Stevin 2016 - vwo - 06 Trillingen

 

Embed or link this publication

Description

Stevin 2016 - vwo - 06 Trillingen

Popular Pages


p. 1

6 Trillingen Nadat het gewichtje is losgelaten, gaat het op-en-neer dansen. Maar na enige tijd gaat dat over in heen-en-weer zwaaien. Het danstempo is twee keer zo hoog als het zwaaitempo. Hoe komt dat? Nie tv oo r ge b rui ko ps ch oo l

[close]

p. 2

120 6.1 Dansen en zwaaien In deze paragraaf onderzoeken we hoe voorwerpen dansen en zwaaien rondom een evenwichtsstand. Een paar afspraken −A ≤ u ≤ A  Bij de dansende bollen zijn de punten P en R de omkeerpunten; de snelheid is in die punten nul. Q is de evenwichtsstand omdat de bollen daar ten slotte tot rust zullen komen.  In Q is de snelheid maximaal.  De herhalingstijd van een trilling heet de periode of trillingstijd T. ge b Nie tv oo r rui  Een beweging die zich steeds herhaalt, heet een periodieke beweging. Voorbeelden vind je bij stemvorken, trillende snaren, je hart, eb en vloed, de draaiing van de aarde om z’n as, de draaiing van de aarde om de zon ...  Periodieke bewegingen om een evenwichtsstand worden trillingen genoemd.  Vaak bekijken we bij trillingen één punt in het bijzonder: het uiteinde van een stemvork, een bol die danst aan een veer of zwaait aan een touw. De positie van dat punt meten we ten opzichte van de evenwichtsstand; dat is de plaats waar het punt ten slotte tot rust komt. We gebruiken nu niet de letter x, maar de u van uitwijking.  De maximale uitwijking wordt de amplitude A genoemd. Bij een gedempte trilling neemt de amplitude dus af. Bij symmetrische trillingen geldt: ko ps ch oo l 6 Trillingen Tussen vertrek uit P en aankomst in P zit dus precies één trillingstijd. Experimenteel blijkt dat de trillingstijd nauwelijks van de amplitude afhangt. Het aantal trillingen per seconde heet de frequentie f. Frequentie en periode hangen samen volgens f 1 T met T in s en f in Hz Proef 1 Een dansende bol Volgens Hooke is de uitrekking van een veer evenredig met de kracht waarmee je hem belast, zie p. 105. Maar dat betekent dat we een krachtsensor kunnen ijken als uitwijkingssensor voor een veer. Met zo’n sensor zijn deze u(t)-grafieken bepaald van bollen die op en neer dansen aan veren. Bij meting 2 (blauw) werd bij dezelfde veer een zwaardere bol gebruikt. Bij meting 3 werd de eerste bol gebruikt met een slappere veer. Proef 2 Een trillende liniaal Plak een magneetje aan het uiteinde van de liniaal en laat het trillen boven een spoel die is aangesloten op Coach. Is de u(t )-grafiek sinusvormig? Bepaal f en verzin twee manieren om f te veranderen.

[close]

