Топология

 

Embed or link this publication

Description

Исследовательская работа, изучающая основные принципы топологии, вклад ученых в ее развитие и особанности листа Мёбиуса

Popular Pages


p. 1

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 города Лакинска Собинского района Владимирской области Исследовательская работа по теме: «Топология» Работу выполнили: команда «Всезнайки» 2019 г.

[close]

p. 2

Оглавление Введение ..................................................................................................................... 3 Этот неизведанный мир топологии…....................................................................... 4 Покорители непрерывности ...................................................................................... 7 Экстраординарный профессор топологии .............................................................. 11 Научные труды А.Ф. Мёбиуса ................................................................................ 13 Опыты с листом Мёбиуса ........................................................................................ 15 Заключение............................................................................................................... 18 Список источников .................................................................................................. 19

[close]

p. 3

Введение У человека есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность стола, поверхность зеркала, поверхность луны каждому известны. Может ли быть что-нибудь удивить и даже вызвать восторг в таком обычном понятии? Да! Это односторонняя поверхность. Самый таинственный и загадочный пример топологии - лист Мебиуса. Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». В работе мы расскажем, что же такое топология, какие именно объекты изучает эта область знания, перечислим ученых, внесших вклад в развитие отечественной топологии. Раскроем всю красоту и загадочность ленты Мебиуса, а также поговорим о её создателе. Мы приглашаем Вас в увлекательное путешествие по страницам нашего исследования!

[close]

p. 4

Этот неизведанный мир топологии… Топология (греч. τόπος - Место, logos - наука) - раздел математики, который приближен к геометрии. В то время как алгебра начинается с рассмотрения операций, геометрия - фигур, а математический анализ - функций; фундаментальные понятия топологии - непрерывность. Непрерывное отображение деформирует пространство, не разрывая его, при этом отдельные точки или части пространства могут склеиться (соединиться), но близкие точки остаются близкими. В отличие от геометрии, где рассматриваются преимущественно метрические характеристики, такие как длина, угол и площадь, в топологии эти характеристики считаются несущественными на фоне изучаются такие фундаментальные свойства фигуры, как связность (количество кусков, дыр и т.п.) или возможность непрерывно деформировать ее к сфере и обратно (возможно для поверхности куба, но невозможно для поверхности тора). Аксиоматика топологии построена на принципах теории множеств, но ведущую роль в исследованиях по современной топологии играют прежде алгебраические и геометрические методы. Объектами исследования топологии является топологические пространства, общее обобщения таких структур как граф, поверхность в трехмерном пространстве и множество Кантора, и отображения между ними. При этом исследуются свойства топологических пространств как в малом (локальные), так и в целом (глобальные). Среди различных направлений топологии отметим приближенную к теории множеств общую топологию, которая изучает такие общие свойства абстрактных топологических пространств как компактность или связность, и алгебраическую топологию, которая пытается описать топологические пространства с помощью их алгебраических инвариантов, например чисел Бетти и фундаментальной группы. Геометрическая топология изучает топологические пространства геометрического происхождения, в частности узлы в трехмерном евклидовом пространстве и трехмерные многообразия. Геометрической топологии принадлежит одна из крупнейших и известнейших математиче-

[close]

p. 5

ских проблем, гипотеза Пуанкаре, которую наконец (2003 г.) доказал российский математик Григорий Перельман. Наряду с алгеброй и геометрией, топологические методы широко ис- пользуются в функциональном анализе, теории динамических систем и совре- менной математической физике. Простейшие идеи топологии возникают из непосредственного наблюде- ния за окружающим миром. Интуитивно ясно, что высказывания о геометриче- ских свойствах фигур не вполне исчерпываются сведениями об их «метриче- ских» свойствах (размерах, углах и т. д.). Остается еще «кое-что» за пределами старой геометрии. Какой бы длинной ни была линия (веревка, провод, длинная молекула), она может быть замкнутой или нет; если линия замкнута, то она мо- жет сложным образом «заузляться». Две (или более) замкнутые линии могут «зацепляться» одна с другой и притом различными способами. Тела, их поверх- ности, могут иметь «дырки». Эти свойства тел характеризуются тем, что они не меняются при деформациях, допускающих любые растяжения без разрывов. Та- кие свойства и называются топологическими. Кроме элементарных геометриче- ских фигур, топологическими свойствами обладают многие чисто математиче- ские объекты, и именно это определяет их важность. Однако легче подметить су- ществование топологических свойств фигур, чем создать их «ис- числение», т. е. раздел математики, обладающий точными понятиями, строгими законами и методами, математическими формулами, изображающими топологические величины. Первые важные наблюдения и точные топологи- ческие соотношения были найдены еще Эйлером, Гауссом и Риманом. Тем не менее, без преувеличения можно сказать, что топология как раздел науки осно- вана в конце XIX века А. Пуанкаре. Процесс построения топологии и решения ее внутренних задач оказался трудным и длительным: он продолжался не менее 70—80 лет, наполненных глубокими открытиями и, в ряде случаев, даже пере-

