p. 1

pro druhý stupe základního vzdlávání milan hejný darina jirotková a kol námty pro rozvoj kompetencí zák na základ zjistní výzkumu timss 2007 Ústav pro informace ve vzdlávání 2010

[close]

p. 2

matematické úlohy pro druhý stupe základního vzdlávání námty pro rozvoj kompetencí zák na základ zjistní výzkumu timss 2007 milan hejný darina jirotková a kol Ústav pro informace ve vzdlávání 2010 tato publikace byla vydána jako plánovaný výstup projektu kompetence i který je spolufinancován evropským sociálním fondem a státním rozpoctem ceské republiky © milan hejný darina jirotková a kol © Ústav pro informace ve vzdlávání 2010 isbn 978-80-211-0612-3

[close]

p. 3

3 obsah pedmluva 5 Úvod 7 koncepce výzkumu timss 7 výsledky ceských zák osmých rocník v matematice 8 pojetí sbírky úloh 10 1 cÍsla 13 1.1 pirozená císla 13 1.2 zlomky a desetinná císla 18 1.3 celá císla 25 1.4 pomr úmrnost a procenta 29 2 algebra 37 2.1 písmena místo císel parametry 37 2.2 ady 41 2.3 výrazy 52 2.4 rovnice vzorce 58 3 geometrie 63 3.1 geometrické tvary 63 3.2 geometrické mení 72 3.3 poloha a zmna polohy 78 4 data 87 4.1 sbr organizace a zpracování dat 87 4.2 interpretace dat 94 4.3 kombinatorika 99 4.4 pravdpodobnost a statistika 104 matematickÉ Úlohy pro druhÝ stupe z ÁkladnÍho vzdlÁvÁnÍ

[close]

p. 4

4 autoi a spolupracovnÍci koncepci publikace a úvodní texty vytvoili milan hejný darina jirotková a dominik dvoák autory úloh jsou jana hanusová milan hejný miroslav hricz darina jirotková jaroslava kloboucková lukás umácený výsledky kontrolovala anna sukniak vtsinu obrázk zpracoval pavel hejný podklady pro grafy vytvoili pracovníci Ústavu pro informace ve vzdlávání pod vedením jana hucína Úlohy recenzovaly eva lesáková a eva ídká matematickou cást projektu koordinovaly eva safránková a marie almerová pi tvorb publikace bylo pouzito výsledk výzkumu uskutecnného v rámci výzkumného zámru msm 002 132 0862.

[close]

