Stevin 2016 - vwo - 15 Quantumwereld

 

Embed or link this publication

Description

Stevin 2016 - vwo - 15 Quantumwereld

Popular Pages


p. 1

15 Quantumwereld Iedereen weet dat je om spoken te vinden naar oude kastelen met dikke muren moet gaan, zoals dit kasteel van Dracula in Transsylvanië. Waarom is de kans bij jou thuis veel kleiner? Nie tv oo r ge b rui ko ps ch oo l

[close]

p. 2

250 15 Quantumwereld 15.1 Licht als golven en als deeltjes In de 17e eeuw twistten natuurkundigen over de lichttheorieën van Newton en Huygens. Twee eeuwen later leek het pleit beslecht door de proeven Fizeau en Foucault, maar in de 20e eeuw bleek dat beiden gelijk hadden. Wat is licht? Deeltjes of golven? Newton ging er van uit dat licht uit een stroom deeltjes bestaat. Als zo’n bundel in de buurt van water komt, zouden de deeltjes door het water worden aangetrokken. Volgens hem zou de lichtsnelheid in water dan ook groter zijn dan in lucht. Zo kon hij de breking van een lichtstraal naar de normaal toe verklaren. In zijn boek over lichtverschijnselen staat de figuur hierboven.In de theorie van Huygens speelde het begrip golflengte geen rol, zoals je ook in zijn figuur kunt zien: de afstand tussen de cirkels heeft geen vaste waarde. Volgens hem zou de lichtsnelheid in water juist kleiner zijn dan in lucht. Nie tv oo r Huygens daarentegen stelde zich voor dat de aarde is omgeven door een ‘zee’ van onzichtbare deeltjes zonder massa, de ether. Licht was volgens hem een soort golfbeweging waarbij de etherdeeltjes elkaar aanstoten en zo de trilling van de bron doorgeven. ge b rui ko ps ch oo l Newton had, onder andere door zijn Opticks, zo’n gezag verworven, dat iedereen in de 18e eeuw zijn deeltjestheorie van het licht accepteerde. Het sterke argument van Newton tegen de golftheorie was, dat licht zich via stralen rechtlijning voortplant. Een steen in een vijver geeft kringen en die zijn bij licht op het eerste gezicht afwezig. Toen die ‘kringen’ later bij licht toch aangetoond konden worden, verviel daarmee een van de belangrijkste bezwaren tegen de golftheorie. In het begin van de 19e eeuw begonnen een paar natuurkundigen zoals Young en Fresnel weer belangstelling voor de golftheorie van Huygens te tonen. Als licht uit golven bestaat, moest je er ook interferentieproeven mee kunnen doen: dan moest je licht met licht kunnen doven. De proef van Young In 1803 lukte het Young interferentie met twee lichtbundels aan te tonen. Hij liet zonlicht door een zeer klein gaatje een verduisterde kamer binnenkomen en met een smalle strip dun papier splitste hij de bundel in tweeën. Op een scherm een eind verderop was een interferentiepatroon te zien. Wij kunnen deze proef nadoen met een laserstraal. Om die voldoende nauw te maken, sturen we hem eerst door een speldenprik in aluminiumfolie. Het interferentiepatroon is direct op te vangen op de beeldchip in een spiegelreflexcamera waar de lens van af is gehaald.

[close]

p. 3

15.1 Licht als golven en als deeltjes Het intereferentiepatroon ziet er bij de proef van Young zo uit: Bij gebruik van wit licht zie je in het midden een brede witte vlek en daarnaast gekleurde lijntjes − violet aan de binnenkant en rood buiten. Bij gebruik van één kleur krijg je dit: Ondanks deze proef wilde vrijwel niemand van een golftheorie weten. Young werd met hoon overladen, men beschouwde zijn ideeën als een soort heiligschennis tegenover Newton. De vlek van Poisson In 1818 probeerde Fresnel het opnieuw. Poisson kwam toen met een argument dat Newton ook al had gebruikt: als Fresnel gelijk had en licht kon buigen, dan zou je in de schaduw van een speldenknop een lichte stip moeten zien. Poisson had dit, bij wijze van goede grap, als ‘belachelijk’ gedachtenexperiment verzonnen. Maar korte tijd nadat Fresnel hiervan hoorde, kon hij dit experiment vertonen. Wij doen de proef met een laserbundel die we op de knop van een speld richten. Op een scherm een eind verderop zie je in de schaduw inderdaad een heldere stip. tv oo r Buiging Als je met een scherp mes een snee maakt in een papiertje en door de kier naar een streepvormige lichtbron kijkt, zie je strepen in allerlei kleuren. Grimaldi beschreef al in 1665 zo’n proef en hij trok de conclusie ‘dat in licht een zeer fijne golfbeweging schijnt voor te komen’. Nie ge b rui Ringen van Newton Bij goedkoop dubbel glas zie je soms gekleurde ringen. Newton heeft dit soort verschijnselen zeer nauwkeurig onderzocht, vandaar dat we over ‘ringen van Newton’ spreken. Hij verklaarde de kleuren door aan te nemen dat in een lichtstraal afwisselend gebiedjes voorkomen die bij een grensvlak goed dan wel slecht terugkaatsen. Hij bouwde een soort ‘golflengte’ in. Daarom moest hij ook niets hebben van de theorie van Huygens want die werkte met golven zonder golflengte en kon dan ook geen verklaring voor de kleuren geven. Uit zeer nauwkeurige metingen kon Newton zelfs aangeven hoe ver die ‘Fits of easy Reflection’ van elkaar lagen: 1/89000 deel van een inch voor het oranje-gele gebied. Dat past zeer goed bij een halve  van oranje-geel licht. Longitudinaal of transversaal? Huygens ging uit van longitudinale golven in de ether. Uit allerlei proeven is later gebleken dat de ether niet bestaat: licht plant zich voort door vacuüm − door het niets. Wat dat betreft is er dus verschil met geluid. Daarbij trillen luchtdeeltjes, bij licht trillen geen etherdeeltjes. Verder bleek dat licht niet uit longitudinale golven bestaat maar uit transversale. Met longitudinale golven kun je bijvoorbeeld de werking van een polaroidbril niet verklaren, met transversale golven wel. De golftheorie in de 19e eeuw verder uitgewerkt door Fresnel. Hij ging uit van transversale golven en voerde een golflengte in. Pas in 1849, na zijn dood, werden de lichtsnelheden in lucht en water gemeten. Toen bleek dat de snelheid in lucht groter is dan de snelheid in water of glas. De golftheorie verdiende dus de voorkeur boven de deeltjestheorie. ko ps ch oo l 251

