Stevin 2016 - havo - 03 Vectoren

 

Embed or link this publication

Description

tevin 2016 - havo - 03 Vectoren

Popular Pages


p. 1

3 Vectoren Wat is hier aan de hand? Deze foto’s zijn vlak na elkaar gemaakt. Nie tv oo r ge b rui ko ps ch oo l

[close]

p. 2

48 3.1 Scalars en vectoren Als we een föhn richten op een zeilwagentje, gaat dit vooruit. Als we de föhn scheef richten, is het effect minder groot en als we van opzij richten, komt het wagentje helemaal niet meer vooruit. Alleen dat deel van de wind wordt gebruikt dat haaks op het zeil staat. Niet alleen de sterkte van de wind is belangrijk, ook de richting ervan. Scalars Vectoren ge b Een honingbij geeft met haar ‘kwispeldans’ de richting en de afstand tot een voedselbron aan. Op een verticale raat voert zij deze beweging uit. De hoek α geeft de richting aan, vergeleken met de richting waarin de zon staat. Het kwispelen heeft een hogere frequentie naarmate de voedselbron dichterbij staat. Nie tv oo r rui Veel grootheden in de natuurkunde hebben geen richting. Denk aan massa, volume, lengte of toonhoogte. Als iemand zegt: ‘Mijn massa is 80 kg, mijn volume is 81 dm3, mijn lengte is 1,89 m en mijn stem is een bariton’, dan weet je genoeg. Zulke grootheden noemen we scalars. ko ps ch oo l 3 Vectoren Vectorpijlen Er zijn grootheden die pas volledig bepaald zijn als je behalve hun grootte ook hun richting kent. Kracht en verplaatsing zijn hier voorbeelden van. Als je met 50 km/h uit Amsterdam vertrekt en er niet bij zegt in welke richting, ben je nauwelijks nog op te sporen. Een uur later kun je zowel in Haarlem als Hoorn zijn, of ergens anders op de rand van − of binnen in − een cirkel met een straal van 50 km. Zulke grootheden zijn dus pas bepaald als we zowel hun grootte als richting kennen. Je moet beide vermelden. Deze grootheden noemen we vectoren. Andere voorbeelden van vectoren zijn snelheid en versnelling, ook die wijzen ergens naartoe. Om aan te geven dat de richting belangrijk is, stelde Stevin voor deze grootheden weer te geven met een pijl. De lengte van de pijl zegt iets over de grootte, en de pijlpunt geeft de richting aan. Een kracht die twee keer zo groot is, geven we dan ook weer met een pijl die twee keer zo lang is. Om aan te geven dat de kracht een vector is schrijven we F . Als we F schrijven, hebben we het over de grootte van de vector F . Met het woord vaart bedoelen we de snelheid als scalar; de richting is dan niet belangrijk en we schrijven v. Het woord snelheid gebruiken we als we het vectorkarakter benadrukken, we schrijven dan v . (In het Engels wordt met ‘velocity’ de vectorsnelheid bedoeld en met ‘speed’ de scalarsnelheid.) Om de verschillende soorten vectoren uit elkaar te houden, gebruiken we in dit boek verschillende pijlpunten. Je kunt ook kleuren gebruiken.

[close]

p. 3

3.1 Scalars en vectoren Kracht is een vector Een kracht teken je als een pijl. Let daarbij op twee dingen:  De richting van de pijl geeft aan in welke richting de kracht werkt.  De lengte van de pijl geeft aan hoe groot de kracht is (de sterkte). Je moet daarbij wel aangeven met welke schaal je hebt gewerkt.  Een ridder Deze ridder heeft een massa van 14 gram. De zwaartekracht op hem is Fz = m∙g. Fz = 0,0149,8 = 0,14 N Op iedere voet werkt 0,07 N om hem op z’n plaats te houden. Deze vectoren geven we weer met pijlen van 2,8 cm en 1,4 cm, want 1,0 cm komt overeen met 0,05 N. Je geeft dat zo aan: 1,0 cm  ˆ 0,05 N  Twee honden De grote hond trekt met 200 N aan een lap stof. De kleine kan zich slechts met 150 N schrap zetten en komt in beweging. De somvector op de kleine hond is dus naar links gericht en heeft een grootte van 200 – 150 = 50 N. Vectoren optellen Als de honden met de krachten F1 en F2 aan de lap trekken, kun je die twee door één kracht vervangen: de somvector  F1,2 . Σ is de Griekse hoofdletter S, de sigma, die we gebruiken om een som aan te duiden − zie ook p. 38. Bij een schaal van 1,0 cm  ˆ 300 N zijn beide pijlen 2,0 cm lang. De somvector is hier 600 – 600 = 0 N tv oo r Nie ge b  Een koppige ezel Deze kinderen krijgen de koppige ezel niet vooruit, want hij zet zich goed schrap. De jongens trekken samen naar rechts met 600 N aan de ezel. rui Om twee vectoren F1 en F2 die niet op één lijn liggen, op te tellen, breng je ze eerst met hun staarten naar één punt. Vervolgens maak je een parallellogram met F1 en F2 als zijden en tenslotte trek je de diagonaal uit het startpunt. De somvector wordt ook wel de resultante genoemd. De pijltjes boven de symbolen geven aan dat je met vectoren te maken hebt en niet met gewone getallen. ko ps ch oo l 49

