Stevin 2016 - havo - 01 Bewegen

 

Embed or link this publication

Description

Stevin 2016 - havo - Bewegen

Popular Pages


p. 1

1 Bewegen Als de schijf ronddraait zie je door de gleufjes in de spiegel een paard galopperen. Hoe komt dat? Nie tv oo r ge b rui ko ps ch oo l

[close]

p. 2

10 1.1 Meten van tijden en afstanden Beweging is veel makkelijker te herkennen dan te beschrijven. Alles beweegt. Auto’s, sterren, atomen en elektronen: ze bewegen allemaal. Zelfs een geparkeerde auto beweegt, want de aarde draait met ongeveer 30 km/s rond de zon. Dit lijkt flauw, maar is het zeker niet. Newton maakte zich er in zijn boek Principia (1686) zo vanaf: ‘I do not define time, space, place and motion, since they are well known to all.’ Beweging is relatief Hoe nauwkeurig is een (tijd)meting? Als je met een stopwatch tien keer de periode T (trillingstijd, dus heen en terug!) van een slinger van 43 cm lengte meet, zul je telkens wat anders vinden. Probeer het maar eens. Dit is het gevolg van je reactietijd. Zie ook p.213 in hoofdstuk 12. Nie tv oo r Als we de beweging van een voorwerp beschrijven, dan doen we dat altijd ten opzichte van iets anders. Als de spaceshuttle met 8 km/s beweegt, dan bedoelen we dat natuurlijk ten opzichte van de aarde. Als je fietst met 15 km/h dan is dat ten opzichte van de grond. Zonder extra toelichting is de beweging van de dingen om ons heen altijd ten opzichte van het oppervlak van de aarde. (Lees) Het heeft heel lang geduurd voordat men op het idee kwam om beweging te omschrijven met behulp van ‘tempo’. Met tempo geef je aan hoe snel iets gebeurt of hoeveel er is veranderd in een bepaalde tijd. Het tempo waarmee een auto 100 m aflegt, geeft aan hoe snel zijn beweging is. Als de auto op een snelweg 4 s nodig heeft om naar het volgende hectometerpaaltje te rijden, dan is zijn snelheid 25 m/s (= 90 km/h). ge b rui Bij bewegingen spelen tijd en plaats een rol. Natuurkundigen werken met tijden tussen 10−15 seconde en 10+10 jaar en met afstanden tussen 10−12 mm en 10+24 km. In deze notatie wordt 0,000 001 geschreven als 1∙10−6 en 1 000 000 als 1∙10+6. Voorlopig doen wij proeven met tijden tussen 0,001 s (1 milliseconde, afgekort met 1 ms) en een paar uur en met afstanden tussen 1 mm en een paar honderd meter. ko ps ch oo l 1 Bewegen Proef 1 Reactietijden meten In deze proef is de rode lamp het remlicht van een auto die voor je rijdt. Zodra die lamp gaat branden, maak jij een noodstop. Leerling 1 zet met schakelaar S1 de rode lamp aan. Zodra het licht op de lichtsensor valt, start de computer de tijdmeting. Leerling 2 probeert met schakelaar S2 (liefst via een ‘rempedaal’) de lamp uit te zetten. Op het beeldscherm van de computer zie je dan zo’n AAN/UIT-grafiek, waarin je via de optie ‘Lees uit’ de reactietijd kunt bepalen: in dit geval ongeveer 175 ms.

[close]

