Katern Stevin vwo - F2 relativiteitstheorie

 

Embed or link this publication

Description

Katern Stevin vwo - F2 relativiteitstheorie

Popular Pages


p. 1

Niet voor gebruik op school Hubert Biezeveld / Louis Mathot / Ruud Brouwer Stevin natuurkunde voor de bovenbouw VWO speciale relativiteitstheorie subdomein F2 2017 Zwaag / Haarlem / Amsterdam

[close]

p. 2

Niet voor gebruik op school 31-V-2017 © Hubert Biezeveld, Louis Mathot en Ruud Brouwer Alle rechten voorbehouden. Zonder voorafgaande, schriftelijke toestemming van de auteurs mogen op geen enkele manier fragmenten uit dit boek worden overgenomen. Voor zover overname is toegestaan volgens de auteurswet van 1912, dient men de vergoeding daarvoor te regelen via onze website. www.stevin.info stevin@stevin.info All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the authors. Dit katern is niet te koop in de boekhandel. Het heeft dus geen ISBN. Informatie over bestellen is te vinden op www.stevin.info. Op de site zijn de volgende (hulp)bestanden te vinden:  bewijzen_en_toegiften.pdf − hierin staan o.a de afleidingen van een paar formules  excelbestanden met een ‘schuifje’ − zie p. 16 en 17  werkbladen  een applet over bewegende bollen en kubussen  een tekst over kijken naar de aarde  een filmfragment over kijken in bewegende stelsels  een toelichting bij de wijzigingen in de tekst van dit katern.

[close]

p. 3

Niet voor gebruik op school F2 Speciale relativiteitstheorie Waarnemer W beweegt met hoge snelheid door het heelal. Waarom is volgens waarnemer W zijn tweelingbroer W zo plat? En wat is de mening van W over W?

[close]

p. 4

Niet voor gebruik op school 4 Speciale relativiteitstheorie 1 Het is maar hoe je het bekijkt Een jongleur op een paard gooit een bal op en vangt die weer op. Een toeschouwer beweert dat de bal een boog beschrijft. Relativiteit volgens Einstein Einstein was er zeker van dat het relativiteitsprincipe van Galilei niet alleen voor de mechanica van Newton geldig is, maar ook voor de elektromagnetische verschijnselen die Maxwell had beschreven. Daarom schreef hij in 1905 een artikel met de titel: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. De jongleur zelf zegt dat de bal recht omhoog en omlaag gaat. Zo’n welles-nietes twist is zinloos. De ruiter heeft als het ware een coördinatenstelsel vastgemaakt aan het paard en in dat stelsel wordt een verticale beweging gemaakt. De waarnemer langs de kant werkt liever met een stelsel dat aan de grond vastzit. In dit hoofdstuk gaan we dieper in op die waarnemers en hun coördinatenstelsels − en ook op hun klokken. Relativiteit volgens Galilei Volgens Galilei kun je met mechanicaproeven in een dichte hut op een schip niet uitmaken of dat schip stil langs de kant ligt of dat het eenparig vaart op een rustige zee. Pas als je naar buiten kunt kijken, zie je of het schip beweegt. In de hut krijg je bij rust en bij eenparige beweging precies dezelfde resultaten. Wel merk je het als het schip op een zandbank loopt. Inertiaalsystemen Die dichte hut beschrijft Galilei in zijn boek Dialoog − over de twee voornaamste wereldsystemen. Tegenwoordig noemen we zo’n hut een inertiaalsysteem. Dat is een ruimte waarin de eerste wet van Newton geldt: Als een voorwerp geen kracht ondervindt, is het in rust of beweegt het eenparig in een rechte lijn. Alle inertiaalsystemen zijn gelijkwaardig. Geen enkel systeem neemt een voorkeurspositie in. relativiteit volgens Galilei Hier klopt iets niet Hij stoorde zich aan de asymmetrie bij de verklaring van deze proef: Een koperen ring (links) nadert een stilstaande magneet. De ladingen in de ring bewegen met de ring mee richting magneet en ondervinden dus een lorentzkracht (zie p. 193 van Stevin vwo). Daardoor ontstaat een inductiestroom I in de ring. Als daarentegen de magneet beweegt (rechts), dan loopt er volgens Lenz precies dezelfde stroom I (zie p. 204 van Stevin vwo). Maar hoe ontstaat de lorentzkracht dan die daarbij hoort? Het effect is in beide gevallen hetzelfde maar de verklaring verschilt. Dat zinde Einstein niet. Eenparige beweging is relatief. Het zou voor de verklaring niet uit moeten maken of de ring beweegt en de magneet stil staat, of andersom. Als waarnemer op de kar kun je altijd beweren dat jij stil staat en dat je omgeving beweegt, want geen enkel inertiaalsysteem heeft de voorkeur. In een lift merk je alleen het begin en het eind van de rit; tussendoor moet je op het display met de etageaanduiding kijken om te weten of je beweegt. Wij hebben wel een zintuig voor versnelling (in het binnenoor), maar niet voor snelheid. Als de lift op weg is naar boven, kun je en mag je beweren dat de aarde onder je wegzakt.

