FUNÇÃO EXPONENCIAL

 

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REVISÃO DE POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO FUNÇÃO EXPONENCIAL - EQUAÇÃO E INEQUAÇÃO EXPONECIAL

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colÉgio polivalente de vitÓria da conquista 2012 conteÚdo complementar ­ 2º ano do e.m professora angÉlica aluno funÇÃo exponencial várias situações do nosso cotidiano ou do universo científico tais como juro em aplicações financeiras ou empréstimos crescimento populacional depreciação de um bem decaimento radioativo etc podem ser estudadas com o auxílio das funções exponenciais situaÇÃo problema a maioria das bactérias reproduz-se por bipartição isto é cada uma delas se divide em duas ao atingir determinado tamanho em uma cultura laboratorial vamos considerar determinada bactéria que se dividirá em duas dando origem à primeira geração cada bactéria da primeira geração sofrerá bipartição dando origem à segunda geração e assim por diante a tabela abaixo mostra o crescimento do número de bactérias a partir de uma bactéria admitindo-se que todas sobrevivam a cada geração note que a coluna onde se registra o número de bactérias apresenta as potências 2 1 22 23 24 25 26 assim o número y o número de indivíduos gerados por uma bactéria será na geração x expresso pela função tempo nº de bactérias 1 2 3 4 5 6 14 30 60 2 21 4 22 8 23 16 24 32 25 64 26 16384 214 1073741824 230 1152921504606846976 260 y 2x admitindo que essas bactérias se bipartissem a cada 20 minutos após uma hora teríamos três gerações e em apenas um dia haveria 72 gerações admitindo ainda que todas sobrevivessem observe o número de bactérias apenas na 72ª geração 272 4.722.366.482.869.645.213.696 ao final do dia o número de bactérias seria 20 21 22 23 24 25 272 essa soma que aprenderemos a calcular no estudo das progressões geométricas é 9.444.732.965.739.290.427.391.

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É difícil entender o que está acontecendo apenas olhando essa tabela uma forma mais sintética e compreensível de representar bactérias é através de um gráfico funções como essas chamadas de funções exponenciais serão estudadas neste capítulo os pré-requisitos para esse estudo são os conceitos de potenciação e radiciação no conjunto dos números reais que revisaremos a seguir o crescimento das potenciaÇÃo e radiciaÇÃo potência de expoente inteiro sendo a um número real e n um número inteiro definimos a0 1 se a 0 a1 a a2 a a an a a a a a se n 1 n fatores a-n se a 0 na potência an o número a é chamado base da potência e o número n é chamado expoente da potência exemplos:

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propriedades das potências de expoente inteiro dados os números reais aebe os números inteiros mene obedecidas as condições para que existam as potências temos exemplos a 25 23 25+3 =28 b 37 32 27+2 =39 d 74 ÷ 73 74-3 71 f 25 2 25.2 210 h 2 x 5 25 x5 32x5 j 2 33 23 33 8 27 c 25 ÷ 22 25-2 23 e 34 2 34.2 38 g 2 7 3 23 73 i exercícios propostos 1 simplifique as expressões abaixo conforme o item a 2 simplifique as expressões abaixo:

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3 simplifique as expressões abaixo 4 sendo a 43 b 85 c 26 e d 1/2 3 determine o valor de 5 escreva verdadeiro v ou falso f corrigindo a resposta no segundo caso se a é diferente de zero se n é um número par se n é um número ímpar,

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6 simplifique as expressões sendo x 0 e y 0 notaÇÃo cientÍfica os números que fazem parte do dia a dia expressam grandezas como o preço de um produto o tempo de duração de um filme o custo de um carro etc esses números por serem representados com poucos algarismos não apresentam grande dificuldade de entendimento porém no âmbito científico convivese com números gigantescos ou minúsculos em relação aos que estamos habituados por exemplo a massa da lua é estimada em 73.400.000.000.000.000.000.000 kg o vírus da poliomielite que é o menor vírus que pode infectar o ser humano mede cerca de 0,00000002 m a dificuldade em trabalhar com esses números levou os cientistas a estabelecer uma notação simplificada para representá-los a notação científica para entender essa notação observe que o número 73.400.000.000.000.000.000.000 é o produto 7,34 1022 assim a massa da lua é representada de forma científica analogamente podemos representar o comprimento do vírus da poliomielite em notação científica por 2 10-8 de maneira geral temos todo número real não nulo com expressão decimal finita pode ser representado sob a forma de k 10n em que n é um número inteiro e k é um número real com módulo menor que 10 e maior ou igual a 1 essa forma de representação é denominada notação científica exercício resolvido r1 ­ sabendo que a massa de cada átomo de magnésio mg é estimada em 4,0 10-23 g conclui-se que o número de átomos que compõem 48 g de magnésio é 1,2 1022 g 1,2 1023 g 1,2 1024 g 4,8 1022 g 4,8 1023 g