p. 5

5 pedmluva vtsina vysplých zemí má národní systémy pravidelného ovování znalostí a dovedností zák pocátecních stup vzdlávání ceská republika vsak dosud takové zjisování soustavn neprovádí co cestí záci umí jak si jako celek stojí ve srovnání se svtem a jak se jejich znalosti mní v case se proto objektivn dozvídáme pedevsím z mezinárodních výzkum výsledk vzdlávání v oblasti matematiky a pírodních vd jsou to setení timss a pisa tato publikace a dv dalsí jez vycházejí soucasn s ní se opírají o výzkum timss který probhl v roce 2007 podrobnji jeho koncepci a zjistní pedstavíme v první cásti knihy jiz v zacátku vsak zdrazníme skutecnost která je dnes odborné i sirsí veejnosti známa výsledky nasich zák se v posledních letech nevyvíjely pízniv v rzných oblastech sledovaných mezinárodními výzkumy pozorujeme bu pokles výkonu ceských zák nebo stagnaci pokud jde o matematiku a pírodní vdy v devadesátých letech minulého století kdy se ceská republika zacala zapojovat do mezinárodních srovnávacích setení se cestí záci ve svtovém srovnání umisovali na pedních píckách díky tomu není absolutní úrove znalostí a dovedností ceských zák jest vylozen spatná pesto nás vývoj výsledk nasich zák nemze nechat lhostejnými proto také vznikl projekt kompetence i a publikace jez jsou jedním z jeho výstup celý projekt kompetence i podpoený evropským sociálním fondem a státním rozpoctem ceské republiky si pedevsím klade za cíl prostednictvím pokracující úcasti v mezinárodních seteních získat dalsí informace o znalostech a dovednostech ceských dtí a o jejich vývoji je vsak nemén dlezité vyuzívat velké mnozství informací které pinásejí tyto projekty pro zlepsení stavu ceského skolství i kdyz se v posledních letech jist ve skolství udlalo mnoho napíklad pro to aby se dti ve skolách cítily lépe je nezbytné znovu zamit pozornost na rozvíjení znalostí a dovedností nasich zák nejsme si jisti zda práv v této oblasti pinesla kurikulární reforma dostatecné zlepsení výsledky zák samozejm nejsou jen odrazem práce skoly je zde ve he celá ada faktor které skola ovlivnit nemze ale nepochybn to nejdlezitjsí co skola mze udlat pro lepsí ucení zák je zajímavé a kvalitní vyucování ucitelé vdí ze kvalita výuky do znacné míry závisí na otázkách jez svým zákm kladou a na úlohách jez záci spolecn s ucitelem ci samostatn esí proto se autoi tohoto projektu rozhodli nabídnout ucitelm sbírky úloh a otázek z nichz lze vybírat námty pi plánování vyucování Úlohy jsou zalozeny na analýze slabin ceských zák které se projevily v setení timss a které jsou podrobnji rozebrány v první cásti knihy nejde nám v zádném pípad o pouhý trénink nasich zák na konkrétní úlohy abychom v pístích mezinárodních seteních získali více bod ci se umístili na zebícku o kousek výse snazili jsme se postihnout kde testy naznacily obecnjsí nedostatky v obsahu a pojetí výuky v ceské skole a navrhnout úlohy jez mohou napomoci pekonání tchto nedostatk pedlozené analýzy a námty pro vyucování jsou samozejm jen velmi dílcí odpovdí na problémy ped nimiz v poslední dob nase skolství stojí soucasn zádný ucitel nemze do své výuky zaadit vse co nase publikace pinásejí a konecn ­ o tom zda úloha nco záky naucí rozhoduje pedevsím to jak s ní ucitel pracuje páli bychom si proto aby ucitelé vyuzili nase sbírky jako malou nabídku pomoci v nesnadném úkolu vzdlávat záky v matematice a pírodovdných pedmtech formu a obsah sbírek jsme se snazili konzultovat jak s odborníky tak pedevsím s uciteli z praxe ohlasy od ucitel nás povzbudily a utvrdily v pesvdcení ze takový materiál mze být pro jejich práci uzitecný vsem kteí umoznili vznik publikace a pispli nám radou a pomocí dkujeme matematickÉ Úlohy pro druhÝ stupe z ÁkladnÍho vzdlÁvÁnÍ

[close]

p. 6

6

[close]

p. 7

7 Úvod timss trends in international mathematics and science study je mezinárodní výzkum matematického a pírodovdného vzdlávání jde o projekt mezinárodní asociace pro hodnocení výsledk vzdlávání iea výzkum timss je zamen na vdomosti a dovednosti rozvíjené ve skolní výuce zjisují se pomocí písemných test jez obsahují úlohy z matematiky a pírodních vd protoze vsechny zúcastnné zem pouzívají stejné testy jsou testové úlohy spíse prnikem národních osnov a v jednotlivých zemích nemusí odpovídat pesn tomu co a kdy se ve skole skutecn probírá soucástí výzkumu je i dotazníkové setení mezi záky uciteli matematiky a pírodovdných pedmt a editeli skol otázky se týkají nap postoj zák metod výuky skolního prostedí výzkum je zamen na vkové kategorie devítiletých a tináctiletých zák a na záky v posledních rocnících stedních skol probíhá od roku 1995 ve ctyletých cyklech ceská republika se do nj zapojila v letech 1995 1999 a 2007 v roce 1995 byly testovány vsechny vkové kategorie v roce 1999 jen tináctiletí záci v roce 2007 pak devítiletí a tináctiletí záci do výzkumu timss 2007 se zapojilo celkem 59 zemí z celého svta a dalsích osm územn samosprávných celk v ceské republice se výzkumu v roce 2007 úcastnili záci 4 a 8 rocníku základních skol a odpovídajících rocník víceletých gymnázií celkem to bylo více nez devt tisíc zák z 291 skol a více nez tináct set jejich ucitel koncepce vÝzkumu výsledky zák jsou v matematice i pírodních vdách hodnoceny ze dvou pohled oznacovaných jako obsah a operace obsah je vymezen ucivem jehoz zvládnutí je testováno ve výzkumu timss 2007 byly sledovány oblasti uciva uvedené v tabulce 1 tabulka 1 oblasti uciva matematika 4 rocník císla geometrické tvary a mení znázornní dat císla algebra geometrie data a pravdpodobnost 8 rocník pírodní vdy 4 rocník nauka o zivé pírod nauka o nezivé pírod nauka o zemi 8 rocník biologie chemie fyzika vdy o zemi operace jsou vymezeny dovednostmi které mají záci pi práci s ucivem prokázat dovednosti sledované ve výzkumu timss 2007 byly následující ­ prokazování znalostí ­ pouzívání znalostí aplikace ­ uvazování Úlohy pouzívané ve výzkumu timss lze tedy tídit podle obsahové a operacní slozky dalsí dlení úloh je podle typu odpovdi a to na úlohy s výbrem odpovdi a na úlohy s otevenou odpovdí po kazdém kole výzkumu je cást úloh uvolnna odtajnna aby se s nimi mohla seznámit odborná veejnost cást úloh zstává utajena pro pouzití v následujících kolech coz usnaduje sledování vývoje výkonu zák v case v tomto smyslu v následujících kapitolách mluvíme o úlohách uvolnných nebo neuvolnných prezentace vÝsledk výsledky zemí jsou v oficiálních publikacích timss prezentovány dvma zpsoby prvním je prezentace pomocí skóre poctu bod jez vyjadují úspsnost zák na skálách výsledk pro matematiku a pro pírodní vdy byly v obou rocnících vytvoeny jednak skály celkové jednak skály dílcí pro matematickÉ Úlohy pro druhÝ stupe z ÁkladnÍho vzdlÁvÁnÍ

