EAC Lista 9 - Geometria Espacial

 

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna poliedros É o sólido limitado unicamente por superfície plana h g obs todo poliedro convexo é euleriano mas nem todo poliedro euleriano é convexo cálculo do número de arestas o número de arestas de um poliedro é dado por edfca n.f 2 onde f ­ é número de faces n é o número de lados de cada face poliedros regulares ou poliedros de platão a b elementos faces ­ são as superfícies planas que limitam o sólidos abcd efgh cbfg arestas ­ são as interseções das faces duas a duas ab bc cd bf vértices ­ são os pontos comuns a três ou mais arestas a b c d e diagonais ­ são os segmentos de reta que unem dois vértices não pertencentes a uma mesma face ag bh poliedro convexo um poliedro é convexo quando fica inteiramente situado num mesmo semi-espaço limitado por qualquer uma de suas faces caso contrário é chamado de poliedro não convexo tetraedro regular hexaedro regular são aqueles em que todas as faces são polígonos regulares congruentes e todos os ângulos poliédricos são congruentes só existem cinco poliedros regulares são eles tetraedro ­ as faces são triângulos equiláteros hexaedro ­ as faces são quadrados octaedro ­ as faces são triângulos equiláteros dodecaedro as faces são pentágonos regulares icosaedro ­ a faces são triângulos equiláteros convexo 5 teorema de euler não convexo octaedro regular dodecaedro regular em todo poliedro convexo número de arestas a aumentado de 2 unidades é igual ao número de vértices v aumentado do número de faces f icosaedro regular v+f=a+2 2011 1

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projeto vestibular exercÍcios mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 06 uerj-2005-2f 01 um poliedro convexo é formado por 6 faces quadrangulares e oito faces triangulares determine o número de arestas e o número de vértices desse poliedro 02 um poliedro convexo tem 6 vértices e 8 faces qual o número de arestas desse poliedro 03 um poliedro convexo que só tem faces triangulares e quadrangulares tem 20 vértices calcule o número de faces do poliedro sabendo que o número de faces triangulares é o dobro do número de faces quadrangulares 04 uerj um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes as 1 medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a da 3 aresta do icosaedro o que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas observe as figuras o poliedro acima com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de 1 a 30 é usado como um dado em um jogo admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que ao ser lançado cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada calcule a a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5 ao lançar esse dado uma única vez b o número de vértices do poliedro prismas 1 superfície prismática É a superfície gerada por uma reta g geratriz que se desloca paralelamente a uma direção dada d e apoiando-se numa linha poligonal plana diretriz d para confeccionar uma bola de futebol um artesão usa esse novo poliedro no qual cada gomo é uma face ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro ele gasta 7 cm de linha depois de pronta a bola o artesão gastou no mínimo um comprimento de linha igual a a 7,0m b 6,3m c 4,9m d 2,1m gdabc 05 numa publicação científica de 1985 foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares como numa bola de futebol em homenagem ao arquiteto norte-americano buckminster fuller a molécula foi denominada fulereno determine o número de átomos de carbono vértices nessa molécula e o número de ligações entre eles arestas a superfície prismática pode ser aberta ou fechada se a linha poligonal for aberta ou fechada respectivamente as geratrizes que passam pelos vértices da diretriz chamam-se arestas da superfície a 65 átomos e 40 ligações b 60 átomos e 90 ligações c 60 átomos e 45 ligações d 80 átomos e 90 ligações e 60 átomos e 30 ligações 2 prisma É o sólido limitado por uma superfície prismática fechada e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes 2011 2

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projeto vestibular h g mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna efhhdc prisma reto prisma oblíquo a b 5 prisma regular as faces abcd e efgh são polígonos congruentes chamadas de bases do prisma as demais faces chamadas de faces laterais são paralelogramos 3 elementos dos prisma 1º Área lateral al h g É todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares 6 Áreas do prisma É a soma das áreas das face laterais e f 2º Área total at h É a soma da área lateral al com a área das bases ab at al 2ab d c 7 volume pelo princípio de cavaliÉre o volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base sb pela altura h v ab h a b arestas da base ab ef bc fg cd gh ad eh arestas laterais ae bf cg dh altura h distância entre as duas a bases 4 classificação dos prismas 1ºquanto aos polígonos das bases podem ser triangular quadrangular pentagonal etc 2º quanto as arestas laterais exercícios 07 dadas as figuras dos prismas abaixo a paralelepípedo retângulo b cubo ou hexaedro c d b podem ser reto ou oblíquo aada prisma reto ­ as arestas laterais são perpendiculares às bases prisma oblíquo ­ as arestas laterais são oblíquas às bases d a d calcule a área total o volume e as diagonais de ambos em função de suas arestas 2011 3