[close]

p. 4

50 Bepaal en bereken Je zult in dit hoofdstuk opdrachten tegenkomen met bepaal en met bereken. ‘Bepaal’ betekent dat je een grote figuur moet maken om daarin met een geodriehoek te meten. Vaak moet je dan ook nog een schaalfactor toepassen en aan het eind een berekening uitvoeren. Een schaalfactor wordt zo aangeduid: 1 cm  ˆ 10 N (1 cm staat voor 10 N). ‘Bereken’ betekent dat je naar rechthoekige driehoeken moet zoeken om daarin sinus, cosinus, tangens en/of Pythagoras toe te passen. Tip Rekenen in een rechthoekige driehoek Controleer de volgende beweringen: ge b Je hebt vectoren leren optellen. Omgekeerd kun je een vector ook ontbinden in twee componenten. Die componenten moeten samen hetzelfde resultaat leveren als de vector waarmee je begonnen bent. tv oo r Ontbinden van vectoren Nie rui ko ps ch oo l 3 Vectoren Bij dit zeilbootje staat de windkracht F loodrecht op het zeil. Als we willen weten hoe groot de kracht is die de boot voortstuwt, moet de component van F in voorwaartse richting (de x-richting) bepaald worden. Aanwijzingen voor ontbinden Het ontbinden van een vector in de richtingen x en y gaat als volgt:  Teken de x-as en de y-as in de figuur. Leg de oorsprong in de staart van de pijl.  Maak daarna een parallellogram door vanuit de pijlpunt hulplijnen te trekken, evenwijdig aan de x-as en de y-as.  De component van F in de x-richting noemen we Fx en de component van F in de y-richting noemen we Fy .  Teken de vectoren Fx en Fy en vergeet de pijlpunten niet.  Meet de lengtes van deze vectoren en bereken via de schaalfactor de waarden van Fx en Fy.  In deze figuur komen rechte hoeken voor. We kunnen dus ook sinus en cosinus gebruiken. Leg aan je buurman/-vrouw uit dat de hoek tussen Fy en F ook gelijk is aan α en bewijs dat hier geldt: Fx = F∙sin α en Fy = F∙cosα.

[close]

p. 5

3.1 Scalars en vectoren Voorbeeld Ontbinden van een trekkracht  Een roeiboot wordt door een motorjacht voortgetrokken met een kracht van 700 N. De sleepkabel maakt een hoek van 26° met de horizontaal. - Bereken de trekkracht op de roeiboot in horizontale richting. Voorbeeld De krachten op een slee  Een kind wordt op een slee in beweging gebracht en heeft daarbij een versnelling van 1,0 m/s2. Zijn massa is 50 kg en de wrijvingskracht met de sneeuw is 185 N. De trekkracht F is ontbonden in Fx en Fy . De kracht Fn die de sneeuw uitoefent op de slee wordt de normaalkracht genoemd. - Bereken alle onbekende krachten. Oplossing  Teken eerst een x-as en een y-as door de staart van de pijl. tv oo r  Bereken in de rechthoekige driehoek de waarde van Fx: F cos 26  x  700 Fx = 700∙cos26º  Fx = 6,3∙102 N Nie ge b  Maak een parallellogram door vanuit de punt de hulplijnen te trekken, evenwijdig aan de x-as en de y-as.  Teken Fx (vergeet de pijlpunt niet).  Zet de getallen in de figuur. rui Fy  0 Plan van aanpak We splitsen het probleem in een x-gedeelte en een y-gedeelte.  In de x-richting is de slee versneld, dus: ΣFx = m∙a = 50∙1 = 50 N naar rechts  De slee zakt niet weg en zweeft ook niet boven de sneeuw. Daaruit volgt:  Met die 37º kunnen we pas wat doen nadat we daar één van de drie vectoren gevonden hebben. Oplossing  Voor Fx geldt: Fx − 185 = 50  Fx = 235 N.  Voor de y-richting geldt: Fy + Fn = 490. Dat zijn twee onbekenden, we moeten dus eerst met die 37º aan de slag. F Ga na: tan 37  y en Fx2 + Fy2 = F 2 dus Fx Fy = 235∙tan37º = 177 N  Fn = 313 N Voor de trekkracht F vinden we met Pythagoras de waarde 294 N (ga dat zelf na). ko ps ch oo l 51