[close]

p. 5

Niet voor gebruik op school 1 Het is maar hoe je het bekijkt 5 De lichtsnelheid Maxwell had het raadsel van de elektromagnetische golven opgelost: die bewegen in vacuüm met een snelheid van 1/√(ε0μ0). Hierin zijn ε0 en μ0 constanten voor het elektrische, respectievelijk het magnetische veld die je in tabel 7A van Binas kunt opzoeken; de nul slaat op vacuüm. En daar kwam 3·108 m/s uit, de bekende snelheid van licht in vacuüm! Zijn conclusie was daarom: licht is een elektromagnetische golf. Tegenwoordig wisselen we af tussen licht is een golf en licht bestaat uit deeltjes: fotonen. Welke beschrijving het beste is, hangt af van de proef. Maar dat heeft alles te maken met ons gebrekkig voorstellingsvermogen. De uitdrukking van Maxwell voor de lichtsnelheid was wel eigenaardig. Er zit geen snelheid van de lichtbron in, en ook niet van de waarnemer. Wil dat zeggen dat er altijd hetzelfde uitkomt? Kun je de snelheid van de bron of van de waarnemer dan niet optellen bij de lichtsnelheid? Einstein kende de ‘mislukte’ proef van Michelson en Morley (zie het leesstuk). Die ontdekten dat de lichtsnelheid niet veranderde of de lichtstraal nou met de aarde meebewoog om de zon of niet. Het lijkt erop dat fotonen een ingebouwde cruise control hebben, ze kunnen in vacuüm niet harder dan het heelalrecord (2,9972458·108 m/s), afgerond 3·108 m/s, maar ook niet langzamer. Is het tweede postulaat echt niet te bewijzen? Je zou toch ‘gewoon’ op t = 0 een lichtflits kunnen uitzenden en aan een ander op grote afstand vragen hoe laat die flits daar aankomt? Vervolgens stuurt die een lichtflits naar jou toe en kijk je hoe lang die er over gedaan heeft. Daarna vergelijken jullie de twee waarden. Zo gewoon is dat echter niet, want voordat je die proeven doet, moeten de klokken gelijkgezet worden. Hoe wil je dat doen zonder gebruik te maken van de lichtsnelheid? Gelijktijdigheid Bij schaatswedstrijden sprint zouden de luidsprekers die het startschot laten horen, bóven de banen van 5 m breed moeten hangen. Nu staan ze langs de kant, maar 5 m extra bij −4 C levert al gauw 5/328 = 0,015 s verschil op ten nadele van de rijder op de binnenbaan. Twee knallen op twéé plekken worden alleen simultaan gehoord als de waarnemer W precies in het midden staat. Deze figuur is een variant op een gedachteexperiment dat Einstein beschrijft in een boekje uit 1916: stel W zit in het midden van een rijdende trein en W staat op een perron. Beiden zien lichtflitsen van twee lampen die tegelijk flitsen, één vóórin en één achterin de trein. Twee postulaten van Einstein Om uit de problemen te komen, stelde Einstein deze postulaten (niet te bewijzen stellingen) op: 1 De natuurwetten zijn hetzelfde in alle inertiaalsystemen. 2 De lichtsnelheid in vacuüm is altijd hetzelfde, onafhankelijk van de snelheid van de bron of van de waarnemer. Het eerste postulaat was een uitbreiding van het relativiteitsprincipe van Galilei. Het tweede was revolutionair en zou grote consequenties hebben voor begrippen als gelijktijdigheid, lengtes van linialen en het tempo waarin klokken de tijd wegtikken. Ook zou hierdoor een andere formule geldig worden voor het optellen van snelheden. Als W de flitsen tegelijk ziet, is hij van mening dat W ze niet tegelijk gezien kan hebben, want W beweegt immers vóór de lichtstraal van links uit en zal de lichtstraal van rechts dus eerder waarnemen. Bedenk dat de lichtsnelheid zich niets aantrekt van de snelheid van de trein. W heeft echter evenveel recht om te beweren dat hij stilstaat en dat W naar links beweegt. Als W de flitsen tegelijk ziet, kan W ze niet tegelijk gezien hebben. Met andere woorden: Gelijktijdigheid bestaat niet voor waarnemers in verschillende inertiaalsystemen.

[close]