p. 3

1.1 Meten van tijden en afstanden Elektronische klokken Afstanden meten met licht en geluid Met de afgebeelde elektronische klok kunnen we tijden meten vanaf 0,000 01 s (1·10−5 s). Bijvoorbeeld hoelang het contact duurt tussen een hamer en een metalen kogel aan een metaaldraad die je wegslaat. Je weet natuurlijk hoe je afstanden meet met behulp van een liniaal of een meetlint. Maar het kan ook met licht en geluid. Licht heeft een snelheid van 299 792 458 m/s (zie c in tabel 7A van Binas). Als je een klok hebt die zéér korte tijden kan meten, kun je afstanden bepalen. Met een laserpuls wordt zo de afstand tot de maan tot op een paar cm nauwkeurig gemeten. Al in 1969 hebben de eerste astronauten een speciale spiegel op de maan achtergelaten die de eigenschap heeft dat hij licht precies terugstuurt naar de plaats waar het uitgezonden is. Net als de reflector op een fiets. Snelheden meten Nadat dit vaantje van 40 mm de lichtbundel gepasseerd is, heeft de sensor 156 ms in het donker gestaan. Hiermee is de snelheid van de kar te berekenen. De twee aanduidingen milli (10−3) vallen tegen elkaar weg: 3 v  40 mm  40  10 3m  40 m  0, 26 m/s 156 ms 156  10 s 156 s tv oo r Nie ge b Het starten en stoppen van zo’n klok kan ook gedaan worden met fotocellen. Zo’n lichtsensor geeft een signaal als de hoeveelheid licht verandert. Er zijn twee mogelijkheden:  We gebruiken twee cellen, één voor starten en één voor stoppen.  We gebruiken één cel, zowel voor het starten als voor het stoppen. In dat geval loopt de klok zolang de sensor in het donker staat. Zie het voorbeeld hierna. rui Als voor een laserpuls wordt gemeten dat deze in 2,564 s naar de maan heen en weer is geweest, dan valt daaruit de afstand x tot de maan te berekenen met behulp van 2x = snelheid  tijd, dus: x = ½·299 792 458·2,564 = 3,843·108 m Het antwoord is afgerond en genoteerd in ‘wetenschappelijke notatie’. Dat betekent dat de afstand tot op ongeveer 100 km nauwkeurig gemeten is. Wil je de afstand tot op een paar cm weten, dan moet je een klok gebruiken die nog veel nauwkeuriger korte tijden kan meten. Sonar is onhoorbaar geluid. Vissers bepalen hiermee de afstand tot een school haring. Hoe groter de afstand, hoe langer het duurt voordat het geluidssignaal terug is. Hun apparatuur is ingesteld op de snelheid van geluid in zeewater (volgens tabel 15A van Binas is die 1,51·103 m/s). Dolfijnen en vleermuizen gebruiken ook sonar om hun prooi te vinden. ko ps ch oo l 11

[close]

p. 4

12 De stroboscoop De stroboscoop is een flitslamp waarmee je snelle bewegingen die zich herhalen, kunt ‘bevriezen’. Zulke bewegingen heten periodieke bewegingen. Het aantal flitsen per seconde kun je instellen tussen 1 per seconde en een paar honderd per seconde. De flitsen zelf duren korter dan 0,001 s. Het aantal flitsen per seconde noemen we de frequentie f van de stroboscoop. De eenheid van frequentie is hertz. Als er 20 flitsen per seconde worden gegeven, zeggen we dat de frequentie 20 hertz is, afgekort f = 20 Hz. Bij een draaiende schijf spreekt men in plaats van frequentie vaak over toerental. De tijd tussen twee flitsen heet de periode T. Bij 20 flitsen per seconde is de tijd tussen twee 1 flitsen 20 s. Als een bus om het kwartier komt, is 1 de periode 4 uur en de frequentie 4 keer per uur. T en f zijn dus elkaars omgekeerde. De frequentie f van een stroboscoop is het aantal flitsen per seconde. De eenheid is hertz (Hz). De periode T is de tijd tussen twee flitsen. De eenheid is seconde (s). T  1 en dus ook f  1 f T Proef 2 Frequenties bepalen Nie tv oo r Bestudeer met de stroboscoop een draaiende schijf met een stip. Als je de stroboscoop goed hebt afgesteld, lijkt het net of de stip stilstaat. Begin met veel flitsen per seconde en laat de flitsfrequentie afnemen. Als je de stip voor het eerst stil ziet staan, moet je de frequentie aflezen. Zoek de andere frequenties waarbij de stip ook stilstaat en zoek de frequenties waarbij je hem dubbel ziet. Ga na hoe je de stip de ‘verkeerde kant’ op kunt laten gaan. ge b rui ko ps ch oo l 1 Bewegen Proef 3 Meervoudige beelden Uitleg Het galopperende paard In een trilapparaat is een staafje messing ingeklemd. De triller heeft een frequentie van 36 Hz. Als we de stroboscoop laten flitsen met 72 Hz, zie je dit: De stroboscoop flitste hier twee keer gedurende één trilling van het staafje. Zou je met 108 Hz (= 3·36) flitsen, dan zag je drie standen tegelijkertijd. Bij flitsen met 36 Hz zie je het staafje steeds in één stand, net als bij 18 Hz, 12 Hz, 9 Hz, ... Bij 18 Hz passeert het staafje één keer zonder dat je flitst; pas bij de tweede keer wordt er weer een flits gegeven. Bij 12 Hz is dat pas bij de derde keer ... De hoogste stroboscoopfrequentie waarbij je een triller enkelvoudig ziet, is de frequentie waarmee de triller beweegt. Net als bij een tekenfilm zie je in de spiegel snel achter elkaar de benen van het paard in een andere stand staan. Dit stroboscopische effect geeft de indruk dat het paard beweegt. Als je door de draaiende schijf naar een druppelende kraan kijkt, kun je de druppels zelfs omhoog zien vallen! Op de site kun je een werkblad downloaden als je deze ‘whirling watcher’ zelf wilt maken.