[close]

p. 4

252 15 Quantumwereld Toch deeltjes? Als je door een tralie naar de gloeidraad van een lampje in de verte kijkt, zie je kleuren. Verminder je de spanning waarop het lampje brandt, wordt niet alleen het licht zwakker, maar verdwijnt ook de blauwe kant van het spectrum (zie p. 240). In 1900 verzon Planck een truc om te verklaren waarom een lamp zo moeilijk licht van hoge frequenties uitzendt (blauw, UV, ...): stel dat een lamp zijn licht uitzendt in precies afgepaste energiepakketjes Ef (quanta) die evenredig zijn met de frequentie van de straling, krijgen we dan de goede grafiek? (Zoals een cent de kleinste munt is, zo is een quantum de kleinste portie stralingsenergie.) Planck schreef voor de grootte van een energiequantum Ef = hf. Hierin is f de frequentie van de straling en h een constante die later de constante van Planck werd genoemd. In de economie van de natuur is h de kleinste munteenheid: h = 0,00000000000000000000000000000000066 Js De waarde van h is heel klein, 6,6∙10−34 Js, maar niet nul. Geen wonder dat het zo lang duurde voor de korrelstructuur van stralingsenergie ontdekt werd. Zelf was Planck helemaal niet tevreden over zijn kunstgreep en hij hoopte dan ook dat die bij verder zoeken weer overbodig zou worden, maar die wens ging niet in vervulling. Bij alle experimenten uit de 20e eeuw bleek dat straling inderdaad in ondeelbare pakketjes wordt uitgezonden (en opgevangen). De korrels energie werden later fotonen genoemd. Ef = hf ge b energie van een foton Voorbeeld De energie van gele fotonen  Bereken de energie van gele fotonen (λ = 590 nm) in J en in eV. tv oo r Egeel  3,371019  2,10 eV 1, 6010 19 De energie van fotonen wordt vaak in elektronvolt uitgedrukt. (Doen) Oplossing Gebruik f = c/λ  Ef = hc/λ Invullen geeft Egeel = 3,37∙10−19 J en Nie rui ko ps ch oo l Het foto-elektrisch effect Proef 1 Een elektroscoop ontladen met UV Op de knop van een elektroscoop is een plaatje zink aangebracht.  We laden de elektroscoop negatief (met een gewreven staaf pvc) en bestralen het zink met UV: de uitslag verdwijnt.  Als we de elektroscoop positief laden (met een gewreven staaf perspex) en daarna met UV bestralen, zien we niets gebeuren. We kunnen deze proef als volgt verklaren: door de UV-fotonen worden elektronen uit het metaal losgeslagen; alsof het om een botsing gaat tussen een foton en een elektron. Daarna worden de elektronen door de negatieve plaat weggestoten. Dit gaat net zolang door tot de plaat een beetje positief is geworden. Als de plaat positief is, worden ook elektronen losgemaakt, maar die keren meteen terug. Een positief geladen elektroscoop wordt dus niet ontladen. Nadat Thomson in 1897 het elektron ontdekt had, kwam het vast te staan dat het elektronen zijn die door UV uit een metalen plaat worden losgemaakt. Men noemde dit het foto-elektrisch effect. Bij nauwkeurig onderzoek bleek dat licht alleen dan elektronen vrij kan maken als de golflengte klein genoeg is. Een zwakke bundel UV maakt elektronen uit zink los, een sterke bundel zichtbaar licht niet; hoe intens de bundel ook is. Bij ieder metaal bleek een zogenaamde grensgolflengte λg te horen. Bij λ ≤ λg lukt het wel, bij λ > λg niet. Hoe ‘edeler’ het metaal, hoe kleiner λg. Zo laat goud pas elektronen gaan als λ < 263 nm en cesium al als λ < 639 nm.

[close]