p. 6

Niet voor gebruik op school 6 Speciale relativiteitstheorie Klokken en linialen Newton gaat in zijn mechanicaboek Principia uit van een ‘absolute ruimte’ en een ‘absolute tijd’: alle natuurwetten zijn hetzelfde voor waarnemers die in rust zijn of eenparig bewegen ten opzichte van de absolute ruimte. Een vliegtuig gedraagt zich hetzelfde of het nou stilstaat in een windtunnel of dat het beweegt in stilstaande lucht. Trage klokken − tijdrek W aan boord van een ruimteschip, passeert W naar rechts met snelheid v. Allebei laten ze een lichtflits op-en-neer gaan. Ze vatten de opstelling op als een klok die tikt met periode T. W en W zijn beiden van mening dat ze in rust zijn in hun eigen ruimteschip. Volgens hen geldt voor de verticale baan naar het plafond: h = c∙½T. Maar op grond van net zo’n redenering kan W hetzelfde beweren: W beweegt en bij W loopt de lichtstraal juist scheef. Samengevat: T is de periode van de lichtklok in het eigen ruimteschip. In het bewegende ruimteschip van de ander moet de periode T * groter zijn. Dit verschijnsel heet tijdrek. Tijdrek treedt niet alleen op bij lichtklokken, maar ook bij biologische processen. Volgens een stilstaande waarnemer is bijvoorbeeld de hartslag van een ruimtereiziger trager dan normaal − hoewel die daar zelf niets van merkt! De lorentzfactor In de relativiteitstheorie wordt voor de breuk v/c vaak  geschreven, dus: v =  ∙c De formule wordt dan: T*  T  T  T 1 v2/ c2 1  2   1 wordt de lorentzfactor genoemd. 1  2 W is echter van mening dat aan boord bij W de lichtstraal scheef naar het plafond gaat − wel met de lichtsnelheid c natuurlijk. De tijd ½T * die daarvoor nodig is, moet dus volgens W groter zijn dan ½T. Gebruik Pythagoras en elimineer h: (½cT *)2 = h2 + (½vT *)2 = (½cT )2 + (½vT *)2  T *2  c2T 2 ofwel: T *  T c2  v2 1 v2/ c2 De noemer is kleiner dan 1  T * > T. De tijd tussen de tikken van de klok duurt langer. W is dus van mening dat de proef aan boord bij W langer duurt: de klok van W tikt te langzaam. Beiden beweren van elkaar dat de klok van de ander een factor  te langzaam loopt. Voorbeeld 1 Slingerproeven als  = 0,6  In een ruimteschip is waarnemer W bezig met een slinger die volgens hem een periode van 0,4 s heeft. Langs de kant doet waarnemer W dezelfde proef met een identieke slinger. a Bereken  . b Hoe lang duurt volgens W en W een complete slingering bij de andere waarnemer? Oplossing a Invullen van  levert:  = 1,25. b Volgens beide waarnemers duurt de slingering aan boord van de ander een factor  langer en is de periode daar 0,41,25 = 0,5 s.

[close]

p. 7

Niet voor gebruik op school 1 Het is maar hoe je het bekijkt 7 Verkorte linialen − lengtekrimp Als de lichtklokken horizontaal worden gezet, zijn W en W het ook niet eens. Het tweede postulaat Het tweede postulaat heeft drie consequenties die de hele mechanica van Newton totaal veranderen. Beiden beweren dat in hun eigen ruimteschip heen en terug even lang duren. De hele periode kost volgens hen: T  2L c (1) Volgens W geldt bij W aan boord: voor de heenweg: c∙t1 = L*+ v∙t1 dus t1  L* cv voor de terugweg: c∙t2 = L*− v∙t2 dus t2  L* cv De totale tijd wordt dan: T*  L* cv  L* cv  2L*c c2  v2 In de notatie met  wordt dat: T*  2L*c  2L*  1  2L*   2 c2   2c2 c 1  2 c (2) Bovendien hangen T en T * samen volgens: T * =  ∙T (3) Combineren van (2) en (3) levert:  T  2L*   2  T  2L*   cc Samen met (1) leidt dat tot: L = L*∙  L* = L / W is dus van mening dat de liniaal van W in de bewegingsrichting gekrompen is. Overigens beweert W van W hetzelfde. 1 Het begrip gelijktijdigheid heeft geen betekenis meer als waarnemers ten opzichte van elkaar bewegen. 2 Een waarnemer in rust is van mening dat de periode van een bewegende klok een factor  langer duurt. Die tikt te langzaam. T* =  ∙T ( ≥ 1) tijdrek 3 Een waarnemer in rust is van mening dat een bewegende liniaal een factor  korter is. L* = L/ lengtekrimp Voorbeeld 2 Liniaal L = 1,00 m als  = 0,6  Volgens W is L* de lengte aan boord bij W. a Bereken L*. b Is L of L* de echte lengte? En zijn W en W het daarover eens? Oplossing a L* = L/ = 1,00/1,25 = 80 cm. b Hier zijn ze het over eens: de eigen liniaal is 1,00 m lang. Dit noemen zij de echte lengte. Bij de ander aan boord is de lengte 80 cm. Voorbeeld 3 Op-en-neer als  = 0,6  Bij W en W gaat een lichtstraal één keer op-en-neer naar een spiegel die 2 nls (nanolichtseconde) boven de flitslamp staat. a Hoe lang duurt dat volgens W en volgens W? b Schets de baan die de straal volgens W en volgens W aflegt. Oplossing a Beiden denken dat zij stilstaan en meten bij zichzelf T = 4 ns. Zij berekenen voor de ander T *= ∙4 = 5 ns. b Beiden beweren dat de liniaal van de ander een factor  korter is.

