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pró-letramento matemática estado de minas gerais diferentes significados de um mesmo conceito o caso das frações.1 cleiton batista vasconcelos e elizabeth belfort muitos conceitos matemáticos podem ser usados em mais de uma situação um exemplo simples é a adição de números naturais que pode ser associada às idéias de reunir juntar ou acrescer aumentar ganhar especialmente para uma criança as duas situações podem ser bastaste diversas É muito diferente por exemplo pensar em quantas figurinhas reunidas ela e seu irmão têm ou tentar saber quantas figurinhas terá após acrescentar mais 40 figurinhas à sua própria coleção no entanto para resolver as duas situações-problema ela deverá utilizar a mesma operação matemática É o que se chama de mais de um contexto e é importante que os alunos sejam capazes de identificar que a operação a ser utilizada em cada um deles é a mesma as frações assim como as operações fundamentais também estão associadas a mais de uma idéia e ao contrário do que se pensa as frações estão presentes em muitas situações do nosso dia a dia em qualquer profissão que você exerça poderá encontrar situações em que deverá usar frações elas estão presentes quer numa mistura de bolo quer na medida de canos e conexões quer na manipulação de remédios entretanto como muitos outros temas de matemática seu ensino limita-se em geral a aplicação de fórmulas e regras sem que os alunos entendam muito bem o que estão fazendo e no caso específico das frações muitas vezes a explanação limita-se a algumas idéias particulares sem realmente abranger uma variedade das idéias que lhes são associadas são fórmulas e regras desprovidas de significados e que devem ser memorizadas e repetidas uma fração muitas idéias você já se deu conta de que uma mesma fração pode representar várias idéias diferentes se não pense um pouco e analise as situações que seguem sem esgotar as possibilidades discutimos algumas das diferentes situações nas quais frações são úteis 2 para exemplificar vamos tomar a fração que idéias ela pode representar 5 idéia 1 fração como parte de uma unidade a idéia mais usual de fração é aquela que pensa a fração como parte de uma unidade que foi dividida em partes iguais usando esta idéia podemos pensar a fração 2 como um todo que foi dividido em cinco 5 partes iguais e se tomou duas dessas partes assim temos a seguinte representação este texto foi adaptado de um texto de mesmo título que faz parte da programação do salto para o futuro da tv escola na série discutindo práticas em matemática exibido pela primeira vez pela tv escola na semana que se iniciou em 28 de agosto de 2006 1

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cada uma das partes em que o todo foi dividido ­ esteja ela pintada ou não ­ representa um quinto do todo discutindo a prática uma primeira observação que merece ser feita é sobre o significado da palavra igual a igualdade a que nos referimos não é de forma ou quantidade mas sim de área ou seja da medida da superfície que representa o objeto assim as partes pintadas de todos 1 os retângulos da figura abaixo representam a fração e todas têm a mesma área 2 outro ponto importante é que muitas vezes essa é a única idéia que é trabalhada com o aluno em sala de aula ressalte-se que as primeiras noções de frações como partes de um todo ele já traz de casa É muito comum ele ter de repartir ou o pão ou o bolo ou o chocolate com o irmão ou irmãos ou com um ou mais amigos cada um deles 1 1 1 ou ou do pão do bolo ou do chocolate mas essa idéia deve ser recebendo 2 3 4 aprimorada na escola pois é muito comum ouvirmos meninos pequenos falarem que querem a metade maior isso significando que o conceito de fração como parte de um todo que foi dividido em partes iguais ainda não está bem construído idéia 2 representação de frações na reta numérica texto para leitura a visualização dos números fracionários na reta numérica não deveria a rigor ser considerada como uma nova idéia pois também se trata da divisão de uma unidade em partes iguais só que ao invés de destacarmos a parte passamos a destacar pontos da reta como em uma régua marcamos os valores inteiros em intervalos iguais como ilustrado abaixo o número 1 passa então a ser representado por um ponto na reta que dista uma unidade do zero para a direita o número 2 pelo ponto que dista uma unidade para a direita do número 1 e assim sucessivamente 0 1 2 3 na reta numérica para determinar a posição da fração 2 dividimos o intervalo que 5 vai de zero até 1 em cinco partes iguais encontrando os pontos a b c d e e esse último coincidindo com o número 1 o ponto a é associado com 1 2 o ponto b assinalado na figura representa a fração e 5 5 5 assim sucessivamente sendo que e representa a unidade completa ou seja 5