[close]

p. 5

1.1 Meten van tijden en afstanden Opgaven 1.1 Spelregels bij antwoorden  Als je een goed antwoord geeft (bijvoorbeeld 1 a Hoeveel % is 3 van 8?     0 7,5 b Bereken z als: 38, 4  1 6,3   z 1 c Los x op:  1  1 en 2 x 2  4  10 5 x 6, 2 4, 7 3  10 1 d Herschrijf: f   T  ?? T e Herschrijf: x = v∙t  v = ?? ►Gegeven is de formule x = v∙t f Bereken v als x = 10 m en t = 33 s. g Bereken t als v = 2,5 cm/s en x = 7,0 cm. h Bereken uit je hoofd en daarna met je rekenmachine: 2,5·1034·102 5 3, 5 i Eveneens: 6  102 en 3 tv oo r 2  10 10 Nie ge b Dit is opgave nul, want natuurkunde is geen wiskunde. Maar als je een paar basisvaardigheden niet beheerst, zul je in dit hoofdstuk steeds vastlopen. Ga met de volgende opgaven na of je je wiskundige kennis moet bijspijkeren. y a Bereken y als: 45  rui 4 5 6 7 5 m3) zonder toe te lichten hoe je aan dat antwoord komt, dan krijg je bijna geen of zelfs helemaal geen punten. Als er 5 m3 uit moet komen en je geeft na een goede toelichting plus een rekenfout 4 m3 als antwoord, dan krijg je bijna alle punten. Achter elk getal als antwoord hoort een eenheid, zoals m, cm3, m/s of km/h. Neem niet alle cijfers uit de display van je rekenmachine over maar durf op het eind af te ronden. Als je 2,75 m aflegt in 0,54 s dan schrijf je niet v = 5,092 592 59 3 m/s maar rond je af tot 5,1 m/s. Zie voor de precieze afrondingsregels p. 212. Een rekenmachine gebruikt altijd de Amerikaanse decimale punt. Jij geeft je antwoorden met de Nederlandse decimale komma. ►Stel dat je voor de geluidssnelheid 338 m/s hebt gemeten en in Binas staat dat het goede antwoord 343 m/s is. b Bereken hoeveel % je er naast zat. 2 a Zoek in Binas de betekenis op van: kilo, milli, mega en micro. b Schrijf 36 238 km als 3,··· ·10? m. c Schrijf 0,028 mm als 2,··· ·10? m. d Bereken het aantal seconden in een jaar en gebruik de wetenschappelijke notatie. 3 Op een draaiende schijf staat één stip. We belichten met 42 Hz en zien twee stippen stilstaan. a Wat is het toerental (in Hz) van de schijf? b Wat zie je als we flitsen met 20 Hz? Een auto rijdt met constante snelheid op de snelweg en passeert iedere 3,6 s een hectometerpaaltje. a Hoeveel paaltjes passeert de auto in één uur? b Hoeveel km heeft de auto in een uur afgelegd? c Welke snelheid geeft de snelheidsmeter in de auto dus aan? Reken om: a 18 km/h en 50 km/h naar m/s. b 15 m/s naar km/h. Op de glijder van een luchtkussenbaan staat een stuk karton van 25 mm breed dat een lichtstraal kan onderbreken. Zolang dat gebeurt, loopt een klok. a Hoe groot is de snelheid als de klok 42 ms aanwijst? b Wat wijst de klok aan bij 2,2 m/s? Op 170 m afstand zie je een heiblok vallen. Pas na 0,5 s hoor je de klap. a Waarom zit er tijd tussen zien en horen? b Bereken de snelheid van het geluid. ►Tijdens een onweer zie je een flits en 9 s later hoor je de donder. c Bereken je afstand tot de ontlading. ko ps ch oo l 13

[close]