[close]

p. 8

Niet voor gebruik op school 8 Speciale relativiteitstheorie Het nul-experiment Nadat Young en Fresnel hadden aangetoond dat licht een golfverschijnsel is, was een van de grote vragen in de 19e eeuw: in welk medium beweegt licht? In tegenstelling tot geluid dat gas nodig heeft om zich voort te planten, beweegt licht ook door vacuüm. Hoe kan dat? Een transversale golf heeft gewoonlijk een elastische, vaste stof nodig om zich voort te planten. Welke onzichtbare, ongrijpbare stof kan dat zijn? Die stof zou massaloos moeten zijn en overal in het heelal aanwezig, zelfs in vaste stoffen. Bestaat die stof? Ze noemden de stof alvast de ‘ether’, een woord dat je tegenwoordig op de radio nog wel hoort. Stond die ether stil in het heelal? Als dat zo was, dan bewoog de aarde door de ether met 30 km/s, één tienduizendste van de lichtsnelheid en daarbij moest de aarde tegenwind, een etherwind ondervinden. Michelson bedacht dat een interferometer dat zou moeten kunnen meten. Hij liet in 1881 een lichtgolf van oost naar west door de ether ploegen en ook dwars daarop. De apparatuur stond op een steen uit één stuk die dreef op kwik. Beide golven leggen bij zo’n proef een even lange weg af; ze gaan een keer dwars door de half doorlatende spiegel H en ze weerkaatsen een keer. De dwarsgolf doet even lang over heen- en terugweg. De andere lichtgolf zou op de heenweg wind mee hebben en op de terugweg wind tegen en dat kost in totaal meer tijd (zie opgave 41 op p. 32 van Stevin vwo). Maar als beide niet tegelijk aankomen bij de waarnemer W, moet die dat zien aan een verschuiving van de interferentiestrepen. Toen Michelson de opstelling langzaam 90 draaide, verwachtte hij tijdens het draaien donkere en lichte lijnen elkaar te zien afwisselen omdat de twee lichtgolven wel of niet in fase zouden aankomen. Maar waarnemer Michelson zag … niets gebeuren. Nu had Michelson een fout in zijn berekening gemaakt waar Lorentz hem op wees, maar er zou toch iets te zien moeten zijn geweest. In 1887 probeerde hij het opnieuw, nu samen met Morley. De afgelegde weg van de lichtgolven (λ ≈ 500 nm) werd door meervoudige spiegeling tien keer zo groot,  11 m en ze verwachtten een verschuiving van 0,4 λ. In de kelder van het gebouw − om trillingen te vermijden − werd de temperatuur zo goed mogelijk constant gehouden. Alle trams in Cleveland stonden stil tijdens de meting en … ze maten: hoogstens 0,04 λ. ‘The result is decidedly negative’. Paniek Lorentz reageerde in een brief aan Rayleigh (1892): ‘I am really at a loss how to clear away this contradiction.’ Hij stelde een ad hoc hypothese op om de ethertheorie te redden. In zijn eigen woorden, ‘a supposition which may appear somewhat startling’, namelijk: alle voorwerpen die door de ether bewegen, worden een factor  korter in de bewegingsrichting. Later bleek dat Fitzgerald op hetzelfde idee was gekomen. Maar een echte verklaring waarom zoiets vreemds zou moeten gebeuren, konden ze niet leveren. In 1905 had Einstein dezelfde formules nodig omdat volgens zijn tweede postulaat de lichtsnelheid altijd dezelfde waarde heeft. Vanaf dat moment was de ether compleet overbodig. Michelson was de onbetwiste ‘Master of Light’ met zijn precisiemetingen. Zo bepaalde hij later nog de lichtsnelheid tussen twee bergen ten noorden van Los Angeles. In 1927 zou hij zijn beste meting doen: (2,997 96 ± 0,000 04)·108 m/s. Ook mat hij de diameter van Betelgeuse. Die bleek de omvang van de baan van Mars te hebben, 300 keer de diameter van de zon! Daarna richtte hij zich weer op zijn oude liefde: de bepaling van de standaardmeter met zijn interferometer, in plaats van de platina-iridium staaf in Parijs. Hoeveel golflengtes van de rode Cd-lijn passen op een meter? Dat aantal bleek 1 553 163,5 te zijn bij 15 C en 1 bar. Het duurde nog tot 1960, toen werd eindelijk de meter gedefinieerd als een veelvoud van λ van een oranje spectraallijn van krypton: 1 m = 1 650 763,73 λKr. In 1983 werd de meter gekoppeld aan de lichtsnelheid en de seconde. Zie tabel 3B van Binas.

[close]

