CONTROLADOR PI PARA SISTEMA DE PRIMER ORDEN

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El documento muestra una manera didáctica y de fácil comprensión para el diseño, simulación e implementación de controladores PID tanto análogos (basado en amplificadores operacionales) como digitales (basado en microcontrolador).

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diseÑo e implementacion de un controlador pi analogo y digital para un sistema de primer orden sin tiempo muerto control análogo control digital 28/12/2011 programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca msc ilber adonayt ruge ­ docente control análogo

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descripcion el documento muestra una manera didáctica y de fácil comprensión para el diseño simulación e implementación de controladores pid tanto análogos basado en amplificadores operacionales como digitales basado en microcontrolador para el caso en particular se trabajara como planta a controlar un sistema de primer orden sin tiempo muerto considerando que este tipo de sistemas son de amplio uso en el área de producción industrial ejm sistemas de temperatura nivel entre otros modelo de sistema de primer orden sin tiempo muerto 1 2.3 1 1 se desea sintetizar el anterior modelo hacienda uso de amplificadores operacionales para cuestiones de simulación e implementación futura del controlador pid figura 1 síntesis de sistema de primer orden con amplificadores operacionales para el sistema de la figura 1 la función de transferencia viene dada por 2 1 si se compara la ecuación 2 con la ecuación 1 se puede deducir que 1 1 2.3 2 si 10 entonces 23 por tanto 23 para que se cumplan las 23 esta ultima etapa es para hacer que la igualdades de igual manera se asigna fase del sistema sea positiva programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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figura 2 respuesta del sistema de primer orden sintetizado ante una entrada escalón de magnitud unitario la figura 2 muestra efectivamente que la constante de tiempo del sistema sintetizado corresponde a 2.3s el cambio en la entrada se aplico en t=1s considerando que este tiempo corresponde al tiempo que tarda el sistema en adquirir el 63.2 de la magnitud de laganancia estática ante una entrada escalón unitario la cual es igual a 1 diseÑo de controlador pid usando pidwindup una vez validado el modelo sintetizado con amplificadores operacionales se procede al diseño del controlador pid respectivo para tal fin se hace uso de la herramienta de software pidwindup por tratarse de una herramienta fácil de usar y que permite variar los parámetros del controlador pid de manera interactiva y evaluar el desempeño del controlador de manera inmediata se opto por diseñar un controlador pi puesto que la adición del parámetro derivativo no aportaba mayor cosa a la respuesta del sistema entonces por practicidad de la implementación se diseño un controlador pi para kp=2.11 y ti=2.23 se tiene un sistema de control en lazo cerrado con un tiempo de estabilización de aprox 6 segundos un sobrepico del 0 y un error en estado estacionario de cero 3 programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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figura 3 sintonización de controlador pi para sistema de primer orden para cuestiones de validación del controlador pi diseñado se hace uso también de matlab para tal fin figura 4 validación de controlador pi en matlab/simulink la figura 5 muestra efectivamente que el sistema ante una entrada de referencia escalón unitario el sistema ofrece una salida con tiempo de estabilización de aprox 6 segundos no ofrece sobreimpulso y el error en estado estacionario es de cero lo anterior valida el funcionamiento del controlador pi diseñado mediante pidwindup 4 programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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1.4 1.2 x 6 y 0.9989 voltaje de salida volts 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 tiemposeg 7 8 9 10 figura 5 respuesta del controlador pi mediante matlab/simulink sintesis del controlador pi con amplificadores operacionales un controlador pid tiene como ecuación característica 1 3 usando transformada de laplace la función de transferencia del controlador es 1 4 1 1 5 6 donde y se desea obtener un circuito basado en amplificadores operacionales que realice el mismo desempeño del controlador pid mostrado en la ecuación 6 pero haciendo el termino derivativo igual a cero pues se desea es un controlador pi solamente para tal fin se hace uso del circuito mostrado en la figura 6 5 programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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figura 6 controlador pi la función de transferencia del controlador pi mostrado en la figura 6 es 1 1 7 comparando la ecuación 7 con la ecuación del pid dada en 6 se deduce que 1 8 según los parámetros sintonizados mediante pidwindup ver figura 3 2.11 2.11 2.23 0.9462 para valores comerciales de r y c que cumplan las anteriores igualdades se tiene que 10 100 210 para la validación del controlador pi diseñado se hace uso del software de simulación isis proteus para tal fin se hace uso de una señal pulsante de periodo 20 seg con amplitud inicial de 1.5 voltios y amplitud final de 2.5 voltios como señal de referencia como resultado se tiene un tiempo de estabilización de aprox 6 segundos no hay sobrepico y el error en estado estacionario es cero lo cual coincide con los resultados obtenidos en las simulaciones tanto en pidwindup como en simulink de matlab 6 programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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figura 7 control pi en isis proteus · observación según la figura 1 la salida de la planta debe invertirse y según la ecuación 7 la salida del control pi también debe invertirse entonces por practicidad de implementación estos dos inversores se omiten puesto que ambos aportarían una doble inversión de fase es decir no habría inversión de fase recomendación se recomienda el uso de seguidores de voltaje tanto a la salida de la planta como en la entrada de referencia con el ánimo de no afectar las impedancias propias tanto del circuito de la planta sintetizado con amplificadores operacionales como del restador · la figura 8 muestra el comportamiento de la señal de control se observa que esta nunca sobrepasa los limites de voltaje de alimentación de los amplificadores operacionales ±12v lo cual lo hace apropiado para implementar esto dado que si dichos limites se sobrepasan dicha señal de control se encuentra en saturación y por tanto cambiara la señal de salida real con respecto a la simulada 7 figura 8 señal de control del regulador pi ante entrada de referencia cambiante programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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eÑo de co ontrolad dor pi dig gital bas sado en m microcon ntrolado or dise la fu unción de tr ransferencia del controla ador pi diseñado esta dado por la e ecuación 7 y se recue erda aquí nue evamente 9 para v valores de r2=210k r1 =100k y c=10uf la funci de transf ión ferencia qued definida así da 10 obse ervación pa este caso no se tendr en cuenta la fase nega ara o rá ativa del con ntrolador pu de ues igual manera se tr rabajara con la función d transferenc de la plan con fase p de cia nta positiva como criterio de diseño para la selección del periodo de muestreo se utiliza o de nstante de tiempo del sis stema el lazo abierto el cual es igua a 2.3 seg según o al dond es la con como se muestra en la ecuació 1 por ta o ón anto se toma como per ara riodo de mue estreo ts=200 0ms para la discretiza ación de la fu función de tr ransferencia del controla ador se hace uso de la fu unción c2dm de matlab cuya sinta de uso es m b axis s el mé étodo de disc cretización `m method usado es zoh zero ordel h holder el có ódigo fuente respectivo para la ob e btención de la función de transfere encia discret del ta contr rolador pi es el res sultado es 8 programa de ingen p niería electrónica ­ universidad d cundinamarca ilberruge@ya a de ahoo.es