p. 5

15.1 Licht als golven en als deeltjes De impuls van een foton Golven of deeltjes? In de theorieën van Fresnel en Maxwell over elektriciteit en licht is de grensgolflengte net zo onbegrijpelijk als de kleurverandering van een lampje als dat zwakker gaat branden. Daarom kwam Einstein in 1905 met een theorie waarvoor hij in 1921 de Nobelprijs kreeg. Hij ging ervan uit dat een foton een écht deeltje is (een soort kogeltje) dat een elektron uit een metaal weg kan stoten. Bewegende gewone deeltjes bezitten behalve kinetische energie (Ek = ½mv2) ook een impuls (een vector) p  mv . Ek = ½mv2 en p  mv gewoon deeltje Het foton bezit volgens Einstein ook een impuls, maar omdat het geen massa heeft, gelden er andere formules voor de energie en de impuls. Ef = h f en Toen Einstein zijn theorie publiceerde, vond hij weinig gehoor. De fotonen leken teveel op de lichtkogeltjes van Newton en daar was men nu net van af dankzij de interferentieproeven. Zelfs Planck vond het onzin, want die hoopte nog dat de truc met de quanta op den duur overbodig zou zijn. Hij gebruikte die alleen maar om de straling van een bron tijdens de uitzending te berekenen en hij stelde zich voor dat zo’n quantum daarna in golfvorm verder ging. Einstein maakte in zijn ogen de zaak alleen maar erger door ervan uit te gaan dat een quantum ook na uitzending als pakketje bij elkaar blijft. Golfpakketjes hf pf  c foton Pas de wet van behoud van energie toe: Ef = Wu + Ek,elektron  hf = hfg + ½mv2 Alleen als het foton ‘blauw’ genoeg is (λ klein genoeg of preciezer: f ≥ fg) zal een elektron uit het metaal gestoten worden. Het vermogen van de bundel (het aantal fotonen per seconde) maakt daarbij niet uit. Nie tv oo r ge b Volgens Einstein wordt de energie Ef van een foton in z’n geheel door een metalen plaat opgenomen. Als die energie groot genoeg is, wordt een elektron losgemaakt. De arbeid Wu die dat losmaken minstens kost, heet de uitreeenergie. De fotonen die nét in staat zijn om die energie te leveren, hebben de grensfrequentie fg met de energie hfg (zie tabel 24 van Binas). Als een metaal bestraald wordt met fotonen die méér energie bezitten, wordt het overschot als kinetische energie meegegeven aan het losgemaakte elektron. rui In 1923 ontdekte Compton dat bij botsingen tussen fotonen en stilstaande elektronen ook de behoudswet van impuls geldt. Voor de impulsvectoren leidt dat tot: pfoton, vóór  pfoton, ná  pelektron, ná Het blijkt dat je aan λ, λ en φ genoeg hebt om na te gaan of aan de formule voldaan is (zie Extra). Pas na deze proef werd echt geaccepteerd dat de elektriciteitsleer van Maxwell en de mechanica van Newton speciale gevallen zijn van een algemene theorie: de quantummechanica. Bij interferentieproeven gedraagt licht zich als golf, maar bij het foto-elektrisch effect als deeltje. Om het dualistische karakter van licht aan te duiden, spreekt men daarom wel van golfpakketjes, half golf, half deeltje, omdat we ons graag iets willen voorstellen. Eddington noemde het ‘wavicles’ (waves en particles). ko ps ch oo l 253

[close]

p. 6

254 15 Quantumwereld Opgaven 15.1 1 Hoe verandert het patroon bij een dubbele spleet en monochromatisch licht, als we: a de afstand tot het scherm vergroten; b de spleten verder van elkaar zetten; c roder licht gebruiken? 2 Een van deze opnamen is gemaakt met rood licht en de andere met groen licht. - Bij welke opname hoort het groene licht? 3 ge b 4 Een ‘tralie’ bestaat uit veel spleten die zeer dicht bij elkaar staan. Dat levert scherpe maxima waarvoor dezelfde formule geldt als voor de dubbele spleet. Een lichtsensor is gemonteerd op een hoeksensor. Met laserlicht van 633 nm, een tralie en die sensoren is deze grafiek gemeten: tv oo r a1 Bepaal α1. a2 Bereken hiermee de tralieconstante d. Nie rui 8 In een baai is een rechte dam gebouwd met een smalle opening. Vanuit zee komen de golven evenwijdig aan de dam aan. - Welke vorm hebben de golven in de baai? A evenwijdig aan de golven op zee; B cirkelvormig; C dat ligt aan de hoogte van de golven. ko ps ch oo l 5 6 Een laser zendt monochromatisch licht met  = 633 nm uit; het vermogen van de bundel is 1,0 mW. a Wat is de kleur van de laser? b Bereken de energie van de fotonen in J en eV. c Hoeveel fotonen levert de laser per seconde? In een vacuüm gezogen bol wordt de kathode K bestraald met licht; λ = 617 nm. Uit K worden hierdoor elektronen losgemaakt. De anode A wordt negatief gemaakt t.o.v. K. Vanaf −0,06 V kunnen de elektronen A niet meer bereiken. De meter wijst dan 0 μA aan. a Leg uit dat de elektronen de kathode verlaten met 0,06 eV. b Bereken de energie in eV van de fotonen. c1 Bereken de uittree-energie in eV van het metaal waarvan K gemaakt is. c2 Welk metaal kan dit zijn? c3 Wat is de grensgolflengte van het metaal? 7 a Met welke proef is aangetoond dat licht een golfverschijnsel is? b Met welke proef is aangetoond dat licht een deeltjeskarakter heeft? c Wat wordt met het dualistische karakter van licht bedoeld? Voor de impuls p van een gewoon deeltje geldt een andere formule dan voor die van een foton. a Geef de twee formules voor p. b Toon aan dat voor de kinetische energie van een gewoon deeltje geldt: Ek = p2/2m. c Toon met een eenhedenbeschouwing aan dat de formule voor pfoton de juiste structuur heeft.

[close]

