Stevin 2016 - vwo - 01 Bewegen

 

Embed or link this publication

Description

Stevin 2016 - vwo - 01 Bewegen

Popular Pages


p. 1

1 Bewegen Hoe komt dat? Op een film lijkt het voorste wiel van de koets de verkeerde kant uit te draaien. Nie tv oo r ge b rui ko ps ch oo l

[close]

p. 2

10 1.1 Meten van tijden en afstanden Natuurkundigen werken met tijden tussen 10−15 seconde en 10+10 jaar en met afstanden tussen 10−12 mm en 10+24 km. (In deze notatie wordt 0,000 001 geschreven als 1∙10−6 en 1 000 000 als 1∙10+6.) Voorlopig doen wij proeven met tijden tussen 0,001 s (1 milliseconde, afgekort met 1 ms) en een paar uur en met afstanden tussen 1 mm en een paar honderd meter. Tijden meten met een stopwatch Als je met een stopwatch tien keer de periode T (trillingstijd, dus heen en terug!) van een slinger van 43 cm lengte meet, zul je telkens wat anders vinden. Stel je vindt (T in s): 1,35 / 1,37 / 1,28 / 1,30 / 1,32 1,29 / 1,28 / 1,35 / 1,32 / 1,30 Optellen en door 10 delen levert als gemiddelde waarde Tgem = 1,32 s. Volgens de formule van Huygens, T = 2√ℓ , moet het 1,31 s zijn. ge b De grote spreiding in de meetwaarden is het gevolg van de reactietijd. In dit voorbeeld wijkt de tweede meting (1,37 s) het meest af van het gemiddelde (1,32 s). Deze grootste afwijking van 0,05 s vergelijken we met het gemiddelde. Zie ook p. 273 in hoofdstuk 16. 0,05 De afwijking is hier 1,32  0, 04  4% . Bij practicumproeven is een afwijking tot 10% meestal acceptabel. Tip Meet 10T Denk eraan dat je met ‘nul’ begint te tellen en niet met ‘één’. Korte tijden meten Met de afgebeelde elektronische klok kunnen we tijden meten vanaf 0,000 01 s (1·10−5 s). Zoals de contacttijd tussen een hamer en een metalen kogel aan een metaaldraad die je wegslaat. Nie tv oo r Om de procentuele afwijking te verkleinen, kun je beter één keer 10T meten in plaats van tien keer T. De afwijking van 0,05 s vergelijk je dan met 13,2 s en dat levert een ‘fout’ van maar 0,4% op. rui ko ps ch oo l 1 Bewegen Snelheden meten Het starten en stoppen van zo’n klok kan ook gedaan worden met fotocellen. Zo’n lichtsensor geeft een signaal als de hoeveelheid licht verandert. Er zijn twee mogelijkheden:  We gebruiken twee cellen, één voor starten en één voor stoppen.  We gebruiken één cel, zowel voor het starten als voor het stoppen. In dat geval loopt de klok zolang de sensor in het donker staat. Met een snelle camera en Coach Videometen lukt het ook; zorg voor een goede belichting. Voor de iPhone bestaat een app waarmee je korte tijden kan meten in een film: de videostopwatch. Nadat dit vaantje van 40 mm de lichtbundel gepasseerd is, heeft de sensor 156 ms in het donker gestaan. Hiermee is de snelheid van de kar te berekenen. De twee aanduidingen milli (10−3) vallen tegen elkaar weg: 3 v  40 mm  40  10 3m  40 m  0, 26 m/s 156 ms 156  10 s 156 s

[close]