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 08 quantos litros de água cabem em um reservatório em forma de paralelepípedo medindo internamente 2 m por 2 m de base e 1,2 m de altura a 800 b 1.200 c 1.600 d 4.800 e 5.200 12 pm-05-1 um tijolo de sorvete de meio litro tem duas de suas dimensões iguais a 16,5 cm e 4,0 cm a terceira dimensão mede aproximadamente a 6,0 cm b 6,5 cm c 7,0 cm d 7,6 cm 09 pm-00 o perímetro do polígono formado pelos segmentos que unem os centros das quatro faces laterais de um cubo de aresta medindo 4 cm é a 2 2 b 8 2 c 4 2 d 6 2 e 16 13 enem ­ 2010 a siderúrgica metal nobre produz diversos objetos maciços utilizando ferro um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue 10 pm-04 seis blocos de concreto em forma de paralelepípedo retângulo foram utilizados na construção da escada representada abaixo o produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza 3y 2y 3x se esses blocos são congruentes a expressão algébrica que corresponde ao volume de concreto necessário para a construção da escada é a 18 x y 2 a massa b volume d capacidade e comprimento c superfície 14 uff-01 uma piscina tem a forma de um prisma reto cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m a quantidade necessária de litros de água para que o nível de água da piscina suba 10 cm é a 0,15 l b 1,5 l c 150 l d1.500 l e 15.000 l b 18 xy 2 c 12 xy 2 d 12 x y 2 11 uerj-uenf-2001-2ªf na construção de um hangar com a forma de um paralelepípedo retângulo que possa abrigar um airbus foram consideradas as medidas apresentadas abaixo 15 enem ­ 2010 uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos com o mesmo volume as arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura analisando as características das figuras geométricas descritas a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a 5 cm b 6 cm c 12 cm d 24 cm e 25 cm 16 uff uma caixa de papelão na forma de um paralelepípedo retângulo é obtida dobrando-se o molde abaixo nas linhas tracejadas o volume da caixa em cm é 3 calcule o volume mínimo desse hangar a120 b 180 c 240 d 480 e 540 14 cm 13 cm 10 cm 2011 4

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 17 na fabricação da peça abaixo feita de um único material 3 que custa r 5,00 o cm deve-se gastar a quantia de 22 ufrj os pontos jeisão os pontos médios das arestas do cubo sugerido na figura j a r 400,00 d r 340,00 b r 380,00 e r 320,00 c r 360,00 i a calcule em função da medida a da aresta do cubo a distância de i e j 18 uerj-2004-1ª fase as esferas da figura abaixo representam os íons formadores de um cristal de cloreto de sódio b determine a medida do ângulo ikj considere que o íon com maior número de camadas eletrônicas é representado pela esfera de maior raio e que a distância entre os núcleos dos íons x e y vale 10 3 unidades de comprimento o símbolo do elemento formador do íon de menor tamanho e a menor distância na mesma unidade de comprimento entre o núcleo de um cátion e o núcleo de um ânion são ac 23 ufrj uma caixa sem tampa completamente cheia de leite tem a forma e um paralelepípedo retângulo de dimensões internas a 10 cm b 7 cm e c 16 cm inclina-se a caixa de 60º em relação ao plano horizontal de modo que apenas uma das menores arestas fique em contato com o plano como mostra a figura 3 b na 3 c c 5 d na 5 c 60º a b 19 puc se a área da base de um prisma diminui de 10 e a altura aumenta 20 o seu volume a aumenta de 8 c aumenta de 108 e não se altera b aumenta de 15 d diminui de 8 20 uff ­ 98 em um cubo de aresta l a distância entre o ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer de suas arestas é a calcule o volume do leite derramado 24 uerj-2004-2f dois prismas regulares retos p1 e p2 o primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal têm a mesma área da base e a mesma área lateral a razão entre o volume de p1 e o de p2 equivale a l 3 b l l 2 c 3 2 l d 2 2 l e 2 21 ufrj-2003-pne uma pedra de massa 25 kg tem a forma de um paralelepípedo com 2 cm de espessura sua base é um quadrado com 1 m de lado qual a massa de uma outra pedra do mesmo material que tem a forma de um paralelepípedo com 2 m de comprimento 80 cm de largura e 3 cm de espessura 2 3 3 c 2 a b 6 3 d 1 2011 5