p. 7

15.1 Licht als golven en als deeltjes 15.2 Spectra Tot eind 19e eeuw werden atomen beschouwd als min of meer harde bollen. Toen Thomson had aangetoond dat metalen soms elektronen uitzenden, werd de vraag gesteld waar in het atoom die elektronen dan wel zitten. Modellen  Het atoom is vrijwel leeg op een zeer kleine kern na. Een kern heeft in verhouding evenveel lege ruimte om zich heen als een vlieg in een kathedraal.  De kern bevat alle positieve lading en bijna alle massa van het atoom.  Rondom de positieve kern draaien negatieve elektronen, min of meer als de planeten om de zon. De elektrische kracht zorgt voor de centripetale kracht. Spectra Kijk eens door een tralie naar het licht van een natriumlamp of een spaarlamp (met kwik). Als je bij Google Flame Colors intikt, zie je van ieder element als het ware een vingerafdruk in kleur. Balmer had voor de frequenties van de lijnen van het waterstofspectrum (zie tabel 21A van Binas) een formule ontdekt: Nie tv oo r ge b rui Alles en iedereen bestaat uit slechts drie deeltjes: protonen, neutronen en elektronen. Omdat niemand het atoom en de elektronen kon zien, maakte men modellen om te begrijpen wat er aan de hand is. Eén van de eerste modellen was het krentenbolmodel van Thomson. In een homogene positieve bol zouden de negatieve elektronen regelmatig verspreid zitten. Om dit model te testen, kwam Rutherford, de vroegere assistent van Thomson, op het idee dunne metaalfolies met α-deeltjes te beschieten. Op grond van deze proeven kwam hij tot een zonnestelselmodel: Maar wat die formule betekende, wist niemand. Waarom zendt waterstof alleen deze frequenties uit? Waarom gedraagt het atoom zich als een piano: bepaalde tonen zijn mogelijk, maar allerlei tussentonen niet? Dit lijnenspectrum kon niet verklaard worden met de wetten van Maxwell of met het zonnestelselmodel. Sterker nog: het atoom van Rutherford zou niet eens kunnen bestaan. Elektronen in kromme banen zenden energie uit en storten tenslotte op de kern. Tijdens zo’n spiraalbaan zou geen lijnenspectrum ontstaan, maar een spectrum met alle kleuren van de regenboog, een continu spectrum. De natuurkunde aan het einde van de 19e eeuw was in een crisis beland. Het schillenmodel van Bohr Volgens Rutherford was iedere baan rond de kern in principe mogelijk. Een leerling van hem, Bohr, trok uit het lijnenspectrum van waterstof de conclusie dat niet iedere baan is toegestaan. Kort nadat hij in 1913 de formule van Balmer voor het eerst gezien had, kwam hij met drie stellingen.  Een elektron kan alleen in stationaire banen (schillen) om de kern draaien. Het atoom zendt geen straling uit als het elektron in zo’n schil ronddraait.  Het atoom neemt energie op door een elektron naar een buitenbaan te laten springen: absorptie. Als het elektron ‘terugvalt’ naar een binnenbaan komt die energie weer vrij in de vorm van straling: emissie.  Het energieverschil ΔE tussen die twee banen hangt samen met de frequentie f van de straling volgens deze formule: |ΔE|= hf Hoewel de formule van Planck in zijn derde stelling voorkomt, heeft Bohr zich lang tegen de ideeën van Einstein over fotonen verzet. ko ps ch oo l 255   f  k  1  12  m = 3, 4, ... en k een constante 4 m  

[close]

p. 8

256 15 Quantumwereld Het waterstofatoom volgens Bohr Bohr kon niet uitleggen waarom dit de juiste stellingen waren, maar hij kon er wel de energie mee berekenen van elektronen in hun banen om de waterstofkern. Voor En en rn van de baan met nummer n leidde hij af (Extra): En  E1 H-atoom Bohr en rn  n2  r1 n2 met E1 = –13,6 eV en r1 = 5,3∙10−11 m  E1 en r1 horen bij de grondtoestand. Het elektron is dan zo dicht mogelijk bij de kern. r1 wordt de straal van het H-atoom genoemd (zie a0 in Binas tabel 7A).  Bij hogere waarden van n is En minder sterk negatief en heeft het atoom dus energie opgenomen. Het is dan in een aangeslagen toestand gekomen.  n = ∞ betekent dat er zoveel energie is toegevoerd dat het elektron los is van de rest van het atoom. Het atoom is dan geïoniseerd. Zie tabel 21C van Binas voor de ionisatie– energieën van verschillende atoomsoorten. Nie tv oo r ge b Om een elektron uit de binnenste baan van een H-atoom (de grondtoestand) te verwijderen moet je dus 13,6 eV toevoeren: de ionisatie-energie is 13,6 eV. Omgekeerd komt 13,6 eV vrij als een waterstofkern een elektron vangt en in zijn binnenste baan opneemt. rui ko ps ch oo l Energieniveaus De theorie van Bohr was een mengsel van onbegrepen stellingen die in strijd waren met de klassieke natuurkunde en klassieke regels die toevallig wél goed bruikbaar waren. Bohr was de eerste om deze bezwaren te zien. Zo was het merkwaardig dat de waargenomen frequenties niets te maken hadden met het toerental van het elektron in een toegestane baan. Alleen als je n naar ∞ laat gaan, komen die frequenties overeen. Steeds meer kwam men dan ook tot de conclusie dat de klassieke regels niet bruikbaar waren. Alleen de energietoestanden van het atoom bleken van belang te zijn en niet de elektronenbanen. Toen het idee van de banen werd verlaten, begon men trapschema’s te gebruiken om de energieniveaus van een atoom aan te geven. In het volgende energieschema zijn twee schalen voor de energie gebruikt. De negatieve waarden met E∞ = 0 eV volgen uit de theorie van Bohr. De positieve waarden met E1 = 0 eV zijn handiger om energieverschillen te berekenen (zie Binas tabel 21A). Alle sprongen naar één niveau geven in het spectrum een familie van lijnen. De serie lijnen die Balmer met zijn formule kon beschrijven, ontstaan bij de overgang van de niveaus m = 3, 4, 5, ... naar niveau 2. Naast de balmerserie zijn later de lymanserie en de paschenserie gevonden.