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resolução podemos calcular o número de n átomos que compõem 48 g de magnésio por uma regra de três nª de átomos 1 n massa em gramas 4,0 10 48 -23 exercícios propostos 1 representar em notação científica a a massa da terra é dada por 5 960 000 000 000 000 000 000 000 kg b o número 0,00000000000000000016 c coulomb c o número 567,9 2 efetue as seguintes operações colocando as respostas em notação científica a 2,510 7 4 10 3 1,0 10 5 b 11,5 10 6 0,5 10 4 5,7510 10 c 1,5 10 6 100 1,510 4 2,4 1012 d 8 1010 10 3,0 10 3 as células da bactéria escherichia coli têm formato cilíndrico com 8 x 10-7 metros de diâmetro o diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente 1 x 10-4 metros dividindo-se o diâmetro de um fio de cabelo pelo diâmetro de uma célula de escherichia coli obtémse como resultado a 125 b 250 c 500 d 1000 e 8000 4 ufpi a nossa galáxia a via láctea contém cerca de 400 bilhões de estrelas suponha que 0,05 dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à terra o número de planetas semelhantes à terra na via láctea é a 2 10 4 b 2 10 6 c 2 108 d 2 1011 e 2 1012

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radiciaÇÃo o tópico em questão agora é a radiciação que é a operação inversa da exponenciação observe a figura em vermelho à direita esta imagem representa a raiz cúbica de oito a expressão matemática é um radical ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando mas o que significa a raiz cúbica de oito quando estudamos a potenciação vimos que 23 é igual a 2 2 2 que é igual a 8 partimos do número 2 e através de uma multiplicação de 3 fatores iguais a 2 chegamos ao número 8 agora temos o caminho inverso a raiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é igual a 8 ou seja é a operação inversa da potenciação raízes de radicando real com Índice não nulo a raiz enésima de a é igual a b se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a não existe a raiz de um radicando negativo e Índice par por quê vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por temos segundo a definição qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16 como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números diferentes de zero com o mesmo sinal o resultado sempre será positivo então não existe um número no conjunto dos números reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da multiplicação a raiz de um radicando negativo e Índice Ímpar é negativa em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos obviamente o produto final também será positivo já se tivermos fatores negativos se estes forem em quantidade par o resultado será positivo se forem em quantidade ímpar o resultado será negativo É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero então a raiz enésima de a um número real negativo será negativa se o índice for ímpar se for par como vimos acima não existirá vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como :

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como o expoente de b é ímpar ou seja o número de fatores que representa a potência é impar para que o resultado seja -32 é preciso que b seja negativo então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre será um número negativo neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32 logo note que na potência colocamos o -2 entre parênteses pois se não o fizéssemos apenas o 2 estaria elevado à quinta potência como o expoente é ímpar não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação a raiz de um radicando positivo também é positiva não importa se o índice é par ou impar em não sendo nulo a raiz de um radicando positivo também será positiva vamos analisar a que se lê raiz quadrada de nove logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9 mas você pode também se perguntar e se for -3 se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove correto mas lembra-se da definição da raiz para um radicando positivo tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos é por isto que não podemos considerar o -3 a raiz de um radicando nulo também é nula isto é verdade desde que o índice não seja nulo também exemplo pois propriedades da radiciação as propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos podendo não se verificar caso o radicando seja negativo pois como sabemos não existe raiz real de um número negativo a raiz de uma potência é uma potência com expoente fracionário assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação desta podemos chegar a uma potenciação .

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exemplo já que n não pode ser zero a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero se n fosse zero o denominador da fração do expoente seria zero que sabemos não ser permitido mudança de Índice pela sua multiplicação/divisão e do expoente do radicando por um mesmo número não nulo se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero o valor do radical continuará o mesmo exemplos raiz de uma potência a raiz n de uma potência de a elevado a m é a potência m da raiz n de a exemplo produto de radicais de mesmo Índice o produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos exemplo vamos verificar divisão de radicais de mesmo Índice o quociente de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do quociente dos dois radicandos exemplo:

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verificando simplificação de radicais através da fatoração podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais através da decomposição do radicando em fatores primos o raciocínio é simples decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando vamos simplificar como 91125 36 decompondo 91125 em fatores primos 53 podemos dizer que repare que tanto o expoente do fator 36 quanto o expoente do fator 53 são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3 vamos então simplificá-los perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical vejamos agora o caso do radical logo 2205 32 5 72 então como os expoentes dos fatores 32 e 72 são divisíveis pelo índice 2 vamos simplificá-los retirando-os assim do radical neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical agora vamos analisar o número note que 729 36 então neste caso o expoente de 36 não é divisível pelo índice 5 mas é maior então podemos escrever repare que agora o expoente do fator 35 é divisível pelo índice 5 podemos então retirá-lo do radical agora vamos pensar um pouco após a fatoração tínhamos o radical o expoente 6 não é divisível por 5 pois ao realizarmos a divisão obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1 pois bem o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical a parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão simplifique .

