Stevin 2016 - vwo - 03 Vectoren

 

Embed or link this publication

Description

Stevin 2016 - vwo - 03 Vectoren

Popular Pages


p. 1

3 Vectoren Hoe komt dat? Twee grote leerlingen verliezen het van een brugklasser. Nie tv oo r ge b rui ko ps ch oo l

[close]

p. 2

54 3.1 Scalars en vectoren Als we een föhn richten op een zeilwagentje, gaat dit vooruit. Als we de föhn scheef richten, is het effect minder groot en als we van opzij richten, komt het wagentje helemaal niet meer vooruit. Alleen dat deel van de wind wordt gebruikt dat haaks op het zeil staat. Niet alleen de sterkte van de wind is belangrijk, ook de richting ervan. Scalars Vectoren ge b Een honingbij geeft met haar ‘kwispeldans’ de richting en de afstand tot een voedselbron aan. Op een verticale raat voert zij deze beweging uit. De hoek α geeft de richting aan, vergeleken met de richting waarin de zon staat. Het kwispelen heeft een hogere frequentie naarmate de voedselbron dichterbij staat. Er zijn grootheden die pas volledig bepaald zijn als je behalve hun grootte ook hun richting kent. Kracht en verplaatsing zijn hier voorbeelden van. Nie tv oo r rui Veel grootheden in de natuurkunde hebben geen richting. Denk aan massa, volume, lengte of toonhoogte. Als iemand zegt: ‘Mijn massa is 80 kg, mijn volume is 81 dm3, mijn lengte is 1,89 m en mijn stem is een bariton’, dan weet je genoeg. Zulke grootheden noemen we scalars. ko ps ch oo l 3 Vectoren Vectorpijlen Als je met 50 km/h uit Amsterdam vertrekt en er niet bij zegt in welke richting, ben je nauwelijks nog op te sporen. Een uur later kun je zowel in Haarlem als Hoorn zijn, of ergens anders op de rand van − of binnen in − een cirkel met een straal van 50 km. Zulke grootheden zijn dus pas bepaald als we zowel hun grootte als richting kennen. Je moet beide vermelden. Deze grootheden noemen we vectoren. Andere voorbeelden van vectoren zijn snelheid en versnelling, ook die wijzen ergens naartoe. Om aan te geven dat de richting belangrijk is, stelde Stevin voor deze grootheden weer te geven met een pijl. De lengte van de pijl zegt iets over de grootte, en de pijlpunt geeft de richting aan. Een kracht die twee keer zo groot is, tekenen we dan ook als een twee keer zo lange pijl. Om aan te geven dat de kracht een vector is schrijven we F . Als we F schrijven, hebben we het over de grootte van de vector F . Met het woord vaart bedoelen we de snelheid als scalar; de richting is dan niet belangrijk en we schrijven v. Het woord snelheid gebruiken we als we het vectorkarakter benadrukken, we schrijven dan v . (In het Engels wordt met ‘velocity’ de vectorsnelheid bedoeld en met ‘speed’ de scalarsnelheid.) Om de verschillende soorten vectoren uit elkaar te houden, gebruiken we in dit boek verschillende pijlpunten. Je kunt ook kleuren gebruiken.

[close]