p. 9

Niet voor gebruik op school 1 Het is maar hoe je het bekijkt 9 Snelheden optellen Stel dat je op een rijdende wagen een filmpje maakt van een bal die naar achteren wordt weggeschopt, dan vind je bij videometen bijvoorbeeld voor de snelheid 5 km/h. Iemand langs de kant vindt echter 15 km/h omdat de wagen een snelheid van 20 km/h heeft. Volgens Galilei en Newton geldt voor de som w van de twee snelheden u en v gewoon w = u + v. In dit voorbeeld is u = −5 km/h en v = 20 km/h. Tot nu toe heb je deze regel bij allerlei opgaven toegepast. Volgens Einstein is dit de formule die gebruikt moet worden: w  uv 1  uv c2 optellen van snelheden Het bewijs staat in bewijzen_en_toegiften.pdf. Het bewijs van Mermin Mermin heeft de formule van Einstein bewezen met een gedachtenexperiment. W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd een lichtflits die aan de voorkant weerkaatst en de kogel even later treft. W ziet een kogel met onbekende snelheid w en een ruimteschip met bekende snelheid v. Hij wil weten hoe groot w is. W en W zijn het alleen eens over de plaats in de trein waar kogel en lichtstraal elkaar treffen. De afstand tussen de voorkant en die trefplaats is een fractie f van de lengte L. Over de waarde van f zijn ze het eens. Over alle afstanden en tijden zijn ze het vanwege tijdrek en lengtekrimp oneens, maar omdat die aan het eind allemaal zullen wegvallen geven we daar geen verschillende namen aan. Het gaat om f. In bewijzen_en_toegiften.pdf staat de complete afleiding van het bewijs. Voorbeeld 4 Relatieve snelheden  Twee ruimteschepen naderen de aarde, een van links met 0,80c en een van rechts met −0,60c, beide gemeten t.o.v. de aarde. - Hoe groot is de snelheid van de ruimteschepen ten opzichte van elkaar? Oplossing - Zet in gedachten het rechter ruimteschip stil. Dan nadert de aarde met v = 0,60c. Het linker ruimteschip functioneert nu als ‘weggeschopte bal’ met u = 0,80c. Vul v en u in: w  u  v  w  0,95c 1  uv / c2

[close]

p. 10

Niet voor gebruik op school 10 Speciale relativiteitstheorie Energie en massa Volgens Einstein bezitten voorwerpen slechts twee vormen van energie: kinetische energie Ek en massa m. Als voorwerpen potentiële energie krijgen zoals zwaarte-energie mgh en veerenergie ½Cu2, dan verandert volgens Einstein hun massa! Met behulp van zijn beroemde wet E = mc2 kun je uitrekenen hoeveel de massa van een uitgerekte veer is toegenomen: Stel C = 12 N/m en u = 0,10 m dan is Δm = Eveer/c2, dus: Δm = (½120,102)/(91016) = 6,710−19 kg. Deze massatoename is onmeetbaar klein zodat je er in de dagelijkse praktijk of bij een practicum niets van merkt. Ben je in een kerncentrale kernen aan het splitsen of met een versneller zware deeltjes aan het maken, dan voorspelt E = mc2 hoeveel energie er vrij komt of nodig is. Voorkennis over impuls Impuls is een belangrijke grootheid in de natuurkunde. In de mechanica van Newton is de impuls van auto’s en knikkers te berekenen met p = mv. Net als bij energie geldt ook voor impuls een behoudswet: p = constant. Bij uit elkaar schieten (explosies) en botsingen wordt de wet van behoud van impuls toegepast en meestal geschreven als: pvoor = pna Waarschijnlijk ken je de formule van de Broglie p = h/λ en de energie van het foton E = hf = hc/λ. Als je deze formules combineert dan krijg je de formule voor de impuls van een foton: pfoton = E/c. Afleiding van E = mc2 Einstein liet in een gedachte-experiment een foton in een doos met lengte L en massa M naar de overkant schieten en daar absorberen. Het foton en de doos zetten zich tegen elkaar af (actie = − reactie). Gevolg: het foton beweegt naar rechts met impuls pfoton = E/c en de doos naar links met snelheid v en impuls pdoos = Mv. Op het moment dat het foton wordt geabsorbeerd, komt de doos weer tot stilstand. pvoor = pna = 0  pfoton = −pdoos  E/c = −M∙v  v = −E/(Mc). Tijdens de overtocht van het foton heeft de doos zich over een afstand x = v∙t = −Et/(Mc) naar links verplaatst. In dezelfde tijd t heeft het foton de afstand L afgelegd met snelheid c, dus: t = L/c.  x = −E∙L/(Mc2). De positie van het zwaartepunt van de doos is niet veranderd. Dat kan ook niet, want er werkte vanaf het begin geen uitwendige kracht op de doos. Door het foton is pure energie verzonden, geen massa. Toch is de massa M over een afstand x verschoven. Daardoor lijkt het net of het foton een massa m over een afstand L heeft verplaatst. m∙L + M∙x = 0. Invullen van x leidt tot: mL  M  E L  0  E  mc2 M c2 Energie is massa De formule E = mc2 is algemeen geldig. Kijk maar eens in tabel 7B van Binas; daar wordt zowel de joule als de kg gebruikt als eenheid voor massa. Voor m moeten we dan wel deze formule gebruiken: m =  ∙m0  E =  ∙m0c2 Hierin is m0 de zogenaamde rustmassa en m0c2 de rustenergie van een deeltje. Als je die formule voor de massa gebruikt, lijkt het dus net alsof de massa m afhankelijk is van zijn snelheid v. Dit is een groot verschil met de mechanica van Newton. Voor de kinetische energie geldt nu: Ek = mc2 − m0c2 kinetische energie Hierin wordt m0c2 de rustenergie genoemd. Een bewegend deeltje heeft dus niet alleen kinetische energie maar ook rustenergie.

