Годишник на Университет “Проф. д-р Асен Златаров” – Бургас. Том ХLIV, книга 1, “Технически и природни науки”, 2015

 

Embed or link this publication

Description

Годишник на Университет “Проф. д-р Асен Златаров” – Бургас. Том ХLIV, книга 1, “Технически и природни науки”, 2015

Popular Pages


p. 1



[close]

p. 2



[close]

p. 3

УНИВЕРСИТЕТ „ПРОФ. Д-Р АСЕН ЗЛАТАРОВ“ – БУРГАС ГОДИШНИК ТОМ ХLIV, КНИГА 1, 2015 ТЕХНИЧЕСКИ И ПРИРОДНИ НАУКИ ASSEN ZLATAROV UNIVERSITY BURGAS, BULGARIA ANNUAL Vol. XLIV, BOOK 1, 2015 TECHNICAL AND NATURAL SCIENCES БУРГАС ● 2015 ● BURGAS

[close]

p. 4

РЕДАКЦИОННА КОЛЕГИЯ проф. дпн Маргарита Терзиева (главен редактор) проф. д-р Валентина Терентиева (Красноярск, Русия) доц. д-р Пенка Пеева проф. д-р Заур Заврумов (Пятигорск, Русия) проф. д-р Марина Янич (Ниш, Сърбия) проф. дхн Любомир Влаев проф. Йордан Ников (Лил, Франция) гл. ас. Иван Соколов Технически сътрудник: инж. Илиана Ишмериева Университет „Проф. д-р Асен Златаров“ – Бургас Годишник, т.XLIV , кн. 1, 2015 г. ISSN 1312-1359 Assen Zlatarov University Burgas 8010, Bulgaria

[close]

p. 5

Том XLIV. Книга 1. Съдържание Иван Георгиев Румяна Янкова Изчисляване на реални функции с рудиментарни оператори Рецензент: проф. д-р Г. Панайотова Квантовохимично изследване на БИС (2-аминотиазол) дибромоцинк (II) Рецензент: доц. д-р Св. Желева Геометрична оптимизация на мономерни фрагменти от молибденови комплекси с квантовохимични методи Рецензент: доц. д-р Д. Кирякова Пресмятане разпределението на обема на порите по размер на адсорбенти и хетерогенни катализатори Рецензент: доц. д-р М. Великова Охарактеризиране пористата структура на адсорбенти и хетерогенни катализатори Рецензент: доц. д-р М. Великова Спектрофотометрично определяне на арсен (V), използвайки фуксин като нов реагент Рецензент: доц. д-р И. Марковска Частична йонообменна деминерализация на природни води Рецензент: доц. д-р Н. Димитрова 9 15 ВикторияТрифонова, Севдалина Турманова, Емилия Иванова, Красимир Василев Ления Гонсалвеш, Мариана Тавлиева, Веляна Георгиева, Любомир Влаев Ления Гонсалвеш, Мариана Тавлиева, Веляна Георгиева, Любомир Влаев Красимира Станчева, Виктория Трифонова Благовеста Мидюрова, Мария Димова – Тодорова, Тодорка Панайотова Милена Митева, Сийка Иванова, Стойко Петров, Даринка Христова Валентин Ненов, Богдан Бонев, Ильдар Шайхиев, Владислав Дряхлов, Гулназ Сафина, Алсу Назмиева Антон Паличев, Йорданка Ташева, Тодор Паличев Галина Григорова 20 26 31 36 40 Получаване и охарактеризиране на мембарни от разтвори на полиакрилонитрил/ацеталиран поливинилов алкохол Рецензент: доц. д-р К. Габровска Обработка на отпадни води от производството на зехтин чрез използване на мембрани, преработени с коронен заряд Рецензент: доц. д-р Х. Йеменджиев 44 48 Изследване поведението на нови оксигенатни смеси Рецензент: доц. д-р Яна Колева Вариант на процедура за верификация на метод за определяне на водно съдържание в пчелен мед Рецензент: проф. дтн Ц. Годжевъргова Изследване хидродинамиката на работни и направляващи лопатки за турбини, работещи с малки дебити на топлоносителя Рецензент: проф. д-р Ж. Стефанов Изследване нивото на пулсации на инвертор DC/DC от понижаващ вид Рецензент: доц. д-р С. Пацов 53 57 Димитър Русев, Стоян Тенчев Васил Иванов, Ивайло Стоянов 61 66