p. 3

3.1 Scalars en vectoren De verplaatsing Als je van Enkhuizen via de afsluitdijk naar Stavoren rijdt, leg je ruim 90 km af. Hemelsbreed liggen die plaatsen slechts 20 km uit elkaar. Met de verplaatsing s bedoelen we de vector die 20 km lang is en een hoek van 15º met de noordelijke richting maakt. We zijn dus niet geïnteresseerd in de precieze weg, maar alleen in begin- en eindpunt. Vectorieel optellen wil dus zeggen dat je de vectoren kop-aan-staart legt. Je mag de hoek ook ten opzichte van de verticale richting opgeven. Als je maar vertelt wat je doet, is alles goed. De somvector wordt ook wel de resultante genoemd. De pijltjes boven de symbolen geven aan dat je met vectoren te maken hebt en niet met gewone getallen. Bij krachten gebruiken we voor de resultante vaak de notatie  F ; Σ is de Griekse hoofdletter S, de sigma, die we gebruiken om een som aan te duiden − zie ook p. 40. Met een parallellogram optellen Met kop-aan-staart optellen De verplaatsing d noemen we de somvector van de drie vectoren a, b en c en we schrijven: tv oo r d  a b c Uit de gewone optelling van a, b en c zou 130 m komen. Uit de vectoroptelling komt 36 m (Pythagoras!). Met de tangens vind je een hoek α van 34º. We noteren het resultaat als volgt: d : d  36 m;   34 Nie ge b rui Je staat bij P aan een kanaal en je kunt alleen via de brug naar Q. De verplaatsing van P naar Q is dan op te vatten als het resultaat van drie verplaatsingen: a, b en c . Naast kop-aan-staart leggen is er nog een methode om twee vectoren op te tellen. Daarbij breng je de vectoren eerst met hun staarten naar één punt. Vervolgens maak je een parallellogram met a en b als zijden en tenslotte trek je de diagonaal uit het startpunt. Je ziet dat je nu dezelfde somvector krijgt als bij kop/staart. In het algemeen kun je niet zeggen welke methode van optellen beter is. Je moet doen wat je logisch en handig vindt. Bij de wandeling langs het kanaal heb je verplaatsingen na elkaar en ligt kop/staart iets meer voor de hand. Bij krachten die tegelijk werken, zoals bij een vliegtuigje dat last van zijwind heeft, tel je de krachten met een parallellogram op. Vectoren tel je op door ze kop-aan-staart te leggen of door een parallellogram te construeren. ko ps ch oo l 55

[close]

p. 4

56 Bepaal en bereken Je zult in dit hoofdstuk opdrachten tegenkomen met bepaal en met bereken. ‘Bepaal’ betekent dat je een grote figuur moet maken om daarin met een geodriehoek te meten. Vaak moet je dan ook nog een schaalfactor toepassen en aan het eind een berekening uitvoeren. Een schaalfactor wordt zo aangeduid: 1 cm  ˆ 10 N (1 cm staat voor 10 N). ‘Bereken’ betekent dat je naar rechthoekige driehoeken moet zoeken om daarin sinus, cosinus, tangens en/of Pythagoras toe te passen. Tip Rekenen in een rechthoekige driehoek Controleer de volgende beweringen: ge b tv oo r Nie rui ko ps ch oo l 3 Vectoren Voorbeeld Een penalty  Een penalty wordt laag in de uiterste hoek geschoten. a Bepaal s met behulp van een tekening (schaal 1 : 100). b Bereken s en α. Oplossing a Als je een bovenaanzicht tekent, ontstaat een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 3,7 cm en 11,0 cm. Voor s en α vind je ongeveer 11,6 m en 18º. b Pythagoras levert s = 11,6 m en via tan α vind je α = 18,4º. Voorbeeld Snelheden op een schip  Je loopt met 5 km/h op een schip dat met 20 km/h naar het noorden vaart. - Wat is jouw snelheid ten opzichte van het water? Oplossing Er zijn verschillende mogelijkheden om op het schip te lopen: naar het noorden  v = 20 + 5 = 25 km/h naar het zuiden  v = 20 − 5 = 15 km/h Op weg naar het westen (of het oosten) gebruik je het parallellogram om de vaart en de richting te berekenen: v  202  52  21 km/h tan   5    14 20 Voor alle andere richtingen moet je meten in een grote figuur.

[close]

p. 5

3.1 Scalars en vectoren Voorbeeld Aan een kist trekken  Er wordt met drie touwen aan een kist getrokken. - Door welke ene kracht kun je die drie krachten vervangen? Oplossing Met de parallellogrammethode tel je F1 en F2 op zodat je  F1,2 krijgt. Hierbij tel je F3 op en je vindt de somvector  F . Let erop dat je elke vector maar één keer gebruikt! Ga zelf na dat je met de kop/staart-methode hetzelfde resultaat krijgt. Proef 1 In de knoop  F1,2   F3 Nie tv oo r Knoop drie touwtjes aan elkaar en trek daaraan met drie krachtmeters. Houd alles horizontaal vlak boven een vel papier. Geef daarop de richtingen van de touwtjes aan en noteer wat de krachtmeters aanwijzen. Teken vervolgens de vectoren F1 , F2 en F3 in de aangegeven richtingen en op schaal. Tel ten slotte de vectoren twee-aan-twee op en controleer deze beweringen:  F2,3   F1  F3,1   F2 ge b rui ko ps ch oo l 57

