Introducción a la Estadística Inferencial

 

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Introducción a la Estadística Inferencial

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this is page i printer opaque this introducci´n a la estad´ o istica inferencial dr oldemar rodr´ iguez rojas mayo del 2001

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this is page iii printer opaque this contents 1 probabilidades 1 distribuciones de probabilidad 2 distribuciones de probabilidad discretas 2.1 la distribuci´n binomial o 2.2 la distribuci´n de poisson o 3 la distribuci´n normal o 3 3 5 5 7 8 13 13 17 17 18 18 22 24 24 26 29 29 30 30 31 31 33 35 37 41 41 42 42 2 teor´ del muestreo ia 1 importancia del muestreo 3 inferencia estad´ istica 1 estimaci´n puntual o 2 los estimadores como variables aleatorias 2.1 distribuci´n muestral del promedio o 2.2 distribuci´n muestral de la proporci´n o o 3 estimaci´n por intervalo o 3.1 intervalo para medias 3.2 intervalo para proporciones 4 prueba de hip´tesis o 1 prueba de hip´tesis para una poblaci´n con muestras grandes o o n 30 1.1 plantear la hip´tesis nula y alternativa o 1.2 seleccionar un nivel de significancia 1.3 identificar el estad´ istico de la prueba 1.4 en una muestra dada rechazar o aceptar la hip´tesis o nula 1.5 ejemplos 2 prueba de hip´tesis para una poblaci´n con dos muestras o o grandes n 30 2.1 ejemplos 5 teor´ de muestras peque as ia n 1 la distribuci´n t de student o 2 estimaci´n por intervalo para muestras peque~as n 30 o n 2.1 intervalo de confianza para la media µ .

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1 3 4 prueba de hip´tesis para muestras peque~as n 30 o n 3.1 prueba de hip´tesis para una poblaci´n con muestra o o peque~a n 3.2 prueba de hip´tesis para una poblaci´n con dos mueso o tras peque~as n conexi´n entre los intervalos de confianza y las pruebas de o hip´tesis o de de medias provenientes medias provenientes 43 44 45 46 51 52 56 59 59 63 65 65 66 67 67 68 6 an´lisis de la varianza a 1 m´todo anova para la comparaci´n e o de muestras del mismo tama~o n 2 m´todo anova para la comparaci´n e o de muestras de distinto tama~o n 7 regresi´n y correlaci´n o o 1 m´todo de m´ e inimos cuadrados 1.1 error est´ndar de la estimaci´n a o 2 coeficiente de correlaci´n y determinaci´n o o 2.1 el coeficiente de correlaci´n o 2.2 el coeficiente de determinaci´n o 3 estimaci´n de intervalos de confianza para predecir o 3.1 predicci´n del valor particular de y dado un valor de x o 3.2 estimaci´n del valor esperado media de y dado un o valor de x .

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this is page 3 printer opaque this probabilidades 1 distribuciones de probabilidad definicin 1 una variable aleatoria es una funci´n del espacio muestral o en un conjunto c observacin 1 si el conjunto c es finito o numerable la variable aleatoria x se llama discreta mientras que si c es no numerable por ejemplo r entonces la variable alaeatoria x se llamar´ continua a ejemplo 1 si se tiene el experimento de lanzar una moneda entonces {escudo,corona luego podemos definir la variable aleatoria x {0 1 como xescudo 0 y xcorona 1 observacin 2 n´tese que p x 0 p escudo o 1 p corona 1 2 1 2 y que p x definicin 2 sea x una variable aleatoria discreta con valores x1 x2 xk con probabilidades p1 p2 pk respectivamente con p1 +p2 +· · ·+pk 1 la funci´n definida por p x xk p xk pk para k 1 2 k se o llama distribuci´n de probabilidad discreta o ejemplo 2 sup´ngase que se tiene el experimento de lanzar dos dados o sea x el resultado observado en la cara superior del primer dado y sea y el resultado observado en la cara superior del segundo dado se define la variable aleatoria x x y es decir el resultado de la suma de los resultados obtenidos en ambos dados entonces x tiene la funci´n de probabilidad o que se presenta en la siguente tabla x px 2 1 36 ejemplo 3 3 2 36 4 3 36 5 4 36 6 5 36 7 6 36 8 5 36 9 4 36 10 3 36 11 2 36 12 1 36 gr´ficamente se ilustra como sigue ver figura 1 a observacin 3 si x es continua entonces p x se llama distribuci´n de o probalidad continua ejemplo 4 en el siguiente gr´fico se presenta una distribuci´n de probaa o bilidad continua el ´rea sobreada representa la probabilidad p a x b a ver figura 2 o ejercicio 1 hallar la distribuci´n de probabilidad para la variable aleatoria x =n´mero de hijos varones en familias de 3 hijos luego haga la u gr´fica a

