Stevin 2016 - vwo - 16 Algemene technieken

 

Embed or link this publication

Description

Stevin 2016 - vwo - 16 Algemene technieken

Popular Pages


p. 1

16 Algemene technieken Hoe ziet de h(t)-grafiek eruit die zij vinden? Deze leerlingen bestuderen met een webcam het leeglopen van een cilinder met water. Nie tv oo r ge b rui ko ps ch oo l

[close]

p. 2

270 16 Algemene technieken 16.1 Afronden,rekenen en grafieken rechtbuigen Stel je fietst 5 km (5000 m) in 18 minuten (1080 s) en je wilt de gemiddelde snelheid berekenen in m/s. Hoe moet je dan de uitkomst 4,6296296 m/s afronden? Over dit soort praktische zaken gaat het in deze paragraaf. Meetnauwkeurigheid Voordat je een beslissing neemt over het afronden van een berekening, moet je eerst weten hoe de gebruikte getallen gemeten zijn. Het maakt verschil of je de 18 min hierboven meet met een stopwatch of met een horloge zonder secondewijzer. Alleen bij de stopwatch mag je 1080,00 s schrijven, want daar zie je die laatste nullen in het display. Bij het horloge houdt de nauwkeurigheid op bij 18 min. ge b Bij de elektronische brievenweger mag je opgeven dat het pakje 635 gram weegt want je hebt al die cijfers gezien. Bij de andere brievenweger is dat zinloos, daar weet je alleen zeker dat de massa tussen 630 en 640 gram ligt. tv oo r Nie rui ko ps ch oo l 4,5 ≤ ℓ < 5,5 km 17,5 ≤ t < 18,5 min en met l = 5000 m en t = 1080 s dit: 4999,5 ≤ ℓ < 5000,5 m 1079,5 ≤ t < 1080,5 s Uit deze afspraak volgt: 500 g ≠ 0,5 kg Je moet schrijven: 500 g = 0,500 kg 0,45 ≤ massa < 0,55 kg en met m = 0,500 kg bedoelen we: 0,4995 ≤ massa < 0,5005 kg In de natuurkunde is afgesproken dat we met ℓ = 5 km en t = 18 min dit bedoelen: Een 7 op je rapport betekent dat het gemiddelde van je proefwerken minstens 6,5 is geweest, misschien 7,4 maar geen 7,5. Je zult hier echt aan moeten wennen, want in het dagelijks leven betekenen 500 gram en een halve kilogram natuurlijk hetzelfde. In de natuurkunde is afgesproken dat we met m = 0,5 kg bedoelen: Als je met de getallen 0,5 en 0,500 gaat rekenen, krijg je natuurlijk dezelfde uitkomsten. Je rekenmachine neemt die nullen niet mee. Toets maar in: 0,500  3. Na het intoetsen van [] verandert de 0,500 in 0,5. De natuurkundige manier van noteren heeft het voordeel, dat je er mee kunt aangeven hoe nauwkeurig je iets gemeten hebt. Met 500 gram of 0,500 kg geven we aan dat we tijdens het meten die nullen ook echt gezien hebben, want anders hadden we wel 503 g geschreven of 0,503 kg. Uit 0,5 kg volgt dat de meting veel grover is geweest.

[close]

p. 3

16.1 Afronden, rekenen en grafieken rechtbuigen Significante cijfers Meetfouten; groot en klein Je mag 5 km dus niet zomaar vervangen door 5000 m of door 5,000 km. Met 5 km bedoelen we immers dat de meetnauwkeurigheid klein was. De getallen 5,000 en 5000 worden getallen van vier significante cijfers genoemd. (Significant wil zeggen: met betekenis, je hebt de cijfers van dat getal afgelezen.) Het getal 5 bestaat slechts uit één significant cijfer; 18 heeft er twee en 1080,00 zes. Een truc Als je met de rechter brievenweger op p. 270 weegt, kun je de massa zo opgeven: m = 635 ± 5 g  Absolute fout De 5 g speling waar we niet zeker van zijn, noemen we de absolute fout. Dit is geen gelukkige uitdrukking, omdat er helemaal geen sprake is van fouten maken. Je maakt pas een fout als je bijvoorbeeld 637 g opgeeft. Nie tv oo r Deze lengtes zijn opgegeven in drie cijfers: 683 m 43,6 cm 0,000345 km Ga na dat je ze ook zo kunt schrijven: 683 m = 0,683 km 43,6 cm = 0,436 m = 436 mm 0,000345 km = 0,345 m = 345 mm De nauwkeurigheid van een getal hangt dus niet af van het aantal cijfers achter de komma, het aantal decimalen, maar van het totale aantal (significante) cijfers. Door de keuze van de eenheid verander je de nauwkeurigheid niet. De nullen aan het begin van een getal tellen niet mee voor het aantal significante cijfers, de nullen aan het eind wel. ge b Nullen en decimalen rui Hoe ga je dan van kilometers naar meters als je 5 km niet mag schrijven als 5000 m? De truc daarvoor is dat je schrijft: 5 km = 5∙103 m Het toevoegsel 103 telt niet mee voor het aantal significante cijfers. We noemen deze manier van schrijven de ‘wetenschappelijke’ notatie. De internationale afspraak is: zet het eerste significante cijfer (dus géén nul) voor de komma en corrigeer met een macht van 10. Op de meeste rekenmachines kun je met één druk op de knop een getal omzetten in de wetenschappelijke notatie.  Relatieve fout Wanneer we de speling in een getal vergelijken met het getal zelf, spreken we over de relatieve fout. Die is als volgt gedefinieerd: relatieve fout = absolute fout gemeten waarde Bij het aflezen van de weegschaal is de relatieve 5 fout 635 = 0,008 (afgerond). De onzekerheid in de aflezing is dus het 0,008ste deel van 635 g.  Procentuele fout Vaak drukken we deze relatieve fout uit in procenten. Voor de procentuele fout geldt: procentuele fout = relatieve fout  100%. In ons voorbeeld is dat dus 0,8% ofwel 8‰ (promille, per duizend).  Groot en klein Of je een ‘fout’ groot of klein noemt, hangt af van de eisen die je stelt. Bij een precisie-instrument kan 0,1 mm een grote fout zijn. Bij het zoeken naar zwaartekrachtsgolven moet je kunnen aantonen dat een balk van 4 m gedurende korte tijd de dikte van een proton langer of korter is geworden. Bij een meting van de afstand aardemaan mag de meetfout een paar cm zijn. Groot en klein zijn dus geen absolute eigenschappen, maar relatieve. Dat wil zeggen, dat je moet weten waarmee je vergelijkt. ko ps ch oo l 271

