Apostila Projeto Con-seguir Módulo 3 - 9º ano

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prefeito josé camilo zito dos santos filho vice-prefeito jorge da silva amorelli secretária municipal de educação roberta barreto de oliveira assessora especial Ângela regina figueiredo da silva lomeu subsecretaria de gestão de pessoal sonia pegoral silva subsecretaria de planejamento pedagógico myrian medeiros da silva departamento de educação básica mariângela da silva monteiro divisão de educação infanto-juvenil heloisa helena pereira coordenação geral bruno vianna dos santos ciclo de alfabetização beatriz gonella fernandez luciana gomes de lima coordenação de língua portuguesa luciana gomes de lima elaboração do material 4º ano de escolaridade beatriz gonella fernandez ledinalva colaço luciana gomes de lima simone regis meier elaboração do material 8º ano de escolaridade fernanda lessa pereira luciana gomes de lima ledinalva colaço marcos andré de oliveira moraes roberto alves de araujo coordenação de matemática marcos do carmo pereira elaboração do material 4º ano de escolaridade bruno vianna dos santos claudia gomes araújo fabiana rodrigues reis pacheco marcos do carmo pereira elaboração do material 8º ano de escolaridade bruno vianna dos santos claudio mendes tavares genal de abreu rosa josé carlos gonçalves gaspar marcos do carmo pereira paulo da silva bermudez design gráfico diolandio francisco de sousa todos os direitos reservados à secretaria municipal de educação de duque de caxias

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duque de caxias ­ rj 2011

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 capÍtulo 1 ­ figuras semelhantes seu carlos e seu filho jogam bola usando o mesmo modelo de sapato é óbvio que os sapatos não são idênticos pois diferem apenas no tamanho carlos calça 42 e seu filho 36 ou seja sapatos de mesmo modelo têm a mesma forma no mapa o segmento ab que liga o aeroporto santos dumont no rio de janeiro à praia de boa viagem em niterói mede 5 cm e o segmento bc que liga a praia de boa viagem ao pão de açúcar no rio de janeiro mede 12 cm medindo no mapa o ângulo entre esses segmentos encontramos 48º se pudéssemos `esticar uma corda ligando o aeroporto santos dumont à praia de boa viagem e em seguida ligássemos a praia de boa viagem ao pão de açúcar é óbvio que essas distâncias seriam medidas em quilômetros porém o ângulo permaneceria sendo o mesmo 48º acabamos ver dois casos de figuras semelhantes no primeiro exemplo apesar do sapato do pai ser maior que o sapato do filho eles são semelhantes pois conservam a mesma forma no segundo exemplo todos os mapas são figuras semelhantes reduções das regiões originais que os mesmos representam observe as pegadas na geometria é muito comum você dizer que duas formas são semelhantes isso acontece porque os objetos têm a mesma forma É fácil perceber a semelhança das formas no mundo que nos rodeia por exemplo nas maquetes ampliações e reduções miniaturas etc o conceito de semelhança tem relação com o conceito de congruência figuras congruentes são réplicas exatas uma da outra ainda que uma possa ter sido feita no verso do papel só virando-a vemos que é idêntica à outra elas têm a mesma forma e o mesmo tamanho tamanho 42 tamanho 36 note que apesar das medidas ab e cd serem diferentes os ângulos são os mesmos o mesmo ocorre em mapas observe o exemplo figuras semelhantes têm a mesma forma mas não precisam ter o mesmo tamanho figuras congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho quando duas figuras são semelhantes podemos dizer que são congruentes caso as medidas sejam as mesmas ou então uma delas é ampliação ou redução da outra aebsão figuras semelhantes projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano 1 matemÁtica 2011