p. 3

1.1 Meten van tijden en afstanden Proef 1 Reactietijden meten Afstanden meten met licht en geluid In deze proef is de rode lamp het remlicht van een auto die voor je rijdt. Zodra die lamp gaat branden, maak jij een noodstop. Je weet natuurlijk hoe je afstanden meet met behulp van een liniaal of een meetlint. Maar het kan ook met licht en geluid. Licht heeft een snelheid van 299 792 458 m/s (zie c in tabel 7A van Binas). Als je een klok hebt die zéér korte tijden kan meten, kun je afstanden bepalen. Met een laserpuls wordt zo de afstand tot de maan tot op een paar cm nauwkeurig gemeten. Al in 1969 hebben de eerste astronauten een speciale spiegel op de maan achtergelaten die de eigenschap heeft dat hij licht precies terugstuurt naar de plaats waar het uitgezonden is. Net als de reflector op een fiets. tv oo r Nie ge b Leerling 1 zet met schakelaar S1 de rode lamp aan. Zodra het licht op de lichtsensor valt, start de computer de tijdmeting. Leerling 2 probeert met schakelaar S2 (liefst via een ‘rempedaal’) de lamp uit te zetten. Op het beeldscherm van de computer zie je dan zo’n AAN/UIT-grafiek, waarin je via de optie ‘Lees uit’ de reactietijd kunt bepalen: in dit geval ongeveer 175 ms. rui Als voor een laserpuls wordt gemeten dat deze in 2,564 s naar de maan heen en weer is geweest, dan valt daaruit de afstand x tot de maan te berekenen met behulp van 2x = snelheid  tijd, dus: x = ½·299 792 458·2,564 = 3,843·108 m (afgerond en in ‘wetenschappelijke notatie’). Dat betekent dat de afstand tot op ongeveer 100 km nauwkeurig gemeten is. Wil je de afstand tot op een paar cm weten, dan moet je een klok gebruiken die nog veel nauwkeuriger korte tijden kan meten. Sonar is onhoorbaar geluid. Vissers bepalen hiermee de afstand tot een school haring. Hun apparatuur is ingesteld op de snelheid van geluid in zeewater (volgens tabel 15A van Binas is die 1,51·103 m/s). Dolfijnen en vleermuizen gebruiken ook sonar om hun prooi te vinden. ko ps ch oo l 11

[close]

p. 4

12 Proef 2 Een grafiek nalopen In Coach is een x(t)-grafiek ingelezen en een ultrasone afstandsensor aangesloten. Ga op ongeveer 1 m voor de sensor staan. Als de meting wordt gestart, probeer je zo goed mogelijk de zwarte achtergrondgrafiek te laten samenvallen met jouw blauwe x(t)-grafiek. De stroboscoop ge b De stroboscoop is een flitslamp waarmee je snelle bewegingen die zich herhalen, kunt ‘bevriezen’. Zulke bewegingen heten periodieke bewegingen. Het aantal flitsen per seconde kun je instellen tussen 1 per seconde en een paar honderd per seconde. De flitsen zelf duren korter dan 0,001 s. Het aantal flitsen per seconde noemen we de frequentie f van de stroboscoop. De eenheid van frequentie is hertz. Als er 20 flitsen per seconde worden gegeven, zeggen we dat de frequentie 20 hertz is, afgekort f = 20 Hz. Bij een draaiende schijf spreekt men in plaats van frequentie vaak over toerental. De tijd tussen twee flitsen heet de periode T. Bij 20 flitsen per seconde is de tijd tussen twee 1 flitsen 20 s. Als een bus om het kwartier komt, is 1 de periode 4 uur en de frequentie 4 keer per uur. T en f zijn dus elkaars omgekeerde. Nie tv oo r rui Het helpt als je op 1,0 m, 2,0 m, 3,0 m … afstand van de sensor op de grond een blokje neerlegt. Ga na wanneer de grafiek horizontaal loopt, daalt en stijgt. Wanneer was je snelheid het grootst? Kun je in een leeg diagram een M, een Z of een W op het bord laten verschijnen? ko ps ch oo l 1 Bewegen De frequentie f van een stroboscoop is het aantal flitsen per seconde. De eenheid is hertz (Hz). De periode T is de tijd tussen twee flitsen. De eenheid is seconde (s). T  1 en dus ook f  1 f T Proef 3 Frequenties bepalen Bestudeer met de stroboscoop een draaiende schijf of ventilator met een stip. Als je de stroboscoop goed hebt afgesteld, lijkt het net of de stip stilstaat. Begin met veel flitsen per seconde en laat de flitsfrequentie afnemen. Als je de stip voor het eerst stil ziet staan, moet je de frequentie aflezen. Zoek de andere frequenties waarbij de stip ook stilstaat en zoek de frequenties waarbij je hem dubbel ziet. Ga na hoe je de stip de ‘verkeerde kant’ op kunt laten gaan. De hoogste stroboscoopfrequentie waarbij je een triller enkelvoudig ziet, is de frequentie waarmee de triller beweegt. Uitleg Het verkeerd draaiende wiel Op tv zie je soms een auto rijden terwijl de wielen verkeerd om draaien. Dat effect ontstaat doordat het beeld 50 of 100 keer per seconde ‘ververst’ wordt. Bij films gebeurt dat 18 keer per seconde maar ook dat is nog snel genoeg om onze ogen te misleiden. Tussen twee beelden draait het wiel een eindje verder. Stel dat spaak 1 in die tijd nog net niet op de plaats van spaak 2 is gekomen, dan lijkt het voor ons oog of 2 een eindje terug is gedraaid.