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es de ecir que la fu unción de tra ansferencia d discreta del controlador p queda defin como pi nida 11 para la validación del control n lador digital obtenido se hace uso de matlab/sim e e mulink para tal fin tambi se debe discretizar la función de transferenci de la plan de primer orden dada en la ién a e ia nta r a ecuac ción 1 usan el mismo método usa para la discretización del control ndo o ado d n lador pi el res sultado es sultado de la simulación en simulink es a k el res igura 9 resp puesta del co ontrolador pi discreto ante una entrada escalon un e a nitario median nte fi matlab/simulin m nk una c comparación entre la resp n puesta del co ontrolador an nálogo y el d digital para la misma plan de nta prime orden se m er muestra en la figura 10 a programa de ingen p niería electrónica ­ universidad d cundinamarca ilberruge@ya a de ahoo.es 9

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figura 10 comparación de respuesta entre controlador análogo y controlador digital para calcular la ecuación en diferencias que se desea implementar en el microcontrolador se realiza las siguientes operaciones 1 dividir numerador y denominador por z para obtener una ecuación recursiva ecuación en términos de valores presentes y pasados tanto de la entrada ez como la salida uz 2.11 1.91 1 2 hallar uz 2.11 1.91 13 12 3 aplicar transformada z inversa para calcular u[n 1 2.11 1.91 1 14 la ecuación 14 es la ecuación a implementar en un microcontrolador pic 10 programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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codigo fuente en ccs compiler para microcontrolador pic18f2550 para una entrada de referencia pulsante con amplitud inicial de 1v y amplitud final de 2v el resultado de la simulación en isis proteus se muestra en la siguiente figura figura 11 resultado de la simulación del controlador pi implementado en microcontrolador como resultado da una señal de salida con un tiempo de estabilización aprox 5 segundos sin sobreimpulso y con error en estado estacionario igual a cero lo cual coincide con los resultados obtenidos por medio del controlador pi análogo y las respectivas simulaciones hechas en matlab/simulink 11 programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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para finalizar se hace un análisis del comportamiento de la señal de control con el animo de verificar que los voltajes aplicados a la planta no superen en ningún momento los voltajes de alimentación de los amplificadores operacionales usados para sintetizar la planta modelo de primer orden sin tiempo muerto figura 12 evaluación de la señal de control del regulador pi digital implementado en microcontrolador se observa que las magnitudes de voltaje de la señal de control nunca superan los valores de voltaje de alimentación lo cual lo hace adecuado para su implementación 12 programa de ingeniería electrónica ­ universidad de cundinamarca ilberruge@yahoo.es

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