[close]

p. 6

Магдалена Дюлгерова Станислав Симеонов, Нели Симеонова, Асен Илиев Ивайло Беловски, Йордан Георгиев, Анатолий Александров Жулиета Едрева, Юлиян Петров, Станчо Едрев Диана Илиева Използване на CAD системи в инженерното образование като възможност за интерактивно обучение Рецензент: доц. д-р Н. Симеонова Йерархично планиране на системи реално време на база многоядрени конфигурации за персонални компютри Рецензент: доц. д-р С. Сотиров Многофункционална термоелектрическа система Рецензент: доц. д-р П. Рахнев Място на удара при пътно транспортно произшествие Рецензент: доц. д-р Д. Хлебарски 70 75 80 84 Анкетно изследване на нуждите и зависимостта на незрящите хора от оптоелектронни средства за защита Рецензент: доц. д-р Й. Николова Изграждане на изследователска стратегия за проучване на нуждите и зависимостта на незрящите хора от оптоелектронни средства за защита Рецензент: доц. д-р Н. Атанасов Технологични възможности за подобряване структурномеханичните свойства на нискофункционални месни суровини чрез бактериален ензимен препарат Рецензент: проф. дтн Ц. Годжевъргова Подобряване качествените показатели на трайни колбаси чрез прилагане на протеолитичен ензимен препарат Рецензент: проф. дхн Л. Влаев 89 Диана Илиева 93 Диана Инджелиева 98 Диана Инджелиева 102

[close]

p. 7

Volume XLIV (I). Contents Ivan Georgiev Rumyana Yankova Victoria Trifonova, Sevdalina Turmanova, Emilya Ivanova, Krassimir Vassilev Lenia Gonsalvesh, Mariana Tavlieva, Velyana Georgieva, Lyubomir Vlaev Lenia Gonsalvesh, Mariana Tavlieva, Velyana Georgieva, Lyubomir Vlaev Krasimira Stancheva, Viktoria Trifonova Blagovesta Midyurova, Maria Dimova – Todorova, Todorka Panayotova Milena Miteva, Sijka Ivanova, Stoiko Petrov, Darinka Christova Valentin Nenov, Bogdan Bonev, Ildar Shaikhiev, Vladislav Dryakhlov, Gulnaz Safina, Аlsu Nazmieva Anton Palichev, Yordanka Tasheva, Todor Palichev Galina Grigorova Dimitar Rusev, Stoian Tenchev Vasil Ivanov, Ivaylo Stoyanov Magdalena Dyulgerovа Stanislav Simeonov, Neli Simeonova, Assen Iliev Ivaylo Belovski, Jordan Georgiev, Anatoliy Aleksandrov Computing Real Functions with Rudimentary Operators Quantum Chemical Study of Bis(2-Aminothiazole) Dibromozinc(II) Geometric Optimization of Monomer Fragments of Molybdenum Complexes by Quantum Methods 9 15 20 Calculation of Pore Size Distribution of Adsorbents and Heterogeneous Catalysts 26 Characterization of the Pore Structure of Adsorbents and Heterogeneous Catalysts 31 Spectrophotometric Determination of Arsenic (V) Using Fuchsine as New Reagent Partial Ion Exchange Demineralization of Natural Waters 36 40 Preparation and Characterization Of Membranes from Solutions of Polyacrylonitrile and Polyvinyl Alcohol Acetalisation 44 Effluent Treatment of Olive Oil Production Using Membranes Processed in the Field of Corona Discharge 48 Investigation of Behavior of Novel Oxygenated Blends 53 Option of Verification of a Method for Determination of Water Content in Honey Study of the Hydrodynamics of Runner and Guide Vanes for Turbines Working with Small Flow of Coolant Study of the Ripple Pulse Level of Lowering Type Energy Converter Use of Cad Systems in Engineering Education as Elements of Interactive Learning Hierarchical Scheduling for Real-Time Systems Based on Multicore Configurations for PCs Multifunctional Thermoelectric System 57 61 66 70 75 80