[close]

p. 5

1.1 Meten van tijden en afstanden Opgaven 1.1 Spelregels bij antwoorden 0 a Bereken x, y en z als: y 4, 6 x  24,9 45   2,3  6,5 7,5 38, 4  3 d Los x op: 2,3  2π e Los x op: ½·3,2·x = 3,2·9,81·13,25 f Los x op: sin 34  1,56 en 1  1  1 x 6, 2 4, 7 sin x g Bereken uit je hoofd en daarna met je rekenmachine: 2,5·103 4·102 5 h Eveneens: 6  102 tv oo r b Hoeveel % is 3 van 8? c Leg uit dat dit waar is en los x op: x 7 x 12  7   12   x? 3 x 9,8 en 2x 4  101 2  5 3  10 2 2  10 en 3, 5 10 3 Nie ge b Dit is opgave nul, want natuurkunde is geen wiskunde. Maar als je een paar basisvaardigheden niet beheerst, zul je bij natuurkunde steeds vastlopen. Ga met de volgende opdrachten na of je je wiskundige kennis moet bijspijkeren. 6,3  π z rui 4 5 6  Als je een goed antwoord geeft (bijvoorbeeld 5 m3) zonder toe te lichten hoe je aan dat antwoord komt, dan krijg je bijna geen of zelfs helemaal geen punten.  Als er 5 m3 uit moet komen en je geeft na een goede toelichting plus een rekenfout 4 m3 als antwoord, dan krijg je bijna alle punten.  Achter elk getal als antwoord hoort een eenheid, zoals m, cm3, m/s of km/h.  Neem niet alle cijfers uit de display van je rekenmachine over maar durf op het eind af te ronden. Als je 2,75 m aflegt in 0,54 s dan schrijf je niet v = 5,092 592 59 3 m/s maar rond je af tot 5,1 m/s. Zie voor de precieze afrondingsregels p. 272.  Een rekenmachine gebruikt altijd de Amerikaanse decimale punt. Jij geeft je antwoorden met de Nederlandse decimale komma. 1 a Zoek in Binas de betekenis op van: kilo, milli, mega en micro. b Schrijf 36 238 km als 3,··· ·10? m. c Schrijf 0,028mm als 2,··· ·10? m. d Bereken het aantal seconden in een jaar en gebruik de wetenschappelijke notatie. 2 Je zaagt blokjes hout af die 10,00 cm lang moeten worden. Bij nameten blijkt de gemiddelde lengte 9,83 cm te zijn met als uiterste waarden 9,79 cm en 10,36 cm. a1 Bereken de grootste afwijking van 10,00 cm. a2 Hoeveel procent is dat? b Hoeveel % wijkt het gemiddelde af 10,00 cm? Op de glijder van een luchtkussenbaan staat een stuk karton van 25 mm breed dat een lichtstraal kan onderbreken. Zolang dat gebeurt, loopt een klok. a Hoe groot is de snelheid als de klok 42 ms aanwijst? b Wat wijst de klok aan bij 2,2 m/s? 3 Op 170 m afstand zie je een heiblok vallen. Pas na 0,5 s hoor je de klap. a Waarom zit er tijd tussen zien en horen? b Bereken de snelheid van het geluid. ►Tijdens een onweer zie je een flits en 9 s later hoor je de donder. c Bereken je afstand tot de ontlading. Een schijf met één stip draait rond met een toerental van 1200 per minuut. a Bereken de frequentie (in hertz). b Bij welk frequenties van de stroboscoop zie je één stip stilstaan en bij welke drie stippen? c Noem een frequentie waarbij je vier stippen langzaam de verkeerde kant uit ziet gaan. Op een draaiende schijf staat één stip. Bij 101 Hz van de stroboscoop zie je vier stippen rechtsom draaien en bij 99 Hz linksom. a In welke richting en met welk toerental draait de schijf echt? b Bereken de periode van de schijf. ko ps ch oo l 13

[close]