[close]

p. 4

272 Afronden 16 Algemene technieken Bij berekeningen moet je pas op het laatst afronden. We bespreken hier de regels voor afronden bij vermenigvuldigen en delen en bij optellen en aftrekken. Als je een antwoord geeft met veel cijfers bedoel je daarmee dat de nauwkeurigheid van de meting groot geweest is. Een uitkomst van een proef kan echter nooit nauwkeuriger zijn dan de afzonderlijke delen (de zwakste schakel van een ketting bepaalt de sterkte).  Afronden na vermenigvuldigen en delen Stel dat we 12,73  6,5 moeten uitrekenen. Is het antwoord dan 82,745? Ja en nee. Ja als we de gewone, wiskundige rekenregels hanteren. Nee, als we rekening houden met de natuurkundige afspraken: 12,725 ≤ 12,73 < 12,735 en 6,45 ≤ 6,5 < 6,55 In de uiterste gevallen kan er uitkomen: 12,725  6,45 = 82,07625 en Bij vermenigvuldigen en delen wint het kleinste aantal significante cijfers. ge b 12,735  6,55 = 83,41425 Dus is 82,745 zinloos; 82,7 is mooi genoeg en je mag zelfs 83 kiezen omdat het getal 6,5 ook maar twee significante cijfers heeft. Gebruik daarom deze vuistregel: Nie tv oo r rui ko ps ch oo l Tip Tussentijds niet afronden  Afronden na optellen en aftrekken Als je 127 m en 7 m bij elkaar moet optellen, komt er 134 m uit. De nauwkeurigheid is nu niet toegenomen. Bij 12,73 + 6,5 moet je oppassen. Zet de getallen maar eens onder elkaar. Met ? geven we aan dat de onzekerheid in het getal daar begint. Het is nu zinloos om die 3 in de uitkomst te laten staan, want dan doe je alsof je 12,73 optelt bij 6,50. Het wordt dus 19,2. Gebruik deze vuistregel: Bij optellen en aftrekken wint het kleinste aantal decimalen.  Afronden in de wiskunde In de wiskunde wordt anders afgerond dan in de natuurkunde. Het ‘echte’ antwoord bij het berekenen van een sinus schrijf je daar zo: sin60º = ½√3 en π blijft gewoon π. Als je daar moet afronden, schrijf je: sin 60º ≈ 0,866 en π ≈ 3,14 In de natuurkunde gebruiken we het symbool = en laten we π niet staan: sin 60º = 0,866 en π = 3,14 of π = 3,1415 In de natuurkunde gebruiken we ≈ alleen als we een schatting maken; bijvoorbeeld als je met passen de lengte van een lokaal opmeet. ‘Dit lokaal is ongeveer 7 m lang’ noteren we dan als: l ≈ 7 m. Als je een uitkomst nog nodig hebt, gebruik dan de niet-afgeronde waarde die je rekenmachine aangeeft − gebruik zonodig het geheugen van je rekenmachine. (Vreemde valuta zijn bekend tot op vier of vijf decimalen, maar banken rekenen met vijftien decimalen en ronden later pas af.)