[close]

p. 8

Julieta Edreva, Yulian Petrov, Stancho Edrev Diana Ilieva Diana Ilieva Diana Indzhelieva Point of Impact in Motor Vehicle Accidents 84 Diana Indzhelieva Survey of the Needs and Dependence of Blind People on Optoelectronic Remedies 89 Building a Research Strategy to Study the Needs and Dependence of Blind People on Optoelectronic Remedies 93 Technological Means for Improvement of the Structural and Mechanical Properties of Low Functional Meat by Bacterial Enzyme Preparation 98 Improving the Quality Indicators of Durable Sausages by Applying Proteolytic Enzyme Preparation 102

[close]

p. 9

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТ “ПРОФ. Д-Р АСЕН ЗЛАТАРОВ” – БУРГАС, 2015, т. XLIV (1) ANNUAL ASSEN ZLATAROV UNIVERSITY, BURGAS, BULGARIA, 2015, v. XLIV (1) АКАДЕМИЧНО ИЗДАНИЕ С ПОЛОВИНВЕКОВЕН ЮБИЛЕЙ На 27 май 1965 г. е подписан за печат том първи от Годишника на Химико-технологическия институт в Бургас, предвиден в издателския план на издателство „Техника” в София за 1964 г. Официалният надпис е датиран за същата 1964 година, като надписите са на Автор/и Ив. Младенов, П.Николински, В. Мирчева Ив. Младенов, С. Иванова Вл. Кабаиванов, М. Натов А. Липчински М. Джонейди, И. Кулев А. Липчински И. Кулев Цв. Обретенов Заглавие Върху структурата и свойствата на хлоркаучука, получен от вулканизат. Съобщение първо Върху съвместимостта на хлорсулфориран полиетилен (ХСПЕ) , естествен каучук (ЕК) и бутадиенстиролов каучук (БСК) Върху очистването на полиетилен, получен при ниско налягане Количествено определяне на талий в Emplastrum thallii по метода на окислителна вътрешна електролиза Дробна реакция за бариеви йони Количествено определяне на талий в промишлени обекти по метода на окислителна външна електролиза Адсорбционно извличене на етилен и пропан от изкуствени смеси, моделиращи бедни промишлени и природни газове. Съобщение първо Върху сорбционните свойства на някои български природни сорбенти Към въпроса за експерименталното определяне на кристалния зародиш при преситените разтвори Върху едно неравенство в цели числа Трансформационни формули за компонентите на вектор върху земната повърхнина По някои въпроси на политиката на БКП за развитието на селското стопанство български и немски език. Редакционната колегия включва: проф. Ал. Липчински – отговорен редактор, доц. Ив. Младенов и инж. П. Минков. Годишникът е в тираж 540 екземпляра. Той има обем от 150 стандартни страници и следното съдържание: Страници: от - до 1-8 9-12 Езици на резюметата руски, английски руски, френски руски, немски руски, немски руски, немски руски, немски руски, немски руски, немски руски, френски руски, френски руски, немски руски, френски Бр. източници 5 5 13-19 21-29 31-36 37-42 43-52 10 7 14 12 7 Цв. Обретенов Н. Коларов, Хр. Петров, М. Манева Г. Георгиев В. Буриев Д. Гроздев 53 - 63 65-76 77 - 84 84-88 89-149 21 22 4 4 7 Нито в съдържанието, нито в края на отделните статии в Годишника са посочени рецензенти – вероятно авторите самостоятелно 7 носят отговорност за написаното. Сред тях са ректорът на висшето училище и ръководителите на част от катедрите: „Аналитична хи-