p. 6

14 1.2 Grafieken en formules; snelheid We beginnen deze paragraaf met bewegingen waarbij de snelheid niet verandert. Proef 4 Eenparig bewegen Een glazen buis is helemaal gevuld met water op een kleine luchtbel na. Leg deze buis langs een liniaal en zet hem een beetje schuin zodat de luchtbel naar boven gaat. Met een stopwatch neem je steeds na 10 cm de tijd op. Het blijkt dan dat de luchtbel voor iedere 10 cm dezelfde tijd nodig heeft − bijvoorbeeld 5,4 s. Zo’n beweging langs een rechte lijn waarbij de luchtbel steeds even hard gaat, heet een eenparige rechtlijnige beweging. De snelheid bij eenparig bewegen Als je bij deze beweging de afstand van 10 cm deelt door de bijbehorende tijd van 5,4 s, komt er 1,85 cm/s uit. Maar als je een andere afstand zou meten, bijvoorbeeld 17 cm met een bijbehorende tijd van 9,2 s, dan zou de deling ook 1,85 cm/s opleveren. Deze breuk van 1,85 cm/s noemen we de snelheid van de luchtbel. We gebruiken hiervoor de letter v van velocitas (Latijn voor snelheid). Zo’n afspraak wordt een definitie genoemd. snelheid = ge b snelheid De standaardeenheid van snelheid is m/s. tv oo r verplaatsing benodigde tijd Nie rui ko ps ch oo l 1 Bewegen Grafieken en formules In het algemeen hangen plaats x en snelheid v van de tijd t af, het zijn (wiskundige) functies van de tijd. We kunnen de beweging van de luchtbel op twee manieren in een grafiek weergeven. Ten eerste kunnen we de plaats uitzetten tegen de tijd. Je krijgt dan een schuine rechte lijn door de oorsprong. Ten tweede kunnen we de snelheid uitzetten tegen de tijd. Dan vind je een horizontale rechte lijn omdat de snelheid van de luchtbel een constante waarde heeft. Uit beide grafieken blijkt dat de snelheid van de luchtbel 1,85 cm/s was. Zelfs op t = 0 s! De x(t)-grafiek van een eenparige beweging is een schuine rechte lijn met de formule: x = v·t De v(t)-grafiek van een eenparige beweging is een horizontale rechte lijn met de formule: v = constant

[close]

p. 7

1.2 Grafieken en formules; snelheid Tekenen van grafieken Voorbeeld x(t)-grafieken tekenen Let bij het tekenen van grafieken op het volgende:  Zet de tijd op de horizontale as uit.  Geef oorsprong van plaats en tijd aan.  Zet bij de assen wat je erop uitzet.  Zet tussen haakjes de eenheden erbij.  Geef de assen een schaalverdeling. Anders dan in de wiskunde hoef je de assen niet op dezelfde manier in te delen.  Gebruik roosterpapier met ruitjes van 1 mm of 0,5 cm.  Als de grafiek een rechte lijn lijkt, moet je een (doorzichtige) liniaal gebruiken. Zorg ervoor dat er ongeveer evenveel punten boven als onder die rechte lijn liggen. Negatieve snelheden; vaart  Speelgoedauto I rijdt eenparig met 3,5 m/s en start bij x = 0 m. a Bereken de afstand die in 4,0 s wordt afgelegd en teken de x(t)-grafiek van deze auto. ►Autootje II begint 16 m verderop en rijdt in tegenovergestelde richting met −2,0 m/s. b Bereken waar deze auto zich na 4,0 s bevindt en teken ook zijn x(t)-grafiek. Oplossing a Na 4,0 s is dan 14 m afgelegd: x = v ∙ t = 3,5 m/s  4,0 s = 14 m. De x(t)-grafiek van auto I gaat dus door (0,0) en (4,14). b De x van auto II na 4,0 s bereken je zo: x = 16 – 24 = 16 – 8 = 8,0 m. De x(t)-grafiek van II gaat dus door (0,16) en (4,8). De x(t)-grafieken en de v(t)-grafieken van de twee auto’s zien er bij deze keuze zo uit: (15 min = 1 uur) 4 Als we niet geïnteresseerd zijn in de richting van een voorwerp gebruiken we vaak het woord vaart in plaats van snelheid. Nie tv oo r ge b rui Tip m/s en km/h Stel dat op de weg Amsterdam-Utrecht (afstand 30 km) auto I met 100 km/h naar Utrecht rijdt en auto II met 80 km/h naar Amsterdam, dan schrijven we: vI = +100 km/h en vII = −80 km/h Andersom mag ook. Uit + en − blijkt alleen dat de twee auto’s verschillende kanten uit rijden. Het schuine streepje / in 72 km/h spreek je uit als ‘per’ en het betekent ‘gedeeld door’. Als je letterlijk 72 km (= 72000 m) deelt door 1 uur (= 3600 s) dan krijg je: 72 km/h = 72000 m = 72 m = 20 m/s 3600 s 3,6 s Om km/h om te rekenen naar m/s moet je dus delen door 3,6. Om m/s om te rekenen naar km/h moet je vermenigvuldigen met 3,6. ko ps ch oo l 15

[close]

