dividem em duas partes o sentido negativo é chamado de sentido horário e o sentido positivo é chamado de sentido anti ­ horário 180° rad matemática 1

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10 comentÁrio sobre radiano se utilizarmos um objeto circular qualquer a tampa de um vidro por exemplo um pedaço de barbante uma tesoura e uma caneta poderemos observar a relação de radiano e sua correspondência com a circunferência primeiramente circunde o objeto com um barbante em seguida corte o barbante de modo que seu comprimento corresponda a uma volta completa no objeto chame as extremidades de a e h pela extremidade a estenda o barbante como um diâmetro sobre o objeto circular obtendo o ponto c dobre ao meio o pedaço utilizado como diâmetro e você obterá o raio do objeto circular localizando o ponto b você já terá dois raios marcados ab e bc no barbante continue fazendo marcas sucessivas cada uma distando da anterior a medida do raio serão localizados os pontos d e f e g terão sido feitas ­ até o ponto g inclusive ­ seis marcas e sobrará um pedaço do barbante gh correspondente a cerca de 28 do raio exemplo1 determinar em radianos a medida do arco 60° exemplo2 determinar em graus a medida do arco 3p rad 2 exemplo3 determinar o valor do arco 30° em radianos Ângulo formado pelos ponteiros hora e minuto de um relÓgio nesta parte da trigonometria é comum se depararmos com problemas sobre ângulos entre ponteiros de um relógio em geral uma estratégia muito usada é aquela que com regra de três simples mas também podendo utilizar as funções exemplos de ângulo entre os ponteiros de um relógio esse fato significa que o raio cabe aproximadamente 6,28 vezes na respectiva circunferência de volta ao objeto circular circunde-o novamente com o barbante você obterá uma marcação parecida com esta tome agora um para qualquer de pontos consecutivos exceto a e g e una esses dois pontos c e d por exemplo ao centro o você terá obtido um arco cd de medida igual a 1 rad bem como um ângulo central cÔd de medida também igual a 1 rad 1 rad equivale aproximadamente 57° qualquer um dos arcos ab bc cd de ef e fg que seja retificado fornecerá o raio da circunferência uma vez que cada um deles mede 1 rad com bastante precisão pode-se demonstrar que o raio cabe 6 283184 vezes na circunferência esse número irracional 6,283184 é conhecido como 2 assim para se determinar o comprimento de uma circunferência basta que seu raio seja conhecido c 2 r ficando claro também que numa volta completa há 2 rad fonte gelson iezzi osvaldo dolce david degenszajn roberto pÉrigo nilze de almeida matemática e aplicações ed atual ens médio 2 1ª edição como o relógio de ponteiros do tipo exemplificado acima percebemos uma volta completa de 360º está dividida em 12 partes horas iguais ou seja cada arco entre horas consecutivas possui mesmo valor se dividirmos 360º por 12 teremos 30º para cada arco a cada 60 minutos do ponteiro dos minutos o ponteiro das horas gira 30° 60 min 30° lembrete 1ºum grau corresponde a 60 sessenta minutos 1 um minuto corresponde a 60 sessenta segundos 1° 60´ e 1´ 60´´ podemos encontrar o ângulo entre os ponteiros de um 60h 11m relógio através da expressão ¸ |60h-11m onde h repre senta o valor de horas até 12 h e m representa os minutos nota quando se deparamos com questões que pedem o menor ângulo você deverá encontrar um ângulo que seja menor que 180° caso contrário encontre o replemento exemplo resultado de uma questão foi 200°não deixa de ser um ângulo entre os ponteiros então o menor ângulo será 360° 200° 160° 2 módulo i

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11 exemplo determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marcar a 16h e 40 min relaÇÃo de arco e raio neste caso iremos estudar o comprimento do arco logo o tamanho da circunferência é levado em consideração o comprimento de arco utiliza unidades de comprimento como cm dm mm etc enquanto a medida de arco utilizamos grau e radiano onde não é levado em consideração o tamanho da circunferência que o contém ± observaÇÃo medida de arcos 180° comprimento de arcos 3,14 b 15h e 30 min cuidado 180° é utilizado quando queremos transformar um arco de graus em radianos ou vice-versa quando tratamos de questões que envolvem comprimento de arco unidades de comprimento o valor de é aproximadamente 3,14 exemplo 1 um carro movimenta-se em uma pista circular de raio igual a 600 m sabe-se que este carro descreve uma trajetória em forma de arco de circunferência de a até b formando um ângulo central de 60° determine o comprimento em metros do arco ab c 14h e 45 min d 13h e 55 min exemplo 2 os ataques terroristas provocaram uma pane nos sistemas de comunicação do país isolaram os americanos do mundo e congestionaram a conexão da aldeia global erguido com us 1 bilhão o world trade center ­ um mega condomínio de escritórios com 339 unidades espalhadas por 101 países ­ foi inaugurado em 1973 a poucas quadras de wall street o coração financeiro do país suas torres de 417 e 415 metros e seus 110 andares ocupavam a quarta e a quinta posições entre os edifícios mais altos do mundo fonte istoé ­ 12 de setembro de 2001 no atentado terrorista de 11 de setembro o avião que bateu a torre de 415 m fez que o ponto mais alto da própria descrevesse um arco de 5m qual foi o ângulo formado por este arco matemática 1 l r