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4 1 probabilidades figure 1 gr´fico de la distribuci´n de probabilidad de x a o figure 2 distribuci´n de probabilidad continua o definicin 3 la funci´n acumulativa de probabilidad de una variable aleatoo ria x es la probabilidad de que x sea menor o igual a un valor espec´ ifico x es decir f x p x x p xi xi x ejemplo 5 sup´ngase que se tiene nuevamente el experimento de lanzar o dos dados sea x el resultado observado en la cara superior del primer dado y sea y el resultado observado en la cara superior del segundo dado se define la variable aleatoria x x y es decir el resultado de la suma de los resultados obtenidos en ambos dados entonces la funci´n de acumulativa o de probabilidad que se presenta en la siguente tabla x f x 2 1 36 3 3 36 4 6 36 5 10 36 6 15 36 7 21 36 8 26 36 9 30 36 10 33 36 11 35 36 12 1 ejercicio 2 calcule funci´n de acumulativa de probabilidad del ejercicio o 1.

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1 probabilidades 5 definicin 4 sea x una variable aleatoria discreta que puede tomar valores x1 x2 xk con probabilidades p1 p2 pk respectivamente con p1 p2 · · · pk 1 la esperanza matem´tica se define como a ex p1 x1 p2 x2 · · · pk xk ejemplo 6 un boleto de una rifa ofrece dos premios uno de $5000 y otro de $2000 con probabilidades 0.001 y 0.003 ¿cu´l ser´ el precio justo a a ia pagar por ´l e solucin 1 su esperanza matem´tica es 5000 0.001 2000 0.003 a $5 $6 $11 que es el precio justo ejercicio 3 en un negocio aventurado una se~ora puede ganar $300 con n probabilidad 0.6 o perder $100 con probabilidad 0.4 hallar su esperanza matem´tica a 2 distribuciones de probabilidad discretas 2.1 la distribuci´n binomial o definicin 5 un experimento se dice binomial si tiene las siguientes caracter´ isticas 1 el experimento consta de n pruebas id´nticas e 2 cada prueba tiene 2 resultados a uno se le llamar´ el ´xito e y al a e otro el fracaso f e 3 la probabilidad de tener ´xito en una sola prueba es p y permanece constante de prueba en prueba la probabilidad del fracaso es igual q 1 p 4 las pruebas son idependientes 5 la variable aleatoria en estudio es x =n´mero de ´xitos observados u e ejemplo 7 sup´ngase que cierto transistor de un radio tiene una probao bilidad de 0.2 de funcionar m´s de 500 horas si probamos 20 transistores a ¿cu´l es la probabilidad de que 3 de ellos funcionen m´s de 500 horas a a solucin 2 es un experimento binomial pues se verificas las 5 condiciones de la definici´n anterior veamos o 1 n 20.

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6 1 probabilidades 2 e {el transistor funciona m´s de 500 horas y f {el transistor a funciona menos de 500 horas 3 p 0.2 y q 0.8 luego p q 1 4 las pruebas son claramente idependientes u e 5 x =n´mero de ´xitos observados en n 20 pruebas un posible evento es eeef 20 3 ffffffffffffffff 0.2 0.2 0.2 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 pero existen posibles eventos de este tipo entonces la probabilidad es p x 3 20 0.23 0.817 0.205 3 n pk qn-k k en general la probabilidad de tener k ´xitos es e p x k 20 0.2k 0.8n-k k ejercicio 4 se lanza un moneda 6 veces ¿cu´l es la probabilidad de obtener a 2 escudos definicin 6 la distruci´n binomial de una variable aleatoria x se define o por p x k n pk qn-k k n pk 1 pn-k para k 0 1 n k ejercicio 5 la experiencia ha demostrado que el 30 de todas las personas se recuperan de una cierta enfermedad si se seleccionan 10 personas al azar ¿cu´l es la probabilidad de que a 1 9 se recuperen 2 10 se recuperen 3 al menos 9 se recuperen teorema 1 sea x una variable aleatoria que sigue una distribuci´n de o probabilidad binomial entonces 1 ex np 2 la desviaci´n est´ndar es o a npq ejemplo 8 en 100 tiradas de una moneda ex np 100 1 50 y npq 2 100 11 5 22

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1 probabilidades 7 2.2 la distribuci´n de poisson o la distribuci´n de poisson es un buen modelo para la distribuci´n de una o o variable aleatoria x si ´sta cuantifica el n´mero de eventos raros de un e u cierto esperimento donde por un evento raro entendemos que n es muy grande y que p la probabilidad de que dicho evento ocurra es muy peque~o n por lo tanto q 1 p es cas1 1 definicin 7 la distrubuci´n de poisson de una variable aleatoria x se o define por p x k k e donde es el valor promedio de x k ejemplo 9 sup´ngase que un sistema aleatorio de una ronda de polic´ o ia est´ ideado de tal manera que un polic´ puede visitar cierta localidad de su a ia ronda x 0 1 2 3 veces en per´ iodos de media hora y que el sistema est´ a arreglado de tal manera que pasa por cada localidad un promedio de una vez por per´ iodo sup´ngase que x tiene aproximadamente una distribuci´n o o de probabilidad de poisson calcule la probabilidad de que el polic´ no ia pase por cierta localidad durante un per´ iodo de media hora ¿cu´l es la a probabilidad de que la visite una vez ¿dos veces solucin 3 para este ejemplo el per´ iodo es media hora y la media de las visitas por intervalo de media hora es 1 entonces p x k 1k e-1 k el evento que consiste en que el polic´ falla en visitar cierta localidad en ia un per´ iodo de media hora corresponde a k 0 luego p x 0 e-1 0.368 0 tambi´n ¿cu´l es la probabilidad de que la visite una vez es p x 1 e a 2 -1 e 11 e-1 0.368 ¿dos veces es p x 2 1 2 0.184 1 teorema 2 sea x una variable aleatoria que sigue una distribuci´n de o probabilidad de poisson entonces 1 ex 2 la desviaci´n est´ndar es o a observacin 4 la distribuci´n binomial se puede aproximar por la diso tribuci´n de poisson cuando n es grande y p es peque~o o n