[close]

p. 6

смотром основ. В нем принял участие ряд наиболее выдающихся математиков своего времени. На протяжении многих лет, приблизительно до конца 50-х годов, топология рассматривалась даже математиками других областей как красивая, но бесполезная игрушка. Однако с начала 70-х годов началось интенсивное проникновение методов топологии в аппарат современной физики. Сейчас важность топологических методов для различных разделов физики уже не вызывает сомнений — для теории поля и общей теории относительности, физики анизотропных сплошных сред и низких температур, современной квантовой теории. Это приводит к необходимости появления достаточно элементарных, популярных книг по топологии, и ее приложениям, доступных для школьников старших классов и студентов младших курсов с естественнонаучными и техническими интересами.

[close]

p. 7

Покорители непрерывности Отечественные учёные-математики, внёсшие вклад в развитие топологии № Ф.И.О. учёного- математика 1 Юрий Григорьевич Борисович (1930-2007) 2 Павел Сергеевич Александров (1896-1982) Фото Звания Вклад Профессор, доктор физикоматематических наук, заслуженный деятель науки РФ Академик АН СССР (1953, членкорреспондент с 1929). Профессор МГУ (с 1929 года). Лауреат Сталинской премии первой степени (1942), Герой Социалистического Труда (1969). Президент Московского математического общества (ММО) в 1932—1964 годах, вицепрезидент Международного математического союза (1958—1962). В 1963 году основал в Воронежском госу- дарственном университете кафедру алгебры и топологических методов анализа и руководил ею до 2000 года. Написал учебное пособие для универси- тетов «Введение в топологию». Автор свыше 250 работ, в том числе книг: «Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включе- ний» (Москва, 2005; совместно с Б.Д. Гельманом, А.Д. Мышкисом, В.В. Обуховским). С образованием весной 1933 г механикоматематического факультета МГУ на нём была создана кафедра высшей геометрии, и её первым заведующим стал П. С. Александров. В 1935 году кафедра была разделена на кафедру высшей геометрии и кафедру топологии, кафедру то- пологии возглавлял Александров. В 1943 году обе кафедры были вновь слиты в единую кафедру высшей геометрии и топологии, П. С. Александров оставался заведующим данной кафедрой до своей смерти в 1982 году. Одновременно в 1935—1950 гг. он возглавлял отдел общей топологии Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова. Основные труды по топологии, теории множеств, теории функций вещественного переменного, геометрии, вариационному исчислению, математической логике, ос- нованиям математики. С 1923 года П. С. Александров стал заниматься комбинаторной топологией, причём ему удалось объединить эту ветвь топологии с общей топологией и существенно продвинуть полученную теорию, которая стала основанием для современной алгебраической топологии. Именно он ввёл одно из основных понятий алгебраической топологии — понятие точной последовательности. Ввёл также понятие нерва покрытия, что привело его (независимо от Э. Чеха) к открытию когомологий Александрова — Чеха. П. С. Александров и П. С. Урысон явились создателями московской топологической школы, полу- чившей мировое признание. Написал кни-

[close]

p. 8

3 Павел Самуилович Урысон (1898-1924) 4 Виктор Васильевич Прасолов (род. в 1956 г.) 5 Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) 6 Адольф Павлович Юшкевич (1906-1993) 7 Владимир Григорьевич Болтянский (род. в 1925 г.) гу «Комбинаторная топология» - Основные результаты получены Урысо- ном в области топологии, нелинейных дифференциальных уравнений, геометрии. Совместно с Александровым Урысон основал советскую топологическую школу. Он создал новое направление в топологии — теория размерности. Он доказал так называемые метризационные теоремы о топологических пространствах. В 1921—1922 годах в Московском университете он впервые в России прочитал курс топологии. - Преподаватель Специализированного учебно-научного центра МГУ. Написал книгу «Наглядная топология», «Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии». доктор физико- Им получены фундаментальные результа- математических наук, ты в топологии. Ввёл понятие когомоло- профессор академик АН гии — одно из ключевых понятий совре- СССР, академик АПН менной топологии. Много работ написано СССР по 13-й проблеме Гильберта о возможно- сти представления произвольной непре- рывной функции нескольких действи- тельных переменных в виде суперпозиции непрерывных же функций двух перемен- ных. Доктор физико- Совместно с Колмогоровым написал том 2 математических наук, по математике: «Геометрия. Теория ана- профессор литических функций». Всю свою жизнь посвятил истории математики. Доктор физико- математических наук, профессор Основные работы относятся к комбина- торной геометрии (в частности, связанные с третьей проблемой Гильберта), топологии. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. написали пособие «Наглядная тополо- гия». Получил существенные результаты в области топологии и топологических методов. Построил двумерный континуум (поверхность Болтянского), топологический квадрат которого трёхмерен.