p. 8

16 Voorbeeld Een willekeurige x(t)-grafiek lezen  We kijken nu naar bewegingen waarbij de snelheid niet constant is. Met de computer is de beweging van een hand langs een constantaandraad AB geregistreerd. Links is x = −1 m en rechts is x = +2 m. tv oo r a Wanneer bewoog de hand het snelst? b Ging de hand toen naar A of naar B? c Op welke tijdstippen keerde de beweging van richting om en was de snelheid dus even nul? d In welke tijdvakken veranderde de snelheid niet? e Noem een tijdstip waarop de snelheid negatief was. f Leg uit dat rond t = 1,5 s de snelheid toenam. g Leg uit dat rond t = 3,5 s de snelheid afnam. h In welk tijdvak bewoog de hand niet? i Bepaal de snelheden bij de rechte stukken rondom t = 3,0 s en t = 5,0 s. j Leg uit dat vlak voor t = 6,5 s de vaart afnam maar de snelheid toenam. ge b rui Je leest hier af dat x tussen t = 2,7 s en t = 3,3 s toeneemt van 0,66 m tot 1,14 m. Dat betekent: v(3)  1,14  0, 66  0, 48  0,80 m/s 3, 3  2, 7 0, 60 Beantwoord de volgende vragen en kijk niet al te snel naar de antwoorden die hiernaast staan. Help je buurvrouw/-man. Nie ko ps ch oo l 1 Bewegen Oplossing a De snelheid was het grootst tussen t = 2,0 s en t = 3,5 s, want daar loopt de grafiek het steilst. b De hand ging naar B, want de x neemt toe. c Op de tijdstippen t = 4,1 s en t = 6,5 s keerde de bewegingsrichting om. d Als de helling constant is, verandert de snelheid niet. Dat komt vijf keer voor. e Op t = 5 s was v negatief want x neemt af. f Rond t = 1,5 s nam de snelheid toe, want de grafiek gaat daar steiler lopen. g Rond t = 3,5 s nam de snelheid af, want de grafiek gaat daar minder steil lopen. h Stilstand betekent dat de x niet verandert, dus dat de x(t)-grafiek een horizontale rechte lijn is. Dat is zo vanaf t = 9,2 s. i Van het stuk rondom t = 3,0 s kun je met Coach de grafiek ‘opblazen’. Na zo’n uitvergroting lijkt de grafiek recht. Bij t = 5,0 s vind je op dezelfde manier: v(5)  1,12  1, 36  0, 24  0, 30 m/s 5, 4  4, 6 0,80 j De snelheid verandert daar van −0,30 m/s in 0 m/s. De vaart wordt dus kleiner, maar de snelheid groter.

[close]

p. 9

1.2 Grafieken en formules; snelheid Snelheden bepalen met raaklijnen We kunnen de snelheid v bepalen door een raaklijn te trekken. Stel dat bij de x(t)-grafiek hieronder de snelheid na t = 1,5 s niet zou veranderen, dan zou de grafiek verder lopen volgens de raaklijn. Als we met Coach de raaklijn trekken en de helling van die raaklijn laten berekenen, vinden we voor dat tijdstip: v = 0,45 m/s. Bij t = 1,5 s is dat gelukt, maar bij t = 3,5 s om twee redenen niet: hij is te kort en niet steil genoeg want rechts is de ‘kier’ te klein. De Δ-notatie ge b rui   v (t )    x   t  raaklijn Je kunt de raaklijn bij t = 1,5 s ook zo maken: In de volgende regels is Δ geen vermenigvuldigingsgetal, maar een afkorting voor differentie = verschil Δt = t2 − t1 = nieuwe t − oude t en Δx = x2 − x1 = nieuwe x − oude x Deze Δ-notatie passen we toe bij begin- en eindpunt van de raaklijn bij t = 1,5 s: Δt = t2 − t1 = 6,5 − 0 = 6,5 s Δx = x2 − x1 = 2,0 − (−0,9) = 2,9 m Je vindt dan voor de snelheid op t = 1,5 s: v   x  2,9  0, 45 m/s  t 6,5 De snelheid op een tijdstip t De snelheid op een tijdstip bepaal je door daar de raaklijn te trekken. Er geldt: snelheid op tijdstip t Is de raaklijn goed getrokken? Conclusies over x (t )-grafieken Om een goede raaklijn te krijgen, moet je ervoor zorgen dat de ‘kieren’ tussen de raaklijn en de grafiek even groot zijn en dat de lijn zo lang mogelijk is. Nie tv oo r Hoe gek het ook klinkt, het antwoord op deze vraag is bijna altijd: ja. Als de raaklijn niet goed is, ben jijzelf de eerste die dat ziet. Toch zal jouw raaklijn niet precies dezelfde zijn als die van je buurman/-vrouw − die ook een goede raaklijn getrokken heeft.  Er is verschil tussen vaart en snelheid. Bij de vaart speelt positief en negatief geen rol, bij de snelheid v wel.  Als de x(t)-grafiek stijgt, is v positief.  Als hij daalt, is v negatief.  Als je een horizontale raaklijn kunt trekken, is v nul.  Als de x(t)-grafiek hol is, neemt v toe.  Als hij bol is neemt v af.  Op de grens van hol en bol is de vaart maximaal, want daar loopt de raaklijn aan de grafiek het steilst. ko ps ch oo l 17