[close]

p. 5

16.1 Afronden, rekenen en grafieken rechtbuigen Afspraken Het getal 99 bestaat uit twee cijfers en het getal 100 uit drie. De fout is in beide gevallen 0,5 absoluut en 0,5% relatief. Je moet de vuistregel dus niet al te streng toepassen. We gebruiken daarom vaak deze hulpregel: Bij vermenigvuldigen en delen mag je het aantal significante cijfers één meer of minder kiezen dan voorgeschreven door de vuistregel − tenzij er in de opgave andere eisen worden gesteld. Samengevat zijn dit de regels voor afronden (met cijfers bedoelen we significante cijfers):  Het aantal cijfers na een vermenigvuldiging of een deling is gelijk aan het kleinste aantal cijfers waarmee je begon.  Maak van ieder antwoord een decimaal getal. Laat π, 2 1 of √5 niet staan. 3  Gebruik de decimale komma en niet de Amerikaanse decimale punt.  Gebruik het symbool ≈ alleen als je een schatting maakt. Bij afronden gebruik je altijd het symbool = .  Rond pas op het laatst af. Voorbeeld Afronden b 3286  121,7037037... 27 c 7325  4308,823529... 1, 7 Gemiddelde verschil Op p. 10 bekeken we de meting van de periode van een slinger van 43 cm. We vonden als gemiddelde van 10 metingen afgerond Tgem = 1,32 s. Nu gaan we na hoeveel iedere meting afwijkt van de niet-afgeronde waarde 1,316 s; de mintekens laten we weg. Daarna berekenen we het gemiddelde verschil. nummer T (s) 1 1,35 2 1,37 3 1,28 4 1,30 5 1,32 6 1,29 7 1,28 8 1,35 9 1,32 10 1,30 gemiddelde 1,316 gemiddelde verschil | T − Tgem | (s) 0,034 0,054 0,036 0,016 0,004 0,026 0,036 0,034 0,004 0,016 0,026  Bereken volgens de vuistregel en volgens de hulpregel: a 0,046  1,736 b 3286 27 c 7325 1, 7 tv oo r Plan van aanpak In alle drie de gevallen mag het antwoord volgens de vuistregel maar twee significante cijfers bevatten. Oplossing a 0,046  1,736 = 0,079856 = 0,080 Vergeet de laatste nul niet. 0,08 en 0,0799 mogen ook. Nie ge b rui Omdat het gemiddelde verschil 0,026 s is, heeft het weinig zin om Tgem te schrijven als 1,316 s. Voor de periode van deze slinger geven we daarom op: T = 1,32 ± 0,03 s of ook T = 1,32 s ± 2% ko ps ch oo l 273 Je moet dit schrijven als 1,2∙102. 1∙102 en 122 mogen ook. Het beste antwoord is 4,3∙103. 4∙103 en 4,31∙103 mogen ook. Pas op: 4309 en 4300 zijn zeker fout, want dat zijn getallen van vier cijfers.

[close]

p. 6

274 Grafieken rechtbuigen 16 Algemene technieken In een grafiek zie je veel sneller wat er aan de hand is dan in tabellen. Daarom geven we meetresultaten meestal in grafieken weer en als het even kan, zorgen we ervoor dat de grafiek een rechte lijn wordt. Daar zijn verschillende trucs voor. De punten van de h(t2)-grafiek liggen redelijk op een rechte lijn, dus is de h(t)-grafiek een parabool. Je ziet dat de punten aan het eind beter op de rechte liggen. Dat komt doordat de langere tijden relatief nauwkeuriger te meten zijn. Nie tv oo r gemeten h (m) t(s) 0,15 0,15 0,22 0,20 0,35 0,28 0,40 0,27 0,50 0,33 0,68 0,37 0,90 0,43 1,00 0,46 berekend z = t2 (s2) 0,023 0,040 0,078 0,073 0,109 0,137 0,185 0,212 ge b rui  Parabolen rechtbuigen Stel we hebben valtijden gemeten om daarmee g te bepalen. Als je van de metingen een h(t)-grafiek maakt, krijg je een grafiek die op een (halve) parabool lijkt. Bij een parabool hoort een formule met een kwadraat en we weten al dat h en t moeten voldoen aan: h(t) = ½gt2 De truc is nu dat we h tegen t2 uitzetten. Geef t2 voor het gemak de naam z. Je krijgt dan: h(z) = (½g)∙z De h(z)-grafiek moet dan een rechte lijn door de oorsprong worden met ½g als helling (rc). We voegen dus aan de meettabel een derde kolom toe waarin we z = t2 berekenen. ko ps ch oo l 1,00 = ½∙g∙0,190  g = 10,5 m/s2 1,00 = ½∙g∙0,205  g = 9,8 m/s2 T  2 g en T  2 m C Er is één lijn als gemiddelde getrokken. De twee lijnen daar omheen zijn door de meest afwijkende punten getrokken en zeggen iets over de nauwkeurigheid. Uit de drie omcirkelde punten volgt van links naar rechts: 1,00 = ½∙g∙0,215  g = 9,3 m/s2 De gemeten waarden wijken dus maximaal 7% af van het gemiddelde. Deze truc kan ook worden toegepast bij het meten van trillingstijden (T ). Bij de slinger en een bol aan een veer gelden deze formules: Hierin is ℓ de lengte van een slinger; m is de massa van een bol en C is de veerconstante van de veer. De T(ℓ)-grafiek en de T(m)-grafiek zijn liggende parabolen. Je ziet dat goed als je de formules zo schrijft: 2 2 T  en T   m g C We kunnen rechte lijnen krijgen door T uit te zetten tegen √ ℓ of tegen √ m.