[close]

p. 6

52 Opgaven 4.1 0 Dit is weer opgave nul a Zet je rekenmachine op ‘DEGREE’ en reken hoek α uit als sin α = 0,33. b Bereken α als tan α = 0,75. c Bereken F als is gegeven: 9 + F 2 = 25 d Bereken z, α, β, x en y: 1 Je trekt met de kracht F aan deze digitale krachtmeter. - Vul in: 1 cm  ˆ ... N. 2 a b c 3 tv oo r Teken de volgende krachten op deze ploeg: trekkracht (neem: 1,0 cm  ˆ 500 N); de wrijvingskracht; de resultante. ge b Bij touwtrekken wint de ploeg die zich het beste schrap zet. Op dit team werkt een trekkracht naar links van 2,6 kN. Ze verliezen terrein want hun wrijvingskracht met de vloer is slechts 2,0 kN. Er wordt aan je getrokken met 50 N naar het noorden en 100 N naar het zuidoosten. - Bepaal door constructie grootte en richting van de resultante. (1 cm  ˆ 10 N) Nie rui 6 ko ps ch oo l 3 Vectoren 4 De kracht F is ontbonden langs de x-as en de y-as. a Bereken de componenten Fx en Fy als: F = 35 N en α = 56º b Bereken Fy en α als: F = 47 N en Fx = 32 N 5 Je voelt een kracht van 50 N die naar het zuidoosten wijst. a Ontbind deze kracht in een kracht naar het zuiden en een kracht naar het oosten. b Bepaal en bereken deze componenten. Deze arreslee van 80 kg heeft een constante snelheid van 20 km/h. De rendieren trekken er aan met een kracht van 700 N onder een hoek van 20°. - Bereken: a1 Fx waarmee de rendieren trekken; a2 de wrijvingskracht Fw; b Fy waarmee de rendieren de slee optillen; c1 de zwaartekracht Fz; c2 de normaalkracht Fn waarmee de sneeuw tegen de slee duwt.

[close]

p. 7

3.2 Krachten in evenwicht 3.2 Krachten in evenwicht Als er van verschillende kanten aan een voorwerp wordt getrokken zonder dat het in beweging komt, spreken we van evenwicht. Evenwicht Voorbeeld Een chimpansee Bij evenwicht geldt  F  0 want de som van F1 en F2 wordt gecompenseerd door F3 .  Een chimpansee van 600 N hangt aan een liaan. Er werken dan drie krachten op hem: de zwaartekracht Fz en twee spankrachten F1 en F2 . - Bepaal F1 en F2 met een constructie. Laat twee krachtpatsers een touw horizontaal spannen. Als het touw maar lang genoeg is, kost het jou weinig moeite daar een knik in te maken. tv oo r In het touw werken de krachten F1 en F2 . De som  F1,2 is veel kleiner dan F1 of F2 zelf en alleen die som moet je compenseren met je vinger. Als dat lukt is er evenwicht. Hoe langer het touw is, hoe meer de spankrachten horizontaal lopen en hoe kleiner de somkracht wordt. Nie ge b rui Proef 1 Wie niet sterk is ... Plan van aanpak We laten chimpansee en bomen weg en bekijken in een kale figuur alleen de dingen die natuurkundig interessant zijn. Het gaat om het knooppunt P. Daar werken de drie krachten die opgeteld nul opleveren. Teken eerst Fz . Maak die vector 60 mm lang. (1 cm  ˆ 100 N) Oplossing  Teken in P eerst een verticale kracht van 600 N omhoog tot aan het punt Q. Deze kracht moet Fz compenseren.  Trek vanuit Q twee hulplijnen evenwijdig aan de lianen. Zo vind je F1 en F2 . ko ps ch oo l 53 Als je deze constructie nauwkeurig uitvoert, zul je vinden: F1 = 5,3∙102 N en F2 = 2,1∙102 N.