[close]

p. 10

18 Van x (t )-grafiek naar v (t )-grafiek Vaak versimpelen we de werkelijkheid een beetje door de x(t)-grafiek uitsluitend uit rechte stukken te laten bestaan. Voor een surveillant die ijsbeert tijdens een proefwerk komt deze x(t)-grafiek redelijk overeen met zijn beweging. ge b De v(t)-grafiek van de surveillant ziet er dus zo uit: Verplaatsing en afgelegde weg De surveillant heeft zich in 24 s netto 4 m verplaatst (de afstand tussen begin- en eindpunt). Maar hij heeft in totaal 16 m afgelegd. Als je vgem wilt berekenen voor die 24 s, moet je dus eerst afspreken wat je met Δx bedoelt. Nie tv oo r rui We zetten de x(t)-grafiek om in een v(t)-grafiek door van ieder recht stuk P, Q, R, S en T de helling te bepalen. vP =  x  4 m  0,50 m/s t 8 s vQ = 0 m/s (hier stond de surveillant even stil, de grafiek loopt horizontaal). vR =  x  2  4  1, 0 m/s  t 16  10 vS = 0 m/s vT =  x  4  (2)  1, 0 m/s  t 24  18 ko ps ch oo l 1 Bewegen Het oppervlak onder de v (t )-grafiek Iemand rijdt twee uur lang met een constante vaart van 100 km/h. De kilometerteller stond aan het begin op 38 341 en zal tijdens het rijden oplopen naar steeds hogere waarden. De snelheidsmeter staat al die tijd op 100. In de snelheidsgrafiek is het oppervlak onder de lijn gekleurd. De hoogte van dit oppervlak is 100 km/h en de breedte is 2 h. hoogte  breedte = oppervlak Dat wordt hier: 100 km/h  2 h = 200 km Maar dat is juist de afstand die de auto in 2 uur heeft afgelegd. In het algemeen kunnen we zeggen: Het totale oppervlak tussen de v(t)-grafiek en de t-as stelt de verplaatsing voor. Hierbij rekenen we oppervlakken onder de t-as negatief. Voorbeeld Een verplaatsing bepalen Bij dit snelheidsverloop rijd je 110 km in 2 uur (400,5 + 601,5 = 110 km).

[close]

p. 11

1.2 Grafieken en formules; snelheid Trucs om oppervlakken te bepalen Behalve via hoogte  breedte kun je ook op andere manieren het oppervlak onder een v(t)-grafiek bepalen. Soms moet dat zelfs, namelijk als de grafiek niet recht is. Welke manier je gebruikt, hangt af van het soort grafiek.  Hokjes tellen Het gearceerde hokje onder deze grafiek heeft een waarde van 5m/s·0,5 s = 2,5 m. Tel het aantal hokjes en maak bij de gebroken hokjes een schatting voor hoeveel je ze meetelt: helemaal, voor de helft of voor een kwart. Ga niet al te pietluttig te werk. Hier vind je ongeveer 12 hokjes, dus 122,5 = 30 m. Voor de gemiddelde snelheid geldt hier dus: vgem  30 m  6 m/s 5s  Rechthoeken en driehoeken Bij versnelde bewegingen is de v(t)-grafiek een rechte lijn, zoals bij een remmende fietser Je kunt het oppervlak dan opsplitsen in een rechthoek en een driehoek. Het oppervlak van de rechthoek is 16 m waard. Het oppervlak van de driehoek vind je met ½hoogtebasis = ½84 = 16 m. Tussen t1 = 1 s en t2 = 5 s is de afgelegde weg dus 16 + 16 = 32 m oppervlak = ½·basis  hoogte Ga na dat je dan ook 30 m vindt. Nie tv oo r ge b  Schatten met een timmermansoog Je kunt met een timmermansoog een schuine rechte lijn trekken zodat de twee gearceerde oppervlakjes gelijk zijn. Daarna pas je de formule voor het oppervlak van een driehoek toe: rui  Met het computerprogramma Coach In het computerprogramma Coach kun je ook het oppervlak onder een grafiek bepalen. Hieronder is dat gedaan bij een v(t)-grafiek van een raket die door de computer berekend is. Het oppervlak stelt de hoogte voor die de raket volgens dat model zou moeten halen: ongeveer 715 km. ko ps ch oo l 19