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8 1 probabilidades ejemplo 10 un 10 de las herramientas producidas en una fabrica son defectuosas hallar la probabilidad de que en una muestra de 10 tomadas al azar 2 sean defectuosas usando la distribuci´n binomial y la distribuci´n o o de poisson o solucin 4 1 usando la distribuci´n binomial con n 10 p 0.1 q 0.9 e la herramienta es defectuosa f la herramienta no es defectuosa y x =n´mero de herramientas defectuosas entonces u p x 2 10 0.12 0.98 0.1937 2 o 2 usando la distribuci´n poisson con ex np 10 · 0.1 1 se tiene que p x 2 2 e 12 e-1 0.1839 2 2 ejercicio 6 si la probabilidad de que un individuo sufra una reacci´n nego ativa ante una inyecci´n de cierto suero es 0.001 hallar la probabilidad o de que entre 2000 individuos a exactamente 3 y b m´s de 2 de ellos a reaccionen negativamente 3 la distribuci´n normal o definicin 8 una variable aleatoria continua x sigue una distribuci´n de o probabilidad normal si p x x p x 1 x-µ 2 1 e 2 2 donde x es la variaci´n en consideraci´n con x o o µ es la media aritm´tica de x con µ e es la desvici´n est´ndar de la variable x con 0 o a se ilustra gr´ficamente en la figura 3 a observacin 5 como ´xiste una cantidad infinita de curvas normales dee pendiendo de los valores de µ y entonces los datos se estandarizan y se se usa la distribuci´n de probabilidad normal est´ndar ¿c´mo se hace o a o texto un dato se estandariza como sigue z luego x-µ 1 2 1 p x x p z z e 2 z 2

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1 probabilidades 9 figure 3 la curva normal y se usa la tabla del ap´ndice 1 para aproximar los valores de esta funci´n e o graficamente se ilustra el la figura 4 figure 4 la curva normal est´ndar a ejemplo 11 los resultados de un examen de admisi´n de un colegio tienen o una distribuci´n normal con media 75 y desviaci´n est´ndar 10 ¿cu´l es ooaa la probabilidad de obtener una nota entre 80 y 90 solucin 5 lo primero que se debe hacer es est´ndarizar la variable a 90 75 80 75 0.5 y z2 1.5 z1 10 10

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10 1 probabilidades entonces p 80 x 90 p 0.5 z 1.5 0.4332 0.1915 0.2417 esto se ilustra en la siguiente figura figure 5 la probabilidad buscada es la parte sobreada ejercicio 7 el peso promedio de 500 estudiantes en la universidad latina es de 151 libras y la desviaci´n est´ndar es de 15 libras suponiendo que o a los pesos est´n normalmente distribuidos y redondeados a 1 ¿cu´ntos estudiantes pesas entre 120lbs y 155lbs a 2 ¿cu´ntos estudiantes pesas m´s de 185lbs a a 3 ¿cu´ntos estudiantes pesas menos de 128lb a 4 ¿cu´ntos estudiantes pesas 128lbs a 5 ¿cu´ntos estudiantes pesas no m´s de 185lbs a a observacin 6 se puede probar que cuando n es grande y si ni p ni q son muy pr´ximos a cero la distribuci´n binominal se acerca cada vez o o m´s a una distribuci´n normal es decir la distribuci´n binominal puede a o o aproximarse usando una distribuci´n normal can´nica o o formalmente si x es una variable aleatoria binominal se puede aproximar por la variable normal can´nica est´ndar o a z x -µ x np npq en la pr´ctica la aproximaci´n ser´ buena si tanto np como nq son a o a mayores que 5 en la pr´ctica se resta o se suma 0.5 a la variable dado que estamos a aproximando una variable aleatoria discreta por una continua.

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1 probabilidades 11 ejercicio 8 hallar la probabilidad de obtener entre 3 y 6 escudos en 10 tiradas de una moneda usando a la distribucion binomial b la aproximaci´n normal a la binomial o ejercicio 9 se lanza una moneda 500 veces hallar la probabilidad de que el n´mero de caras est´ entre a 240 y 260 b entre 220 y 280 u e

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12 1 probabilidades

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