[close]

p. 7

16.1 Afronden, rekenen en grafieken rechtbuigen Je kunt ook de formules links en rechts kwadrateren. Je krijgt dan: 2 T 2  4  g 2 en T 2  4  m C Als je T 2 uitzet tegen ℓ of tegen m, krijg je ook rechte lijnen. 2 De eerste lijn heeft de helling 4 g . 42 De tweede helling heeft de waarde . C  Hyperbolen rechtbuigen Boyle en anderen hebben in de 17e eeuw al ontdekt dat er bij het samenpersen van gassen een eenvoudige relatie bestaat tussen de druk p (in bar) en het volume V (in dm3): p∙V = constant getal kortweg: p∙V = c Deze wet van Boyle levert als het goed is een kromme p(V)-grafiek, een hyperbool. De metingen in de volgende tabel leveren wel een kromme lijn op, maar is die grafiek echt een hyperbool? Om dat na te gaan schrijven we de formule van Boyle anders: 1 1 Als we nu p−1 uitzetten tegen V, moet de grafiek een rechte lijn door de oorsprong worden. Daar klopt dus niets van (zie grafiek 1), want p−1 is te hoog als het volume klein is, ofwel p is bij samenpersen te laag. Dat wijst op lekkage. De kruisjes horen bij een andere meting waarbij de lekkage is verholpen (grafiek 2). De lijn is recht maar gaat nog steeds niet door de oorsprong. Dat komt doordat de manometer waarmee we de druk meten zelf ook volume heeft en daar hebben we nog geen rekening mee gehouden. Uit het snijpunt met de V-as lezen we af dat het volume van de manometer 2 cm3 is. Als we het volume van de manometer mogen verwaarlozen, vinden we grafiek 3.  1 p V c ofwel: p−1 = constante∙V Nie tv oo r gemeten V (cm3) p (bar) 10,0 1,00 8,0 1,19 6,0 1,41 4,0 1,67 2,0 2,00 berekend p−1 (bar−1) 1,00 0,84 0,71 0,60 0,50 ge b We voegen aan de meettabel weer een derde kolom toe, nu met p−1. rui ko ps ch oo l 275

[close]

p. 8

276 Groot en klein 16 Algemene technieken Als je de massa’s van verschillende zoogdieren op één as wilt weergeven dan heb je een probleem als die massa’s uiteenlopen van grofweg 0,3 kg (rat) via 70 kg (mens) tot 150 000 kg (blauwe vinvis). Op een lineaire schaal van 0 t/m 1 miljoen zit alles − inclusief het nijlpaard van 3000 kg − links op een kluitje en is alleen de blauwe vinvis goed terug te vinden. Er bestaat een truc waarmee al die zoogdieren een eigen plaats krijgen. Dat is deze logaritmische schaalverdeling: 100 is een 1 met twee nullen; je kunt dit schrijven als 1∙102. Op dezelfde manier schrijf je 100 000 als 1∙105 en 0,001 als 1∙10−3. Voor getallen die niet alleen maar uit een 1 en wat nullen bestaan, is zo’n schrijfwijze ook mogelijk; 2 is te schrijven als 1∙100,3010 en 20 als 1∙101,3010. De exponenten van de 10 worden de logaritmen van de bijbehorende getallen genoemd. Je schrijft dat zo op: 10 log 100 = 2 en 10log 2 = 0,3010 Je mag ook kortweg log 100 en log 2 schrijven. Het getal 10 wordt het grondtal genoemd. Dat laten we meestal weg. ge b Logaritmen tv oo r Nie rui Bij zo’n schaalverdeling is iedere factor 10 op de as even breed. Het interval [0,1 – 1] is even breed als het interval [1 – 10] en [105 – 106 ]. Het interval [0,1 – 0,5] is minder breed, maar wel even breed als het interval [2 – 10] dankzij dezelfde factor 5. ko ps ch oo l Controleer met je rekenmachine: log 3 = 0,4771 en log 0,03 = −1,5229 (= 0,4771 − 2) Dat betekent dus: 100,4771 = 3 en 10−1,5229 = 0,03 De definitie van logaritme is: g log a = b  gb = a definitie logaritme x macht van 10 log x ... 1000 1∙103 3 100 1∙102 2 20 1∙101,3010.. 1,3010.. 10 1∙101 1 2 1∙100,3010.. 0,3010.. 1 1∙100 0 0,1 1∙10−1 −1 0,01 1∙10−2 −2 0,001 1∙10−3 −3 ... Een paar regels voor het werken met logaritmen:  log (a∙b) = log a + log b Uit deze regel volgt dat je van een vermenigvuldiging een optelling maakt.  log (a/b) = log a − log b  log (a p) = p∙ log a Je mag ieder positief getal (behalve 1) als grondtal nemen. Het beroemdste grondtal is e = 2,71828... In dat geval schrijf je niet elog a maar ln a; dit wordt de natuurlijke logaritme van a genoemd. Ook als je alle euromunten en -biljetten in één figuur wilt weergeven, gebruik je een logaritmische schaal:

[close]

p. 9

16.1 Afronden, rekenen en grafieken rechtbuigen Exponentiële grootheden Proef 1 Tossen met je smartphone Bij grootheden die toe- of afnemen met steeds hetzelfde percentage, horen exponentiële functies. Ze hebben deze vorm: y = a·bx a en de groeifactor b zijn constanten Denk aan sparen op de bank, tossen met munten, radioactief verval, bacteriegroei of afbraak van alcohol of medicijnen in het bloed. Logaritmisch papier maakt van exponentiële functies rechte lijnen. Dat is goed te zien als je het beroemde Indiase sprookje over Sissa − de uitvinder van het schaakbord − in een grafiek weergeeft. Als beloning vroeg de slimme Sissa aan de koning om één graankorrel op het eerste vakje, twee korrels op het tweede vakje, vier op het derde vakje, … tot en met vakje 64. Dit lijkt een bescheiden verzoek, maar op vakje 20 liggen dan al meer dan 500.000 korrels (  33 kg) en voor vakje 64 is er niet genoeg graan op de wereld. Op normaal grafiekpapier is het aantal korrels tot en met het 14e vakje niet af te lezen. Op het logpapier lukt dit wel. Download een gratis app op je smartphone waarmee je met bijvoorbeeld 100 dobbelstenen tegelijk kunt tossen. Verwijder iedere keer alle zessen. Na hoeveel keer tossen is het aantal stenen gehalveerd? En als je samen met de zessen ook de vijven verwijdert? De helling op logaritmisch papier De grafiek van een exponentiële functie wordt op logaritmisch papier een rechte lijn met log b als helling. Zie opgave 28 op p. 289. Nie tv oo r ge b Als je alleen de zessen verwijdert, heb je na vier keer tossen nog ongeveer 50 stenen over. Want er is een kans van 1/6 dat een steen afvalt en dus is er 5 /6 kans dat hij weer mag meedoen. De groeifactor b is dus 5/6. Invullen in y = a∙bx levert: 50 log 100 50 = 100∙(5/6)x  x   3,8 . log 5 6 Verwijder je behalve de zessen ook de vijven, dan is na twee keer tossen het aantal stenen ongeveer gehalveerd. De groeifactor is b = 4/6 = 2/3. 50 log 100 Dus: x   1,7 . log 2 3 Op logpapier kun je de ‘halveringstijd’ aflezen. rui ko ps ch oo l 277

[close]

p. 10

278 Dubbel-logaritmisch papier 16 Algemene technieken Er bestaat ook papier waarbij beide assen logaritmisch verdeeld zijn. Op het vlak krijg je daardoor vierkanten die zich herhalen. Het punt (0,0) komt op dubbel-log papier niet voor. y = x2 met richtingshoek α y = x met richtingshoek β y = 1/x met richtingshoek γ Dit zijn zogenaamde machtsfuncties. Ze hebben de vorm y = a∙xb; a en b zijn weer constanten. De helling op dubbel-log papier De grafieken van machtsfuncties worden op dubbel-logpapier rechte lijnen. Voor de richtingshoek φ geldt: tan φ = b Zie opgave 28 op p. 289. tan α = 2 tv oo r  α = 63 β = 27 γ = −45 Ga na of dat klopt bij de drie rechte lijnen in de figuur hierboven: tan β = 0,5  tan γ = −1  Bij de schijfjes karton vind je φ = 64, dus b = 2. Dat is logisch, want m ~ A en de oppervlakken A van de schijfjes groeien kwadratisch met D. Bij een cirkel geldt A = ¼D2 en bij een vierkant A = D 2. De bollen leveren een lijn met φ = 72, dus b = 3. Dat is logisch, want m ~ V en het volume V van een bol bereken je met V  4 πr 3 . 3 Pas op De helling is niet altijd tan φ Stel je hebt twee grootheden q = k∙pa en je zet log q uit tegen log p, dan krijg je wel een rechte lijn, maar de helling a hoeft niet gelijk te zijn aan tan φ. Nie ge b rui Op dit papier zijn voor 0,1 < x < 10 drie grafieken getekend: ko ps ch oo l Pas de regels voor de logaritme toe: log q = a∙log p + log k Proef 2 Karton en klei y = log q en x = log p  y = a∙x + b, dus een rechte lijn met helling a. Als de maten op de assen niet gelijk zijn, is tan φ ≠ a. Voor deze proef heb je een aantal cirkels en vierkanten van karton en bolletjes van klei nodig. Je weegt ze met een geschikte balans en je neemt de maten op met een schuifmaat en een liniaal. Meet de diameters D en de massa’s m van de schijfjes en de bollen. Zet de metingen uit op dubbel-logpapier, m verticaal en D horizontaal.

[close]

p. 11

16.1 Afronden, rekenen en grafieken rechtbuigen Grafieken Behalve recht evenredig en omgekeerd evenredig, zijn er nog andere mogelijkheden.  De formule van Huygens Volgens Huygens geldt T = 2√ ℓ. Bij een 9 keer zo lange slinger hoort een √9 = 3 keer zo lange periode. Je kunt deze evenredigheid zo opschrijven: T ~ √ℓ  De remweg van een auto De remweg van een auto is evenredig met het kwadraat van de beginsnelheid; of je de snelheid nu opgeeft in km/h of in ft/s, altijd zal een 2 keer zo grote snelheid leiden tot een 22 dus 4 keer zo lange remweg: xrem ~ v(0)2 (zie Extra).  Oppervlak en volume van een bol Voor het oppervlak A en het volume V geldt: A = 4πr2 dus A ~ r2 Evenredigheden tv oo r F Uit de tweede wet van Newton, a   m volgt: een 3 keer zo grote ΣF zorgt voor een 3 keer zo grote a en een 5 keer zo grote m zorgt voor een 5 keer zo kleine a. We zeggen dan: a is (recht) evenredig met ΣF en omgekeerd evenredig met m. Dit geef je kort zo aan: 1 a ~ ΣF en a ~ m Nie ge b rui 3 V  4 r 3 dus V ~ r3 Stel je hebt twee bollen. Op de omtrek van de eerste bol past je hand drie keer. Voor het beschilderen van het oppervlak heb je 2 potjes verf nodig en in het volume kun je 13 glazen water kwijt. Op de omtrek van de tweede bol past je hand vijf keer. - Hoeveel potjes verf heb je nodig voor het oppervlak en hoeveel glazen water kunnen erin? De verhouding van de omtrekken, en dus ook van de stralen, is 5 3  1,6   Het aantal potjes verf is 1,6..2 keer zo groot, dus 1,6...22 = 6. Het aantal glazen water is 1,6...3 keer zo groot, dus 1,6...313 = 60. ko ps ch oo l 279