p. 6

14 1.2 Grafieken en formules; snelheid We beginnen deze paragraaf met bewegingen waarbij de snelheid niet verandert. Proef 4 Eenparig bewegen Een glazen buis is helemaal gevuld met water op een kleine luchtbel na. Leg deze buis langs een liniaal en zet hem een beetje schuin zodat de luchtbel naar boven gaat. Met een stopwatch neem je steeds na 10 cm de tijd op. Het blijkt dan dat de luchtbel voor iedere 10 cm dezelfde tijd nodig heeft − bijvoorbeeld 5,4 s. De snelheid bij eenparig bewegen Als je bij deze beweging de afstand van 10 cm deelt door de bijbehorende tijd van 5,4 s, komt er 1,85 cm/s uit. Maar als je een andere afstand zou meten, bijvoorbeeld 17 cm met een bijbehorende tijd van 9,2 s, dan zou de deling ook 1,85 cm/s opleveren. Deze breuk van 1,85 cm/s noemen we de snelheid van de luchtbel. We gebruiken hiervoor de letter v van velocitas (Latijn voor snelheid). Zo’n afspraak wordt een definitie genoemd. snelheid = ge b definitie snelheid De standaardeenheid van snelheid is m/s. tv oo r verplaatsing benodigde tijd Nie rui Zo’n beweging langs een rechte lijn waarbij de luchtbel steeds even hard gaat, heet een eenparige rechtlijnige beweging. ko ps ch oo l 1 Bewegen Grafieken en formules In het algemeen hangen plaats x en snelheid v van de tijd t af, het zijn (wiskundige) functies van de tijd. We kunnen de beweging van de luchtbel op twee manieren in een grafiek weergeven. Ten eerste kunnen we de plaats uitzetten tegen de tijd. Je krijgt dan een schuine rechte lijn door de oorsprong. Ten tweede kunnen we de snelheid uitzetten tegen de tijd. Dan vind je een horizontale rechte lijn omdat de snelheid van de luchtbel een constante waarde heeft. Uit beide grafieken blijkt dat de snelheid van de luchtbel 1,85 cm/s was. Zelfs op t = 0 s! De x(t)-grafiek van een eenparige beweging is een schuine rechte lijn met de formule x(t) = v · t De v(t)-grafiek van een eenparige beweging is een horizontale rechte lijn met de formule v(t) = v (een constante waarde)

[close]

p. 7

1.2 Grafieken en formules; snelheid Tekenen van grafieken Voorbeeld Formules en grafieken Let bij het tekenen van grafieken op het volgende:  Zet de tijd op de horizontale as uit.  Geef oorsprong van plaats en tijd aan.  Zet bij de assen wat je erop uitzet.  Zet tussen haakjes de eenheden erbij.  Geef de assen een schaalverdeling. Anders dan in de wiskunde hoef je de assen niet op dezelfde manier in te delen.  Gebruik roosterpapier met ruitjes van 1 mm of 0,5 cm.  Als de grafiek een rechte lijn lijkt, moet je een (doorzichtige) liniaal gebruiken. Zorg ervoor dat er ongeveer evenveel punten boven als onder die rechte lijn liggen. Negatieve snelheden; vaart  Autootje I rijdt eenparig met 3,5 m/s en start bij x = 0 m. a Schrijf de formules op voor x(t) en v(t). b Bereken x(4). c Bereken het tijdstip t waarop x(t) = 10 m. d1 Teken van dit autootje de x(t)-grafiek. d2 Teken in dezelfde figuur de x(t)-grafiek van autootje II dat 16,0 m verderop begint en met een vaart van 2,0 m/s de andere kant uit rijdt, dus met vII = −2,0 m/s. Oplossing a x(t) = 3,5·t en v(t) = 3,5 b x(4) = 3,5·4 = 14 m 3,5 c 10 = 3,5·t  t  10  2,9 s vI = +100 km/h vII = −80 km/h en Andersom mag ook. Uit + en − blijkt alleen dat de twee auto’s verschillende kanten uit rijden. De x(t)-grafieken en de v(t)-grafieken van de twee auto’s zien er bij deze keuze zo uit: (15 min = 1 uur) 4 tv oo r ge b Als we niet geïnteresseerd zijn in de richting van een voorwerp gebruiken we vaak het woord vaart in plaats van snelheid. Nie rui Tip m/s en km/h Stel dat op de weg Amsterdam-Utrecht (afstand 30 km) auto I met 100 km/h naar Utrecht rijdt en auto II met 80 km/h naar Amsterdam, dan schrijven we: d Dit zijn de grafieken. Die van de eerste auto begint in de oorsprong en heeft een ‘helling’ van 3,5 m/s. De grafiek van de tweede auto begint bij 16,0 m en gaat omlaag met −2,0 m/s. 72 km/h = Om km/h om te rekenen naar m/s moet je dus delen door 3,6. Om m/s om te rekenen naar km/h moet je vermenigvuldigen met 3,6. ko ps ch oo l 15 72000 m = 72 m = 20 m/s 3600 s 3,6 s