p. 3

6.1 Dansen en zwaaien Proef 3 De terugdrijvende kracht Een slee op een luchtkussenbaan kan wrijvingsloos tussen twee veren bewegen. In de evenwichtsstand is de som van de krachten op de slee nul. Tegen elke andere stand verzetten de veren zich; er ontstaat een terugdrijvende kracht Fv in de richting van de evenwichtsstand. Als we de slee naar links trekken en loslaten, gaat hij een trilling uitvoeren. In de omkeerpunten (als u maximaal is) is ook de terugdrijvende kracht maximaal. Eén van de veren is dan maximaal ingedrukt en de ander maximaal uitgerekt. De veren werken samen om de slee weer in de evenwichtsstand te brengen. u v F links max 0 max midden 0 max 0 rechts max 0 max Om aan te geven dat de terugdrijvende veerkracht Fv en de uitwijking u tegengestelde vectoren zijn, schrijven we de wet van Hooke ook wel zo: Fv  C  u Proef 4 Bepalen van C Bepalen van C doe je met de opstelling die hiernaast staat. Je meet de uitrekking u (in meter) van de veer als je de veer belast met 100 gram, 200 gram, ... dus bij F = 1,0 N, 2,0 N, .... Bij dit soort proeven gebruik je voor g de waarde 10 m/s2. De wet van Hooke Volgens Hooke voldoen stalen veren aan F = C∙u. Hierin is C de helling (rc) van de rechte lijn in de F(u)-grafiek. De veerconstante C geeft aan hoe stug de veer is. tv oo r Nie ge b rui Harmonische trillingen Trillingen met een sinusvormige u(t)-grafiek worden harmonisch genoemd. Mechanische harmonische trilingen vinden we bij verzwaarde veren, stemvorken en trillende snaren ... In de praktijk zijn zulke trillingen vaak gedempt. Mechanische harmonische trillingen voldoen altijd aan de wet van Hooke. Het omgekeerde is ook waar: als de wet van Hooke geldt, is de trilling harmonisch (zie Extra). Bij elastiek is de F(u)-grafiek een kromme lijn. Een bol aan een elastiek trilt dus niet harmonisch en heeft geen sinusvormige u(t)-grafiek. Bij een harmonische trilling geldt: wet van Hooke Fv  C  u De u(t)-grafiek is sinusvormig. ko ps ch oo l 121

[close]

p. 4

122 De periode van een verend systeem In een auto is er een verende verbinding tussen de wielen en de carosserie. Daardoor voel je een (gedempte) trilling als de auto over een hobbel rijdt. Als er veel mensen in de auto zitten, is de trillingstijd groter dan wanneer je er alleen in rijdt. Bij een stug geveerde auto is de trillingstijd juist klein. Bij ieder verend systeem blijkt te gelden: I Een grote massa m zorgt voor een lange periode T. II Een grote veerconstante C zorgt voor een korte periode T. ge b m (kg) 0,050 (1 ) 0,100 (2 ) 0,200 (4 ) 0,450 (9 ) T (s) 1,00 1,41 (niet 2  !) 2,00 (2 ) 3,00 (3 ) tv oo r  Uit de meting bij 0,100 kg volgt dat x niet de waarde 1 kan hebben. Uit de andere metingen volgt x = ½. In de teller staat dus √m.  We kunnen ook de massa ongewijzigd laten en C variëren. We vinden voor T de helft als we C vier keer zo groot maken. Daaruit volgt y = ½. In de noemer staat dus √C.  Voor k zul je bij metingen iets vinden in de buurt van 6. Een natuurkundige denkt dan meteen aan 2π en dat blijkt theoretisch ook te kloppen, zie de afleiding op p. 124. m T  2 C rui We zoeken naar een formule die het verband geeft tussen T, m en C. Volgens regel I staat m in de teller en volgens II staat C in de noemer: mx T  k y C De waarden voor x, y en de constante k kunnen we experimenteel bepalen. We werken met één veer en variëren m. Stel dat we deze waarden vinden: ko ps ch oo l 6 Trillingen Proef 5 Een dobber Als je een dobber onder water drukt, voel je een tegenkracht die groter wordt als je dieper komt. Omgekeerd: als je hem uit het water tilt, voel je hem steeds zwaarder worden. Bij een verzwaarde reageerbuis blijken kracht en uitwijking evenredig met elkaar te zijn. Net als bij de wet van Hooke geldt dus F = C∙u. Laat je zo’n buis van 25 g in het water op en neer dansen, dan vind je voor drie trillingstijden 2,3 s. Dus T = 0,77 s. Als je de buis aan een krachtmeter uit het water tilt, is er 0,12 N nodig voor 6,5 cm. Voor C geldt dus: 0,12 N C  1,8 N/m 6,5  102 m Met m = 25∙10−3 kg vind je via de formule T = 0,73 s. Dit scheelt maar 5% met de experimentele waarde. Proef 6 Een onbekende formule Huygens kende de trilformules voor een slinger en voor een de staaf, maar niet voor een zwaaiende ketting. Met deze schets probeerde hij die in de 17e eeuw af te leiden. Meet voor minstens zeven verschillende waarden van ℓ de bijbehorende periode T en maak in Excel een T(ℓ)-grafiek. Kies als trendlijn ‘macht’. Kun je het getal 5,23 dat voor de wortel staat bevestigen? T  6, 28 T  5,13 T  5, 23 g  2  2 g 2 3g slinger g staaf g  ?? ketting massa-veersysteem Deze formule is in de 17e eeuw door Huygens afgeleid. Nie

