Apostila sobre Sistema de Numeração (Binário, Octal, Hexadecima)

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital capÍtulo i sistemas de numeração 1.1 introdução o decimal é o mais importante dos sistemas numéricos ele está fundamentado em certas regras que são a base de formação para qualquer outro sistema além do sistema decimal que apresenta 10 algarismos distintos de 0 a 9 existe o binário o octal e o hexadecimal o sistema binário e o hexadecimal são muito importantes nas áreas de técnicas digitais e informática o sistema binário por sua vez apresenta somente 2 algarismos 0 e 1 com os quais é possível representar qualquer quantidade até mesmo números fracionários no sistema octal existem 8 algarismos que vão de 0 a 7 para representar o sistema hexadecimal são utilizados 10 algarismos e as 6 primeiras letras do alfabeto e desta forma tem-se 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f observando a formação dos infinitos números do sistema decimal é possível aprender as regras de formação dos demais sistemas numéricos para conceber a formação do sistema decimal basta observar o hodômetro marcador de quilômetro de um automóvel quando a rodinha das unidades comuta de 9 para 0 um pino nessa rodinha força a rodinha das dezenas a avançar de 1 assim ocorre sucessivamente formando todos os algarismos o mesmo se observa nos demais sistemas no binário por exemplo quando a rodinha da unidade alcança 1 e posteriormente comuta para zero a rodinha da dezena avança para 1 pode-se notar que a quantidade de dígitos necessário para representar um número qualquer no sistema binário é muito maior quando comparado ao sistema decimal a tabela 1.1 mostra a formação dos algarismos dentro de cada sistema numérico 1

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital tabela 1.1 ­ diferentes sistemas de numeração decimal 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 binário 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001 10010 10011 10100 octal 000 001 002 003 004 005 006 007 010 011 012 013 014 015 016 017 020 021 022 023 024 hexadecimal 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00a 00b 00c 00d 00e 00f 010 011 012 013 014 por outro lado o número decimal 975 pode ser representado da seguinte forma 975 900 70 5 9 x 102 7 x 101 5 x 100 neste exemplo nota-se que o algarismo menos significativo 5 multiplica a unidade 1 ou 100 o segundo algarismo 7 multiplica a dezena 10 ou 101 e o mais significativo 9 multiplica a centena 100 ou 102 a soma dos resultados irá representar o número pode-se afirmar que de maneira geral a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada algarismo correspondente multiplicado pela base no exemplo o número 10 elevada por um índice conforme o posicionamento do algarismo no número assim um sistema de numeração genérico pode ser expresso da seguinte forma n dn x bn d3 x b3 d2 x b2 d1 x b1 d0 x b0 2

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital onde n é a representação do número na base b dn é o dígito na posição n b é a base do sistema utilizado e n é o peso posicional do dígito 1.2 o sistema de numeração binário como visto anteriormente o sistema binário utiliza dois dígitos ou seja possui base 2 de acordo com a definição de um sistema de numeração genérico o número binário 1101 pode ser representado da seguinte forma 11012 1 x 23 1 x 22 0 x 21 1 x 20 11012 8 4 0 1 1310 conversão binária decimal nota-se que o número 1101 na base 2 é equivalente ao número 13 na base 10 ou seja 11012 1310 esta regra possibilita a conversão do sistema binário em decimal a vantagem do sistema binário reside no fato de que possuindo apenas dois dígitos estes são facilmente representados por uma chave aberta e uma chave fechada ou um relé ativado e um relé desativado ou um transistor saturado e um transistor cortado o que torna simples a implementação de sistemas digitais mecânicos eletromecânicos ou eletrônicos em sistemas eletrônicos o dígito binário 0 ou 1 é chamado de bit enquanto que um conjunto de 4 bits é denominado nibble o byte termo bastante utilizado principalmente na área de informática é constituído de 8 bits 1.2.1 conversão do sistema decimal para o sistema binário para se converter um número decimal em binário aplica-se o método das divisões sucessivas este método consiste em efetuar sucessivas divisões pela base a ser convertida até o último quociente possível o número transformado será composto por este último quociente algarismo mais significativo e todos os restos na ordem inversa às divisões 3