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 25 ufrj-04-pne uma barra de sabão abcdefgh com forma de um paralelepípedo retângulo foi cortada pelo plano que contém os pontos c d f e g como mostrado na figura 1 o sólido abcdfg obtido foi cortado mais uma vez pelo plano que contém os pontos m n p e q que são respectivamente os pontos médios das arestas ad bc cg e df como ilustrado na figura 2 28 afa-97 qual deve ser a medida da altura de um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de lado a para que 3 seu volume tenha valor a a a 3 4 b 3a 3 4 c a 3 3 d 4a 3 3 29 uma caixa d água tem o espaço interno na forma de cubo com 1 metro de aresta retira-se um litro de água da mesma o que baixa o nível da água em seu interior de quanto baixa esse nível a depende de quanta água havia c 10 centímetros e 1 milímetro b 1 metro d 10 milímetros calcule a razão entre o volume do sólido cdmnpq resultante deste segundo corte ilustrado na figura 3 e o volume da barra de sabão original 26 ufrj-06-pe a figura abaixo corresponde à planificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a 30 uerj ­ 2011 -1º ex a embalagem de papelão de um determinado chocolate representada na figura abaixo tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm em relação ao prisma considere cada um dos ângulos a b c e d da base superior mede 120º as arestas ab bc e cd medem 10 cm cada considere ainda que o papelão do qual é feita a embalagem custa r$10,00 por m e que 3 1,73 na confecção de uma dessas embalagens o valor em reais gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a determine a distância entre os pontos p e q no prisma a 0,50 27 uerj-03-2ªfpara uma demonstração prática um professor utiliza um tanque com a forma de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões internas correspondem a 30 cm de largura 60 cm de comprimento e 50 cm de altura esse tanque possui uma torneira que pode enchê-lo estando ele completamente vazio em 10 minutos e um ralo que pode esvaziá-lo estando ele completamente cheio em 18 minutos o professor abre a torneira deixando o ralo aberto e solicita que um aluno registre o tempo decorrido até que o tanque fique totalmente cheio estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno 6 b 0,95 c 1,50 d 1,85 2 31 enem ­ 2010 um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico seguindo o modelo ilustrado a seguir o cubo de dentro é vazio a aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor que é interno mede 8 cm o volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a 12 cm 3 b 64 cm 3 c 96 cm 3 d 1 216 cm 3 e 1 728 cm 2011 3

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 32 uerj-2010-1ºex a figura abaixo representa uma piscina completamente cheia de água cuja forma é um prisma hexagonal regular 2 cilindro É o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes 0 r 0 e 0 centros das bases g geratriz h altura g h r 0 admita que ­ a b c e d representam vértices desse prisma ­ o volume da piscina é igual a 450 m e ­ um atleta nada em linha reta do ponto a até o ponto médio da aresta cd,utilizando apenas glicose como fonte de energia para seus músculos a velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a 1,0 m/s o intervalo de tempo em segundos gasto nesse percurso equivale a cerca de a 12,2 c 16,2 b 14,4 d 18,1 3 3 classificação dos cilindros são classificados de acordo com o ângulo formado pela geratriz com os planos das bases · cilindro reto a geratriz g é perpendicular às bases neste caso a medida da geratriz é igual à altura h g h 0 h g 0 obs todo cilindro reto pode ser obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um dos seus lados por isso ele também é chamado de cilindro de revolução r 0 cilindros 1 superfície cilíndrica h=g É a superfície gerada por uma reta móvel g geratriz que se desloca paralelamente a uma direção e apoiandose numa linha curva dada d diretriz g 00 é o eixo de rotação r 0 · cilindro oblíquo d a geratriz g é oblíqua às bases 0 rgha superfície cilíndrica pode ser aberta ou fechada e conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular elíptica parabólica etc no nosso caso estudaremos somente as circulares 0 r 2011 7