[close]

p. 5

6.1 Zwaaien en dansen De periode van een slinger We kunnen de formule T  2 m gebruiken om C een formule af te leiden voor de periode van een slinger. Opmerking 1 In deze formule komt de m niet voor. We hebben hier weer te maken met de ontdekking van Galilei: alle massa’s ‘vallen’ even snel. Opmerking 2 Tik op je rekenmachine maar eens π/√g in, dan snap je waar de formule T ≈ 2√ℓ op p. 10 vandaan komt. Proef 7 Massa’s aan een veer Om een bol aan een touw een afstand u opzij te halen, moet je er met de kracht F aan trekken. Laat je de bol los, dan ontstaat een slingering. Zolang de tophoek niet te groot is, zijn ook hier F en u evenredig met elkaar: F = C∙u. De ‘trilling’ is dus harmonisch. Echt harmonisch kan hij niet zijn, want de bol beweegt langs een cirkelboog en niet langs een rechte lijn. We zoeken een formule voor de slingertijd. De C van een slinger hangt af van de lengte van het touw en de massa van de bol:  Hoe langer de slinger is, hoe makkelijker je hem opzij haalt, dus C is klein bij een grote ℓ.  Een bol met veel massa haal je juist moeilijker opzij, dus C is groot bij een zware bol.  Zou je de proef op de maan doen, dan haalde je hem daar makkelijker opzij dan op aarde, omdat g daar kleiner is, dus C is klein als g klein is. C zou dus wel eens kunnen voldoen aan: m g C Als je dit invult onder de wortel vind je: m m m   C mg mg g T  2 Bepaal bij verschillende massa’s m de periode T (je meet natuurlijk 10T). Voordat je van deze metingen een grafiek maakt, schrijf je de formule wat anders op. Kwadrateer links en rechts en zet m apart: 2 T  2 m  T 2  4   m C C tv oo r g Nie ge b slinger rui m (kg) 0,050 0,100 . Als je van deze metingen een T 2(m)-grafiek maakt, krijg je volgens de formule een rechte lijn met de helling 4π2/C. De waarde van die helling bereken je met C die je in Proef 4 gevonden hebt. Bereken daarmee de T2 bij m = 0,2 kg. Teken alvast de lijn door (0;0) en ; de meetpunten zijn met kruisjes aangegeven. Opmerking Bij een veer met veel massa zullen de meetpunten iets hoger liggen, want die trilt immers ook. Als je m liggen in de formule m vervangt door m  1 3 veer de meetpunten wel op de lijn. ko ps ch oo l 123 10T (s) 5,31 − . T (s) 0,531 − . T 2 (s2) 0,28 − .

[close]