[close]

p. 8

54 Tip Touw en vector De lengtes van de touwen hebben niets te maken met de lengtes van de vectoren in die touwen. Dat zie je in het voorbeeld van de aap aan de liaan. Links is F1 langer dan de liaan en rechts is F2 korter. Voorbeeld Nog een aap  Een speelgoedaapje hangt aan één krachtmeter die 2,0 N aanwijst. ge b rui Vervolgens spannen we een lange draad tussen twee van die krachtmeters en hangen het aapje in het midden. a Beredeneer dat de krachtmeters nu méér dan 1,0 N aanwijzen (de helft van 2,0 N). b Bereken wat de meters aanwijzen als de hoek tussen de draden 160º is. Nie tv oo r ko ps ch oo l 3 Vectoren Oplossing a Dit probleem lijkt op dat van de krachtpatsers in Proef 1. Er is symmetrie want de aap hangt in het midden. De spankrachten F1 en F2 zijn dus gelijk en maken een hoek van 80º met de verticaal. De somvector  F1,2 van de spankrachten moet de zwaartekracht op de aap compenseren.  F1,2 wijst dus omhoog en heeft een waarde van 2,0 N. Vanuit de top van  F1,2 maak je het parallellogram af met F1 en F2 . Als je de tweede diagonaal in het parallellogram tekent, zie je meteen dat F1 en F2 groter zijn dan 1,0 N. b In de gearceerde rechthoekige driehoek geldt: cos80  1, 0 dus F2  F2 cos 80 1, 0  5,8 N Beide krachtmeters wijzen dus 5,8 N aan en dat terwijl de aap maar 2,0 N weegt! Uitleg De zwevende bol De bol blijft in een luchtstroom hangen, want onder de bol staat een blazende stofzuiger. Als de liftkracht groot genoeg is, wordt de zwaartekracht gecompenseerd en blijft de bol zweven.

[close]

p. 9

3.2 Krachten in evenwicht Proef 2 Een gewicht opzij halen 1 Hang een gewicht met onbekende massa M aan een touw en trek het horizontaal opzij via een katrol met een gewichtje m. Als m bekend is, kunnen we M berekenen door α te meten met een gradenboog. In het knooppunt K werken drie krachten. Bedenk dat touwtjes alleen kunnen trekken. De richtingen van de touwtjes zijn dus ook de richtingen van de vectoren. Geef Fz op M een willekeurige lengte. Via het parallellogram vind je Fz op m. Klap de diagonaal om en teken Fs . Kies één van de driehoeken. Omdat de figuur een rechte hoek bevat kunnen we gebruik maken van tan α: m g m tan    M  tan   m  M  M g tan  2 Je kunt er ook voor zorgen dat de touwtjes loodrecht op elkaar staan. Kies weer één van de driehoeken en maak nu gebruik van sin β. Nie tv oo r ge b rui sin   3 Als er geen rechte hoeken aanwezig zijn, kunnen we sinus, cosinus, tangens en/of Pythagoras niet gebruiken om te rekenen. Wel kunnen we nu de hoeken γ en δ meten en M bepalen. Maak een grote figuur! ko ps ch oo l 55 m g M g  M  sin   m  M  m sin 