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12 circunferÊncia trigonomÉtrica as limitações que o triângulo retângulo nos impõe na utilização das razões trigonométricas que estudamos até aqui são notórias seus ângulos internos passíveis de aplicação a essas relações são agudos por motivos de limitações iremos estender o conceito de razões trigonométricas aplicados aos arcos de circunferência mantendo as propriedades já estudadas o primeiro passo é definir uma circunferência importante chamada circunferência trigonométrica definição chama-se circunferência trigonométrica a toda circunferência orientada de raio unitário r 1 onde possui um ponto a que é a origem de todos os arcos nota a circunferência trigonométrica é dividida em 4 partes iguais chamadas de quadrantes exemplo determine os quadrantes dos arcos 30º 100º 300º -120º -210º 4 g 2 3 h 6 a b c d e f curiosidade fonte http blog.brasilacademico.com/2011/07/matematicos-querem-substituir-o-pi.html arcos cÔngruos são arcos de mesma extremidade diferenciando no número de voltas dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é um múltiplo de 360° ou 2 x x0 360°.k k z ou em graus x x0 2k k z em radianos x0 ­ 1° determinação positiva ou negativa depende do sentido k ­ representa o número de voltas x ­ representa o arco final exemplo num teste de um novo modelo de carro em uma pista circular como mostra a figura foi registrado voltas que totalizaram 1500º de um determinado relacionando o arco medido em um ciclo trigonométrico determine a pista circular de testes da porsche em weissach na alemanha década de 1970 imagens ­ matemática 8 ­ pré vestibular ed coc ­ empreendimentos culturais ltda páginas 25 e 26 a b c d o número de voltas completas a 1ª determinação positiva a 1ª determinação negativa a equação dos arcos côngruos em graus módulo i

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13 comentário 08 enquanto a tartaruga pronunciava sua pergunta o coelho se distanciou 16,66 m na pista circular de 31,83 m de raio determine a medida em radiano do arco imediatamente após o término da infeliz pergunta exercícios de aprendizagem­capítulo 1 01 determine os quadrantes dos arcos abaixo a b c d e 60° 230° ­ 30° /4 ­ 200° 09 um pêndulo de 10 cm de comprimento oscila entre a e b através de um ângulo de 10° qual é o comprimento da trajetória descrita pela sua extremidade entre a e b 02 qual a primeira determinação positiva do arco 800° 03 quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos a 16 9 b 5 3 c 4 3 d 4 2 e 3 3 04 expresse em radianos os arcos abaixo a b c d 30° 60° 270° 100° 10 determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marcar a b c d 4h e 40 min 14h e 30 min 10h e 15 min 12h e 30 min 11 ufrgs-rs dentre os desenhos a seguir aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é 05 determine a primeira determinação positiva dos arcos abaixo a b c d 400° 1080° 13 2 17 3 12 mackenzie-sp o segmento oa descreve um ângulo de 30° em torno da origem como indica a figura adotando 3 a distância percorrida pelo ponto a é 20 a 2,5 b 5,5 c 1,7 d 3,4 e 4,5 06 expresse em graus os arcos abaixo a 4 b 2 3 c 18 d 07 determine o comprimento do arco de circunferência de raio 40 cm quando submetido a um ângulo central 45° matemática 1

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14 13 ufrs qual é a expressão geral em radianos dos arcos de extremidades nos pontos indicados c apítulo 3 funções trigonométricas seno cosseno e tangente aplicações do capítulo 3 14 uma banheira tem o formato de uma semi­esfera de 6 m de diâmetro uma criança deixa cair uma bola de borracha pelo interior da banheira quando ela estava vazia conforme a figura abaixo sabendo que o ângulo é igual a 60° e considerando o valor de 3,14 podemos concluir que o trajeto percorrido pela bola tem comprimento aproximadamente igual a a b c d e 3,70 m 3 0 m 2,30 m 3,14 m 31,40 m espécie de braço manipulador robótico da estação espacial internacional É possível operar o braço controlando o ângulo de suas juntas o cálculo da posição final do astronauta no final do braço requer uma série de aplicações de funções trigonométricas em função desses ângulos extraído em 27/11/2011 www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_trigonometria2/index.htm introduÇÃo vamos ampliar as definições de seno cosseno e tangente que eram aplicadas no triângulo retângulo para a circunferência trigonométrica 15 as duas polias da figura giram simultaneamente em torno dos respectivos centros por uma correia inextensível quantos graus deve girar a maior polia para que a menor dê uma volta completa 16 u.f ouro preto ­ mg um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500 km em torno de uma pista circular de raio 200 m o número aproximado de voltas que ele deve dar é a b c d e 100 200 300 400 500 17 fafi fabrai ­ mg considerando que 3,14 o número de votas completas que uma roda de raio igual a 40 cm incluindo o pneu dará para que o automóvel se desloque 1 quilômetro será de a b c d e 290 398 2000 3980 2189 módulo i

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15 exemplos resolvidos 01 determine o valor de y a b sem sono com sono como o raio da circunferência trigonométrica é igual a 1 o valor máximo admitido é 1 e o valor mínimo admitido é ­ 1 então podemos concluir que uma função seno ou uma função cosseno admite valores pertencentes ao intervalo -1 1 que é chamado de imagem da função comentÁrio sobre domÍnio e imagem em matemática se xeysão duas variáveis tais que para cada valor atribuído a x existe em correspondência um único valor para y dizemos que y é uma função de x no eixo x eixo das abscissas estão os elementos do conjunto domínio e no eixo y eixo das ordenadas estão os elementos do conjunto imagem o conjunto imagem é representado pelos elementos do eixo y que possui correspondência direta com o gráfico através dos elementos do eixo x 02 determine o valor de a comentário sobre os pontos notáveis da circunferência trigonométrica como já vimos anteriormente os arcos côngruos possuem mesma extremidade mas diferenciam no número de voltas desta maneira podemos observar que para um determinado arco o seu côngruo terá mesmo valor para a função desejada veja na circunferência b matemática 1

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