[close]

p. 8

16 Voorbeeld Een willekeurige x(t)-grafiek lezen  We kijken nu naar bewegingen waarbij de snelheid niet constant is. Met de computer is de beweging van een hand langs een constantaandraad AB geregistreerd. Links is x = −1 m en rechts is x = +2 m. tv oo r a Wanneer bewoog de hand het snelst? b Ging de hand toen naar A of naar B? c Op welke tijdstippen keerde de beweging van richting om en was de snelheid dus even nul? d In welke tijdvakken veranderde de snelheid niet? e Noem een tijdstip waarop de snelheid negatief was. f Leg uit dat rond t = 1,5 s de snelheid toenam. g Leg uit dat rond t = 3,5 s de snelheid afnam. h In welk tijdvak bewoog de hand niet? i Bepaal de snelheden bij de rechte stukken rondom t = 3,0 s en t = 5,0 s. j Leg uit dat vlak voor t = 6,5 s de vaart afnam maar de snelheid toenam. ge b rui Je leest hier af dat x tussen t = 2,7 s en t = 3,3 s toeneemt van 0,66 m tot 1,14 m. Dat betekent: v(3)  1,14  0, 66  0, 48  0,80 m/s 3, 3  2, 7 0, 60 Beantwoord de volgende vragen en kijk niet al te snel naar de antwoorden die hiernaast staan. Help je buurvrouw/-man. Nie ko ps ch oo l 1 Bewegen Oplossing a De snelheid was het grootst tussen t = 2,0 s en t = 3,5 s, want daar loopt de grafiek het steilst. b De hand ging naar B, want de x neemt toe. c Op de tijdstippen t = 4,1 s en t = 6,5 s keerde de bewegingsrichting om. d Als de helling constant is, verandert de snelheid niet. Dat komt vijf keer voor. e Op t = 5 s was v negatief want x neemt af. f Rond t = 1,5 s nam de snelheid toe, want de grafiek gaat daar steiler lopen. g Rond t = 3,5 s nam de snelheid af, want de grafiek gaat daar minder steil lopen. h Stilstand betekent dat de x niet verandert, dus dat de x(t)-grafiek een horizontale rechte lijn is. Dat is zo vanaf t = 9,2 s. i Van het stuk rondom t = 3,0 s kun je met Coach de grafiek ‘opblazen’. Na zo’n uitvergroting lijkt de grafiek recht. Bij t = 5,0 s vind je op dezelfde manier: v(5)  1,12  1, 36  0, 24  0, 30 m/s 5, 4  4, 6 0,80 j De snelheid verandert daar van −0,30 m/s in 0 m/s. De vaart wordt dus kleiner, maar de snelheid groter.

[close]

p. 9

1.2 Grafieken en formules; snelheid Snelheden bepalen met raaklijnen We kunnen v ook bepalen door een raaklijn te trekken. Stel dat bij de vorige x(t)-grafiek de snelheid na t = 1,5 s niet zou veranderen, dan zou de grafiek verder lopen volgens de raaklijn. Als we met Coach de raaklijn trekken en de helling van die raaklijn laten berekenen, vinden we: v(1,5) = 0,45 m/s. Deze Δ-notatie passen we toe bij begin- en eindpunt van de raaklijn: Δt = t2 − t1 = 6,5 − 0 = 6,5 s Δx = x2 − x1 = 2,0 − (−0,9) = 2,9 m Je vindt dan voor de snelheid: 2,9 v(1,5)   x   0, 45 m/s  t 6,5 Conclusies over x (t )-grafieken De Δ-notatie Nie tv oo r In de volgende regels is Δ geen vermenigvuldigingsgetal, maar een afkorting voor differentie = verschil Δt = t2 − t1 = nieuwe t − oude t en Δx = x2 − x1 = nieuwe x − oude x ge b rui Je kunt de raaklijn bij t = 1,5 s ook zo maken:  Er is verschil tussen vaart en snelheid. Bij de vaart speelt positief en negatief geen rol, bij de snelheid v wel.  Als de x(t)-grafiek stijgt, is v positief.  Als hij daalt, is v negatief.  Als je een horizontale raaklijn kunt trekken, is v nul.  Als de x(t)-grafiek hol is, neemt v toe.  Als hij bol is neemt v af.  Op de grens van hol en bol is de vaart maximaal. Zo’n grens heet een buigpunt. Een schets van de v (t )-grafiek Als de x(t)-grafiek bekend is, kun je dus op ieder tijdstip v bepalen en daarna de v(t)-grafiek tekenen. Eerst geven we aan waar de snelheid nul, positief en negatief is. Bij de x(t)-grafiek die hiernaast staat, ziet dat tekenverloop er zo uit;  is een ‘nulpunt’ van de v(t)-grafiek (de x(t)-grafiek loopt daar horizontaal) + betekent v > 0 (de x(t)-grafiek stijgt) − betekent v < 0 (de x(t)-grafiek daalt). ko ps ch oo l 17