[close]

p. 9

8 Вадим Арсеньевич Ефремович (1903-1989) 9 Алексей Викторович Чернавский (род. в 1938 г.) 10 Алексей Серапионович Пархоменко (1909-1982) 11 Борис Алексеевич Пасынков (род. в. 1937 г.) профессор, доктор физико-математических наук профессор, доктор физико-математических наук Со студенческих лет он начал заниматься топологией. Им была создана равномерная топология ("геометрия близости"), получен фундаментальный результат, проясняющий качественное различие между пространством Евклида и пространством Лобачевского: оказалось, что они представляют собой разные пространства близости, хотя топологически не различаются. В.А.Ефремович был замечательным геометром, умевшим ставить красивые геометрические задачи и находить наглядные пути их решения. В соавторстве с П.С.Александровым, с В.Г.Болтянским, с А.Б.Чернавским им были написаны книги, вводящие читателя в круг проблем современной топологии: «Основные топологические понятия», «К топологии поверхностей 2-ого порядка», «Геометрия близости», которая посвящена качественной геометрии, главным образом задачам классификации пространств с точностью до равномерно непрерывных изображений. Особое внимание уделено плоскости и пространству Лобачевского и качественным отличиям этих пространств от евклидовых. Первые главы книги не предполагают специальной подготовки и пригодны для ознакомления студентов с основными топологическими и близостными понятими, поясняемыми многочисленными примерами и контрпримерами. Научные труды: открытых отображений группы гомеоморфизмов многообразий кандидат физико- математических наук профессор, доктор физико-математических наук локально односвязных вложений многообразий в коразмерности 1 Учебные пособия: «Проективная плоскость» (1944), «Сборник задач по аналитической геометрии» (соавт., 1948), «Геометрические преобразования» (соавт., 1961). Один из руководителей семинара по теоретико-множественной топологии (МГУ) Специалист в области общей топологии. Тема кандидатской диссертации «Обратные спектры и размерность бикомпактных топологических пространств». Тема докторской диссертации «Размерность, обобщённые топологические произведения, универсальные пространства». Читает в МГУ курсы «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Введение в общую топологию», «Паракомпактность и

[close]

p. 10

12 Виталий Витальевич Федорчук (1942-2012) 13 Александр Владимирович Архангельский (1938) метризуемость», «Теория размерности», «Топологические произведения», «Послойная общая топология». Основные труды: «Топология и теория размерности» (соавт., 1984). доктор физико- математических наук Учебник: Общая топология. Основные конструкции: учеб. Пособие для вузов по спец. «Математика». — М.: Издательство МГУ, 1988. профессор, доктор физико-математических наук В 1971 году получил премию Ленинского комсомола за цикл работ по теории топологических пространств. Ему принадле- жат более 200 опубликованных работ в различных разделах общей топологии. Особо важные работы сделаны в теории метризуемости и теории обобщённых метрических пространств, кардинальных функций, топологических пространств функций и других топологических групп и специальных классов топологических отображений. Он ввёл ряд новых понятий в общей топологии, а его именем было названо несколько теорем.

[close]

p. 11

Экстраординарный профессор топологии Он работал не спеша, тихо, сам для себе... Без спешки, без помпезности и без высокомерия, он ждал, пока плоды его ума созреют. Только после такого ожидания он опубликовывал свои совершенные работы… Ричард Бальтцер Август Фердинанд Мёбиус (17 ноября 1790 – 26 сентября 1868) – немецкий математик и астроном-теоретик. Знаменит как изобретатель ленты Мёбиуса. Дата 17.11. 1790 1792 1803 – 1809 1809 1813 - 1814 1814 1815 1815 1816 1818-1821 1819 1820 1820 1821 Событие На территории школы Шульпфорта при дворе саксонского курфюрста (близ Наумбурга) родился Мёбиус А.Ф. Его отец, Иоганн Генрих Мёбиус (нем. Johann Heinrich Mbius), занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса, Иоганна Катарина Кристиана Кайль (нем. Johanne Katharine Christiane Keil), была потомком Мартина Лютера. Умер отец Мёбиуса. Учился в гимназии-интернате Шульпфорта. Поступил в Лейпцигский университет. Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции К. Ф. Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Галле, чтобы прослушать курс лекций ма- тематика И. Ф. Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глу- бокие знания по обеим наукам. Получил в Лейпцигском университете степень доктора. Мёбиус опубликовал диссертацию по астрономии «О вычислении покрытий неподвижных звёзд планетами». Прямо перед защитой диссертации его по- пытались забрать в прусскую армию, но, чудом избежав этой угрозы, он все же, успешно защитился. Защитил диссертацию «О некоторых частных свойствах тригонометрических уравнений» по математике. Ему было 25 лет. Мёбиус по рекомендации профессора Лейпцигского университета Моллвей- де стал экстраординарным профессором кафедры астрономии Лейпцигского университета. В это время также работал астроном - наблюдателем. Он получил приглашение стать профессором астрономии в университете Грайфсваля, в Мекленбурге. Его назначили ответственным за реконструкцию Лейпцигской обсерватории. Профессор математики в университете Дерпта (современный Тарту, Эсто- ния). Смерть матери Смерть матери Женился: его жена Доротея Христина Иоганны Рат(1790-1859) Рождение сына: Август Теодор(1821-1890)