[close]

p. 8

8 jednotlivé oblasti uciva a dovednosti skály byly vytvoeny tak aby umozovaly srovnávat výsledky zák v prbhu casu základem druhého zpsobu prezentace výsledk zák jsou ctyi vdomostní úrovn kazdá úrove je urcena minimálním poctem bod jehoz musí zák dosáhnout výsledky zemí jsou pak vyjádeny procentuálním zastoupením jejich zák na jednotlivých vdomostních úrovních podrobnjsí charakteristiku jednotlivých vdomostních úrovní i s píklady úloh lze nalézt v publikaci tomÁsek v a kolektiv výzkum timss 2007 obstojí cestí záci v mezinárodní konkurenci praha Úiv 2008 výsledky popsané v pedchozích odstavcích jsou získávány pomrn slozitými statistickými metodami coz jim dává urcitou obecnou platnost na druhou stranu se ukazuje ze pro nalezení konkrétních pícin neúspchu zák mze být uzitecnjsí pouzít relativn jednodussí informace jako jsou teba procenta zák kteí jednotlivé úlohy zvládli kteí nkterou otázku vbec nezkusili esit nebo kteí volili typickou spatnou odpov distraktor v následujících kapitolách pracujeme nkdy i s daty ve kterých není napíklad zohlednna rozdílná obtíznost jednotlivých úloh i tato data jsou dostupná a ve svt se s nimi pracuje velmi nás zajímalo i to které otázky byly pro ceské záky relativn problémovjsí nez pro vtsinu jejich vrstevník v zemích jez se výzkumu zúcastnily takové rozdíly mohou mít relativn banální píciny ­ zpravidla to ze se dané ucivo u nás probírá jindy nez v zahranicí mze to vsak signalizovat i závaznjsí rozdíly v obsahu a pojetí jednotlivých skolních pedmt rozlisit to bude vyzadovat dalsí diskusi do níz se musí zapojit sirsí komunita ucitel a odborník informace které pedkládáme v následující kapitole jsou jen malým píspvkem k tmto úvahám vÝsledky ceskÝch zÁk osmÝch rocnÍk v matematice jak bylo eceno výzkum timss zjisoval celkem tikrát ­ v letech 1995 1999 a 2007 ­ matematické vdomosti a dovednosti ceských zák osmých tíd základní skoly a odpovídajících rocník víceletých gymnázií dále budeme pro jednoduchost pouzívat oznacení záci osmých tíd nebo osmáci oproti výborným výsledkm v setení provádném v roce 1995 se uz v roce 1999 projevilo velké zhorsení ­ nejvtsí ze vsech zúcastnných zemí usuzovalo se ze za poklesem výsledk stojí pechod od osmileté k devítileté skolní docházce a s ním spojená zmna kurikula zjednodusen eceno cást uciva které v roce 1995 v dob testování uz bylo probráno se v následujících letech pesunula do devátého rocníku a záci se s ním seznamovali az po testování výzkum timss 2007 vsak ukázal ze i v následujících letech kdy nedocházelo k zásadním zásahm do kurikula zhorsování výsledk ceských zák pokracovalo výsledný pokles mezi lety 1995 a 2007 byl tetí nejvtsí ze vsech evropských zemí a zemí oecd jez se do výzkumu v obou seteních zapojily jest vtsí pokles zaznamenaly z uvedených zemí jen svédsko a bulharsko blíze opt viz tomásek v a kol výzkum timss 2007 obstojí cestí záci v mezinárodní konkurenci praha Úiv 2008 analýza pícin klesajících výkon které podávají cestí záci v osmém roce svého základního vzdlávání samozejm musí vzít v úvahu i to co se dje v prbhu celé jejich skolní docházky záci picházejí na druhý stupe nebo do víceletých gymnázií jiz s urcitou úrovní vdomostí a dovednosti a také s urcitými postoji ke skole a k matematice tyto znalosti a postoje pak pedstavují východisko nebo limit pro dalsí studium matematiky z mezinárodních setení bohuzel nemáme data o tom co si z prvního stupn pinesli ti záci kteí byli v roce 2007 testováni jako tináctiletí a o jejichz matematické výsledky nám zde jde ceská republika se totiz nezapojila do setení které probíhalo v roce 2003 a promeskali jsme tak cennou moznost sledovat jednu vkovou kohortu dtí v obou bodech jejich vzdlávací dráhy máme k dispozici jen data o zácích ctvrtých rocník kteí byli testováni soubzn s záky osmých rocník tato skupina nebyla od roku 1995 testována a proto výsledky z roku 2007 zahrnují zmnu za celých dvanáct let do nichz spadá i prodlouzení prvního stupn na pt let a s tím také zmna kurikula v roce 2007 v rámci zemí úcastnících se výzkumu cestí ctvráci byli v matematice podprmrní je to dsledek výrazného zhorsení k nmuz doslo ve srovnání s rokem 1995 kdy byli nasi ctvráci nadprmrní toto zhorsení je nejvtsí ze vsech evropských zemí a zemí oecd jez se výzkumu zúcastnily.