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projeto vestibular 4 secções mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna teremos · Área lateral al al 2rh · Área da base ab ab r 2 · secção transversal É obtida seccionando o cilindro por um plano paralelo à base essa secção é um círculo congruente à base · Área total at at al 2ab at 2r h r · secção meridiana É obtida seccionando o cilindro por um plano que contém o seu eixo 0 · volume v v ab h v r h 2 exercícios h r 0 r obs a secção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo se h 2r essa secção é um quadrado nesse caso dizemos que o cilindro é equilátero 0 33 uff um reservatório na forma de um cilindro circular reto tem raio da base r altura h e volume v deseja-se construir outro reservatório que tenha também a forma de um cilindro circular reto volume v porém raio da base igual r a e altura h a relação entre as alturas desses 2 reservatórios é dada por a h 4h b h 2h e h h c h h 2 h 2r d h h 4 r 0 r 5 Áreas e volume de um cilindro planificando o cilindro fig 1 0 0 34 ufrj a casa da moeda está cunhando moedas de ouro de raios diferentes e mesma espessura a moeda de 1,5 cm de raio tem 18g de massa qual a massa da moeda de 2,5 cm de raio 35 uerj ­ 2001 -2º exame um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm conforme indicado na figura h sl h 0 r 0 r 2r fig 1 imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente o nível da água sobe 25 considerando igual a 3 a medida em cm da aresta do cubo colocado na água é igual a a 10 8 2 b 10 3 2 c 10 12 d 10 3 12 2011

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 36 uff um tonel de forma cilíndrica cheio d água é inclinado conforme mostra a figura derramando parte de seu conteúdo se a altura desse tonel é o quádruplo do raio de sua base pode-se afirmar que a razão entre a quantidade de água derramada e a quantidade de água que ainda ficou no tonel é a a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3 45º b a altura do nível da água que sobrou no reservatório no final do dia foi igual a 60 cm c a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer no máximo 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros d os moradores dessas casas economizariam mais de r 200,00 se o custo de 1 m3 de água para o consumidor fosse igual a r 2,50 e um reservatório de mesma forma e altura mas com raio da base 10 menor que o representado teria água suficiente para abastecer todas as casas 39 enem-2010 dona maria diarista na casa da família teixeira precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala para fazer o café dona maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos também cilíndricos a 1/4 b 1/3 c 1/2 d 3/4 2 e 2 37 uerj-2006-1ºex para a obtenção do índice pluviométrico uma das medidas de precipitação de água da chuva utiliza-se um instrumento meteorológico denominado pluviômetro a ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de 2 captação de 0,5 m e raio interno do cilindro de depósito de 10 cm considere que cada milímetro de água da chuva depositado 2 no cilindro equivale a 1 l/m no mês de janeiro quando o índice pluviométrico foi de 90 mm o nível de água no cilindro em dm atingiu a altura de aproximadamente a 15 b 25 c 35 d 45 com o objetivo de não desperdiçar café a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade para que isso ocorra dona maria deverá a encher a leiteira até a metade pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo b encher a leiteira toda de água pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo c encher a leiteira toda de água pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo d encher duas leiteiras de água pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo e encher cinco leiteiras de água pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo 2011 38 enem-08 a figura ao lado mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto com 6 m de altura quando está completamente cheio o reservatório é suficiente para abastecer por um dia 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água suponha que um certo dia após uma campanha de conscientização do uso da água os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10 no consumo de água nessa situação 9

