Moto di un proiettile

 

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Una interessante tesina di uno studente (Luigi Pedone)

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liceo scientifico l da vinci a.s 2004/2005 progetto di fisica studio del moto dei proiettili studente luigi pedone 5h ­ a.s 2004/2005 1

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la gittata nell opera due nuove scienze di galileo si asserisce che le elevazioni che differiscono dai 45 gradi della stessa quantitá in piú o in meno conducono alla stessa gittata il moto di un proiettile si puó pensare come la composizione di due moti uno rettilineo uniforme in direzione orizzontale e uno uniformemente accellerato con accellerazione modulo in direzione verticale ne segue che la traiettoria seguita dal corpo se é denso e poco esteso altrimenti dal suo centro di massa é una parabola la gittata é la distanza tra il punto in cui viene lanciato un proietile con velocitá iniziale inclinata cerso l alto rispetto all orizzontale e il punto in cui esso ritorna al suolo É interessante osservare che all aumentare dell angolo formato con il terreno dapprima la gittata del proiettile aumenta ha un massimo quando l angolo é uguale a e poi ritorna a diminuire fino a quando il proiettile é lanciato verso l alto per studiare la gittata di un proiettile che si muove in moto parabolico cioé sotto l azione della sola forza peso e trascurando 2

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l attrito con l aria si utilizza un riferimento oxy in cui l origine o degli assi del sistema di riferimento cartesiano coincide dal punto in cui il proiettile é stato lanciato la traiettoria sará definita dall equazione la gittata corrispondente a questa traiettoria é uguale all ascissa del punto a diverso da o in cui la parabola interseca l asse delle x per quale valore di x l ordinata torna ad annullarsi per da cui da questa equazione si ricava che ha come soluzioni 3

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per determinare le condizioni per le quali si ha la gittata massima é conveniente usare qualche richiamo di trigonometria mettiamo ora a sistema le due velocitá riscrivendo la 1 abbiamo che e quindi e sfruttando le proprietá delle funzioni seno e coseno abbiamo finalmente la 4

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poiché la velocitá iniziale e g sono costanti la gittata é massima quando assume il suo valore massimo cioé quando l angolo é uguale a assume la forma quindi per tale valore allora la 2 quindi abbiamo dimostrato che la gittata é massima quando l angolo con cui viene sparato il proiettile é pari a dimostriamo ora l altra affermazione di galileo che anche se l angolo diventa superiore la gittata non aumenta anzi conducono alla stessa consideriamo due elevazioni che differiscono da di una stessa quantitá in piú o in meno consideriamo ora la prima elevazione sia l angolo ne segue che 5

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per le proprietá delle funzioni trigonometriche complementari essendo abbiamo analogamente si procede per l angolo si ha e per la stessa proprietá 6

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tempi di caduta 7

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abbiamo quindi dimostrato ora l intuizione galileiana matematicamente abbiamo affermato l identitá fra le due gittate purché le due velocitá iniziali siano uguali e costante per entrambi i moti concludendo con una ultima osservazione sul moto parabolico riguardante i tempi di caduta essi saranno infatti diversi tanto piú é maggiore tanto piú aumenterá la differenza fra di loro infatti quindi poiché a 0 il seno é nullo e a é massimo il tempo della caduta di un proiettile lanciato con angolo di alzo maggiore sará superiore la resistenza dell aria con lo studio del moto di un proiettile si intende fornire un modello generale per studiare i fenomeni dei corpi che vengono lanciati o urtano ad esempio con un angolo di alzo obliquo con una velocitá 8

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costante e che compiono un moto parabolico chiaramente la resistenza dell aria non é assolutamente trascurabile infatti piú il corpo é grande piú la resistenza dell aria o di un fluido influisce sulle variabili del moto gittata altezza massima tempo di caduta esempi di moti di proiettili possono essere la cartuccia lanciata da un fucile di un cacciatore di un cannone da guerra di un lancio a colombella di un giocatore di basket ad una pallina da golf da una battuta di un giocatore di baseball eccetera una caratteristica importante della resistenza aerodinamica dei fluidi é che essa dipende dalla velocitá piú veloci sono gli oggetti piú grande é la resistenza dei fluidi nei quali si muovono quindi la seconda legge di newton assume questa forma oppure 9

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da questa relazione si verifica che crescendo si raggiunge un punto in cui il membro di destra si annulla per in questo punto e rimane nulla per tutto il resto del moto quindi la velocitá da questo punto in poi resta costante questa velocitá é detta di regime ed é data da nel moto bidimensionale di un proiettile ad esempio una palla da baseball che lascia la mazza a 45 m/s notiamo che la velocitá é giá molto maggiore della velocitá di regime raggiunta dopo una caduta libera nell aria che é pari a 42 m/s si puó notare che che la costante é uguale al peso della palla circa 1.4 n che corrisponde a una massa di 0.14 kg diviso la velocitá di regime di 42 m/s quindi se la palla viagga a 45 m/s é sottoposta a una forza d attrito viscoso di 1.5 n che é maggiore del suo peso e quindi ha un effetto sostanziale sul moto la resistenza dell aria dipende dalla velocitá del proiettile rispetto ad essa se soffia il vento i calcoli devono essere cambiati e il risultato sará diverso 10

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indice · la gittata · tempi di caduta · la resistenza dell aria 11

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