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital neste caso será efetuado sucessivas divisões pelo algarismo 2 base do sistema binário como mostra o exemplo a seguir para o número decimal 47 47 2 1 23 2 1 11 2 1 5 2 1 2 2 1º resto 2º resto 3º resto 4º resto 5º resto 0 1 Último quociente o último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda os outros algarismos seguem-se na ordem até o 1º resto 1 Último quociente 0 5º resto 1 4º resto 1 3º resto 1 2º resto 1 1º resto como mostra o exemplo 4710 1011112 na prática o bit menos significativo de um número binário recebe a notação de lsb least significant bit e o mais significativo de msb most significant bit 1.3 o sistema de numeração octal o sistema octal de numeração é um sistema de base 8 este sistema é pouco utilizado no campo da eletrônica digital tratando-se apenas de um sistema numérico intermediário dos sistemas binário e hexadecimal da mesma forma seguindo a definição de um sistema de numeração genérico o número octal 22 pode ser representado da seguinte forma 228 2 x 81 2 x 80 228 16 2 1810 conversão octal decimal observa-se que o número 22 na base 8 equivale ao número 18 no sistema decimal ou seja 228 1810 esta regra possibilita a conversão octal em decimal 4

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital 1.3.1 conversão do sistema decimal para o sistema octal utiliza-se neste caso o método das divisões sucessivas lembrando que agora é realizada a divisão por 8 pois 8 é a base do sistema octal para exemplificar será realizada a conversão do número 9210 para o sistema octal 1º resto 2º resto 92 8 4 11 8 3 1 Último quociente assim seguindo a mesma regra de formação 9210 1348 1.3.2 conversão do sistema octal para o sistema binário existe uma regra prática extremamente simples que consiste em transformar cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário respeitando-se o número de bits do sistema sendo para o octal igual a três 23 8 base do sistema octal para ilustrar será realizada a conversão do número octal 531 em binário 5 101 3 011 1 001 assim pode-se afirmar que o número 5348 é equivalente a 1010110012 1.3.3 conversão do sistema binário para o sistema octal para realizar esta conversão basta aplicar o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para binário para exemplificar tem-se 1001001101111012 primeiramente deve-se separar o número em agrupamentos de 3 bits 23 8 base do sistema octal e assim pode-se realizar a conversão de cada grupo de bits diretamente para o sistema octal 100 4 100 4 110 6 111 7 101 5 desta forma o número 1001001101111012 446758 5

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital 1.4 o sistema de numeração hexadecimal o sistema hexadecimal ou sistema de base 16 é largamente utilizado na área dos microprocessadores e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais trata-se de um sistema numérico muito importante aplicado em projetos de software e hardware os algarismos deste sistema são enumerados da seguinte forma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f nota-se que a letra a representa o algarismo a que por sua vez representa a quantidade dez o mesmo ocorre para a letra b que representa o algarismo b e a quantidade onze sucedendo assim até o algarismo f que representa a quantidade quinze a conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal pode ser realizada aplicando a definição do sistema de numeração genérico na base 16 assim tem-se n dn x 16n d2 x 162 d1 x 161 d0 x 160 para ilustrar observa-se o exemplo para o número hexadecimal 13 1316 1 x 161 3 x 160 1316 16 3 1910 conversão hexadecimal decimal ou seja 13 na base 16 é equivalente a 19 na base 10 1316 1910 1.4.1 conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal novamente a conversão se faz através de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido que no caso é igual a 16 para exemplificar o número 1101 na base 10 será convertido para o sistema hexadecimal 1º resto 2º resto 1101 16 13 68 16 4 4 Último quociente sendo 1310 d16 tem-se que 110110 44d16 6