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 40 enem-2010 para construir uma manilha de esgoto um cilindro com 2 m de diâmetro e 4m de altura de espessura desprezível foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto contendo 20 cm de espessura supondo que cada metro cúbico de concreto custe r 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximando de então o preço dessa manilha é igual a a r 230,40 c r 104,16 e r 49,60 41 enem-2010 uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar em grande quantidade uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular cujas dimensões da base são 6 cm 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais conforme mostra a figura b r 124,00 d r 54,56 43 ufrj-2011 considere a superfície cilíndrica s obtida a partir da superposição dos segmentos ab e dc do retângulo abcd indicado a seguir uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a superfície s partindo do ponto p para chegar ao ponto q determine o comprimento desse caminho cone 1 superfície cônica É a superfície gerada por uma reta g geratriz que se desloca passando sempre por um ponto fixo vvértice e apoiando-se numa linha curva plana dada d diretriz vgdo raio da perfuração da peça é igual a a 1 cm d 4 cm b 2 cm e 5 cm c 3 cm a superfície cônica pode ser aberta ou fechada e conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular ou elíptica no nosso caso estudaremos somente as circulares 2 cone É o sólido limitado por uma superfície cônica fechada e por um plano que interpreta todas as geratrizes v 42 determine o volume do sólido abaixo 10 6 0 centro da base g geratriz h altura 0v eixo v vértice r raio r g h 2 0 2 10 0 r 2011

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 3 classificação dos cones são classificados de acordo com a inclinação de seu eixo · cone reto o eixo é perpendicular à base neste caso a medida do eixo é igual a altura · secção meridiana É obtida seccionando o cone por um plano que contém o seu eixo vgghg relação métrica r r 0 r r 0 g =h +r 2 2 2 obs a secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles quando esse triângulo é equilátero g 2r o cone é chamado cone equilátero v obs todo cone reto pode ser obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos por isso ele também é chamado de cone de revolução v g 2r ghrr 0 0 r · cone oblíquo o eixo é oblíquo à base v 5 Áreas e volume de um cone planificando o cone fig 1 vghgr sl g sb 0 r r 0 0 4 secções · secção transversal É obtida seccionando o cone por um plano paralelo à base essa secção é um círculo fig 1 c 2r · Área lateral al É obtida calculando-se a área do setor circular de raio g através de uma regra de três simples ou seja Área 2 g al comprimento do arco 2g 2r 2011 11

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projeto vestibular g 2 al 2g simplificando 2r mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna al rg · Área da base ab · Área total at ab r 2 47 ufrj-01-pne um recipiente em forma de cone circular reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo na vertical como na figura o recipiente quando cheio até a borda comporta 400 ml at al ab rg r at r g r 2 · volume determine o volume de líquido quando o nível está em o volume do cone é igual a 1/3 do vlome do cilindro 1 v ab h 3 h 2 48 uerj 2011 2ºex qualif um sólido com a forma de um cone circular reto constituído de material homogêneo flutua em um líquido conforme a ilustração abaixo v r 2 h 3 exercícios 44 a figura abaixo representa um lápis de 8 mm de diâmetro apontado use =3 se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a a ½ b ¾ c 5/6 d 7/8 8 mm 12 cm determine o volume deste lápis 45 afa-97 a razão entre os volumes de dois cones eqüiláteros de alturas h e 2h é a 1/2 b 1/4 c 1/6 d 1/8 2 cm 49 uff considere um cone equilátero de raio r e volume v seccionou-se este cone a uma distância h do seu vértice por um plano paralelo a sua base v obteve-se assim um novo cone de volume 2 expresse h em termos de r 50 ufrj-01-pe dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano como mostra a figura sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do outro 46 calcule o raio do cone da figura abaixo sabendo que inicialmente o cone estava vazio e o cilindro totalmente cheio e na situação abaixo o cone encontra-se totalmente cheio sendo r o menor dentre os raios das bases s o maior e sabe-se que a altura do cone é de 6dm e que a altura e o raio da base do cilindro medem respectivamente 9dm e 2dm x r determine x s 2011 12