p. 6

124 De energie van een harmonische trilling Een trillend voorwerp staat stil in zijn omkeerpunten en gaat met maximale snelheid door de evenwichtsstand. In de omkeerpunten is er energie in de veer opgeslagen als veerenergie Ev. In de evenwichtsstand is de energie kinetisch Ek. De energie verandert dus voortdurend van vorm. We verwaarlozen demping. u ------------------max 0 max v 0 max 0 Ev max 0 max rui We kunnen op twee manieren de totale trillingsenergie berekenen: óf via de kinetische energie in de evenwichtsstand, óf via de veerenergie in de omkeerpunten. Ek in de evenwichtsstand In de evenwichtsstand geldt: Etotaal = Ek,max = 1 2 2 mvmax Hierin is m de massa van het trillende voorwerp. Voor de maximale snelheid geldt: (Zie p. 128.) T In kinetische vorm is de totale energie: 2 2 ge b vmax  2 A tv oo r (1) Ek,max  1 m 4 2A  22 mA2 f 2 2 T De trillingsenergie hangt dus af van de massa en nog sterker van de amplitude en de frequentie. Ev in de omkeerpunten In de omkeerpunten is alle energie omgezet in veerenergie. Op p. 105 is voor de veerenergie van een gespannen veer afgeleid: Eveer = ½Cu2. In de omkeerpunten is umax = ± A. Daaruit volgt: Ev,max = ½CA2 (2) Nie ko ps ch oo l 6 Trillingen De periode van een verend systeem Door de formules (1) en (2) aan elkaar gelijk te stellen, krijgen we de formule voor de trillingstijd die we al eerder gebruikt hebben. Ga na: 2π2mA2 f 2= ½CA2  C = 4π2mf 2 dus : T  2 m C Voorbeeld Snelheid en uitwijking Ek 0 max 0  Een bol van 150 gram trilt aan een veer met een maximale snelheid van 0,37 m/s en een amplitude van 5,0 cm. a Bereken de periode en de frequentie. b Bereken de totale energie. c Bereken C. d Bereken Ek en v als u = 2,0 cm. Plan van aanpak We hebben deze drie formules tot onze beschikking: vmax  2 A T  2 m T C 2 2 Σ E = ½mv + ½Cu en Oplossing a Uit de formule voor vmax volgt: T  2 0, 050  0,85 s  f  1, 2 Hz 0,37 b Etotaal = E k , m a x = ½∙0,15∙0,372 = 0,010 J 2 c T  2 m  C  4 2m C T invullen van niet-afgeronde getallen geeft: C = 8,2 N/m Dit is ook te vinden via Etotaal = ½CA2. d Ek + Ev = 0,0103 J en Ev = ½Cu2 Ev = ½∙8,2∙0,022 = 0,0016 J  Ek = 0,0103 − 0,0016 = 0,0087 J  ½∙0,15∙v2 = 0,0087  v = ±0,34 m/s

[close]

p. 7

6.1 Zwaaien en dansen Eigenfrequenties Als je een voorwerp aanstoot, gaat het trillen met heel speciale frequenties. Zulke vaste frequenties heten eigenfrequenties. De laagste noemen we de grondfrequentie. Als je een stemvork aanslaat, geeft hij één toon. Maar als je een forse tik geeft, hoor je ook ‘boventonen’. Als je zacht op een fluit blaast hoor je de grondtoon, bij hard blazen hoor je boventonen. Een fietsbel geeft altijd één speciale klank. Als je op je duim slaat, zijn de frequenties waarmee je stembanden de klank AU vormen, altijd dezelfde. Een roeiboot gaat alleen schommelen als je met z’n allen de goede frequentie gevonden hebt. Resonantie Stel dat de bol op en neer danst met 0,63 s, dan moet de zwaaitijd 1,26 s worden. Voor deze ‘resonantie’ moet de totale lengte van draad plus veer in rust 39 cm zijn. Reken dat na! Uitleg De bol die danst en zwaait Dit is een bijzonder geval van resonantie want meestal zijn de frequenties gelijk. Hier is echter de zwaaitijd het dubbele van de danstijd. Nie tv oo r Als twee voorwerpen dezelfde eigenfrequenties hebben, kunnen ze elkaars trillingsenergie goed overnemen. Dit verschijnsel heet resonantie (letterlijk: meeklinken). (Lees) ge b rui Als je een aangeslagen stemvork op tafel of op zijn klankkast zet, wordt het geluid ‘versterkt’. De lucht in de klankkast gaat meetrillen. Zet twee gelijke stemvorken een eind uit elkaar en laat tegen de linker een pingpongballetje steunen. Door de rechter aan te slaan, kun je − op afstand − het balletje in beweging brengen. Als je aan een van de stemvorken een gewichtje vastmaakt, lukt de proef niet meer omdat hun tonen dan niet meer gelijk zijn. Nog meer resonanties De opstelling hiernaast staat bekend als de slinger van Wilberforce. Als je voor de twee kleine gewichtjes de goede plaats hebt gevonden, krijg je om beurten een dansende en een draaiende beweging. Ook hier zijn de trillingstijden gelijk. Bij deze opstelling brengen we de linker bol aan het dansen. Als we de lengte van het touwtje goed hebben gekozen, stopt de linker bol en gaat de rechter met dezelfde frequentie zwaaien. Enige tijd later hangt de rechter stil en danst de linker weer. ko ps ch oo l 125