[close]

p. 12

1822 1825 1825 1829 1844 1848 26.09.1868 Рождение дочери: Эмилии(1822-1897) Рождение сыновей: Пауля Генриха(1825-1899) и Карла (1925-1908) Профессор Моллвейде умер. Мёбиус попытался занять его место, но его репутация преподавателя была неважной, и университет предпочёл другую кандидатуру Август Фердинанд Мёбиус становится членом-корреспондентом Берлинской академии наук, а впоследствии и Французской академии наук. Руководство Лейпцигского университета повысило его в должности до ординарного профессора астрономии. В это же время Мёбиуса пригласили стать профессором в университете Йены, в Тюрингии. Директор Лейпцигской обсерватории (располагалась в крепости Плайсенбург на окраине Лейпцига). Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории. Мёбиус скончался. В 1907 году в честь Августа Фердинанда Мёбиуса в Лейпциге были названы улица и площадь. В честь учёного названы также астероид 28516 (Möbius), открытый в 2000 году, и кратер Мёбиус на Луне (название утверждено Международным астрономическим союзом в 1970 году). В теории чисел именем Мёбиуса названы ряд Мёбиуса, функция Мёбиуса μ(n) и формулы обращения Мёбиуса (ключевые результаты, связанные с этими понятиями, Мёбиус получил в статье, опубликованной в 1832 году).

[close]

p. 13

Научные труды А.Ф. Мёбиуса Краткая справка: Практически все научные работы Мёбиус публикует в журнале, основанном немецким математиком Августом Крелем. Это был первый научный журнал, посвященный исключительно вопросам математики. Он впервые ввёл в проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования, получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, исследовал коррелятивные преобразования. В 1858 году установил существование односторонних поверхностей (Лист Мёбиуса). Год 1827 1829 1832 1837 1837 1840 1843 Работа Главный труд «Барицентрическое исчисление» или «Расчеты центров тяжести» Мёбиусом была опубликована статья Möbius A. F. Beweis eines neuen, von Herrn Chasles in der Statik entdeckten Satzes, nebst einigen Zusätzen с доказательством следующей теоремы: «если четыре силы находятся в равновесии, то объём тетраэдра, построенного на двух из них, равен объёму тетраэдра, построенного на остальных двух». В теории чисел именем Мёбиуса названы ряд Мёбиуса, функция Мёбиуса μ(n) и формулы обращения Мёбиуса - ключевые результаты, связанные с этими понятиями, Мёбиус получил в статье Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen. Опубликовал двухтомное «Руководство по статике». Написал работу «Принципы астрономии» Задолго до широко известной проблемы четырёх красок, Мёбиус сформулировал похожую задачу о пяти границах: можно ли разделить страну на пять частей так, чтобы каждая часть имела ненулевую границу со всеми остальными? Легко показать, что это невозможно. Из других топологических достижений следует упомянуть, что он ввёл понятие уникурсальной кривой, то есть графа, который можно начертить, не отрывая пера от бумаги (другое название: эйлеров граф). В области астрономии Мёбиус опубликовал несколько значительных работ по небесной механике, о принципах астрономии и о планетных затмениях; среди них наибольшую известность получило сочинение «Элементы небесной механики» Möbius A. F. Die Elemente der Mechanik des Himmels: auf neuem Wege

[close]

p. 14

1844 1858 1865 ohne Hülfe höherer Rechnungsarten. Написал рецензию на работу Германа Грассмана «Линейная теория расширения, как новая ветвь математики». Установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса) Опубликовал свой результат Примеры использования листа Мёбиуса В механике В архитектуре В скульптуре Природный феномен В дизайне интерьеров

[close]

p. 15

Опыты с листом Мёбиуса В нем простота, и вместе с нею сложность, что недоступна даже мудрецам. Опыт №1 https://youtu.be/HBNkJAKgkIM - свойство непрерывности ленты Мёбиуса Опыт №2 Возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре мы вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мебиуса односторонняя. Такое вот любопытное свойство! Опыт №3 Второе свойство – непрерывность. На листе Мебиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом не придётся переходить через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.

[close]

Comments

no comments yet