[close]

p. 9

9 podrobnjsí analýza dat o výsledcích zák ctvrtých tíd spolu s porovnáváním kurikul matematiky pouzívaných v rzných zemích naznacuje ze cas získaný prodlouzením prvního stupn o rok nebyl dostatecn efektivn vyuzit záci nepicházejí na druhý stupe s dostatecnými pedpoklady pro nové pozadavky jez na n matematická výuka ve vyssích rocnících klade nelze vyloucit ze práv zde lezí jeden z hlavních faktor ovlivujících i výsledky tináctiletých zák podrobnjsí analýzy a podnty pro výuku matematiky na prvním stupni jez se opírají o analýzu výsledk ceských ctvrák v setení timss 2007 pinásí soubzn vycházející publikace pro ucitele primární skoly podívejme se te ale na výsledky zák osmých rocník pi srovnání celkových výsledk se pouzívají údaje získané procedurou irt item response theory která bere v úvahu pi hodnocení nejen pocet úloh v nichz záci uspli ale i obtíznost jednotlivých úloh skála je navíc nastavena tak aby umoznila korektní dlouhodobé sledování vývoje výsledk v case v tomto srovnání byly celkové výsledky nasich zák osmých rocník prmrné picemz v úlohách z témat aritmetika císla data a pravdpodobnost byli cestí záci nadprmrní v geometrii prmrní a v algebe podprmrní zhorsení oproti roku 1999 o nmz jsme mluvili v úvodu se projevilo hlavn v algebe a geometrii picemz cestí chlapci se na rozdíl od dívek zhorsili ve vsech ctyech oblastech uciva tomásek v a kol 2008 jak jsme zmínili výse pro analýzu na úrovni jednotlivých úloh nebo dílcích oblastí uciva se pouzívají jednodussí data ­ procento zák kteí uspli v dané úloze obtíznost úlohy pípadn prmrná obtíznost skupiny úloh z dané tematické podoblasti na nich jsou zalozeny i dále uvádné výsledky pi porovnávání tchto dat s mezinárodním prmrem je vsak nutné mít na pamti ze tento prmr zahrnuje zem s velmi rozdílnou úrovní rozvoje spolecnosti skutecnost ze jsme v tomto srovnání vesms nadprmrní proto nemá velkou vypovídací hodnotu zajímavjsí je porovnávat rzné oblasti uciva mezi sebou algebra geometrie oblast císla data a pravdpodobnost 0 10 20 cr 30 Úspsnost ostatní 40 50 60 obrázek 1 ukazuje úspsnost ceských zák pi esení úloh z jednotlivých tematických oblastí které jsou seazeny podle obtíznosti pro ceské záky jak je z grafu vidt cestí záci dosahují z tohoto pohledu lepsích výsledk nez je prmr zemí které se zúcastnily setení timss v roce 2007 detailní rozbor vsak ukázal ze nasi záci sbírali body zejména na úlohách lehkých z hlediska mezinárodn dosahované úspsnosti zatímco úlohy s vyssí obtízností castji esili nesprávn nebo je prost peskakovali základní tendence v obou typech dat jsou vsak stejné ­ je to pedevsím malá úspsnost ceských zák v algebe která je klícová pro dalsí studium nejen matematiky ale také ady dalsích pírodovdných nebo technických obor matematickÉ Úlohy pro druhÝ stupe z ÁkladnÍho vzdlÁvÁnÍ