[close]

p. 8

126 Opgaven 3.1 1 Bepaal bij deze u(t)-grafiek : a de frequentie f; b u op t = 3,0 ms (milliseconde); c A op t = 5,0 ms (pas op!). 2 b c d 3 Een bol met massa m trilt met T = 1,2 s aan een veer met C = 15 N/m. a Bereken m. b Hoe groot wordt T als je vier van die bollen aan deze veer laat trillen? (Niet rekenen!) Een astronaute bepaalt haar massa met een verende stoel; C = 800 N/m. De lege stoel trilt met 1 Hz; met astronaute erin is f = 0,5 Hz. a Bereken de massa van de stoel; b en van de astronaute. Een sloperskogel van 2500 kg zwaait met een periode van 8,3 s. a Bereken ℓ met T  2 g ge b 4 5 tv oo r rui a Je hangt een blok van 150 gram aan een veer en meet dat die daardoor 12,0 cm langer wordt. Daarna laat je het blok trillen en meet je 10T = 7,13 s, dus T = 0,713 s. Bereken de kracht waarmee de veer werd uitgerekt. Bereken C. Bereken T met T  2 m C Hoeveel % wijkt deze theoretische waarde af van de experimentele waarde? b Bereken ‘C’. Nie ko ps ch oo l 6 Trillingen 6 7 8 De formules van de slingers in proef 6 zijn te schrijven als T  k∙√ℓ. - Bereken k voor deze drie slingers. We hangen een vis aan een veerbalans die daardoor 4,9 cm uitrekt en ‘300 g’ aanwijst. a Bereken de veerconstante. b Met welke trillingstijd zou deze vis dus alleen maar kunnen trillen? ►We vinden echter 10T = 5,0 s want we moeten in de formule nog rekening houden met de massa van de veer. De bovenkant trilt niet, daarom telt deze massa slechts voor één derde deel mee. c Bereken de massa van de veer. Een bol van 100 g trilt met een amplitude van 12,0 cm en een frequentie van 1,4 Hz. a Bereken zijn maximale kinetische energie. b Bereken C. ►Op zeker moment is u = 4,0 cm. - Bereken voor dat moment: c1 de veerenergie; c2 de kinetische energie; c3 de snelheid. 9 a Welk belletje zal gaan luiden als we de bol links aan het zwaaien brengen? ►Rechts geldt: m = 200 g en C = 7,0 N/m. b Hoe groot moet ℓ zijn, opdat resonantie optreedt? Gebruik hierbij T  2 g

[close]

p. 9

6.2 De u(t )-grafiek van de harmonische trilling 6.2 De u(t )-grafiek van de harmonische trilling In deze paragraaf behandelen we trillingen meer wiskundig. Ook passen we de theorie van trillingen toe op geluid. De sinusvormige u (t )-grafiek Tip Radialen en graden In veel gevallen maakt het niet uit of je de fasehoek in graden of in radialen uitdrukt. Let er alleen wel op dat je rekenmachine goed staat ingesteld op de keuze die je hebt gemaakt. Voorbeeld Berekenen van een uitwijking Wiskundig gezien loopt een sinus verticaal van −1 tot +1 terwijl α horizontaal oploopt van 0 tot 2π radialen (of van 0º tot 360º). Natuurkundig gezien zet je verticaal de uitwijking u uit en horizontaal de tijd t. Daarbij varieert u tussen −A en +A terwijl t oploopt van 0 tot T. Als het kan, zorgen we ervoor dat de tijd start als de uitwijking vanuit nul positief wordt.  Een bol slingert harmonisch heen en weer aan een touw. A = 20 cm en T = 2,80 s; op t = 0 s gaat de bol door de evenwichtsstand naar rechts. - Bereken u op t = 0,55 s. Oplossing Bereken eerst de fasehoek α en vul daarna u = A∙sin α in. In deze figuur hoort de blauwe aankleding van de figuur bij de wiskundige aanpak en de zwarte bij de natuurkundige. De hoek α(t) wordt de fasehoek genoemd. Deze groeit eenparig. t 0 0,5T T t α (rad) 0 π 2π α(t) α (º) 0 180 360 α(t) Omdat f  1 kunnen we ook schrijven: T α (t) = 2π ft (= 360º∙ft) u(t) = Asin α(t ) met α(t ) = 2π ft = 2π t (  360 t ) T T Nie tv oo r Met verhoudingen zie je dat voor α (t) moet gelden:  (t ) t  (t ) t  of  2π T 360 T harmonische trilling ge b rui Tip Een sinus tekenen Je kunt snel een goede sinus tekenen als je het volgende bedenkt: een sinus  bestaat uit vier gelijkvormige stukken;  is bij 0º, 180º en 360º vrijwel recht;  heeft bij 90º en 270º een horizontale raaklijn;  heeft bij 30º en 150º de waarde 0,5A  heeft bij 210º en 330º de waarde −0,5A 1 T. Verdeel de periode in 12 stukjes van 12 Als je met de fasehoek werkt, zijn dat stukjes van 30º. Bepaal de posities van de top en het dal en de posities waar u = ±0,5A. Je hebt dan genoeg punten om de grafiek te tekenen. ko ps ch oo l 127   2π 0,55  1, 23.. rad 2,80 u = 20sin(1,23..) = 18,8.. = 19 cm Voer zelf de berekening met graden uit.