[close]

p. 11

Niet voor gebruik op school 1 Het is maar hoe je het bekijkt 11 Consequenties en experimentele bewijzen Gevolgen van tijdrek en lengtekrimp Beide waarnemers W en W beweren dat de ander plat is in de bewegingsrichting, maar die merken dat zelf niet omdat hun linialen ook gekrompen zijn. Tijdrek en lengtekrimp zorgen ervoor dat W en W bij de ander precies de goede waarde vinden voor de lichtsnelheid. Daarmee is het nulresultaat van Michelson en Morley verklaard. De vraag of lengtekrimp echt optreedt, is zinloos. Of je een stokbrood nu recht afsnijdt of scheef, in beide gevallen kun je beweren dat de sneetjes de juiste lengte hebben. (Vandaar ook de naam van deze theorie.) Michelson en Morley stelden die vraag en de natuur weigerde het antwoord. Uitleg De platte tweelingbroer Als v = 0,8c geldt:  = 1,67. Aan boord bij W lijken linialen daardoor een factor 1,67 korter. Alles lijkt daar korter, dus ook broer W. Bovendien is broer W van mening dat zijn bewegingen trager zullen verlopen. W zegt echter hetzelfde van W. Experimentele bewijzen De tijdrek is experimenteel aangetoond. Metingen aan licht van snelle H-atomen In 1938 deed Ives metingen aan de spectra van snelle H-atomen. Hij vond dat de frequenties verlaagd waren, precies in overeenstemming met de tijdrek die Einstein voorspeld had. Muonen Bovenin de atmosfeer worden door kosmische straling muonen met zeer hoge snelheden geproduceerd. In het laboratorium hebben ze een gemiddelde levensduur τ van 2,197 μs. Zelfs als ze met de lichtsnelheid bewegen, kunnen ze dus maar 659 m afleggen. Toch bereiken die muonen de aarde. Die 2,197 μs geldt namelijk ‘aan boord’ bij de muonen zelf. Hun klok loopt echter volgens ons te traag vanwege hun hoge snelheid. De levensduur lijkt daarom voor ons veel langer. (Zie opgaven 30 en 31) Je kunt ook anders redeneren: de muonen ‘zien’ de dampkring met grote snelheid op zich af komen. Voor hen is de dampkring dus veel minder dik dan voor ons. Daardoor hebben zij aan die 2,197 s genoeg om de dampkring te doorkruisen. Atoomklokken in vliegtuigen In 1971 vlogen vliegtuigen met een atoomklok oost- en westwaarts rond de aarde. Na afloop werden deze vergeleken met een klok die op aarde was achtergebleven. Na correctie voor gravitatieeffecten (zie de leestekst op p. 21) bleken de verwachte tijdsverschillen inderdaad op te treden. GPS-navigatie Het Global Positioning System (GPS) houdt rekening met beide theorieën van Einstein. Volgens de Speciale Relativiteitstheorie loopt de satellietklok door zijn snelheid 11 μs per etmaal achter op een klok op aarde. Maar volgens de Algemene Relativiteitstheorie loopt de satellietklok ook 50 μs voor op de klok op aarde door de grote hoogte. De tijd in een sterk zwaartekrachtsveld als dat van de aarde verloopt langzamer − in een zwart gat staat de tijd zelfs stil! De tweelingparadox Stel dat W en W bij het passeren van W met 0,8c 50 jaar oud zijn en dat W na 5 jaar (op zijn klok!) terug wil keren. Op dat moment denkt hij dat W nog maar 53 jaar oud is. W denkt na 5 jaar (op zijn eigen klok!) ook dat zijn broer W 53 jaar is. Als het bij W op zijn kalender 8,3 (8,33) jaar na het passeren is, denkt hij dat de kalender van W op 5 jaar staat. Dat is dus het moment dat W omkeert. Na twee keer die tijd, dus na 16,7 jaar (op de klok van W!) is W terug op aarde en is hij slechts 10 jaar ouder geworden. (Zie ook p.19.) Waar komt dat verschil vandaan? Waarom geldt de relativiteit dat beiden gelijk hebben nu niet? De reden is dat W op een ander inertiaalstelsel is overgestapt. Hij heeft bij het omkeren een versnelling gevoeld en dan geldt het relativiteitsprincipe niet meer.

[close]