[close]

p. 10

10 rovnice císla a funkce ady a posloupnosti interpretace dat algebraické výrazy geometrické mení pomr úmrnost a procenta téma geometrické tvary pirozená císla zlomky a desetinná císla poloha a zmna polohy celá císla pravdpodobnost uspoádání a znázornní dat 0 10 20 cr 30 Úspsnost ostatní 40 50 60 70 obrázek 2 ukazuje obtíznost dílcích témat pro ceské záky opt ve srovnání s ostatními úcastnickými zemmi oba grafy pipravil jan hucín z Ústavu pro informace ve vzdlávání v pípad matematických výsledk zák ctvrtého rocníku jsme v analogických datech nalezli výrazné signály o tom ze nkterá témata ­ konkrétn zlomky a desetinná císla ­ v dob testování nebyla dosud v ceských skolách probírána ci zvládnuta zatímco v ostatních zemích si s nimi záci vtsinou poradili tímto rozdílem bylo mozné vysvtlit nemalou cást zhorsení výsledk ve srovnání s jinými úcastnickými zemmi u výsledk zák osmého rocníku se takové jednoznacné souvislosti neprojevují dokonce ani z hlediska operacní úrovn nevykazovala data významné rozdíly museli jsme se zabývat casto jednotlivými úlohami a hledat které dalsí znaky mají spolecné krom tématu a operacní úrovn výsledky analýzy jsou proto nejcastji uvedeny pímo u jednotlivých sad úloh významné informace vsak byly obsazeny i ve zjistních z prvodních dotazník jez ukazují na nedobrý vztah ceských zák k matematice jako oboru vzhledem k tomu ze jiz mladsí záci mluví casto o nud ve skole je nutno uvazovat zda i tady nelezí hlubsí koeny nasich narstajících problém v matematice pojetÍ sbÍrky Úloh strategii kterou jsme na základ tchto zjistní zvolili pi koncipování publikace i pi tvorb úloh lze proto charakterizovat takto dovednosti jejichz nedostatecná úrove vedla k neúspchu mnoha ceských zák v nkterých úlohách setení timss lze jednotlivými testovými úlohami mit nelze je vsak izolovanými úlohami rozvíjet a procvicovat proto jsme se snazili kde to bylo mozné vytváet gradované série úloh vedoucí záka k rozvoji píslusné dovednosti nebo porozumní nap k hlubsímu porozumní pojmu plochy nebo ke schopnosti zobecovat k úlohám jsou uvedena jednak esení jednak komentáe v nichz bývá vysvtlena i souvislost zaazených úloh s tmi úlohami setení timss které cinily ceským zákm obtíze výsledkovou komentáovou cást textu lze vsak snadno oddlit a kazdou stránku lze pouzít také jako test nebo zadání domácího úkolu v mnoha pípadech vsak doporucujeme aby byly úlohy eseny ve tíd spolecn a aby se o nich vedla diskuse z mezinárodních setení totiz víme ze cestí záci dostávají ve skole málo pílezitostí aby svá esení úloh obhajovali ve výzkumu timss jsou pak pro záky velmi obtízné úlohy kde mají formulovat samostatn odpov nebo své esení vysvtlit ci zdvodnit nasi záci je casto prost peskakují