[close]

p. 10

128 Snelheid en versnelling Met raaklijnen aan de u(t)-grafiek van een harmonische trilling is de snelheid op ieder moment te vinden. Waar de raaklijn horizontaal loopt, is de snelheid nul en waar de raaklijn steil loopt, is de snelheid groot. Onder de u(t)-grafiek is eerst het tekenverloop van de snelheid geschetst. Vervolgens is met de steilheid van de raaklijnen de v(t)-grafiek getekend. Tenslotte is met raaklijnen aan de v(t)-grafiek de a(t)-grafiek geconstrueerd. Je herkent in deze figuren voor de v(t)-grafiek een cosinus en voor de a(t)-grafiek een negatieve sinus. tv oo r Zonder bewijs geven we de formule voor de maximale waarde van de snelheid. Je kunt die zelf afleiden als je de regels voor het differentiëren van een sinus kent: v(t ) = u′(t ) = 2πfAcos(2πft ). vmax  2 fA  2 A T ge b harmonische trilling Voor de snelheid van een harmonisch trillend punt geldt dus: v(t) = vmax∙cos α (t) Nie rui ko ps ch oo l 6 Trillingen Fase en gerdeuceerde fase Vanaf de aarde gezien vertoont de maan steeds een ander beeld. Deze ‘schijngestalte’ noemen we de fase φ (fie) van de maan. Daarmee geven we aan welk deel van de maandelijkse omloop is uitgevoerd sinds de laatste nieuwe maan. Volle maan is halverwege de cyclus; de fase is dan ½. Bij de harmonische trilling is de fase nul als de fasehoek α nul is; dus als er een nieuwe sinus begint. Bij de maan is er geen verschil tussen φ = 0 en φ = 1, in beide gevallen is het nieuwe maan en beginnen we opnieuw te tellen. Zo is het ook bij een trillende bol. Op een zeker moment is de bol in zijn hoogste punt, dus φ = 0,25. Eén periode later is de fase 1,25, twee periodes later 2,25, enzovoort. Omdat het meestal niet interessant is hoeveel complete trillingen er al geweest zijn, gebruiken we vaak de gereduceerde fase φ*. Je maakt van een fase  een gereduceerde fase  * door van φ een zo groot mogelijk geheel getal af te trekken. φ* = φ − n zodat 0 ≤ φ* < 1 α(t ) = 2π∙φ(t ) of α(t ) = 360º∙φ(t ) fasehoek met  (t )  t als  (0)  0 fase T u(t ) = A∙sin (2π∙φ*) of u(t ) = A∙sin (360º∙φ*) Als de grafiek als een cosinus begint, is φ(0) = ¼, want je mist dan ¼ sinus links van de oorsprong.