p. 12

Niet voor gebruik op school 12 Speciale relativiteitstheorie Opgaven 1 1 a Geef de definitie van een inertiaalsysteem b Meerkeuzevraag: wat is geen inertiaalsysteem? A Een wandelaar die uitrust op een bankje en naar een kind op een draaimolen kijkt. B Een wandelaar die met 3 km/h de draaimolen passeert. C Een kind op de eenparig ronddraaiende draaimolen. D Alle hierboven genoemde antwoorden. 6 Een pion met  = 0,95 legt in het laboratorium 24,0 m af voor het vervalt. - Bereken a zijn levensduur volgens de onderzoekers; b de ‘echte’ levensduur. ◦7 Stevin liet twee kogels los van de toren in Delft. Voor W beneden klonken de klappen op een plank simultaan. 2 a Bereken β als γ = 1, 10, 100, 1000. b Bereken γ als v = 0,75c en als v = 0,90c. c Leg uit dat de lorentzfactor  bij v ≥ c onzin oplevert. d Bewijs:  ∙(1 −  2) = 1/ . 3 Een sheriff schiet vanaf een trein een kogel met 340 m/s (de geluidssnelheid) richting een boef langs de baan. - Wat merkt de boef eerder op, de kogel, de knal of de lichtflits als: a de trein stilstaat, b de trein op hem afkomt? 4 - Bereken w in de volgende gevallen: a u = c en v ≠ c b u = c en v = c c u = 0,90∙c en v = 0,30∙c d u « c en v « c 5 Wat heeft Calvin’s Mom, hopelijk, aan hem verteld over “Time goes slower at great speed”? Stel, die kogels waren aan weerszijden A en B van de toren gevallen en W, bij het loslaten midden tussen A en B op weg naar B, hoorde de knallen tegelijkertijd. - Welke knal was dan eerder? 8 a Toon aan: Ek = ( −1)∙m0c2. ►Vuistregel: als Ek > 0,1m0c2, moet je relativistische formules gebruiken. b Toon aan dat dit overeenkomt met  > 0,42. c1 Zoek in tabel 7B de waarde van m0c2 op voor elektronen uitgedrukt in MeV. c2 Laat zien dat de vuistregel nodig is voor een elektron met Ek = 1,0 MeV. d Bereken  en  .

[close]

p. 13

Niet voor gebruik op school 2 Coördinatentransformaties en ruimte-tijd 13 2 Coördinatentransformaties en ruimte-tijd Tot 1905 gingen natuurkundigen uit van de ideeën van Galilei en Newton, waarbij er met linialen en klokken niets bijzonders aan de hand is. De lorentz-transformatie Einstein leidde in zijn beroemde artikel deze formules af die wel bruikbaar zijn: De galilei-transformatie We bekijken twee rechthoekige assenstelsels S (x, y, z) en S (x, y, z). S hoort bij waarnemer W die langs de kant staat met een klok die de tijd t aanwijst; S hoort bij W in een trein met een klok die t aanwijst. Op t = 0 vallen de overeenkomstige assen samen en worden de klokken gelijk gezet. Linialen en klokken zijn identiek. De trein beweegt met een constante snelheid v in de richting van de positieve x-as. Op het tijdstip t is dit de situatie (de z-as is weggelaten): x =  ∙(x −  ∙ct) lorentz-transformatie voor x ct =  ∙(ct −  ∙x) lorentz-transformatie voor ct Het bewijs dat uitgaat van het tweede postulaat staat in bewijzen_en_toegiften.pdf. De formules bleken gelijk te zijn aan de transformatieformules die Lorentz al in 1895 had afgeleid om daarmee de ether te ‘redden’ bij de mislukte proeven van Michelson en Morley. Hij was van mening dat linialen echt verkort werden als ze door de ether bewogen en dat klokken trager gingen tikken. Het verhaal gaat zelfs, dat hij zich er nooit bij neer heeft gelegd dat de ether een overbodig begrip zou zijn. Einstein noemt deze formules niet. Voor het punt P geldt x = x + v∙t , dus: x = x − v∙t y = y z = z t = t Deze formules worden de galilei-transformatie genoemd. Je kunt er de coördinaten van P in de twee stelsel mee in elkaar omrekenen. Dit viertal is de inverse transformatie: x = x + v∙t y = y z = z t = t Stel dat zich bij P in de trein een bal met snelheid u bevindt, dan geldt voor W in de trein x = u∙t en voor W langs de kant x = u∙t + v∙t = (u + v)∙t. Je telt snelheden dus ‘gewoon’ op, zoals je tot nu toe altijd gedaan hebt. Als het echter niet om een bal gaat, maar om een foton met de snelheid c, dan gaat het mis. Je vindt dan x = (c + v)∙t en dat mag niet volgens het tweede postulaat. De galilei-transformatie is dus onbruikbaar. Het bewijs van Feynman voor x. W is van mening dat W een te korte liniaal gebruikt om de afstand x te meten. Eerst een getallenvoorbeeld met v = 0,8c:   v/c  4/5  1/  1  2  3/5 Als W zijn meterstok 5 keer heeft neergelegd en dus x = 5 m meet, dan is die afstand volgens W slechts 3 m. In plaats van x = x + v∙t, zoals bij Galilei, moeten we dus dit schrijven: x = 1/∙x + v∙t = 1/∙x +  ∙ct  x = ∙(x −  ∙ct) De correctie voor de tijd Het bewijs voor ct is wat lastiger. Het komt hier op neer: de klok van W loopt volgens W te traag, maar dan hebben we ook nog het probleem van de ongelijktijdigheid. Het gaat niet om t in de oorsprong van stelsel S, maar om t bij P. Zonder  en  zijn dit formules voor t en t: t  t  vx/c2 en t  t  vx/c2 1  (v/c) 2 1  (v/c) 2 Ook zonder afleiding zie je dat deze correctie logisch is: hoe groter de snelheid v en hoe groter de afstand x, hoe groter de correctie voor de tijd moet zijn. De dimensie van vx/c2 is tijd.