[close]

p. 9

15.2 Spectra Opgaven 15.2 9 De formule van Balmer heeft later deze vorm gekregen:   f  k  12  12  m  n In tabel 21A van Binas staan de spectraallijnen die ontdekt zijn door Paschen. a Welke waarden van n en m horen bij deze lijnen? b Bereken de waarde van k. Volgens Bohr geldt: E1 met E1 = −13,6 eV. En  2 n a Bereken ΔE voor de overgang tussen de banen 5 en 1. b1 Bereken de waarde van λ die hierbij hoort. b2 Vergelijk jouw berekening met tabel 21A van Binas. In dit energieschema zijn twee overgangen getekend. 13 Het spectrum van kwik bevat de volgende lijnen (in nm): 185; 254; 405; 436; 546; 579. a1 Welke lijnen zitten in het UV? (Gebruik tabel 20 van Binas.) a2 Wat is de kleur van de overige lijnen? ►Dit is het sterk vereenvoudigde energieschema van een kwikatoom: 10 11 a Bij welke overgang komt straling vrij? b Welke overgang kan het gevolg zijn van een botsing met een ander atoom? c Hoeveel emissielijnen zijn in principe mogelijk bij dit schema? 12 Stel dat dit het spectrum van een atoom is: a Bereken de energie van de fotonen die bij deze lijnen horen. b Laat zien dat je deze lijnen met drie energieniveaus kunt verklaren. c Is het mogelijk om hiermee de ionisatie-energie van dit atoom te bepalen? Nie tv oo r ge b rui b Bereken de energie van de fotonen die horen bij de lijnen 405, 546 en 579 nm. c Geef de bijbehorende overgangen aan in het schema. 14 a Zoek in Binas de ionisatie-energie op van natrium. ►Het gele natriumlicht bestaat uit twee golflengten: 589,0 en 589,6 nm. Deze worden uitgezonden als het atoom van de eerste aangeslagen toestand ‘terugvalt’ naar de grondtoestand. b Bereken de energie van die niveaus. ►Een elektron met een kinetische energie van 50,0 eV botst tegen een natriumatoom. Na afloop is zijn energie 46,2 eV. c Wat zal er met de ontbrekende 3,8 eV gebeurd zijn? d1 Welke straling vind je na zo’n botsing als het atoom terugvalt naar de grondtoestand? d2 Is die straling zichtbaar? e Verwerk alle gegevens in een energieniveauschema van het natriumatoom. ko ps ch oo l 257

[close]

p. 10

258 15 Quantumwereld 15.3 Deeltjes en golven In het begin van de jaren twintig van de vorige eeuw was de ontwikkeling van de atoomtheorie min of meer op een dood spoor gekomen. De Broglie; deeltjes en golven b  h  h p mv ge b debroglie-golflengte rui De Broglie kwam toen met een nieuw idee. Hele getallen, zo redeneerde hij, kom je in de natuur alleen maar tegen bij staande golven. Bovendien, als je lichtgolven kunt opvatten als deeltjes, dan kun je bewegende elektronen en andere deeltjes misschien ook opvatten als golven. In 1924 werkte hij dit verder uit in zijn proefschrift. Hij stelde zich voor dat een elektron als het ware vergezeld is van een ‘materiegolf’, zoals het foton vergezeld is van een lichtgolf. Hoe sneller het elektron beweegt, hoe kleiner zijn golflengte. Dat we daar bij zichtbare deeltjes niets van merken, komt doordat de golflengte zo klein is. Hij kende de formules van Einstein voor de energie en impuls van fotonen. hf h Ef  hf en p   c  Voor de golflengte van materiegolven zou dan omgekeerd moeten gelden: Debroglie-golven en het model van Bohr Nie tv oo r Als je deze ideeën toepast op een elektron in een toegestane baan, krijg je vanzelf de eerste stelling van Bohr. Een staande golf in een koord kan alleen maar bestaan als het koord een geheel aantal halve labda’s is. Een staande elektronengolf past alleen maar op de omtrek van de baan als hij zichzelf in de staart bijt, anders dooft hij zichzelf uit. In het algemeen: 2π rn = n∙λb ko ps ch oo l Interferentie met elektronen röntgenstralen door aluminiumvijlsel De elektronenmicroscoop De Broglie voorspelde dat elektronen bij passeren van een nauwe opening, net als echte golven, interferentie zouden vertonen, maar hij kon niemand overtuigen de proef te doen. Zijn promotors zagen in dit alles ook niet meer dan wat aardige wiskundige oefeningen zonder enige natuurkundige betekenis. Einstein echter vroeg de experimenteel-fysicus Franck of die geen proef kon verzinnen om de ideeën te toetsen. Die antwoordde dat het experiment waarschijnlijk net te voren was uitgevoerd, namelijk door Davisson en Germer. Met een bundel snelle elektronen op een metaalkristal leek iets mis te zijn gegaan want de verstrooide elektronen vertoonden een interferentiepatroon – alsof het golven waren met kleine golflengte! Foto’s zoals hieronder bevestigden het gelijk van De Broglie. elektronenstralen door aluminiumfolie De kleinste afstand tussen twee punten die nog gescheiden kunnen worden waargenomen, noemt men het oplossend vermogen δ. Deze δ is evenredig met λ; zo is δ = 300 nm bij geel licht. Als je iets heel kleins wilt bekijken, moet je dus licht met kleine golflengte gebruiken. Niet voor niets gaat men over op Blu-Ray discs met een golflengte van 405 nm. Nog kleinere δ bereik je met snelle elektronen, want λb = h /(mv). Theoretisch kan δ op die manier 106 keer kleiner worden; in de praktijk haalt men ‘maar’ 103. De lenzen in een elektronenmicroscoop zijn overigens niet van glas, maar er worden meestal magnetische velden gebruikt om de elektronen te bundelen.