[close]

p. 12

280 Natuurkundige wetten 16 Algemene technieken Waarom blijft de maan bij de aarde? Waarom trekt een magneet ijzer aan? Waarom stoten elektronen elkaar af? De natuurkunde geeft, wellicht tot je verbazing, geen antwoorden op deze vragen. Natuurkundigen proberen verschijnselen te verklaren en ‒ nog belangrijker ‒ te voorspellen. Newton’s wetten voorspellen bijna alle bewegingen om ons heen. Mm ΣF = m ∙a (= m ∙x ") en F  G g r2 Maar niemand begrijpt waarom nou net déze wetten gelden. Waarom is F evenredig met de tweede afgeleide van x en niet met de eerste of de derde; waarom staat er in de gravitatiewet r2 en niet r3? Newton constateerde dat de natuur zo in elkaar zat en weigerde antwoorden te verzinnen op de vraag ‘Waarom ... ?’. Wel weten we dat het heelal zoals wij dat kennen, niet zou bestaan als de wetten ook maar een beetje anders waren. Om daarvan een idee te geven: twee elektronen stoten elkaar elektrisch af en trekken elkaar aan volgens de gravitatiewet. De elektrische kracht is 4,17∙1042 (417 met 40 nullen) keer zo groot als de gravitatiekracht. Bij 39 of 41 nullen zou ons heelal ‒ en wij er bij ‒ er niet zijn. Fundamentele wetten Fundamentele wetten zoals F = m ∙a en E = m ∙c 2 zijn breed toepasbaar. Zo geldt de gravitatiewet zowel voor elektronen als voor planeten. De wetten van Hooke (F = C ∙u) en die van Ohm (U = I ∙R) beschrijven een speciaal praktijkgeval en zijn slechts beperkt toepasbaar. Fundamentele wetten zien er vaak simpel uit en hebben bijna altijd een wiskundige vorm. ge b Verifiëren en falsifiëren Een natuurkundige wet is nooit te bewijzen. Alle mooie grafieken met rechte lijnen vormen nog geen bewijs dat F = m ∙a waar is. Aan de andere kant: we hebben nog nooit een situatie gevonden waarin F = m ∙a niet geldig was. Omdat we wetten niet kunnen bewijzen (verifiëren) noemen we een uitspraak een wet totdat het tegendeel is bewezen (falsifiëren). Nie tv oo r rui ko ps ch oo l Een goede natuurkundige wet is falsifieerbaar, dat wil zeggen: je kunt experimenten verzinnen om hem te weerleggen. Het gevolg is dat één tegenvoorbeeld een wet onderuit kan halen. ‘De theorie gist, de proef beslist.’ Zo werd in de vorige eeuw aan de baan van Mercurius ontdekt dat hij 43 boogseconde per eeuw afweek van de baan die hij volgens Newton moest hebben. Probeer met je geodriehoek maar eens 43" (dat is 1/3600 van een graad) te meten! Einstein kwam in 1915 met zijn relativiteitstheorie waarmee hij de bewegingswetten van Newton door een stel nieuwe verving. Niet dat die wetten fout waren geworden, er was alleen van vastgesteld dat ze slechts bij ‘normale’ snelheden opgaan. Pas als de snelheid in de buurt komt van de lichtsnelheid, zijn de wetten van Newton aan vervanging toe. Een natuurkundige theorie is zelden helemaal goed of helemaal fout. Thomson vergeleek de voortgang in de natuurkunde met een legpuzzel. Stukjes van de puzzel passen zeker in elkaar, maar onduidelijk is nog waar zo’n groepje in het grote geheel thuishoort. Als je het verkeerd plaatst, is dat later te corrigeren zonder het groepje uit elkaar te halen. Neem de lichttheorie. Lichtstralen werden vervangen door lichtgolven en die weer door de fotonen. Maar dat betekende niet dat de lenzenformule niet klopt of dat lenzen anders gemaakt moeten worden. Wel dat lenzen verbeterd konden worden door ze te voorzien van een coating. Op die manier wordt de algemene theorie opgebouwd: de puzzel wordt steeds completer. Natuurkundig onderzoek Natuurkundig onderzoek bestaat niet uit lukraak meten; er komt altijd fantasie aan te pas. Wilde ideeën leiden soms tot iets dat anderen niet zagen. Soms leidt een toevallige ontdekking tot een nieuwe theorie. Als je een verkeerswet overtreedt, kun je in de gevangenis komen, maar als je met succes een natuurkundige wet omver haalt, krijg je de Nobelprijs.