[close]

p. 6

58 Ontbinden van vectoren Je hebt vectoren leren optellen. Omgekeerd kun je een vector ook ontbinden in twee componenten. Die componenten leveren samen hetzelfde resultaat als de vector waarmee je begonnen bent. In deze figuur is de kracht F ontbonden in de componenten F1 en F2 . Omgekeerd geldt: F1  F2  F Aanwijzingen voor ontbinden ge b We kiezen als schaal 1 cm  ˆ 5 N zodat de kracht F een lengte van 80 mm krijgt. Als je nauwkeurig gewerkt hebt, vind je voor de lengtes van de componenten 53 mm en 39 mm; dus: F1 = 26 à 27 N en F2 = 19 à 20 N. Het ontbinden van een vector in twee speciale richtingen 1 en 2 gaat als volgt:  Geef de pijl een handige grootte en vermeld de schaalfactor in de figuur. Hoe groter de figuur hoe beter. Werk tot op 1 mm nauwkeurig.  Teken de lijnen 1 en 2 in de goede richtingen. Meet daarbij de hoeken tot op 1º nauwkeurig.  Maak daarna een parallellogram door vanuit de pijlpunt hulplijnen te trekken, evenwijdig aan de lijnen 1 en 2.  Teken de vectoren F1 en F2 en vergeet de pijlpunten niet.  Meet de lengtes van deze vectoren en bereken via de schaalfactor de waarden F1 en F2. Nie tv oo r rui ko ps ch oo l 3 Vectoren Voorbeeld Ontbinden van F  Ontbind de kracht F van 40 N in de twee gegeven richtingen 1 en 2 en bepaal de grootte van de componenten F1 en F2 . Oplossing De opdracht bepaal lukt alleen als de figuur groot en precies getekend is. De figuur is gemaakt volgens de aanwijzingen die hiernaast staan.

[close]

p. 7

3.1 Scalars en vectoren Opgaven 3.1 1 Bereken de lengte en de richting van de verplaatsing s tussen A en B in dit doolhof. 6 Je voelt een kracht van 50 N die naar het zuidoosten wijst. a Ontbind deze kracht in een kracht naar het zuiden en een kracht naar het oosten. b Bepaal en bereken deze componenten. 7 2 Je loopt 5 m naar het noorden en daarna 12 m naar het oosten. a Teken de resultante (1 cm  ˆ 2 m). b Hoe lang is de resultante? c Welke hoek maakt de resultante met de richting noord? Een tanker vaart met een snelheid van 15 m/s naar het westen. Iemand rent op het dek met 3,0 m/s naar stuurboord (rechts). - Bereken richting en grootte van de snelheid ten opzichte van het water. Bereken x, y, z, α en β: 3 4 5 tv oo r Er wordt aan je getrokken met 50 N naar het noorden en 100 N naar het zuidoosten. a Bepaal door constructie grootte en richting van de resultante (1 cm  ˆ 10 N). ►Nu wordt er ook nog aan je getrokken met 30 N naar het westen. b Bepaal weer grootte en richting van de resultante. Nie ge b a Bereken de componenten als: F = 35 N en α = 56º b Bereken Fy en α als: F = 47 N en Fx = 32 N c Bereken F en Fy als: Fx = 40 N en α = 50º rui 8 a Voer de ontbinding uit (1 cm  ˆ 1 N). b Bepaal de grootte van F1 en F2 . ko ps ch oo l 59 De kracht F is ontbonden langs de x-as en de y-as. De kracht F van 6,0 N moet worden ontbonden in de aangegeven richtingen.