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital 1.4.2 conversão do sistema hexadecimal para o sistema binário É análoga à conversão do sistema octal para binário somente que neste caso necessita-se de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal 24 16 como exemplo pode-se converter o número c1316 para o sistema binário c16 1210 11002 116 110 12 como existe a necessidade de representá-lo com 4 bits 0001 316 310 112 00112 desta forma tem-se c1316 1100000100112 c 1100 1 0001 3 0011 1.4.3 conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal É análoga a conversão do sistema binário para o octal somente que neste caso são agrupados de 4 em 4 bits da direita para a esquerda a título de exemplo será feita a conversão do número binário 1001101111100112 para hexadecimal 0100 4 1101 d 1111 f 0011 3 desta forma pode-se afirmar que 1001101111100112 4df316 1.5 números fracionários discutiram-se até o momento as diversas formas de conversão de números inteiros pertencentes a um dado sistema em outro neste tópico serão mostrados os procedimentos para converter números fracionários 7

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital 1.5.1 conversão de números binários fracionários em decimais o método de conversão é obtido observando-se a regra básica de formação de um número fracionário no sistema decimal para exemplificar tem-se o número 10,510 10,510 1 x 101 0 x 100 5 x 10-1 desta forma para converter o número binário fracionário 101,101 para o sistema decimal adota-se o mesmo procedimento 101,1012 1 x 22 0 x 21 1 x 20 1 x 2-1 0 x 2-2 1 x 2-3 1 1 1 101,1012 1x4 0x2 1x1 1x 0x 1x 2 4 8 101,1012 4 1 0,5 0,125 5,62510 1.5.2 conversão de números decimais fracionários em binários o processo consiste em separar o número decimal na parte inteira e na fracionária o método das divisões sucessivas é aplicado a parte inteira conforme estudado anteriormente para a parte fracionária aplica-se o método das multiplicações sucessivas até que se atinja zero para exemplificar será convertido o número decimal 88,375 em binário 88,375 8 0,375 · parte inteira lsb 8 2 0 4 2 0 2 2 0 1 msb 810 10002 · parte fracionária 0,375 x2 0 ,750 0,750 x2 1 ,500 2o algarismo o parte fracionária base do sistema 0,500 x2 1 ,000 3 algarismo 1o algarismo o processo para pois a parte fracionária é nula 8

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital pode-se observar que é utilizado somente a parte fracionária dos números em todas as multiplicações os algarismos inteiros resultantes das multiplicações irão compor o número binário estes números são tomados na ordem da multiplicação assim 0,37510 0,0112 para completar a conversão basta efetuar a composição da parte interia com a fracionária 8,37510 1000,0112 observação importante existem casos em que o método das multiplicações sucessivas encontra novamente os números já multiplicados e o processo entra em um loop infinito isto equivale a uma dízima periódica como exemplo tem-se 0,810 0,1100 1100 1100 2 1.6 operações aritméticas no sistema binário nas áreas de eletrônica digital e dos microprocessadores o estudo das operações aritméticas no sistema binário é muito importante pois estas serão utilizadas em circuitos aritméticos que serão estudados posteriormente 1.6.1 adição no sistema binário a adição no sistema binário é efetuada de maneira idêntica ao sistema decimal desta forma tem-se 0 +0 0 0 +1 1 1 +0 1 1 +1 10 10 +1 11 11 +1 100 observa-se entretanto a existência de uma pequena regra 1+1=0 e transporta 1 para a próxima coluna 9

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital para exemplificar serão realizadas as seguintes adições 1 11 +10 101 transporte 11 110 +111 1101 transporte nota-se então que a adição é realizada coluna a coluna considerando sempre o transporte proveniente da coluna anterior para verificar a soma basta converter os números para o sistema decimal 112+102 1012 equivalente a 310+210 510 1102+1112 11012 equivalente a 610+710 1310 1.6.2 subtração no sistema binário o método de subtração é análogo a uma subtração no sistema decimal assim tem-se 0 -0 0 0 -1 1 1 -0 1 1 -1 0 para o caso 0-1 o resultado será igual a 1 porém haverá um transporte para a coluna seguinte que deve ser acumulado no subtraendo e obviamente subtraído do minuendo para exemplificar tem-se 111 100 011 1011 1 101 0110 transporte 1.6.3 multiplicação no sistema binário ocorre exatamente como uma multiplicação no sistema decimal assim sendo tem-se 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 10