[close]

p. 10

18 Is de raaklijn goed getrokken? Hoe gek het ook klinkt, het antwoord op deze vraag is bijna altijd: ja. Als de raaklijn niet goed is, ben jijzelf de eerste die dat ziet. Toch zal jouw raaklijn niet precies dezelfde zijn als die van je buurman/-vrouw − die ook een goede raaklijn getrokken heeft. Om een goede raaklijn te krijgen, moet je ervoor zorgen dat de ‘kieren’ tussen de raaklijn en de grafiek even groot zijn en dat de lijn zo lang mogelijk is. Bij t = 1,5 s is dat gelukt, maar bij t = 3,5 s om twee redenen niet: hij is te kort en niet steil genoeg want rechts is de ‘kier’ te klein. Van x (t )-grafiek naar v (t )-grafiek Nie tv oo r De x(t)-grafiek die hiernaast staat, lijkt veel op de vorige, maar nu zitten er geen rechte stukken in. Toch kun je de nulpunten en het tekenverloop van de v(t)-grafiek vinden. Voor de nulpunten kijk je naar de maxima en de minima en voor het tekenverloop naar toenemen of afnemen van x. Als je de grafiek zou opblazen, blijft hij hol of bol. Bij erg sterk opblazen merk je echter niets meer van de kromming en lijkt hij recht. Net zoals je ook niet merkt dat de aarde een bol is en geen plat vlak. Je kunt de computer de opdracht geven om bij alle (2000) punten de grafiek ‘eventjes’ op te blazen en dan de snelheid uit te rekenen. Daarna tekent hij de v(t)-grafiek voor je. Je kunt natuurlijk ook zelf met raaklijnen een paar snelheden bepalen en daarna de grafiek tekenen. ge b rui ko ps ch oo l 1 Bewegen De afgeleide functie; differentiëren De activiteit waarbij we van x(t) naar v(t) gaan, wordt differentiëren genoemd; v(t) heet de afgeleide functie: v(t) = x′(t). Ook kom je deze notatie tegen: v(t )  dx dt Ga na dat je de volgende relaties tussen de twee grafieken herkent:  Het eerste nulpunt van v heb je bij t = 3,6 s. Daar kun je een horizontale raaklijn trekken, net als bij t = 5,5 s.  Op t = 0 s is de snelheid niet nul.  Iets na t = 2 s loopt het stijgende stuk het steilst. Hol verandert daar in bol. De x(t)-grafiek heeft daar een ‘buigpunt’ en de snelheid v heeft daar een maximum. Hetzelfde gebeurt bij t = 6,5 s.  Omstreeks t = 4,5 s is de vaart achteruit het grootst. Bol verandert daar in hol. In dat buigpunt heeft de (negatieve) snelheid dus een minimum.  Na t = 8,2 s loopt de x(t)-grafiek horizontaal en is v dus nul.

[close]

p. 11

1.2 Grafieken en formules; snelheid Gemiddelde snelheid Het oppervlak onder de v(t)-grafiek Bij een eenparige beweging levert de breuk verplaatsing steeds dezelfde uitkomst. benodigde tijd Bij een niet-eenparige beweging komt er steeds wat anders uit. We noemen de breuk dan de gemiddelde snelheid vgem. vgem  x t Iemand rijdt twee uur lang met een constante vaart van 100 km/h. De kilometerteller staat aan het begin op 38 341 en zal tijdens het rijden oplopen naar steeds hogere waarden. De snelheidsmeter staat al die tijd op 100. definitie gemiddelde snelheid We passen dit toe op begin en eind van de x(t)-grafiek van p. 17. In de snelheidsgrafiek is het oppervlak onder de lijn gekleurd. De hoogte van dit oppervlak is 100 km/h en de breedte is 2 h. Als de eindwaarde van x kleiner is dan de beginwaarde, is vgem negatief. Nie tv oo r De hand bewoog tussen −0,60 m en +1,64 m. In 10 s is hij dus netto 2,24 m van z’n plaats gekomen. We houden er bij het berekenen van vgem geen rekening mee dat de afgelegde weg veel groter is. Voor de gemiddelde snelheid in die 10 s vinden we dan: vgem(0  10)  2, 24 m  0, 22 m/s 10 s We kunnen ook een ander deel van de grafiek nemen. Bijvoorbeeld tussen 4,1 s en 6,5 s is de verplaatsing −0,63 m (achteruit) in 2,4 s. Voor de gemiddelde snelheid vinden we dan: vgem(4,1  6,5)  0, 63 m  0, 26 m/s 2, 4 s Bij het berekenen van een gemiddelde snelheid kijken we alleen naar het beginpunt en het eindpunt. ge b rui hoogte  breedte = oppervlak Dat wordt hier: 100 km/h  2 h = 200 km Maar dat is juist de afstand die de auto in 2 uur heeft afgelegd. In het algemeen kunnen we zeggen: Het totale oppervlak tussen de v(t)-grafiek en de t-as stelt de verplaatsing voor. Hierbij rekenen we oppervlakken onder de t-as negatief. Voorbeeld Een verplaatsing bepalen  Bij dit snelheidsverloop rijd je 110 km in 2 uur (400,5 + 601,5 = 110 km). ko ps ch oo l 19