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna 51 afa-01 a área total do sólido gerado pela rotação do polígono abcde em torno do eixo y que contém o lado ae é 2 em m igual a y a superfície piramidal pode ser aberta ou fechada respectivamente 2 pirâmide É o sólido limitado por uma superfície piramidal fechada e por um plano que intercepta todas as geratrizes v a 144 b 150 c 168 d 170 d c dados ae 2m ab 6m e a b bc 6m cd 3m h 52 uerj-2010-2ºex a figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27 o nível desse líquido tem 12 cm de altura a figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27 o nível desse líquido tem 12 cm de altura dcabo polígono abcd é a base da pirâmide ab bc cd ad são as arestas da base da pirâmide va vb vc vd são as arestas laterais da pirâmide avb bvc cvd avd são as faces laterais da pirâmide a distância h do ponto v ao plano da base é a altura da pirâmide para o preparo de um desinfetante diluiu-se a solução inicial com água até completar o recipiente obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8 esse recipiente tem altura h em centímetros equivalente a a 16 b 18 c 20 d 22 quanto ao polígono da base a pirâmide é triangular tetraedro quadrangular pentagonal etc 3 pirâmide regular É aquela cuja base é um polígono regular e a projeção do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base v pirâmides 1 superfície piramidal É a superfície gerada por uma reta g geratriz que se desloca passando sempre por um ponto fixo v vértice e apoiando-se numa linha poligonal plana dada diretriz vahdcobgdabc abcd é o polígono da base nesse caso é um quadrado o é o centro da base v é o vértice da pirâmide vo h é a altura da pirâmide 2011 13

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projeto vestibular 4 elementos de uma pirâmide regular v mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna sendo a b c d paralelo a abcd a razão entre as áreas é dada por área de a b c d d área abcd h al ap 2 6 volume da pirâmide b o an c todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides triangulares tetraedros equivalentes entre si zxvrdmaa apótema da pirâmide ap ­ é a altura em relação em relação à base de uma de suas faces laterais que são triângulos isósceles ap vm apótema da base da pirâmide om an b a c raio do círculo oa ob oc od r circunscrito à base seja o prisma triangular abcvxz se cortarmos esse prisma pelos planos acv e cvz as pirâmides são equivalentes por terem bases congruentes e a mesma altura bases e altura do prisma as pirâmides vacz e vcxz também são equivalentes por terem a mesma altura distância de v à face acxz do prisma e bases equivalentes acz e czx como metades do paralelogramo acxz portanto as três pirâmides vabc vcxz e vacz são equivalentes como as três pirâmides têm o mesmo volume cada uma delas terá um terço do volume do prisma ou seja v pirâmide arestas da base ab bc cd ad a arestas laterais va vb vc vd a 5 tronco de pirâmide É a porção da pirâmide compreendida entre a base e uma seção plana que intercepta todas as arestas laterais quando a seção for paralela à base temos um tronco de pirâmide de bases paralelas a distância entre as bases é a altura do tronco v 1 v prisma 3 v pirâmide d a o doabb hcdc h ab h onde 3 ab ­ é a área da base h ­ é a altura obs tal fórmula é válida para qualquer pirâmide pois sempre podemos dividir uma pirâmide em várias de bases triangulares Área total at al ab h é a altura do tronco 2011 14

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projeto vestibular mÓdulo ii ­ parte 9 geometria espacial matemÁtica prof bruno vianna al ­ somatórios das áreas dos triângulos das faces laterais ab ­ Área do polígono da base tetraedro regular quando todas as suas faces são triângulos eqüiláteros v a v ­ vértice g ­ baricentro da base vg ­ altura do tetraedro am ­ altura da base g b m assim o volume médio de terra que hagar acumulou em 3 cada ano de trabalho é em dm igual a c a 12 b 13 c 14 d 15 h a 6 3 55 uff­00 no tetraedro regular representado na figura ressão respectivamente os pontos médios de np e om p at a 2 3 v a3 2 12 n r o s exercÍcios propostos 53 uff-2005-1f a grande pirâmide de quéops antiga construção localizada no egito é uma pirâmide regular de base quadrada com 137 m de altura cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja a altura relativa à base mede 179 m 2 a área da base dessa pirâmide em m é a 13.272 d 53.088 b 26.544 e 79.432 c 39.816 m a razão rs mn é igual a a 3 b 3 2 c 2 d 2 2 e 3 2 54 uerj ­ 2002 -1º exame 56 ufrj-00-pne uma pirâmide regular tem base quadrada de área 4 ela é seccionada por um plano paralelo à base de modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base superior de área 1 determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide 57 uerj-93-2ª fase abcd é um tetraedro regular de aresta a o ponto médio da aresta ab é m e o ponto médio da aresta cd é n calcule suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-demão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo a mn nmd b seno do ângulo 2011 15

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