[close]

p. 12

20 Gemiddelde snelheid Bij een eenparige beweging levert de breuk verplaatsing steeds dezelfde uitkomst. Bij een benodigde tijd niet-eenparige beweging komt er steeds wat anders uit. We noemen de breuk dan de gemiddelde snelheid vgem. In plaats van vgem schrijven we ook wel v of . vgem   x t gemiddelde snelheid We passen dit toe op begin en eind van deze x(t)-grafiek die met de elektrische liniaal van p. 16 gemaakt is: Bij het berekenen van een gemiddelde snelheid kijken we alleen naar het beginpunt en het eindpunt. Als de eindwaarde van x kleiner is dan de beginwaarde, is vgem negatief. tv oo r De hand bewoog tussen −0,60 m en +1,64 m. In 10 s is hij dus netto 2,24 m van z’n plaats gekomen. We houden er bij het berekenen van vgem geen rekening mee dat de afgelegde weg veel groter is. Voor de gemiddelde snelheid in die 10 s vinden we dan: vgem  2, 24 m  0, 22 m/s 10 s We kunnen ook een ander deel van de grafiek nemen. Bijvoorbeeld tussen 4,1 s en 6,5 s is de verplaatsing −0,63 m (achteruit) in 2,4 s. Voor de gemiddelde snelheid vinden we dan: vgem  0, 63 m  0, 26 m/s 2, 4 s ge b rui Nie ko ps ch oo l 1 Bewegen Bewegen in een cirkelbaan Voorbeeld De snelheid van de bol Er bestaat een kinderspelletje waarbij één kind een bol aan een touw rondslingert. De andere kinderen staan er in een kring omheen en springen vlak voordat de bol eraan komt omhoog. Het tempo waarin één kind moet springen, hangt af van de lengte van het touw en de snelheid van de bol. De tijd die de bol nodig heeft om één complete cirkelomtrek af te leggen heet de omlooptijd T. Bij wiskunde heb je geleerd dat de omtrek van een cirkel gelijk is aan 2r. Omdat de vaart (baansnelheid) van de bol constant is, geldt: v  x  2 r . t T Bij een eenparige cirkelbeweging is de formule voor de vaart (baansnelheid) v  2 r T r is de straal van de cirkel en T de omlooptijd.  Het touw in de bovenstaande tekening heeft een lengte van 2,5 m. Ieder kind in de tekening springt 40 keer per minuut omhoog. - Bereken de omlooptijd en de snelheid van de bol. Oplossing De omlooptijd is: T  60  1,5 s 40 De snelheid van de bol is: v  2r  2  2,5  10 m/s T 1,5

[close]

p. 13

1.2 Grafieken en formules; snelheid Opgaven 1.2 8 De auto’s A en B rijden op hun eigen weghelft in tegenovergestelde richting. Bij beide staat de snelheidsmeter op 50 km/h. a Hebben beide auto’s dezelfde snelheid? b En dezelfde vaart? Voor een eenparige beweging die op t = 0 s in x = 45 m begint, geldt: v = −30 m/s. a Stijgt of daalt de x(t)-grafiek? b Teken de x(t)-grafiek tot t = 3,0 s. c Teken de v(t)-grafiek. Een bowlingbaan is 18,30 m lang. Je geeft de bal een constante snelheid van 6,0 m/s. a Bereken na hoeveel seconde de kegels worden geraakt. ►Na een scheve worp (weer met 6,0 m/s) komt de bal al na 1,5 s in de goot. b Bereken na hoeveel meter de bal in de goot terecht is gekomen. Dit zijn de x(t)-grafieken van drie wandelaars: 13 Iemand rijdt 20 minuten met 50 km/h, daarna 10 minuten met 80 km/h; dan staat zij 5 minuten stil, tenslotte rijdt zij nog een half uur met 100 km/h. - Bereken haar gemiddelde snelheid. Een brommer rijdt (te hard) met 15 m/s. a Reken deze snelheid om in km/h. ►Op t = 0 s ziet de bestuurder dat hij een noodstop moet maken.. 9 14 10 11 tv oo r a b c d 12 Wie van de drie had de grootste snelheid? Beschrijf de drie bewegingen in woorden. Wat stellen de snijpunten voor? Teken in één figuur de drie snelheidsgrafieken. Je rijdt een half uur met een snelheid van 50 km/h en daarna 60 km met 80 km/h. a Bereken de verplaatsing. b Bereken de gemiddelde snelheid. Nie ge b rui 15 b Bepaal zijn reactietijd. c Bepaal de afstand die de brommer rijdt vanaf t = 0 s totdat hij stilstaat. De x(t)-grafiek van de heenweg van een schoolreisje is bijgehouden van 7.00 uur (verzamelen in de aula) tot kort na 11.30 uur. a Bepaal hoe lang de plaspauze duurde. ►Na die pauze rijdt de bus eenparig met 90 km/h. De eindbestemming ligt op 385 km afstand van het beginpunt. b Bepaal de gemiddelde snelheid tussen 7.00 uur en 11.00 uur. c Bereken hoe laat (op je horloge) de bus aankomt. d Teken de v(t)-grafiek van de bus die bij deze x(t)-grafiek hoort. ko ps ch oo l 21