[close]

p. 12

20 Oppervlakken bepalen Behalve via hoogte  breedte kun je ook op andere manieren het oppervlak onder een v(t)-grafiek bepalen. Welke manier het best is, hangt af van het soort grafiek.  Hokjes tellen Het gearceerde hokje onder deze grafiek heeft een waarde van 5m/s·0,5 s = 2,5 m. Tel het aantal hokjes en maak bij de gebroken hokjes een schatting voor hoeveel je ze meetelt: helemaal, voor de helft of voor een kwart. Ga niet al te pietluttig te werk. Hier vind je ongeveer 12 hokjes, dus: 122,5 = 30 m.  Schatten met een timmermansoog Je kunt met een timmermansoog een schuine rechte lijn trekken zodat de twee gearceerde oppervlakjes gelijk zijn. Daarna pas je de formule voor het oppervlak van een driehoek toe: oppervlak = ½·basis  hoogte Ga na dat je dan ook 30 m vindt. ge b Nie tv oo r rui ko ps ch oo l 1 Bewegen Relatieve snelheid  Rechthoeken en driehoeken Bij versnelde bewegingen is de v(t)-grafiek een rechte lijn, zoals bij een remmende fietser Je kunt het oppervlak dan opsplitsen in een rechthoek en een driehoek. Het oppervlak van de rechthoek is 16 m waard. Het oppervlak van de driehoek vind je met ½hoogtebasis = ½84 = 16 m. Tussen t1 = 1 s en t2 = 5 s is de afgelegde weg dus 16 + 16 = 32 m Stel dat je met 90 km/h achter een auto aan rijdt die met 60 km/h gaat en dat je achterstand 20 km is. Na hoeveel tijd heb je die auto dan ingehaald? Hier is alleen de verschilsnelheid van 90 − 60 = 30 km/h van belang. Deze wordt ook wel de relatieve snelheid vr genoemd. Met deze 30 km/h wordt de achterstand van 20 km weggewerkt. Het duurt dus 2/3 uur = 40 min. Als twee auto’s elkaar naderen met 90 km/h en 60 km/h, is de relatieve snelheid gelijk aan 150 km/h. De ene snelheid is immers +90 km/h en de andere −60 km/h. De relatieve snelheid is nu: vr = 90 −(−60) = 150 km/h Stel dat hun afstand 75 km is, dan ontmoeten ze elkaar na een half uur.

[close]

p. 13

1.2 Grafieken en formules; snelheid Opgaven 1.2 Op de site staan werkbladen met de grafieken. 7 10 Dit zijn de x(t)-grafieken van drie wandelaars: 11 Reken om: a 18 km/h en 50 km/h in m/s. b 15 m/s in km/h a b c d 8 Wie van de drie had de grootste snelheid? Beschrijf de drie bewegingen in woorden. Wat stellen de snijpunten voor? Teken in één figuur de drie snelheidsgrafieken. In één x(t)-grafiek zijn drie bewegingen weergegeven. v(t)-grafieken. 9 Voor twee eenparige bewegingen die beide op t = 0 s in de oorsprong beginnen, geldt: vI = 20 m/s en vII = −30 m/s. a Teken de x(t)-grafieken. b Teken de v(t)-grafieken. Nie tv oo r  Maak in één figuur de bijbehorende ge b rui 12 a Toon aan dat de twee snelheden 0,24 m/s en 0,41 m/s zijn. b Bereken de tijden voor beide helften. c Teken de x(t)-grafiek voor de hele rit. Deze twee grafieken horen bij elkaar. - Leg met drie argumenten uit welke grafiek bij x(t) hoort en welke bij v(t). ko ps ch oo l 21 Een speelgoedautootje wordt getrokken door een draad die wordt opgewonden met een conservenblik op een oude pick-up. Het toerental van de pick-up is 45 per minuut. De middellijn van het blik is 10,0 cm. Nadat het autootje 8,0 m gereden heeft, wordt het toerental op 78 per minuut gezet. De hele rit is 16,0 m lang.