[close]

p. 8

60 3.2 Krachten in evenwicht Als er van verschillende kanten aan een voorwerp wordt getrokken zonder dat het in beweging komt, spreken we van evenwicht. Evenwicht Bij Proef 1 op p. 57 blijft het knoopje op z’n plaats en is er dus sprake van evenwicht. Daar geldt  F  0 want de som van F1 en F2 wordt gecompenseerd door F3 . Ook bij kop-aan-staart leggen blijkt de somvector nul te zijn, want er ontstaat een gesloten driehoek. Uitleg De brugklasser wint tv oo r In het touw werken de krachten F1 en F2 . De som  F1,2 is veel kleiner dan F1 of F2 zelf en alleen die som moet je compenseren met je vinger. Als dat lukt is er evenwicht. Hoe langer het touw is, hoe meer de spankrachten horizontaal lopen en hoe kleiner de somkracht wordt. ge b Als het touw maar lang genoeg is, wint de brugklasser altijd. Zelfs een peuter zou winnen. Nie rui ko ps ch oo l 3 Vectoren Voorbeeld Een chimpansee  Een chimpansee van 600 N hangt aan een liaan. Er werken dan drie krachten op hem: de zwaartekracht Fz en twee spankrachten F1 en F2 . - Bepaal F1 en F2 met een constructie. Plan van aanpak We laten chimpansee en bomen weg en bekijken in een kale figuur alleen de dingen die natuurkundig interessant zijn. Het gaat om het knooppunt P. Daar werken de drie krachten die opgeteld nul opleveren. Teken eerst Fz . Maak die vector 60 mm lang (1 cm  ˆ 100 N). Oplossing  Teken in P eerst een verticale kracht van 600 N omhoog tot aan het punt Q. Deze kracht moet Fz compenseren.  Trek vanuit Q twee hulplijnen evenwijdig aan de lianen. Zo vind je F1 en F2 . Als je deze constructie nauwkeurig uitvoert, zul je vinden: F1 = 5,3∙102 N en F2 = 2,1∙102 N.

[close]

p. 9

3.2 Krachten in evenwicht Tip Touw en vector De lengtes van de touwen hebben niets te maken met de lengtes van de vectoren in die touwen. Dat zie je in het voorbeeld van de aap aan de liaan. Links is F1 langer dan de liaan en rechts is F2 korter. Evenwicht op een helling Omdat er evenwicht is, moet de som van deze krachten nul zijn: Fz  Fn  Fs  0 Kijk je naar de componenten van Fz dan geldt: Fx   Fs en Fy   Fn Ga na dat de hoek van 25º drie keer in de figuur voorkomt en dat voor de krachten geldt: Fx = 30,0∙sin25º = 12,7 N Fy = 30,0∙cos25º = 27,2 N Een karretje op een helling ge b rui Als een boek van 30,0 N op een helling ligt, is het handig om de zwaartekracht Fz te ontbinden in een x-richting langs het vlak en een y-richting er loodrecht op. Ga na dat voor Fs die door de krachtmeter wordt gemeten, geldt: Fs = Fz ∙sin α = mg∙sinα Versneld de helling af Als de kracht Fs ontbreekt, is er geen even wicht meer, want Fx wordt niet meer gecompenseerd. Je kunt ook zeggen: de twee krachten Fz en Fn leveren dan samen de kracht Fx langs het vlak omlaag. Het karretje krijgt dus een versnelling a: mg  sin  F a x   g  sin  m m Als er ook nog een weerstandskracht Fw is, gaat het er zo uitzien: We bekijken een wrijvingsloos karretje met massa m dat we met een krachtmeter op een helling in rust houden. Er zijn hier drie krachten in het spel: de zwaartekracht Fz , de spankracht Fs en de kracht Fn die het vlak uitoefent. Deze laatste kracht wordt de normaalkracht genoemd. Met ‘normaal’ wordt in wis- en natuurkunde loodrecht bedoeld. Nie tv oo r ko ps ch oo l 61 a Fx  Fw m