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital para exemplificar efetua-se a multiplicação entre os números 110102 e 1012 11010 x 101 11010 00000 11010 10000010 1.7 exercícios do capítulo i os exercícios propostos visam treinar o estudante de eletrônica digital de forma bastante completa É interessante que estes exercícios sejam feitos após uma leitura do capítulo i será observado que todos os exercícios possuem respostas uma vez que o objetivo não é uma lista de exercícios valendo nota e sim valorizar o aprendizado a maioria das calculadoras científicas realizam todas as operações estudadas neste capítulo seria interessante o aluno aprender a manipular sua calculadora 1.7.1 converta para o sistema decimal a 1001102 b 0111102 c 1110112 d 10100002 e 110001012 f 0110011001101012 g 148 h 678 i 1538 j 15448 k 20638 l 47916 m 4ab16 11

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital n bde16 o f0ca16 p 2d3f16 1.7.2 converta para o sistema binário a 7810 b 10210 c 21510 d 40410 e 80810 f 1638310 g 4778 h 15238 i 47648 j 67408 k 100218 l 8416 m 7f16 n 3b8c16 o 47fd16 p f1cd16 1.7.3 converta para o sistema octal a 10710 b 18510 c 204810 d 409710 e 566610 f 10112 g 100111002 h 1101011102 12

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital i 10000000012 j 11010001012 k 1d216 l 8cf16 1.7.4 converta para o sistema hexadecimal a 100112 b 11100111002 c 100110010011 d 111110111100102 e 10000000001000102 f 48610 g 200010 h 409610 i 555510 j 3547910 k 71008 l 54638 1.7.5 quantos bits são necessários para representar cada um dos números decimais abaixo a 51210 b 1210 c 210 d 3310 e 1710 f 710 1.7.6 porque o número 14875 não pode ser octal quais as bases ele poderia pertencer 13

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital 1.7.7 qual o número binário seguinte a 01101111 1.7.8 quantos bits existem em 2 bytes 1.7.9 transforme para decimal os seguintes números binários a 11,112 b 1000,00012 c 1010,10102 d1100,11012 e10011,100112 f11000,0011012 g100001,0110012 1.7.10 transforme os seguintes números decimais em binários a 0,12510 b 0,062510 c 0,710 d 0,9210 e 7,910 f 47,4710 g 53,38710 1.7.11 efetue as operações a 10002 10012 b 100012 111102 c 1012 1001012 d 11102 10010112 111012 e 1101012 10110012 11111102 f 11002 ­ 10102 g 101012 ­ 11102 h 111102 ­ 11112 14

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universidade federal de uberlÂndia faculdade de engenharia elÉtrica apostila de eletrônica digital i 10110012 ­ 110112 j 1000002 ­ 111002 k 101012 x 112 l 110012 x 1012 m 1101102 x 1112 n 111102 x 110112 o 1001102 x 10102 resposta dos exercícios 1.7.1 converta para o sistema decimal a3810 g1210 m119510 b3010 h5510 n303810 c5910 i10710 o6164210 d8010 j86810 p1158310 e19710 k1075 f1310910 l114510 1.7.2 converta para o sistema binário a10011102 e11001010002 i1001111101002 m11111112 b11001102 j1101111000002 n111011100011002 c110101112 k10000000100012 d1100101002 h11010100112 l100001002 f111111111111112 g1001111112 o1000111111111012 p11110001110011012 1.7.3 converta para o sistema octal a1538 g2348 b2718 h6568 c40008 i10018 d100018 j15058 e130428 k7228 f138 l43178 1.7.4 converta para o sistema hexadecimal a1316 g7d016 b39c16 h100016 c99316 i15b316 d3ef216 j8a9716 e8022 16 ke4016 f1e616 lb3316 15

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