[close]

p. 11

15.3 Deeltjes en golven Interferentie met twee spleten Een bundel fotonen of elektronen wordt op een dubbelspleet af gestuurd en zorgt op een scherm, een stuk verderop, voor een interferentiepatroon. Daar zijn we intussen aan gewend, elektronen kunnen zich net als fotonen als golven gedragen. Hoewel Einstein een van de grondleggers van de quantummechanica is, heeft hij zich zijn hele leven tegen dit soort onbepaaldheden verzet. ‘God dobbelt niet’ is een bekende uitspraak van hem. Hij beschouwde de quantummechanica dan ook als een incomplete theorie waarmee je alleen tot statistische uitspraken kunt komen. Hij was er van overtuigd dat er een dieper liggende theorie ontwikkeld zou kunnen worden. Proef 4 Dr. Quantum - Double Slit Experiment Bekijk dit filmpje via de de rubriek Filmpjes-9 Quantumwereld op de site. Maar het interferentie-patroon ontstaat óók als we de intensiteit zó laag maken dat er maar één elektron tegelijk aankomt! Doe je deze proef met fotonen, dan krijg je hetzelfde resultaat. De elektronen en de fotonen komen elkaar dus onderweg niet tegen en tóch hebben ze last van elkaar. Ze gaan één voor één door de gaten, maar blijkbaar ‘weten’ ze dat er twee gaten open zijn. Deze proef is volgens Feynman de meest fundamentele proef van de quantumnatuurkunde. In ieder geval is dit experiment moeilijk te begrijpen als je klassiek blijft denken. Het kan nog vreemder. Als je een poging doet om te weten te komen door wélke opening het elektron op weg was en een of andere detector als waarnemer plaatst, is het interferentiepatroon opeens zoek! De natuur weigert het antwoord als je de verkeerde vraag stelt. Quantummechanica Als een elektron of foton zich nog voor de spleten bevindt, is niet te voorspellen waar het na de spleten terecht zal komen. Dat komt niet door gebrekkige meettechnieken maar is een kenmerk van de quantummechanica. Het lijkt of er wordt gedobbeld over de vraag waar het foton terecht zal komen. Nie tv oo r De ideeën van de Broglie werden uitgewerkt door Schrödinger in de golfmechanica. Hij bouwde voort op het werk van Hamilton uit de 19e eeuw. Die had de mechanica van Newton zodanig herschreven dat er bepaalde overeenkomsten bleken te bestaan tussen golven en deeltjes. Schrödinger kwam zo tot een vergelijking waarmee hij een elektron kon beschrijven als een materiegolf. (Lees en Prijsvraag 14) Ongeveer in dezelfde tijd pakte Heisenberg de problemen op een heel andere manier aan. Het enige wat je waarneemt, zei hij, zijn spectraallijnen met bepaalde intensiteiten. Die lijnen hangen samen met veranderingen in de energietoestand binnen een atoom. Voor sommige veranderingen is de kans dat ze optreden groot, je ziet dan een sterke lijn; voor andere is de kans klein of zelfs nul. Het lukte Heisenberg al die waarnemingen in wiskundige vorm te gieten. Zo ontstond de matrixmechanica. Na enige tijd lukte het Schrödinger aan te tonen dat de twee theorieën wiskundig gelijkwaardig zijn. Sindsdien spreken we van de quantummechanica. Het is uiteindelijk niet gelukt om aan de materiegolven van de Broglie en Schrödinger een concrete fysische betekenis te geven. De enige interpretatie die overbleef, was dat je er de kans mee uit kunt rekenen, dat je een deeltje ergens zult aantreffen. ge b rui ko ps ch oo l 259

[close]

p. 12

260 15 Quantumwereld De onbepaaldheidsrelatie Laplace (rond 1800) had de wetten van Newton verder uitgewerkt en dacht dat de toekomst van een deeltje vast lag als je op één moment de precieze plaats en impuls wist. Het determinisme vierde in die dagen hoogtij. Maar met drie deeltjes liep dat idee meteen al spaak. Heisenberg maakte het met zijn beroemde onbepaaldheidsrelatie nog erger: zelfs voor één deeltje lukt het niet. De toekomst ligt niet vast. Hij ontdekte dat uit de quantummechanica volgt dat de plaats en de impuls van een golfpakket niet tegelijkertijd nauwkeurig bekend kunnen zijn. De natuur weigert het antwoord als je naar de precieze plaats en impuls op één moment vraagt. Dit is geen gevolg van gebrekkig meten zoals bij de foto’s van een hard rijdende motor. Belicht je te lang dan is de snelheid goed te zien, maar de motor is onscherp. Belicht je te kort, dan zou de motor net zo goed stil kunnen staan, je hebt geen idee van de snelheid. Noem je de onbepaaldheid in de plaats Δx en de onbepaaldheid in de impuls Δp, dan geldt voor het produkt van die twee:  x p  h 4π ge b onbepaaldheidsrelatie tv oo r Deze relatie geeft aan dat je de impuls p alleen maar precies (Δp = 0) kunt kennen als je van de plaats x niets weet (Δx = ∞) en omgekeerd. Je zou kunnen zeggen, dan meet ik eerst de plaats en daarna de impuls of eerst de impuls en daarna de plaats. Het blijkt dat je dan twee verschillende antwoordparen krijgt en dat je geen zekerheid hebt welke uitkomst de goede is. Bij planeten, auto’s, tennisballen en fietskogeltjes merken we hier niets van omdat h zo klein is. In de quantummechanica speelt deze relatie een belangrijke rol. Nie rui ko ps ch oo l Voorbeeld Waar is het elektron? Hoe breed is een golfpakket?  Je stuurt een foton met impuls p = h/λ af op een elektron om zijn plaats xe te vinden. - Waarom lukt dat niet volgens Heisenberg? Oplossing Het foton draagt wat impuls of al zijn impuls over op het elektron, dus ∆pe ≈ h/λ. Voor ∆xe kun je verwachten: ∆xe ≈ λ. Voor het product vinden we dus: Δxe∙Δpe  h, dus > h/4π. Een foton dat wordt weergegeven als een golfpakket heeft een bepaalde breedte. Dit golfpakket is wiskundig te maken door drie sinussen met iets verschillende golflengten bij elkaar op te tellen. In het midden hebben alle golven dezelfde fase. Links en rechts van het midden nemen de faseverschillen toe met als gevolg dat de golven elkaar daar uitdoven. Gebruik je meer sinussen rondom een gemiddelde golflengte dan ontstaat een smaller golfpakket. Een smaller golfpakket betekent dat de positie nauwkeuriger is bepaald. Maar meer sinussen met verschillende golflengten betekent dat de variatie in impuls (p = h/) groter is. Blijkbaar is het niet mogelijk plaats en impuls van een golfpakket tegelijkertijd nauwkeurig te meten.