[close]

p. 11

6.2 De u(t )-grafiek van de harmonische trilling Geluiden registreren Proef 8 Een trillende stemvork stil zetten Het elektrische signaal van een microfoon kun je zichtbaar maken met een computer of met een oscilloscoop. De a′ (440 Hz) van een stemvork blijkt een sinusvormige u(t)-grafiek te hebben: Met een stroboscoop zet je de schaduw van een trillende stemvork stil: fstemvork = fstroboscoop. Dankzij de speld kun je beter scherp stellen. Meten met een oscilloscoop Bij een oscilloscoop schrijft een lichtstip op het scherm. Als de spanning toeneemt, gaat de stip omhoog. De gevoeligheid wordt opgegeven in volt per schaaldeel. Op de linker foto zie je alleen dát de stip heeft bewogen maar niet hóe. Op de rechter foto ging de stip tegelijk ook naar rechts en zie je hoe de stip op en neer is gegaan. Meer naar rechts op het scherm betekent later in de tijd. Bij deze foto was de tijdbasis ingesteld op 500 μs per schaaldeel. Het scherm is tien schaaldelen breed, de stip heeft dus 5 ms nodig om de rechterkant van het scherm te bereiken. Nie tv oo r ge b rui Cardiogrammen Met een goede toongenerator en een luidspreker kunnen we ook zuivere tonen maken. Bij een hogere frequentie horen we een hogere toon en bij een grotere amplitude horen we de toon luider. Als we geluidsapparatuur testen met een toongenerator, weten we meestal ook hoe die muziek zal weergeven. De toonhoogte is hoger bij hogere frequentie. De luidheid is groter bij grotere amplitude. Proef 9 Een zingende zaag We registreren het geluid van een trillend zaagblad met een microfoon en een computer. Tijdens de proef horen we de toon niet van hoogte veranderen maar wel zwakker worden. De toppen blijken evenver van elkaar te zitten maar wel lager te worden. Met een ECG (elektrocardiogram) wordt de elektrische activiteit van een hart onderzocht. Het eerste hoort bij een gezond hart, het tweede bij een hart na een infarct. (AT 3 en Lees) ko ps ch oo l 129

[close]

p. 12

130 Opgaven 3.2 10 Een trillend punt gaat op t = 0 s door de evenwichtsstand omhoog; T = 3,45 s en A = 12,0 cm - Bereken voor t = 1,20 s: a de fasehoek α; b de uitwijking u. 11 Een harmonisch trillend punt heeft op een zeker moment een uitwijking van 5,0 cm. De maximale uitwijking van 10,0 cm wordt 2,0 s later bereikt. a Leg aan je buurvrouw/-man uit waarom T niet 16 s is. b Bereken T. c Bereken u van het punt 5,0 s na het passeren van de top. Een atoom trilt in een vaste stof met: f = 1,5∙1013 Hz en A = 1,2∙10−12 m. - Bereken vmax. Een fles champagne aan een touw van 9,00 m wordt losgelaten op t=0 (u = −A). Voor de periode van de fles geldt: T  2 g 12 13 ge b a Bereken T. b Teken de u(t)-grafiek vanaf het loslaten tot aan de klap. c Bepaal het tijdstip waarop de fles het schip raakt. - Hoe groot is de fase: d1 op t = 0; d2 bij de klap tegen het schip? tv oo r Nie rui 16 ko ps ch oo l 6 Trillingen 14 15 Je tilt een bol die aan een veer hangt een eind op en laat hem los op t = 0 s. a Hoe groot is de fase bij het loslaten? b Na hoeveel trillingstijden is de bol voor de tweede keer op z’n laagste punt? c Hoe groot is dan de gereduceerde fase? Een gewicht aan een veer danst op (+) en neer (−) en heeft deze u(t)-grafiek: a Welke bewering is waar? 0 < φ(0) < 0,25 0,25 < φ(0) < 0,5 0,5 < φ(0) < 0,75 0,75 < φ(0) < 1,0. b Arceer de tijdvakken waarin het gewicht naar boven beweegt. Deze registratie is gemaakt van de toon van een kermisfluitje. a Maak een schatting van de periode. b Welke frequentie hoort daarbij?