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 aecnÃo são semelhantes pois cedsão figuras congruentes base de a base de c 3 4 3x54x2 2 5 altura de a altura de c semelhança de triângulos se duas figuras são semelhantes elas podem ser colocadas uma sobre a outra de modo que seus lados sejam paralelos dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais 1 2 semelhante 1 2 como vimos para que duas ou mais figuras sejam semelhantes é preciso que 1 seus ângulos sejam os mesmos 2 seus lados sejam proporcionais obs caso essa proporção tenha termos iguais ou seja todas as razões sejam iguais a um as figuras além de semelhantes serão congruentes exemplo dois lados homólogos homo mesmo logos lugar são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes razão de semelhança sendo k a razão entre os lados homólogos x z y k onde bcak é chamado razão de semelhança dos triângulos exercícios resolvidos 1 sendo dado que os triângulos abc e a b c são semelhantes que os lados do segundo têm medidas a b 3 cm a c 7 cm e b c 5 cm e que a medida do lado ab do primeiro é 6 cm vamos obter a razão de semelhança dos triângulos e os outros dois lados do primeiro triângulo aebsão semelhantes pois as medidas dos lados de b são as mesmas dos lados de a multiplicadas por 2 ou seja então base de a base de b 3 6 3x4=6x2 altura de a altura de b 2 4 projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano 6 x y 2 logo x 14 cm e y =10 cm 3 7 5 ac 14 cm e bc 10 cm 2 matemÁtica 2011

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 2 calcule x e y nos triângulos abaixo exercícios propostos 2 um dos importantes rios da nossa cidade é o rio sarapuí que corta vários bairros de caxias e deságua na bahia da guanabara no bairro de sarapuí os moradores fizeram uma ponte para atravessá-lo observe a figura e descubra o comprimento da ponte a soma dos ângulos internos garante que a d logo se os triângulos têm os mesmo ângulos então eles são semelhantes 3 y 5 1 x=6 e y=4 x 8 10 2 exercícios de fixação 1 calcule x e y nos triângulos abaixo a 3 as figuras abaixo são desenhos de um mesmo gato as figuras mostram que não houve deformação do desenho do gato porque todos os comprimentos foram multiplicados por a 2 b b 3 c 4 d 5 4 observe o tangran quebra-cabeça chinês abaixo c d i ­ o triângulo preto é congruente ao triângulo verde ii ­ o triângulo vermelho é semelhante ao azul iii ­ o triângulo vermelho é semelhante ao verde iv ­ o triângulo laranja é congruente ao triângulo preto v ­ todos os triângulos do tangran são semelhantes vi ­ todos os triângulos do tangran são congruentes as únicas afirmações falsas são a v e vi c i iii e vi b i e vi d i iii v e vi matemÁtica 2011 projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano 3

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 5 o professor bruno desenhou o triângulo hachurado numa malha quadriculada como mostra a figura abaixo então ele fez a seguinte pergunta à turma o aluno que acertou a resposta foi a paulinho b aninha c marquinho d betina 6 na figura os segmentos bc e de são paralelos ab =15 m ad 5 m ae 6 m a medida do segmento ce é em metros a a 6 b 10 c 12 d 18 b d e se eu ampliar esse triângulo 5 vezes como ficarão as medidas de seus lados e de seus ângulos alguns alunos responderam c 7 observe a fotografia de joão e márcia para descobrir a altura do menino a altura de márcia já é conhecida de acordo com os dados da tabela com base nas informações a altura de joão é a a 2 m b 1,7 m c 182 cm d 178 cm projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano 4 matemÁtica 2011