[close]

p. 13

15.3 Deeltjes en golven Het tunneleffect Het tunneleffect bij α-deeltjes Stel dat je een deeltje hebt dat volledig elastisch tussen twee wanden heen en weer kaatst en dat het volgens de klassieke natuurkunde niet genoeg energie heeft om door of over die wanden heen te gaan. Volgens de quantummechanica horen bij zo’n deeltje staande schrödingergolven die bij niet al te dikke of hoge wanden zelfs buiten AB nog een ‘staart’ hebben, zeker als de massa niet te groot is. Het kwadraat van de amplitude geeft de kans aan om daar een deeltje te vinden. Hier is die kans geschetst voor de eenvoudigste golf. Het tunnelende deeltje ‘leent’ gedurende korte tijd Δt een beetje energie ΔE en dringt daarmee door de wand. Waarschijnlijkheidsverdeling tv oo r In de quantumwereld bewegen elektronen niet in echte banen om de atoomkern. Een elektron is als een soort wolk om de kern uitgesmeerd. De wolk kun je opvatten als de waarschijnlijkheidsverdeling van het elektron. Als je bij een H-atoom heel vaak zou meten waar een elektron zich in de eerste aangeslagen toestand (n = 2) rond de kern bevindt en telkens op die plek een stipje zet, dan krijg je een ring te zien waar de stipjesdichtheid groot is. De kans om het ergens in de ring aan te treffen is groot. Nie ge b 4π rui Midden tussen A en B is de kans om het deeltje aan te treffen het grootst. Maar ook buiten AB is er nog een kleine kans. Dit noemt men het tunneleffect, het lijkt net of het deeltje door een tunnel in de wanden weg kan lekken. Het tunneleffect kun je enigszins begrijpen met een tweede manier waarop de onbepaaldheidsrelatie geschreven kan worden:  E t  h Omdat h zo klein is, is de kans praktisch nul dat wij opeens buiten een afgesloten kamer zouden worden aangetroffen. De kans dat dit gebeurt is zo klein dat we langer zouden moeten wachten dan het heelal bestaat. Op atomair niveau zijn zulke tunneleffecten echter heel gewoon. In 1928 werd bijvoorbeeld α-emissie met het tunneleffect verklaard en dat gaf meteen vertrouwen in de nieuwe theorie, de quantummechanica. In een atoomkern bewegen protonen en neutronen min of meer vrij, maar soms lekken twee protonen en twee neutronen samen als één α-deeltje naar buiten. Ook hier wordt, om met Einstein te spreken, ‘gedobbeld’. Een atoomkern is op te vatten als een ‘put’ met ondoordringbare wanden binnenin een berg. De put ontstaat door de sterke aantrekkende kernkrachten. Buiten de put ondervindt het α-deeltje afstotende coulombkrachten van de protonen in de kern. De bodem van de put ligt op ‘grondniveau’. Een α heeft een energie van ongeveer 7 MeV en dat is in stabiele atoomkernen lang niet voldoende om de berg over te steken. Bij radioactieve kernen blijkt de ‘berg’ laag genoeg te zijn, zo’n 28 MeV, om tunnelen mogelijk te maken. Hoe hoger en hoe breder die berg, hoe kleiner de kans dat een αdeeltje erdoorheen komt. Bij stabiele kernen is er geen doorkomen aan. Zolang het alfadeeltje zich in de put bevindt, kun je er een staande schrödingergolf aan toekennen. Tijdens het tunnelen neemt de amplitude sterk af. Buiten de kern heb je te maken met een lopende golf, of − wat immers hetzelfde is − met een vrij alfadeeltje. De temperatuur in het binnenste van de zon is net iets te laag om kernfusie mogelijk te maken. Door het tunneleffect gebeurt het toch. Gelukkig maar. In Scanning Tunneling Microscopen (STM) wordt bewust gebruik gemaakt van het tunneleffect. ko ps ch oo l 261

[close]