[close]

p. 14

22 1.3 Versnellen Deze leerlingen laten een pompoen en een sinaasappel vallen. Proef 5 Valproef met twee tennisballen Een variant op de valproef van Stevin die hij in Delft met ‘twee loyen clooten’ deed, gaat met twee tennisballen. tv oo r Voorbereiding Voordat je op een niets vermoedend slachtoffer afstapt, vul je één tennisbal met water. Dat kun je met een injectiespuit doen zonder dat het uiterlijk van de tennisbal verandert. Niemand mag namelijk zien dat één tennisbal verzwaard is. ge b Zij herhalen daarmee de proef van Simon Stevin en de vader van Hugo de Groot uit 1586. Die lieten twee loden kogels vallen vanaf de toren in Delft. De een was tien keer zo zwaar als de ander. Zoek eens uit bij vrienden en familie welk voorwerp volgens hen het eerst beneden is. Nie rui ko ps ch oo l 1 Bewegen Luchtweerstand Uitvoering Houd de tennisballen naast elkaar op dezelfde hoogte boven de grond. Vraag welke bal het eerst op de grond zal komen en vergeet niet te vragen: waarom? Het slachtoffer zal – net als iedereen – voorspellen dat ze tegelijk aankomen omdat ze vanaf dezelfde hoogte worden losgelaten en even zwaar zijn. Als je de ballen loslaat, komen ze tegelijk op de grond aan. Dit is geen verrassing. De verbazing komt pas als je vraagt om de ballen op te pakken. De ene bal blijkt veel zwaarder te zijn dan de andere bal! De massa van de bal heeft geen invloed op de valtijd. De storende factor bij dit soort proeven is steeds de weerstand van de lucht en het mooiste zou zijn als we die konden uitschakelen. Galilei voorspelde dan ook dat in vacuüm (luchtledig) twee verschillende voorwerpen even snel zouden vallen, maar hij kon dit niet experimenteel bewijzen omdat er in zijn tijd nog geen vacuümpompen bestonden. Aan het eind van de 17e eeuw waren die pompen er wel en toen bleek dat een veertje en een munt in een leeggepompte buis even snel vielen. In 1971 is die beroemde proef op de maan gedaan tijdens de tocht met de Apollo-15. Scott liet toen een hamer en een veer van een valk vallen. Ook die kwamen tegelijk op de grond. Een val in vacuüm, die dus niet gehinderd wordt door weerstand van de lucht, noemen we een vrije val. Bij een vrije val vallen alle voorwerpen even snel.

[close]

p. 15

1.3 Versnellen Registratie van een val Een val verloopt zo snel dat we hem met speciale hulpmiddelen moeten onderzoeken. Een stopwatch is alleen bij een val van grote hoogte te gebruiken. Bij kleine afstanden gebruiken we elektronische apparatuur, sonar, computers, lichtsensoren, een smartphone of stroboscopische foto’s. Om de remmende werking van de lucht te beperken, werken we met stalen kogels omdat die een grotere zwaartekracht ondervinden. De luchtweerstand is dan naar verhouding klein. Bij een val gebruiken we de letter h of soms de letter y om de plaats aan te geven. Hoewel het voorwerp omlaag valt, tekenen we de h-as liever omhoog en noemen we de snelheid v bij een val positief. We bekijken twee manieren om een h(t)-grafiek op te meten. Proef 6 Meten met een elektronische klok Proef 7 De valsensor We laten een vallend gewicht de spanning langs een draad meten. Van te voren is de draad geijkt zodat de computer weet hoe hij een spanning U moet omrekenen in een valafstand h. Met Coach meten we de h(t)-grafiek. Daarna maken we via Analyse/Verwerking/Afgeleide de v(t)-grafiek. tv oo r Ook hier blijkt de h(t)-grafiek een halve parabool te zijn en met functiefit vinden we h = 4,7∙t2. Voor de v(t)-grafiek vinden we een rechte lijn door de oorsprong met v = 9,4∙t. Aan de v(t)-grafiek zien we dat de snelheid in een gelijkmatig tempo groeit in de tijd. De vrije val noemen we daarom eenparig versneld. ge b rui We meten de valtijd van een stalen kogel bij verschillende hoogtes. De h(t)-grafiek wordt een halve parabool, De valversnelling Bij zeer nauwkeurig meten zouden we vinden: h = 4,9∙t2 en v = 9,8∙t vrije val op aarde Het is vast geen toeval dat in h = 4,9t2 het getal 4,9 precies de helft is van het getal 9,8 in v = 9,8t. Dit is altijd zo! Ook op andere planeten en op de maan is het getal voor de t2 de helft van het getal voor de t. Het getal voor de t wordt de valversnelling genoemd, aangeduid met g de gravitatieversnelling. Deze g is de helling (steilheid, rc) van de rechte lijn in de v(t)-grafiek. Iedere seconde neemt de snelheid toe met de waarde g. De algemene formules voor een vrije val zijn dus: h = ½gt 2 en v = g∙t vrije val Nie ko ps ch oo l 23

[close]

Comments

no comments yet