[close]

p. 10

62 Proef 2 Een gewicht opzij halen 1 Hang een gewicht met onbekende massa M aan een touw en trek het horizontaal opzij via een katrol met een gewichtje m. Als m bekend is, kunnen we M berekenen door α te meten met een gradenboog. In het knooppunt K werken drie krachten. Bedenk dat touwtjes alleen kunnen trekken. De richtingen van de touwtjes zijn dus ook de richtingen van de vectoren. Geef Fz op M een willekeurige lengte. Via het parallellogram vind je Fz op m. Klap de diagonaal om en teken Fs . Kies één van de driehoeken. Omdat de figuur een rechte hoek bevat kunnen we gebruik maken van tan α: ko ps ch oo l 3 Vectoren tv oo r tan   m g M g  M  tan   m  M  2 Je kunt er ook voor zorgen dat de touwtjes loodrecht op elkaar staan. Kies weer één van de driehoeken en maak nu gebruik van sin β. Nie ge b rui sin   m g M g  M  sin   m  M  m sin  3 Als er geen rechte hoeken aanwezig zijn, kunnen we sinus, cosinus, tangens en/of Pythagoras niet gebruiken om te rekenen. Wel kunnen we nu de hoeken γ en δ meten en M bepalen. Maak een grote figuur! m tan 

[close]

p. 11

3.2 Krachten in evenwicht Opgaven 3.2 9 Je hangt met je 700 N aan een kabel. 11 Je spant een boog. De twee delen van de pees aan weerskanten maken een hoek van 120º met elkaar. Aan weerskanten heerst een spankracht van 130 N. a Maak een schets van de situatie. b Bereken de spierkracht. Een draadje oefent tijdens gebitscorrectie een kracht van 0,50 N uit op een tand. - Bepaal de spankracht in de draad. 12 ►Gevraagd: Construeer F1 en F2 en ook  F1,2 . Iemand maakt daar dit van: 13 a Leg uit dat dat niet klopt en doe het beter. b Bepaal de grootte van F1 en F2 . 10 a Beredeneer dat F1 > F2. b Tot welke waarde nadert F1 als je de hoek van 70º steeds kleiner zou maken? c Construeer F1 en F2 . Kies zelf een schaal. d Bepaal F1 en F2. Nie tv oo r ge b De kabine van een kabelbaan weegt 2,0∙104 N. Een gewicht van 90 N hangt symmetrisch aan twee touwen. De hoek tussen de touwen is 56º. a Teken de situatie op schaal en bepaal (dus door constructie!) de spankrachten. b Bereken de spankrachten. ►Het touw knapt bij 70 N. ◦ c Hoe groot mag je de hoek tussen de touwen nog net maken? Een boei van 2,0 kN ondervindt een opwaartse kracht van 4,4 kN. Hij wordt op z’n plaats gehouden door twee kabels. - Bereken of bepaal de kracht in een kabel. rui 14 ko ps ch oo l 63

[close]

p. 12

64 Opgaven hoofdstuk 3 15 a b c d 16 Als deze bol in de wind hangt, wijkt het touw 40º uit omdat de wind een horizontale kracht uitoefent. Bereken de kracht van de wind. Bereken de spankracht in het touw. Hoeveel is de bol opzij gegaan? Hoeveel is de bol omhoog gegaan? Een gewicht van 5,0 N hangt aan een touw van 2,50 m. Het wordt 1,00 m opzij getrokken door een horizontaal touw. ge b 20 a Bereken α. b Bereken met Pythagoras hoever punt B omhoog is gegaan. c Neem de figuur over en construeer de spankracht in AB. d Bereken wat de krachtmeter aanwijst. tv oo r 17 Een auto in de modder wordt met een touw aan een boom bevestigd. Jij duwt in het midden met 500 N. - Bereken de kracht op de auto. Nie rui ko ps ch oo l 3 Vectoren 18 19 Tijdens de hellingproef slaat de motor af. De handrem houdt met de wrijvingskracht Fw de auto van 9,0 kN op zijn plaats. Door het vlak wordt met de kracht Fn tegen de auto geduwd. a Neem de figuur over en geef Fz een lengte van 45 mm. b Construeer de vectoren Fn en Fw . c Bereken Fw en Fn. Een autootje met Fz = 1,00 N staat op een helling zonder wrijving. a Neem de figuur over en construeer hoe Fz ontbonden wordt in Fx langs het vlak en Fy daar loodrecht op (5 cm  ˆ 1 N). b Bereken Fx en Fy. c Bereken de versnelling die het autootje op dit vlak krijgt. Twee golfballen van 46 g hangen tegen elkaar aan draden van 21 cm (inclusief oogje). Hun diameter is 4,3 cm. a Toon aan:  = 10. b Teken alle krachten op A. c Bereken de krachten op A.

[close]

Comments

no comments yet