[close]

p. 11

11 pi výbru úloh do hodin matematiky navíc musíme mít na pamti i zjistní setení timss o nedobrém vztahu ceských zák k tomuto pedmtu zaazením mén bzných úloh nebo sad úloh jsme chtli pomoci uciteli udlat hodiny matematiky zajímavjsí a bojovat s nudou dalsí z cest pouzitých k dosazení vtsí motivace zák je zaazení úloh do kontext které mohou být blízké bu dívkám anebo naopak chlapcm jejichz výsledky se v poslední dob výraznji zhorsily forma úloh umozuje i to aby je ucitel zadával jednotlivým zákm jako prostedek individualizace výuky ­ a uz budou úlohy slouzit doplnní chybjících dovedností nebo naopak budou pedstavovat nárocnjsí výzvu pro záka který uz bzné ucivo zvládl podrobnosti o významu jednotlivých typ úloh a jejich souvislosti s úlohami ze setení timss jsou uvádny v komentáích kde to bylo mozné zaazovali jsme je pímo na píslusné strany ne vzdy se to podailo a v takovém pípad jsou komentáe na koncích píslusných kapitol v nkterých pípadech jsme zvolili i úlohy nebo skupiny úloh netradicní které se na první pohled klasickým testovým úlohám rozhodn nepodobají stránky jsou vsak vtsinou eseny jako nezávislé sady úloh pokud se nkterá z nich uciteli nehodí mze ji obvykle peskocit aniz by mu to znemoznilo vyuzít stránky následující matematickÉ Úlohy pro druhÝ stupe z ÁkladnÍho vzdlÁvÁnÍ

[close]

p. 12

12

[close]

p. 13

13 1 cÍsla 1.1 pirozenÁ cÍsla 1.1.1 dlitelnost geometrickÉ modely 1 podlahu terasy o rozmrech 4,5 m a 7,5 m chce chalupá vydlázdit stejnými ctvercovými dlazdicemi cím vtsí jsou dlazdice jimiz se terasa vydlázdí tím nizsí je cena celého dlázdní na sklad jsou pouze ctvercové dlazdice o délce strany 10 cm 12 cm 15 cm 18 cm nebo 20 cm a jaké nejvtsí dlazdice zakoupíme jestlize se chceme vyhnout ezání dlazdic b kolik takových dlazdic bude poteba obstarat 2 do ciferníku na obrázku budeme vepisovat pravidelné mnohoúhelníky napíklad ctveicí bod 1 4 7 10 je urcen ctverec a podobným zpsobem vyznac dalsí ctverce a zapis je do tabulky 11 10 9 8 7 6 5 4 12 1 2 3 9 8 7 6 5 4 10 11 12 1 2 3 9 8 7 6 5 4 10 11 12 1 2 3 9 8 7 6 5 4 10 11 12 1 2 3 mnohoÚhelnÍky trojÚhelnÍky ctverce pocet esení 1 4 7 10 b podobn najdi vsechny rovnostranné trojúhelníky a zapis je do tabulky c podobn najdi dalsí pravidelné mnohoúhelníky a zapis je do tabulky najdi vzdy vsechna esení ped kopÍrovÁnÍm pro zÁky od tohoto mÍsta zakrÝt vÝsledky 1a 15 cm 15 je nejvtsí z nabídnutých dlitel který je spolecným dlitelem císel 450 a 750 1b 1 500 ks 2 po obvodu ciferníku je 12 znacek vsechny dlitele císla 12 jsou d12 {1 2 3 4 6 12 mnohoúhelník nemze mít jeden nebo dva vrcholy tedy je mozné vepsat pravidelný troj cty sestia dvanáctiúhelník Úplné esení je v tabulce mnohoÚhelnÍky trojÚhelnÍky ctverce sestiÚhelnÍky dvanÁctiÚhelnÍk pocet esení 4 3 2 1 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 matematickÉ Úlohy pro druhÝ stupe z ÁkladnÍho vzdlÁvÁnÍ