[close]

p. 14

Niet voor gebruik op school 14 Speciale relativiteitstheorie Ruimte-tijd Nadat Einstein zijn speciale relativiteitstheorie had gepubliceerd, kwam Minkowski met het idee dat een andere meetkunde handiger was. Einstein had bij deze hoogleraar wiskunde gestudeerd. Ruimte-tijd Bij de galilei-transformatie kun je een ruimte met drie assen (x, y en z) gebruiken en één as voor de tijd t die daar helemaal los van staat. Voor de lorentz-transformatie is het handiger om x, y, z en t samen te voegen tot één geheel, de ruimte-tijd (of in het Engels: spacetime). Het probleem is dat je dan te maken krijgt met vier assen die allemaal loodrecht op elkaar staan. Wiskundig is dat een fluitje van een cent, maar wij mensen zijn daar letterlijk blind voor. Van x (ct)-grafiek naar ct(x )-grafiek Op de verticale as wordt ook nog eens ct uitgezet in plaats van t. Daardoor kunnen we op beide assen dezelfde eenheid gebruiken. Als we voor t de seconde gebruiken dan moeten we x en ct in lichtseconde uitdrukken (1 ls = 3∙108 m). Als je liever met de meter werkt, moet je voor t als eenheid 3,3 ns kiezen. Dit zijn de x(ct)-grafieken van een raket met snelheid v en een lichtstraal met snelheid c. Op de horizontale as staat het product ct met als eenheid de meter. De grafiek van de lichtstraal is een lijn onder 45. De lijn voor de raket heeft de helling  = v/c met  = tan. Ga na dat het blauwe deel verboden gebied is. Platlanders Stel je een wereld voor die bevolkt wordt door platlanders, platte figuurtjes die uit papier geknipt lijken. Zij kunnen alleen plat over een oppervlak bewegen, maar dat er ook nog een hoogte bestaat, gaat hun voorstellingsvermogen te boven. Stel dat een platlander steeds maar in één richting over een bol schuift, dan is hij stomverbaasd dat hij na enige tijd weer op zijn vertrekpunt aankomt. Bij een driedimensionale ruimte kan hij zich geen beeld vormen. t(x)-grafiek in plaats van x(t)-grafiek De ruimte-tijd met zijn vier assen die volgens Minkowski zo handig is, stelt ons dus voor problemen. Om die te omzeilen laten we meestal de y-as en de z-as weg. Bij de folklore van de relativiteitstheorie hoort bovendien dat de t-as verticaal staat; de h(t)-grafiek van een bal die stuitert ziet er dan zó uit: Nu spiegelen we de figuur om de lijn voor de lichtstraal, zoals dat in de relativiteitstheorie gebruikelijk is. Het zal even tijd kosten om aan deze gespiegelde assen te wennen.

[close]

p. 15

Niet voor gebruik op school 2 Coördinatentransformaties en ruimte-tijd 15 Gebeurtenissen en wereldlijnen Een punt in een (x, ct)-stelsel wordt een voorval, een gebeurtenis genoemd; bijvoorbeeld een botsing, of het uitzenden van een -deeltje of een lichtflits. De geschiedenis van een voorwerp levert een lijn in het (x, ct)-stelsel op. Zo’n lijn heet een wereldlijn. Een paar voorbeelden: De zon staat op 1,5∙109 m afstand, dat is 500 ls (lichtseconde). Stel dat de zon op t = 0 s stopt met schijnen, dan merken wij dat pas na 500 s (8,3 min). De gebeurtenis bij (500; 0) zit dan pas in het gebied ‘toen’ van onze lichtkegel. Je kunt ook zeggen dat wij ons dan pas in het gebied ‘straks’ van de zon bevinden. A een bal die op-en-neer stuitert; B een foton; C iemand die stilstaat en daarna met een eenparige snelheid gaat lopen; D een stilstaand deeltje dat uiteenvalt in twee deeltjes die van elkaar wegschieten; E twee moleculen die elastisch botsen. Een (x, ct )-stelsel met scheve assen In de regel tekenen we grafieken in assenstelsels waarbij de assen loodrecht op elkaar staan. Er is echter niets op tegen om voor waarnemer W in zijn raket een stelsel S met scheve assen te gebruiken. Om de coördinaten van voorval P te vinden trek je hulplijnen evenwijdig aan de assen. Doordat de eenheden op de assen gelijk zijn, loopt de grafiek van een lichtstraal weer langs de bissectrice. Toen, nu en straks In dit (x, ct)-stelsel bevinden de aarde en de zon zich op ct = 0 (nu) op de x-as. De blauwe lijnen zijn de wereldlijnen van het licht dat vanuit aarde en zon naar links en naar rechts gaat. De blauwe gebieden horen bij de toekomst (straks); de grijze bij het verleden (toen). De zwarte verticale lijnen zijn de wereldlijnen van aarde en zon in de richting van straks. Wereldlijnen die buiten de gekleurde gebieden lopen zijn onmogelijk, want dat zou betekenen v > c. Combineren van stelsels We kunnen de stelsels S voor W en S voor W combineren door de lijnen voor een lichtstraal op elkaar te leggen. We moeten dan wel de richting van de ct-as gelijk maken aan die van de ct(x)-grafiek van de raket. (Zie bewijzen_en_toegiften.pdf.)

[close]

Comments

no comments yet