[close]

p. 10

56 Evenwicht op een helling Als een boek van 30,0 N op een helling ligt, is het handig om de zwaartekracht Fz te ontbinden in een x-richting langs het vlak en een y-richting er loodrecht op. Ga na dat de hoek van 25º drie keer in de figuur voorkomt en dat voor de krachten geldt: Fx = 30∙sin25º = 12,7 N Fy = 30∙cos25º = 27,2 N Een karretje op een helling Nie tv oo r ge b We bekijken een wrijvingsloos karretje met massa m dat we met een krachtmeter op een helling in rust houden. Er zijn hier drie krachten in het spel: de zwaartekracht Fz , de spankracht Fs en de kracht Fn die het vlak uitoefent. Deze laatste kracht wordt de normaalkracht genoemd. Met ‘normaal’ wordt in wis- en natuurkunde loodrecht bedoeld. rui ko ps ch oo l 3 Vectoren Versneld de helling af Omdat er evenwicht is, moet de som van deze krachten nul zijn: Fz  Fn  Fs  0 Kijk je naar de componenten van Fz dan geldt: Fx   Fs en Fy   Fn Ga na dat voor Fs die door de krachtmeter wordt gemeten, geldt: Fs = Fz ∙sin α = mg∙sinα Als de kracht Fs ontbreekt, is er geen evenwicht meer, want Fx wordt niet meer gecompenseerd. Jekunt ook zeggen: de twee krachten Fz en Fn leveren dan samen de kracht Fx langs het vlak omlaag. Het karretje krijgt dus een versnelling a: mg  sin   g  sin  x a F m  m Als er ook nog een weerstandskracht Fw is, gaat het er zo uitzien: a Fx  Fw m

[close]

p. 11

3.2 Krachten in evenwicht Opgaven 3.2 7 Je hangt met je 700 N aan een kabel. 9 Je spant een boog. De twee delen van de pees aan weerskanten maken een hoek van 120º met elkaar. Aan weerskanten heerst een spankracht van 130 N. a Maak een schets van de situatie. b Bereken de spierkracht. Een draadje oefent tijdens gebitscorrectie een kracht van 0,50 N uit op een tand. - Bepaal de spankracht in de draad. 10 ►Gevraagd: construeer F1 en F2 en ook  F1,2 . Iemand maakt daar dit van: 11 a Leg uit dat dat niet klopt en doe het beter. b Bepaal de grootte van F1 en F2 . 8 De kabine van een kabelbaan weegt 2,0∙104 N. a Beredeneer dat F1 > F2. b Tot welke waarde nadert F1 als je de hoek van 70º steeds kleiner zou maken? c Construeer F1 en F2 . Kies zelf een schaal. d Bepaal F1 en F2. Nie tv oo r ge b rui 12 Een gewicht van 90 N hangt symmetrisch aan twee touwen. De hoek tussen de touwen is 56º. a Teken de situatie op schaal en bepaal (dus door constructie!) de spankrachten. b Bereken de spankrachten. ►Het touw knapt bij 70 N. •c Hoe groot mag je de hoek tussen de touwen nog net maken? Een boei van 2,0 kN ondervindt een opwaartse kracht van 4,4 kN. Hij wordt op z’n plaats gehouden door twee kabels. - Bereken of bepaal de kracht in een kabel. ko ps ch oo l 57

[close]

p. 12

58 13 a b c d e 14 Als deze bol in de wind hangt, wijkt het touw 40º uit omdat de wind een horizontale kracht uitoefent. Bereken de zwaartekracht. Teken in de nieuwe evenwichtssituatie de drie krachtvectoren die op de bol werken; maak de zwaartekracht 40 mm lang. Bereken de kracht van de wind. Bereken de spankracht in het touw. Hoeveel cm is de bol opzij gegaan? Een kleuter van 17 kg zit op een schommel van 2,50 m. Je trekt haar 1,00 m opzij met een horizontale kracht. ge b Nie tv oo r a Bereken α. b Bereken met Pythagoras hoever zij omhoog is gegaan. c Bereken de zwaartekracht. d Construeer de drie krachten die op de kleuter werken door gebruik te maken van de berekende hoek α. e Bepaal (meet in je constructietekening) de waarde van de kracht waarmee jij trekt. f Bereken die kracht. rui ko ps ch oo l 3 Vectoren 15 16 Tijdens de hellingproef slaat de motor af. De handrem houdt met de wrijvingskracht Fw de auto van 9,0 kN op zijn plaats. Door het vlak wordt met de kracht Fn tegen de auto geduwd. a Neem de figuur over en geef Fz een lengte van 45 mm. b Construeer de vectoren Fn en Fw . c Bereken Fw en Fn. Een autootje met Fz = 1,00 N staat op een helling zonder wrijving. a Neem de figuur over en construeer hoe Fz ontbonden wordt in Fx langs het vlak en Fy daar loodrecht op (5 cm  ˆ 1 N). b Bereken Fx en Fy. c Bereken de versnelling die het autootje op deze helling krijgt.