[close]

p. 14

22 13 Dit is de x(t)-grafiek van een slinger. a Leg uit of de beweging eenparig is. b Bepaal eerst op welke tijdstippen de snelheid van de slinger nul is tussen t = 0 s en t = 4 s en geef daarna het tekenverloop van v. c Bepaal met de getekende raaklijn v(2,3). d Bepaal met een eigen getrokken raaklijn v(1,2). 14 ge b  Bepaal de snelheid op t = 3,105 s. 15 Een vlieg botst tegen een ruit en komt even later tot stilstand; x(0) = 0 m. tv oo r a Bereken Δx(0→4) en Δx(4→6). b Bereken x(4), x(6) en x(8). c Bereken vgem(0→8). Nie rui  Vul de tabel in en teken de x(t)-grafiek. 19 In plaats van een raaklijn tekenen kun je met Coach een stuk van de grafiek ‘opblazen’. Dat is gedaan bij t = 3,105 s als de slinger door de evenwichtsstand gaat. De lijn is dan recht. ko ps ch oo l 1 Bewegen 16 17 18 Je rijdt een half uur met een snelheid van 50 km/h en daarna 60 km met een snelheid van 80 km/h.  Bereken de gemiddelde snelheid. Iemand rijdt 20 minuten met 50 km/h, daarna 10 minuten met 80 km/h; vervolgens staat zij 5 minuten stil en tenslotte rijdt zij nog een half uur met 100 km/h. - Bereken haar gemiddelde snelheid. Deze v(t)-grafiek van een jagende kat bestaat uit vier eenparige stukken: Dit is de x(t)-grafiek van een auto. a Hoe groot is zijn snelheid? b Bepaal met een grafiek wanneer een 2e auto die met 90 km/h rijdt en op t = 0 h een achterstand van 20 km heeft de 1e auto inhaalt. c Kun je het ook uitrekenen? Laat zien!

[close]

p. 15

1.3 Versnellen 1.3 Versnellen In 1586 lieten Simon Stevin en de vader van Hugo de Groot twee loden kogels vallen vanaf de toren in Delft. De een was tien keer zo zwaar als de ander. Geef voor je verder leest een voorspelling welke kogel volgens hen het eerst beneden was. Proef 5 Vallend A4-tje Laat tegelijkertijd een A4-tje en een boek vallen. Flauwe vraag: welke is het eerst beneden? Maak een prop van het A4-tje en herhaal de proef. Leg een A4-tje los bovenop het boek en laat het boek weer vallen. Ben je verrast over de uitkomst? Zwaar en licht Je ziet dat je met proef 5 kunt bewijzen wat je wilt. De eerste keer krijgt Aristoteles gelijk: zware voorwerpen vallen sneller dan lichte. Bij de volgende proeven blijkt dat papier en boek gelijk aankomen, ondanks het verschil in zwaarte. Het boek en het A4-tje hebben in die gevallen dezelfde versnelling: het tempo waarin de snelheid toeneemt is gelijk. tv oo r Nie ge b rui Vrijwel iedereen weet te vertellen, dat zware voorwerpen sneller vallen dan lichte. Ook Aristoteles beweerde dit al omstreeks 350 voor Christus. Simon Stevin en later Galilei betwijfelden of hij dat met proeven had gecontroleerd. Zij deden die proeven wel en kwamen tot andere conclusies. (Lees en OuNa 1) De storende factor is de wrijving met de lucht en het mooiste zou zijn als we die konden uitschakelen. Galilei voorspelde dan ook dat in vacuüm (luchtledig) twee verschillende voorwerpen even snel zouden vallen, maar hij kon dit niet experimenteel bewijzen omdat er in zijn tijd nog geen vacuümpompen bestonden. Aan het eind van de 17e eeuw waren die pompen er wel en toen bleek dat een veertje en een munt in een leeggepompte buis even snel vielen. In 1971 is die beroemde proef op de maan gedaan tijdens de tocht met de Apollo-15. Scott liet toen een hamer en een veer van een valk vallen. Ook die kwamen tegelijk op de grond. Een val in vacuüm, die dus niet gehinderd wordt door weerstand van de lucht, noemen we een vrije val. Bij een vrije val vallen alle voorwerpen even snel. Registratie van een val Een val verloopt zo snel dat we hem met speciale hulpmiddelen moeten onderzoeken. Een stopwatch is alleen bij een val van grote hoogte te gebruiken. Bij kleine afstanden gebruiken we elektronische apparatuur, sonar, computers, lichtsensoren, een smartphone of stroboscopische foto’s. Om de remmende werking van de lucht te beperken, werken we met stalen kogels omdat die een grotere zwaartekracht ondervinden. De luchtweerstand is dan naar verhouding klein. Bij een val gebruiken we de letter h of soms de letter y om de plaats aan te geven. Hoewel het voorwerp omlaag valt, tekenen we de h-as liever omhoog en noemen we de snelheid v bij een val positief. We bekijken een manier om een h(t)-grafiek op te meten. ko ps ch oo l 23

[close]

Comments

no comments yet