[close]

p. 13

16.1 Afronden, rekenen en grafieken rechtbuigen De afgeleide functie Op p. 18 heb je gezien hoe je met raaklijnen aan een x(t)-grafiek de snelheid v kunt bepalen en op p. 26 staat hoe je met raaklijnen aan een v(t)-grafiek de versnelling a vindt. Wiskundigen zeggen dan dat ze de afgeleide functies van x(t) en v(t) maken en schrijven daarvoor: v(t) = x′(t) en a(t) = v′(t) = x″(t) Een paar voorbeelden :  We gooien van 25 m hoogte een steen omhoog met 12 m/s. - Bepaal de formules voor x(t) en v(t). Verwaarloos luchtweerstand. Oplossing Omhoog is positief en a wijst omlaag, dus a = −g. We zoeken dus een functie v(t) die als afgeleide functie −9,8 heeft. Dat levert: v(t) = −9,8∙t + constante Omdat v(0) = 12 m/s moet die constante de waarde 12 hebben. Daarna zoeken we de functie x(t) die als afgeleide functie −9,8∙t + 12 heeft. Dat is: x(t) = −4,9∙t2 + 12∙t + constante. Deze constante is 25, want x(0) = 25 m.  Nog één voorbeeld. Voor de afgeleide van een sinusfunctie geldt: f (x) = a∙sin(bx)  f ′(x) = ab∙cos(bx) In hoofdstuk 6 staat dat voor een harmonische trilling geldt: u(t) = A∙sin(2π ft) - Bewijs nu zelf: v (t )  2 A cos(2 f t ) en vmax  2 A T T Systematische fouten Als je met een liniaal de hoogte van dit blad opmeet en dan 25 cm opgeeft, zit je er 1 cm naast, ofwel 4%. Voor zo’n simpele meting is dat onaanvaardbaar. Bij andere metingen kun je echter met afwijkingen van 10% soms heel tevreden zijn. Oplossing v(t) = x′(t)  v(t) = v(0) + a∙t a(t) = v′(t)  a(t) = a Nie tv oo r  Voor de eenparig versnelde beweging vanuit rust leerde je in hoofdstuk 1 de formule x(t) = ½a∙t2. In het algemeen geldt: x(t) = x(0) + v(0)∙t + ½a∙t2 - Leid hieruit formules voor v(t) en a(t) af. Als je bij een proef meer dan één grootheid moet meten, draagt iedere meting bij aan de relatieve fout in het eindantwoord. Een meting kan bovendien meer dan één keer in een formule voorkomen, zoals bij het bepalen van g met: h (dit volgt uit h = ½gt2) g  22 t Een fout in t telt twee keer zo zwaar als een fout in h omdat t in het kwadraat staat. Stel je meet h tot op 0,2% nauwkeurig en t tot op 8% (vijf keer met een stopwatch) en je vindt g = 12,7 m/s2 − dus 30% ernaast. Is die 30% dan veel? Ja! 28=16% zou acceptabel geweest zijn. De afwijking is niet te verklaren uit de relatieve fouten van de metingen zelf. Er moet dus sprake zijn van een systematische fout waardoor je een veel te hoge waarde vindt. Je kunnen de proef verbeteren door een veel grotere h te kiezen. De fout in h zelf is te verwaarlozen, maar je krijgt dan vanzelf langere tijden met dus kleinere relatieve fouten. Omdat t dubbel telt, wordt het resultaat dan snel beter. ge b rui ko ps ch oo l 281

[close]