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discutindo a prática a identificação das frações com pontos na reta numérica não apenas ajuda ao aluno a perceber a fração como um novo tipo de número que ele começa a conhecer como pode ser um ótimo recurso didático no momento de estudar o conceito de frações equivalentes por exemplo na figura abaixo vemos a divisão da unidade em cinco e em 2 4 e representam o mesmo dez partes iguais fica simples perceber que as frações 5 10 ponto no intervalo ou seja são frações equivalentes idéia 3 fração como parte de um conjunto uma terceira idéia que pode ser considerada uma variante da idéia 1 para o caso de grandezas discretas é aquela que associa as frações a subconjuntos de um conjunto de acordo com essa idéia cada fração de um conjunto é um subconjunto desse conjunto de acordo com essa interpretação de um conjunto com 5 elementos cada subconjunto 2 desse conjunto de um conjunto de 10 elementos com 2 elementos corresponde a 5 2 qualquer subconjunto de 4 elementos corresponde a desse conjunto e assim por 5 diante por exemplo as bolas pintadas de cinza correspondem a discutindo a prática 2 do total de bolas representadas na figura 5 as frações também estão sendo utilizadas aqui para representar uma ou mais partes de um todo que foi dividido em partes iguais só que nesse caso o todo é um conjunto ou seja uma grandeza discreta e o que se divide são os elementos do conjunto formando assim um subconjunto desta vez as partes iguais não são necessariamente iguais em forma ou tamanho são iguais em número de elementos assim é que de um conjunto com quatro pessoas independente de idade de cor de tamanho de sexo etc duas 1 quaisquer dessas pessoas representam metade do conjunto ou do conjunto 2 um ponto a se considerar é o tamanho número de elementos do conjunto considerado como todo É importante que o professor fique atento para que não ocorra em um primeiro momento a necessidade de se dividir quebrar algum dos elementos do conjunto lembre que não faz muito sentido falar em uma bola de gude dividida em duas partes ou em um ovo dividido em três partes por exemplo.

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para iniciar um trabalho com crianças um número bom de elementos para o conjunto que vai representar o todo é 12 uma vez que de um conjunto com doze elementos pode1 1 1 1 1 se facilmente encontrar 2 3 4 6 12 idéia 4 frações como quociente de divisão de um número inteiro por outro uma quarta idéia também bastante importante mas que dificilmente é encontrada nos 2 livros didáticos e mesmo nas salas de aula é a que vê a fração como o resultado da 5 divisão de dois números inteiros o numerador será dividido pelo denominador imagine o seguinte problema temos duas pizzas e queremos dividi-las igualmente para cinco pessoas qual a parte que cada um receberá uma forma de resolver o problema é dividir cada uma das pizzas em 5 pedaços como 1 mostra a figura abaixo cada pedaço representa de uma pizza 5 agora temos uma situação simples um total de 10 pedaços para dividir entre 5 pessoas 2 cada uma vai ganhar dois pedaços ou seja de uma pizza 5 discutindo a prática observe que resolver esse problema é encontrar o resultado da divisão de 2 unidades ­ ou seja ­ duas pizzas em cinco partes a resposta deve ser dada na mesma unidade ­ ou seja ­ devemos responder dizendo que fração de uma pizza deve ser dada a cada pessoa de acordo com essa idéia a fração é o quociente resultado da divisão assim 2 a fração é o resultado da divisão de 2 unidades em 5 partes iguais 5 neste caso cada uma das duas pizzas representa uma unidade assim temos duas unidades que queremos repartir em cinco partes iguais ou seja queremos encontrar o quociente da divisão de 2 por 5 na prática para efetuarmos essa divisão cada unidade deverá ser dividida em 5 partes a resposta procurada ou seja o quociente é a fração de uma pizza a unidade que cada um vai receber como se pode ver a partir do desenho cada um vai receber duas das cinco partes em 2 2 que a unidade foi dividida cada um receberá de uma pizza isto é da unidade 5 5