[close]

p. 14

14 1.1.2 dlitelnost aritmetickÉ modely 1 v útvaru je mén nez 300 voják kdyz se postaví do ptistupu zbude jeden voják kdyz do sedmistupu také zbude jeden voják a kdyz do osmistupu také zbude jeden voják kolik voják je v útvaru 2 ctyi tramvaje vyjely ráno v 5:00 spolecn z konecné stanice linka a jezdí v intervalu 15 minut linka b v intervalu 6 minut linka c v intervalu 20 minut a linka d v intervalu 8 minut a v kolik hodin vyjedou z konecné opt vsechny ctyi linky spolecn b kolikrát za den od 5:00 do 23:00 tramvaje cty linek vyjízdí spolecn z konecné 3 dne 1 ledna 2007 bylo pondlí ve kterých letech v období od r 2000 do r 2030 vyslo nebo vyjde 1 ledna opt na pondlí rok 2008 byl pestupný 4 v ozubeném soukolí má velké kolo 60 zub a jeden záez je sedý druhé mensí kolo má jeden zub sedý ve výchozí pozici zapadá sedý zub do sedého záezu stejná situace nastane nejdíve po pti otáckách malého kola a a po jedné b po dvou c po tech d po ctyech otáckách velkého kola kolik zub má malé kolo 5 novákovi staví pletivový plot kolem zahrady tvaru obdélníka o rozmrech 52 m a 68 m vzdálenost sousedních tycí musí být stejná pro stavbu plotu bude poteba minimáln a 60 tycí b 120 tycí c 64 tycí d 88 tycí ped kopÍrovÁnÍm pro zÁky od tohoto mÍsta zakrÝt vÝsledky 1 2a 2b 3a 4a 4b 4c 4d 5a 281 voják za 120 minut nejmensí spolecný násobek císel 6 8 15 20 je 120 v 5:00 7:00 9:00 11:00 13:00 15:00 17:00 19:00 21:00 23:00 ­ desetkrát v letech 2001 2018 2024 2029 12 24 36 48 zub 60 tycí pohyblivé soukolí lze najít na http translate.google.cz/translate?hl=cs&langpair=en|cs&u=http en.wikipedia.org/wiki/gear komentÁ 1 2 3 kdyby pi uspoádání do pti sedmi i osmistupu zádný voják nezbyl pak nejmensí pocet voják je 5 · 7 · 8 280 pipocteme jednoho který pebývá a máme jich 281 k pochopení situace pispívá kdyz záci napísou jízdní ád vsech 4 linek situace je opt popsatelná harmonogramem ale tentokrát je pravidelnost narusena pestupnými roky.

[close]

p. 15

15 1.1.3 desÍtkovÁ soustava 1 je zapsána ada císel 1 2 3 100 kolikrát je v zápisu pouzita císlice a 1 b 0 c kolik císlic je v zápisu 2 dopl správn do následujících vt císla 8 40 100 400 1 001 385 000 vzor sousední vesnice má asi 400 obyvatel a msíc je od zem vzdálen piblizn kilometr b v nkterých krabickách bývá trojúhelníkových sýr c v pohádce o alí babovi z knízky pohádek noci vystupuje loupezník d letos se nám na jabloce ped domem urodilo uz asi jablícek 3 v tabulce je pomocí hvzdicek znázornno císlo 10 359 a pomocí hvzdicek znázorni 7 062 204 680 83 006 statisíce desetitisíce 10 359 7 062 204 680 83 006 tisíce stovky desítky jednotky b jaká císla je mozno znázornit v dané tabulce pomocí 2 hvzdicek najdi vsechny moznosti 4 z císlic 0 2 3 4 a 7 utvo a nejmensí trojciferné císlo b nejvtsí pticiferné císlo tak aby se v zápisu zádná císlice neopakovala 5 z císlic 2 3 5 8 utvo dv dvojciferná císla tak aby jejich rozdíl byl a co nejvtsí b co nejmensí ped kopÍrovÁnÍm pro zÁky od tohoto mÍsta zakrÝt vÝsledky 1a 21 1b 11 1c 192 2a 385 000 2b 8 2c 1001 40 2d 100 3a statisíce 10 359 7 062 204 680 83 006 desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky 3b celkem 21 sest kdyz jsou ob hvzdicky v témze okénku 200 000 20 000 2 000 200 20 a 2 patnáct kdyz je kazdá v jiném okénku 110 000 101 000 100 100 100 010 100 001 11 000 10 100 10 010 10 001 1 100 1010 1 001 110 101 a 11 4a 203 4b 74 320 5a 85 ­ 23 62 5b 35 ­ 28 7 matematickÉ Úlohy pro druhÝ stupe z ÁkladnÍho vzdlÁvÁnÍ

[close]