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dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4 logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão logo outro exemplo simplifique a divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0 pois a divisão é exata mas não há problema seguindo as explicações temos veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical já que o radicando sempre será igual a 1 pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como por exemplo em a simplificação não poderá ser realizada exercícios propostos 1 calcule 2 calcule 3 calcule 4 extraia a raiz cúbica de 3375 pelo método da fatoração 5 simplifique o radical 6 ufrgs a expressão a b c é igual a d e potÊncia com expoente racional observe as seguintes igualdades ou igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

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de modo geral definimos com a r m e n n a 0 n 0 m 0 podemos também transformar um radical com expoente fracionário propriedade das potências com expoentes racionais as propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros sendo aebnúmeros reais e positivos e os expoentes números racionais temos que exemplo potÊncia com expoente irracional trabalhamos até agora com expoentes naturais inteiros e racionais vistos no início deste artigo veremos agora uma forma de caracterizar potências com expoentes irracionais ou seja números que pertencem ao conjunto dos números irracionais veja alguns exemplos de números irracionais usando a relação de pitágoras podemos representar alguns destes valores sobre a reta numérica.

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quando o teorema de pitágoras é aplicado a um triângulo com dois lados que equivalem a um tem-se como resultado a hipotenusa dada peça equação c2 12+12 2 logo temos que c representação geométrica da raiz quadrada de 2 curiosidade acredita-se que tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal esta importante descoberta é atribuída a hipaso de metaponto daescola de pitágoras conta-se mesmo que a demonstração tenha custado a vida de seu descobridor uma vez que contrariava as idéias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número inteiro fonte:http pt.wikipedia.org/wiki/raiz_quadrada_de_dois funÇÃo exponencial toda relação de dependência em que uma incógnita depende do valor da outra é denominada função a função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente observe y=2 y=3 x x+4 y 0,5 y 4x x a lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um conforme a seguinte notação f rr tal que y a x sendo que a 0 e a 1 uma função pode ser representada através de um gráfico e no caso da exponencial temos duas situações a 0 e 0 a 1 observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

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uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande por exemplo em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos no decaimento radioativo de substâncias químicas desenvolvimento de bactérias e micro-organismos crescimento populacional entre outras situações as funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando se necessário as regras envolvendo potenciação vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais exemplo 1 unit-se uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor t anos após a sua compra é dado por vt v0 2 ­0,2t em que v0 é uma constante real se após 10 anos a máquina estiver valendo r 12 000,00 determine o valor que ela foi comprada temos que v10 12 000 então v10 v0 2 ­0,210 12 000 v0 2 ­2 12 000 v0 ¼ 12 000 1 4 v0 v0 12 000 4 v0 48 000 a máquina foi comprada pelo valor de r 48 000,00 exemplo 2 eu-pi suponha que em 2003 o pib produto interno bruto de um país seja de 500 bilhões de dólares se o pib crescer 3 ao ano de forma cumulativa qual será o pib do país em 2023 dado em bilhões de dólares use 1,0320 1,80 temos a seguinte função exponencial px p0 1 it px 500 1 0,0320 px 500 1,0320 px 500 1,80 px 900 o pib do país no ano de 2023 será igual a r 900 bilhões.

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grÁficos da funÇÃo exponencial função exponencial 01 lr ax domínio lr contradomínio lr f é injectiva fx 0 x lr a função é estritamente decrescente limx ax limx ax 0 propriedades da função exponencial p1 sendo a 0 e a 1 tem-se que ax at x t domínio lr contradomínio lr f é injectiva fx 0 x lr a função é estritamente crescente limx ax limx ax 0 p2 a função exponencial x ax é crescente em todo seu domínio se e somente se a 1 p3 a função exponencial x ax é decrescente em todo seu domínio se e somente se 0 a 1 p4 toda função exponencial isto é x ax com a r e a 1 é bijetora exercícios resolvidos r1 ­ uma amostra de 4kg de uma substância radioativa se desintegra razão de 0,25 ao ano a qual é a equação que expressa a massa m dessa amostra em quilograma em função do tempo t em ano b com o auxílio de uma calculadora científica calcular a massa dessa amostra daqui a 30 anos.

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