p. 14

282 16 Algemene technieken Schatten van de orde van grootte Je brengt je brommer bij de fietsenmaker voor een reparatie en je vraagt ‘Wat gaat dat kosten?’ ‘Dat kan ik zo niet zeggen, kom morgen maar terug.’ ‘Ja, maar wat kost het ongeveer? Moet ik op 5, 50 of 500 euro rekenen?’ Op zo’n vraag krijg je vast snel antwoord: ‘Nee, geen 500, het zal tussen de 100 en de 200 euro liggen.’ Of: ‘Nee, geen 5, maar tussen de 50 en de 100 euro.’ Meestal is zo’n schatting van de ‘orde van grootte’ voldoende om te beslissen of je de reparatie laat uitvoeren. Een getal onder de 10 rond je bijvoorbeeld af op 1, 5 of 10. Bij het oplossen van vraagstukken is het handig om te weten of de orde van grootte van je antwoord redelijk is. Je hebt dan eerder door dat je een rekenfout gemaakt hebt. Een fout tegen de orde van grootte wordt je vaak zwaarder aangerekend dan een ‘gewone’ rekenfout. Als je bijvoorbeeld een snelheid vindt die groter is dan de lichtsnelheid (3∙108 m/s) dan is er iets mis. Natuurkundigen schatten van tevoren in wat een experiment zal opleveren. Fermi bouwde in 1942 de eerste kernreactor, in Chicago. Hij was niet alleen beroemd door zijn werk op kernfysisch gebied, maar ook door zijn originaliteit. Zo liet hij bij het ontploffen van de eerste atoombom een handvol papiersnippers wegwaaien toen hij de schokgolf voelde en maakte daaruit op dat er ongeveer evenveel energie was vrijgekomen als bij het ontploffen van 10 000 ton TNT. Een paar weken later waren de ‘echte’ metingen bestudeerd en werd die schatting bevestigd. Feynman kon dat net zo goed als Fermi. Toen hij in Los Alamos aan de eerste kernbom werkte, kraakte hij voor de lol de safes met de geheime plannen door het aantal combinaties slim schattend te beperken. Fermiproblemen ge b Fermi werd beroemd door onoplosbaar lijkende opgaven die hij voor zijn medewerkers verzon. Later werden dat soort opgaven fermiproblemen genoemd. Hier volgen een paar voorbeelden. tv oo r Nie rui Dan moet gelden: 1  2,5 D 4   D  3, 4  103 km 70 384000 Rendement Schat het rendement van een gloeilamp bij deze planck-kromme. Oplossing Schat het oppervlak onder de kromme waarbij is aangegeven ‘zichtbaar spectrum’ in orden van 10. Zo kom je op 10% van het totale oppervlak (en niet 1% of 100%). ko ps ch oo l Hoeveel pianostemmers werken er in Chicago? Er woonden in die tijd circa drie miljoen mensen in Chicago. Een gezin bestond uit ... personen. Eén op de ... gezinnen had een piano. Een piano moet eens in de ... jaren gestemd worden. Eén stemmer kan per dag vier piano’s stemmen en hij werkt ... dagen per jaar. Op zo’n manier kwam Fermi op ongeveer 50 pianostemmers. Het kunnen er natuurlijk ook 37 zijn of 65, maar 8 is onwaarschijnlijk en 350 ook. Wat is de diameter van de maan? Stel je wilt − zonder in Binas te kijken − weten wat de diameter D van de maan is terwijl je alleen weet wat de afstand tot de aarde is: 384000 km. Oplossing Strek je arm (70 cm?) en meet hoe vaak de maan op je duim (2,5 cm?) past: 4 keer.

[close]

p. 15

16.1 Afronden, rekenen en grafieken rechtbuigen Hoe maak je een verslag?  Experimenteren Zorg voor een overzichtelijke opstelling zonder rommel op tafel. Ga systematisch te werk. In het ideale geval wijzig je steeds één grootheid en ga je na wat de invloed daarvan is op de andere. tv oo r In een verslag leg je uit wat je onderzocht hebt aan iemand die de proef niet gedaan heeft. De lezer moet de kans krijgen jouw beweringen te controleren. Op elke school legt iedere docent bij het nakijken van een verslag andere accenten en normen. Zorg ervoor dat je − voor je begint met het schrijven − weet wat er bij de verschillende onderdelen in het verslag van je wordt verwacht. Onderstaande indeling wordt vaak gebruikt. Ook bij jou op school? • Titel van het verslag. • Doel en hypothese. • Opstelling − met tekening of foto’s en legenda. • Theorie. Dit is meer dan het opsommen van formules! Geef aan welke grafieken je verwacht en welke constante er verstopt zit in de rc van de (rechtgebogen) lijn. • Resultaten en grafieken. Gebruik je Excel? Op de site vind je een korte cursus met de trucs om trendlijnen te maken. Buig met de juiste astransformatie kromme lijnen recht, zie p. 274 en 275. • Conclusie en foutendiscussie. Gebruik p. 271. Vergelijk experiment en theorie. In het verslag geef je aan hoe groot de nauwkeurigheid van je metingen is geweest. Opmerkingen als ‘De apparatuur was niet ideaal’ of ‘Ik heb meetfouten gemaakt’, worden niet gewaardeerd. Geef dan aan waar het gebrek uit bestond en leg uit hoe systematische fouten verklaard kunnen worden. Stond bijvoorbeeld de meter niet op nul toen je begon? Doe foute metingen over als daar nog tijd voor is. • Bronvermeldingen. Vaak zul je tijdens het experimenteren de opzet van je onderzoek nog wijzigen. Het is goed om daar melding van te maken. Geef je metingen in tabellen weer en zet een tabel indien mogelijk meteen om in een grafiek. Dan herken je sneller of de proef succesvol verloopt. Zuiver rekenwerk laat je weg. Nie ge b rui  Taal Besteed aandacht aan stijl en spelling. Schrijf niet: ‘We moesten ... .’ Gebruik korte en actieve zinnen en vermijd hulpwerkwoorden. Dus niet: Uit ons onderzoek is gebleken dat het verband tussen voeding en groei niet aantoonbaar is. Maar: Voeding heeft volgens ons onderzoek geen invloed op groei. Een verslag in krom Nederlands wordt in de regel niet geaccepteerd. Pas op met spellingscontrole, die leest over zoiets heen: ‘Het fel hout het ligt tegen.’ Het is geen schande iemand te vragen de fouten uit je tekst te halen.  Bronvermeldingen Aan het eind van het verslag neem je een lijst op met geraadpleegde literatuur. Je mag best informatie van Internet halen, als je dan maar niet doet alsof het om eigen werk gaat. ko ps ch oo l 283

[close]

Comments

no comments yet