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 8 para medir a altura do edifício em que trabalha um zelador usou um artifício mediu a sombra do prédio obtendo 6 m e no mesmo instante mediu sua própria sombra obtendo 20 cm obs 20 cm 0,2 m como a altura do zelador é 1,60 m o valor que representa a altura do prédio é calculando o valor de x obtemos a 4 m b 8 m c 9 m d 11 m 10 um engenheiro florestal visitou o parque nacional do tinguá uma grande reserva ecológica do nosso município a figura abaixo desenhada pelo engenheiro mostra as distâncias entre os diferentes tipos de árvores do nosso parque a 40 m b 42 m c 45 m d 48 m 9 o povo persa é famoso pela confecção de seus valiosos tapetes sabendo que os tapetes abaixo são semelhantes sabendo as marcações dos ângulos apresentadas nos ajudam a perceber ângulos congruentes podemos afirmar que a distância entra as árvores dos tipos d e e é de a 20 km b 24 km c 30 km d 36 km 11 renato tem uma mesa cujas dimensões são 81 cm de altura 90 cm de largura e 108 cm de comprimento ele quer mandar fazer outra mesa da mesma forma porém um pouco mais alta com 90 cm de altura qual opção abaixo ele deve escolher a aumentar apenas a atura em 9 cm b aumentar em 9 cm todas as medidas c aumentar 9 cm a altura em 10 cm a largura e em 12 cm o comprimento d multiplicar as três medidas por 9 projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano 5 matemÁtica 2011

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 12 para determinar a altura de uma igreja um excelente aluno de matemática usou o seguinte recurso sabendo que sua altura é 1,60 m mediu a própria sombra e a da construção no mesmo instante encontrando 0,6 m e 5,4 m respectivamente a altura encontrada foi de capÍtulo 2 ­ coordenadas cartesianas o plano cartesiano É formado por duas retas perpendiculares onde o ponto em que elas se cortam é o 0,0 e recebe o nome de origem das coordenadas h 5,4 m a 7,6 m b 2,025 m c 5,184 m d 14,4 m 0,6 m 13 pedrinho se posicionou a x metros de sua casa e conseguiu medir sua sombra que coincidia com a sobra de sua casa de 4 m de altura num certo momento o eixo ou reta horizontal tem o sinal positivo à direita da origem das coordenadas e negativo à sua esquerda ele recebe o nome de eixo das abscissas porém costumamos chamá-lo de eixo x a reta eixo vertical tem o sinal positivo acima da origem das coordenadas e negativo abaixo ele recebe o nome de eixo das ordenadas ou também eixo y quando traçamos os eixos cartesianos o plano fica dividido em quatro regiões chamadas quadrantes como na figura abaixo para qualquer ponto p de coordenadas x y dizemos que com alguns cálculos simples podemos afirmar que o valor de x em metros é de a 1,5 m b 3 m c 4 m d 4,5 m 14 as sombras destas árvores mediam às três da tarde 12 m 8 m 6 m e 4 m respectivamente a árvore maior mede 7,5 m p é do 1º quadrante se e somente se x 0 e y 0 p é do 2º quadrante se e somente se x 0 e y 0 p é do 3º quadrante se e somente se x 0 e y 0 p é do 4º quadrante se e somente se x 0 e y 0 então as demais árvores medem respectivamente a 5 m 3,75 m 2 m b 5 m 3,75 m 2,5 m c 5 m 3,25 m 2,5 m d 4,75 m 3,75 m 2,5 m representação gráfica dos pares ordenados veja o ponto a 3,4 localizado no plano o primeiro componente 3 é representado sobre o eixo das abscissas eixo x e o segundo componente 4 sobre o eixo das ordenadas eixo y 6 matemÁtica 2011 projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 observe o esquema abaixo a 4 6 b então x y é o par ordenado formado pelos elementos x e y onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento c d e f g exercícios de fixação 15 marque os pontos no plano cartesiano h 1º quad i 4 -6 j l m n o p r 4º quad exercícios propostos a 3,5 b 7 9 c 6,8 d 9,1 e 1,9 f 4,0 g 10,0 h 0,7 i 0 9 j 5 8 l 2 10 m 10,3 quais as coordenadas de a b e c respectivamente 16 observando a figura abaixo complete a tabela com as coordenadas dos pontos do plano cartesiano e diga em que quadrante está cada ponto a 2 1 1,2 e 3,1 b 2,1 1,2 e 1 3 c 1,2 2,1 e 1 3 d 1,2 2 -1 e 3,1 17 observe a figura projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano 7 matemÁtica 2011