p. 14

262 15 Quantumwereld Gevangen in een nanodwangbuis Bekijk een deeltje dat alleen maar heen en weer kan bewegen in een dicht buisje met lengte L, populair gesproken: een deeltje in een doosje. Zo’n deeltje in een dichte buis staat model voor een elektron in een langgerekt molecuul of voor een elektron in een metaaldraadje. Klassiek, volgens de mechanica van Newton, kan het elektron zich overal in de buis tussen 0 en L bevinden en alle mogelijke snelheden en energieën bezitten. Hoe zit dat in de quantummechanica? Volgens Schrödinger en de Broglie hoort er bij zo’n deeltje een golffunctie. Bij gewone golven geven we de uitwijking aan met de letter u, hier gebruiken we de Griekse letter ψ. Stationaire toestanden vind je als je deze eis stelt: L = n∙½∙λb randvoorwaarde nanobuisje Nie tv oo r Hierin is λb de debrogliegolflengte. Met andere woorden: een halve λb moet een geheel aantal keren passen op de lengte van de buis L. Omdat het deeltje niet uit het nanobuisje kan ontsnappen, tekenen we het buisje als een put met oneindig hoge wanden. De grafieken van ψ en ψ2 voor de eerste drie gevallen gaan er dan zo uitzien: ge b Uit deze randvoorwaarde zal volgen dat de snelheid niet alle waarden kan aannemen en de energie dus ook niet. Beide zijn gequantiseerd. rui Deze golffunctie ψ moet aan de uiteinden en buiten de buis nul zijn, want anders zou het deeltje buiten de buis gevonden kunnen worden; ψ2 bepaalt immers de kans daarop. ko ps ch oo l E n  n 2 h2 8 m L2 2 Hieruit volgt: E1  1  h 2 en 8m L E2 = 4E1 ; E3 = 9E1 ; E4 = 16E1 enz. De energietoestanden in de dwangbuis Een elektron in zo’n buisje heeft alleen maar kinetische energie; de potentiële energie mag je nul kiezen. Dat doen we ook bij een valbeweging, mgh kies je nul op de grond. Dat mag omdat we alleen maar geïnteresseerd zijn in energieverschillen net als bij de elektronsprongen in het klassieke atoommodel van Bohr. De kinetische energie kunnen we vinden via de voorwaarde van het precies passen. Dit betekent: L  n 1  h  v  nh 2 mv 2m L Voor de kinetische energie ½mv2 van toestand n vind je: energie van deeltje in doosje Uitleg Spoken in oude kastelen In Smaakmaker 25 op de site staan twee verhalen over spoken. In het eerste wordt uitgelegd dat spoken in oude kastelen min of meer opgesloten zitten, ondanks het feit dat ze zo weinig massa hebben. Buiten een dunne muur kan de amplitude van de waarschijnlijkheidsgolf van het spook ongelijk nul zijn. De kans om daar aanwezig te zijn (het kwadraat van de amplitude) is dus ook ongelijk nul: het spook krijgt de kans te ontsnappen. Die kans neemt snel af met de dikte van de muur. In een kasteel met dikke muren blijven ze dus gevangen.

[close]

p. 15

15.3 Deeltjes en golven Nulpuntsenergie De laagste energie (n = 1) van het deeltje in het doosje kan niet 0 zijn! En dat is in strijd met de oude theorie, want bij het absolute nulpunt zou het deeltje stil moeten staan; het heeft dan geen kinetische energie Is de klassieke theorie fout of alleen niet precies genoeg? Dat blijkt af te hangen van de massa van het deeltje. Bereken eens de energie van een licht deeltje, een elektron dat gevangen zit in een doosje van 2·10−10 m. Je vindt: 19 eV; 49 eV; 99 eV; 169 eV; … Deze energieën zijn makkelijk te meten en blijken te kloppen. Bij zo’n superlicht deeltje is de oude theorie dus fout. De energie E1 van de laagste toestand noemen we de nulpuntsenergie. Zijn alle energieën mogelijk? Praktisch gesproken is het deeltje dus ook volgens de quantumtheorie in rust. Er is dan geen groot verschil tussen de de klassieke theorie en de quantumtheorie. Maar misschien moeten we de snelheid wat opvoeren. Wat is de waarde van n als de snelheid 1∙10−3 mm/s is? Vul in en je vindt: n = 1023 ! Op een afstand van 1,0 cm, zijn er dus 1023 plekken waar het stofje kan zijn. Het kan met andere woorden praktisch overal zijn. De quantumnatuurkunde beweert hetzelfde als de klassieke natuurkunde. Wanneer is quantumnatuurkunde nodig? 1·10−52 J , 4·10−52 J , 9·10−52 J , … Dit zijn onvoorstelbaar kleine energieën. Ook het verschil daartussen is niet te meten. Theoretisch kan de energie van een stofje dus niet nul zijn, maar praktisch gesproken heeft dat geen consequenties. Bij een macroscopisch deeltje merk je niets van de quantumnatuurkunde. De energieniveaus liggen zó dicht bij elkaar dat het deeltje nooit in één toestand verkeert, het springt voortdurend van de ene waarde naar de andere. In onze wereld is de quantumnatuurkunde alleen een verfijning van de oude theorie. Zijn alle posities mogelijk? Op sommige plaatsen kan het ‘zware’ deeltje volgens de quantumtheorie helemaal niet zijn! Bijvoorbeeld in het midden van de buis als n = 2. Hoe zit dat? Neem als voorbeeld een stofje van 10−7 kg, opgesloten in een doosje van 1,0 cm. Invullen in de snelheidsformule levert: v2 = 6,6∙10−25 m/s. tv oo r Nie ge b rui Kan een veel zwaarder stofje van bijvoorbeeld 1∙10−15 kg in een buis van 50 cm dan wél alle energiewaarden (behalve nul) aannemen? Vul in en je vindt: Als je wilt weten of je quantumverschijnselen kunt verwachten, dan moet je de afmeting van de opsluiting L vergelijken met de debrogliegolflengte λb. Die twee zijn immers gekoppeld door: L = n∙½∙λb. Een vlieg met λb = 2,2∙10−30 m in een jampot heeft geen last van quantumverschijnselen want die bevindt zich in een toestand met n = 1029 ! Bij een molecuul in een nanobuisje krijg je wel met de quantumwereld te maken, want zo’n buisje van koolstof is 7000 keer zo smal als een rood bloedlichaampje. De buckybal-variant daarvan kan worden gebruikt om een medicijn met behulp van een elektrisch veld naar een tumor te brengen door dat medicijn van een dipool (hier water) te voorzien. Op macroscopische schaal levert de quantumnatuurkunde géén nieuwe inzichten of wetten; op atomaire schaal is de theorie verbazend anders dan de klassieke natuurkunde. ko ps ch oo l 263

[close]

Comments

no comments yet