[close]

p. 13

Opgaven hoofdstuk 3 Opgaven hoofdstuk 3 17 De Egyptenaren gebruikten een touw met twaalf gelijk verdeelde knopen om piramides met rechte hoeken te bouwen. - Toon aan dat dit een rechthoekige driehoek is. 20 Als je een waslijn te strak spant, kan hij knappen als je er wasgoed aan hangt. a Leg dat uit. ►Met een bijl probeer je een houtblok te kloven. De hoek tussen de zijkanten van de bijl is 7º. b Maak met een tekening duidelijk dat de krachten waarmee de twee helften uit elkaar worden gedrukt, veel groter zijn dan de kracht waarmee jij de bijl het hout in slaat. 18 Een tuinman duwt met 300 N op zijn maaimachine onder een hoek van 43º met de grond. 19 Een auto in de modder wordt met een touw aan een boom bevestigd. Jij duwt het midden 1,0 m opzij met 500 N. - Bereken de kracht op de auto. tv oo r Nie ge b a Bepaal de schaalfactor van de zwarte pijl. (1,0 cm  ˆ .... N) b Teken een x en een y-as in de staart van de pijl. c Construeer Fx en Fy . d Bepaal Fx en Fy. e Bereken Fx en Fy. rui 21 a Bepaal of bereken hoever het knooppunt K omhoog is gegaan. b Construeer alle krachten op K c Bereken de spankracht in het scheve touw. d Bereken hoeveel G weegt. ko ps ch oo l 59 Een gewicht G hangt aan een touw; AK = 1,00 m.We trekken het opzij met een gewicht van 0,50 N. De uitwijkingshoek wordt 35º.

[close]

p. 14

60 22 Bij deze speelgoed kiepwagen schuift het zand (500 g) er nog net niet uit. a Meet de hoek die de laadbak maakt met Fz . b Bereken de x-component van Fz op het zand. 23 ge b rui Op een vliegtuig in glijvlucht werken drie krachten: de liftkracht FL ,de weerstandskracht Fd (van het Engelse ‘drag’) en de zwaartekracht Fz . Van deze krachten zijn de richtingen gegeven, FL  Fd  Fz  0 met FL  Fd . Nie tv oo r a Construeer Fz , FL en Fd in een parallellogram; geef Fz een lengte van 5,0 cm. ►Met de ‘finesse’ f wordt bij vliegtuigen aangegeven hoeveel meter er verder gevlogen kan worden per meter dalen. Er geldt: F f L . Fd b Bepaal de finesse van dit vliegtuig. ►Op 10 km hoogte vallen de motoren uit en begint de glijvlucht. c Bereken op welke afstand het vliegveld maximaal mag liggen om nog zonder ongelukken te kunnen landen. ko ps ch oo l 3 Vectoren 24 a b c d e Een vliegtuig vliegt horizontaal met constante snelheid en ondervindt een ‘liftkracht’ FL en een weerstandskracht Fd . Alle krachten grijpen aan in het zwaartepunt Z. Vliegt het vliegtuig naar links of naar rechts? Neem de figuur over en teken de resultante. ►De krachten FL en Fd kunnen nooit de enige krachten zijn op het vliegtuig, want de resultante van alle krachten moet nul zijn. Leg uit waarom dat zo is. ►De massa van het vliegtuig is 395 ton. Bereken de liftkracht FL . Teken en bepaal de grootte van de stuwkracht Ft van de motor (de ‘thrust’). Een hagedis die 125 miljoen jaar geleden leefde, kon zijn ribben uitklappen om een zweefvlucht te maken. 25 fossiel reconstructie De hagedis (150 gram) zweefde met een constante vaart van 3,5 m/s naar een boom die 15 m verderop stond. a Bereken hoe lang die vlucht duurde. ►Door de luchtweerstand Fd kon deze zweefvlucht nooit perfect horizontaal zijn. b Verklaar. ►Loodrecht op de vliezen tussen de ribben werkten de liftkrachten FL . Verwaarloos Fd . c Bepaal de waarde van één van die liftkrachten.

[close]

Comments

no comments yet