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idéia 5 fração como medida de comparação entre duas grandezas uma outra idéia de grande importância mas não tão explorada na aprendizagem de frações é aquela que associa a fração à razão entre duas grandezas de acordo com essa idéia uma fração é o quociente resultado da comparação divisão de uma grandeza 2 seria o resultado da numerador por outra denominador assim a fração 5 comparação de duas grandezas que estão na razão de 2 para 5 ou seja de cada 7 unidades 2 são de um tipo e 5 são de outro tipo por exemplo das 21 figuras abaixo 6 são de um tipo e 15 de outro ou seja de cada 7 figuras 2 são de um tipo e 5 de outro repare que neste caso não estamos comparando uma parte com o todo mas sim considerando cada tipo de figura como uma grandeza diferente e determinando a razão entre as duas assim podemos dizer que as bolas estão para os quadrados na razão de 2 2 bolas para 5 quadrados a razão pode ser representada pela fração 5 discutindo a prática a utilização de frações para representar a razão entre duas grandezas se dá quando queremos comparar essas grandezas quando se trata de grandezas da mesma natureza é importante lembrar que a subtração também pode ser usada como comparação assim é importante notar que no caso das frações essa comparação é uma comparação relativa já no caso da subtração tal comparação pode-se dizer ser absoluta por exemplo vamos comparar as idades de thiago e mariana que têm 10 e 8 anos respectivamente podemos chegar aos seguintes resultados · thiago tem 2 dois anos a mais que mariana neste caso temos uma comparação absoluta obtida a partir da subtração 10 ­ 8 esta comparação mostra a diferença absoluta entre a idade do thiago e a da mariana que é de 2 anos · a idade da mariana é 4 da idade do thiago 5 neste caso temos uma comparação relativa obtida ao dividirmos a idade da mariana pela idade do thiago esta comparação é feita tomando-se a idade do thiago como o 5 todo que nesse caso está sendo representado pela fração assim cada dois anos 5 1 4 representam da idade de thiago e os 8 anos da mariana representam desse todo 5 5 observe que a relação absoluta de dois anos obtida pela subtração se mantém para o resto das vidas de thiago e mariana ou seja daqui a dois anos as idades de thiago e mariana serão 12 e 10 anos respectivamente e sua diferença ainda será de 2 anos daqui a 4 anos as idades serão 14 e 12 e a diferença permanece a mesma e assim por

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diante como se percebe não importa o número de anos passados a diferença absoluta será sempre de 2 anos já a relação entre a idade da mariana e do thiago obtida pela divisão da idade da mariana pela do thiago varia com o passar dos anos conforme se percebe na tabela que segue data 4 anos atrás 2 anos atrás hoje daqui a 2 anos daqui a 4 anos daqui a 10 anos daqui a 20 anos 12 14 20 30 10 12 18 28 idade do thiago 6 8 10 idade da mariana 4 6 8 diferença mariana thiago representação decimal 0,67 0,75 0,80 0,83 0,85 0,90 0,93 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 9 10 14 15 na realidade a última coluna nos permite visualizar que a diferença relativa vai diminuindo com o tempo ou seja com o passar do tempo a idade da mariana se torna relativamente mais próxima da idade do thiago isso se conclui uma vez que o quociente está crescendo para 1 ficando cada vez mais próximo deste valor.

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