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 18 na figura abaixo temos o quadrado abcd quais as coordenadas dos vértices a b c e d respectivamente do quadrilátero representado no gráfico a 2 2 3,0 1,1 e 0,3 b 2,2 0,3 1,1 e 3,0 c 2,2 3,0 1 1 e 0,3 d 2,2 0,3 1 1 e 3,0 21 marque a opção que contém os pontos a b c d e e nesta ordem as coordenadas dos vértices a b c e d são respectivamente a 2,0 2,0 0 2 e 0,2 b 0 2 0,2 2,0 e 2,0 c 0,2 0 2 2,0 2,0 d 2,0 2,0 0,2 e 0 2 19 na figura abaixo temos o triângulo abc a 6,4 2,4 4 4 b 4,6 2,2 4 4 c 4,6 2,2 4 4 d 6,4 4 2 4 4 1 5 e 5 2 1,4 e 5 2 1 5 e 5 2 5,1 e 5,2 quais as coordenadas dos vértices a b e c respectivamente do triângulo representado no gráfico a 2 2 4,1 e 1,2 b 2,2 1,4 e 2,1 c 1,4 2,1 e 2,2 d 4,1 1,2 e 2 2 20 observe a figura abaixo 22 na figura abaixo temos representado o polígono estrelado mais famoso tendo como vértices os pontos a b c d e e determine as coordenadas dos vértices desse polígono respectivamente nessa mesma ordem a 2 4 2,2 2 3 e 2,1 b 2 4 2,2 2 3 e 2,1 c 2,4 2,2 3 2 e 1,2 d 2 4 2,2 2,3 e 1,2 projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano 8 matemÁtica 2011

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mÓdulo iii matemÁtica 9º ano 2011 23 a figura abaixo ilustra as localizações de alguns pontos no plano exercícios resolvidos 1 descubra os dois termos seguintes em cada uma das sequências a 1 2 4 7 11 b 3 6 11 18 27 c soluÇÃo a note que o 2º termo é o 1º termo adicionado de 1 e cada termo seguinte adiciona-se 1 a mais do que o termo anterior joão sai do ponto x anda 20 m para a direita 30 m para cima 40 m para a direita e 10 m para baixo ao final do trajeto joão estará no ponto a a b b c c d d 1 2 4 7 11 16 22 +1 +2 +3 +4 +5 +6 logo os próximos números são 16 e 22 b note que o 2º termo é o 1º termo adicionado de 3 e cada termo seguinte adiciona-se 2 a mais do que o termo anterior capÍtulo 3 ­ padrões numéricos e sequências quando falamos a palavra padrão pensamos em padrões visuais tais como os mosaicos papéis de parede quadros etc mas a ideia de padrão em matemática não é apenas isso mais genericamente padrão é usado quando nos referimos a um arranjo de números formas cores ou sons onde se detectam algumas regularidades e para entendermos esses padrões numéricos necessitamos do auxílio da Álgebra que é usada para generalizar fórmulas equações etc através de letras exemplo 3 6 11 18 27 38 51 +3 +5 +7 +9 +11 +13 logo os próximos números são 38 e 51 c note que o 1º termo é formado por 4 segmentos e os demais estão adicionados de 3 unidades 4 7 10 13 16 +3 +3 +3 +3 logo os próximos números são 13 e 16 2 investigue a relação entre a ordem da figura e o numero total de segmentos usados no desenho soluÇÃo para n 1 4 segmentos para n 2 8 segmentos para n 3 12 segmentos http matem-agil.blogspot.com generalizando para qualquer valor de n temos 4n segmentos 9 matemÁtica 2011 projeto conseguir ­ mÓdulo 3 ­ 9º ano

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