[close]

p. 13

6.2 De u(t )-grafiek van de harmonische trilling Opgaven hoofdstuk 3 17 Dit zijn de ECG’s van een grijze walvis en een mens. 21 Een molecuul HF (massa 3,4∙10−26 kg) kan in een kristal trillen tussen zijn buren. Als we het kristal beschijnen met infrarood licht van 5∙1013 Hz, treedt er resonantie op. - Bereken de ‘veerconstante’ van dit systeem. Leg uit waarom het woord ‘versterkt’ niet correct is in deze zin: ‘De klankkast versterkt het geluid van de stemvork.’ 22 - Hoeveel slagen maken het hart van een grijze walvis en van een mens per minuut? 18 23 Je doet bij een veer deze metingen (lengtes in cm en massa’s in gram): De massa van deze auto is 980 kg en hij is geveerd met C = 1,3∙105 N/m. - Bij welke snelheid ontstaat er resonantie? 24 19 We laten een bol aluminium aan een veer trillen en aan net zo’n veer een even grote bol lood. - Hoe verhouden de trillingstijden zich? De trillende liniaal uit Proef 2 heeft een amplitude van 5 cm. Enige tijd later is die door demping afgenomen tot 2 cm. 20 tv oo r a Met welke factor is vmax afgenomen? b Hoeveel % van de oorspronkelijke energie is weggelekt? Nie ge b a Hoe groot is m? b Hoe groot is ℓ? c Hoe verhouden zich de frequenties f1 en f4? Vier personen, samen 250 kg, stappen in een auto van 1000 kg. De veerconstante is 5,0∙104 N/m. a Hoeveel is de auto gezakt als hij is uitgetrild? b Met welke trillingstijd trilde de auto? ►De vier stapten tegelijk in. De schokdempers zijn niet best, want pas 3 s later trilde de auto niet meer. c Schets de u(t)-grafiek voor deze 3 s. rui b c d e 25 a Wanneer is een trilling ko ps ch oo l 131 harmonisch? ►Een korenhalm bevat een aar van 4,0 g; de massa van de halm is te verwaarlozen. Om de aar 5,5 cm opzij te buigen, is een kracht van 0,033 N nodig. Neem aan dat een harmonische trilling ontstaat als je de aar loslaat. Bereken eerst C en daarna T. Bereken Ev,max en schets Ev voor −A ≤ u ≤ +A. Schets in dezelfde figuur Etotaal en Ek. Bereken v als u = −1,0 cm.

[close]

p. 14

132 26 Bij benadering geldt hier T = 2√R. - Hoe vaak passeert deze skateboarder het onderste punt in 10 s? 27 28 tv oo r Nie ge b Een bol slingert aan een touw heen en weer en onderbreekt twee lichtstralen die op de sensoren S1 en S2 vallen. S1 staat bij de evenwichtsstand, S2 een eind naar rechts. Van de registratie van S2 is alleen het begin te zien. rui Een veer heeft een lengte van 15,0 cm. We hangen er een bol van 250 g aan. Die gaat op en neer dansen met Td = 0,83 s. Daarna bevestigen we een touwtje met lengte L aan de veer, zodat de bol afwisselend gaat zwaaien (Tz) en dansen (Td). Er geldt: Tz = 2Td. a Bereken C van de veer. b Bereken de lengte van de veer als de bol stil hangt. ►In de formule voor Tz moet je ℓ invullen. c Bereken L. ko ps ch oo l 6 Trillingen 29 30 a Bepaal de periode van de slinger. b Waarom is de kuil bij S2 breder dan bij S1? c Neem de figuur over en vul de registratie van S2 aan. Een loopplank van 13 kg heeft een veerconstante van 8000 N/m. a Met welke frequentie gaat de plank trillen als je hem optilt en weer laat vallen? b Schat het tempo waarmee jij op het midden van de plank moet dansen om hem in resonantie te krijgen. Aan een krachtmeter hangt een veer met een gewicht. De sensor is zo ingesteld dat hij 0 N aanwijst als de veer in rust is. Gedurende een gedeelte van de trilling kan een deel van de veer niet verder uitrekken doordat een touwtje dat blokkeert. De C van een veer is omgekeerd evenredig met zijn lengte. a Welke invloed heeft het touwtje op C en op T? b Leg uit welk gebied bij deze meting bij de blokkade hoort. c Bepaal bij deze meting de verhouding T1 : T2. ◦ d Welke verhouding volgt daaruit voor C1 : C2? ◦ e Hoe groot is het deel van de veer dat geblokkeerd wordt?

[close]

Comments

no comments yet