[close]

p. 10

мия” – Ал. Липчински; „Неорганична химия” – Н. Коларов, „Математика” – Г. Георгиев, „Марксизъм-ленинизъм” – Д. Гроздев. Годините на издаване и броят книжни тела, включени към отделните томове, са в следната последователност: № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Година 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Том 2 3 5 6 7 4, 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Бр. книжни тела 1 1 1 1-2 1 1 1 1 1 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2-2А 1-2 1-2 1-2 1-2 1 1 1 1 1 1 1 1 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 37 38 39 40 41 2010 2011 2012 2013 2014 39 40 41 42 43 1-2 1 1-2 1-2 1-2 През различни хронологични отрязъци от време названието на научното издание търпи корекции: – 1966-1990 – Годишник на Висшия химико-технологически институт – Бургас; – 1991-1994 – Годишник на ВХТИ „Проф д-р Асен Златаров“ – от 2001 г. – Годишник на Университет „Проф. д-р Асен Златаров“. Негови редактори през изминалите десетилетия са: професор Александър Липчински (1965-1967 и 1971-1973), доцент Цветан Обретенов, който по-късно става професор (1968-1970, 1976), професор Младен Генчев (1977-1986), доцент Георги Денев (19871994), доцент Стефан Манолов (2001-2006), доцент София Ангелова (2007-2011), професор Маргарита Терзиева (от 2012). През последните години редакционната колегия е в международен състав. В отделните томове са срещат имената на автори от Русия, Румъния, Украйна и други страни, за които публикуването в Годишника е въпрос на личен избор и основание за гордост. Юбилеят на първото академично издание в Бургас е повод да изразим уважението си към една научна традиция, която има своите достойни създатели и пазители. ЛИТЕРАТУРА: 1. Годишник на Химико-технологическия институт – Бургас. С., ДИ „Техника“, 1964. 2.Университет „Проф. д-р Асен Златаров“ – Бургас.Половинвековна научна традиция. Юбилеен сборник. Б., 2013. 3. http://www. bg.cobiss.net От редакционната колегия 8

[close]

p. 11

ГОДИШНИК НА УНИВЕРСИТЕТ “ПРОФ. Д-Р АСЕН ЗЛАТАРОВ” – БУРГАС, 2015, т. XLIV (1) ANNUAL ASSEN ZLATAROV UNIVERSITY, BURGAS, BULGARIA, 2015, v. XLIV (1) ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА РЕАЛНИ ФУНКЦИИ С РУДИМЕНТАРНИ ОПЕРАТОРИ Иван Георгиев COMPUTING REAL FUNCTIONS WITH RUDIMENTARY OPERATORS Ivan Georgiev E-mail: ivandg@yahoo.com ABSTRACT The aim of this paper is to apply the general characterization theorem of Skordev in [2] to obtain that two subrecursive classes of operators MSO and RO have equivalent computational power for computing real functions in the sense of Grzegorczyk [1]. An approach of Tent and Ziegler from [6] possesses exactly the same power, which avoids the use of infinitistic names of real numbers. Key words: 2, limited minimum operation, rudimentary operator, 2-substitutional operator, computable real function ВЪВЕДЕНИЕ Класът M 2 е тесен субрекурсивен клас от функции, който се дефинира с операцията ограничена минимизация. Съответният субрекурсивен клас от оперaтори, базиран на същата операция, е класът на рудиментарните оператори, който означаваме с RO . Първата статия, която изучава приложенията на M 2 към анализa, е [5]. В нея е показано, че много важни реални константи притежават M 2 - изчислими рационални приближения и че това последно свойство на реалните числа се запазва след прилагане на елементарните функции на анализа. По-точно, тези реални функции, ограничени до компактни подмножества на дефиниционните им области, са изчислими с помощта на класа на M 2 -субституционните оператори (който тук означаваме с MSO ), в смисъл, че тези оператори трансформират определен вид инфинитарни имена на аргументите на реалната функция в същия вид име на стойността на тази функция. Друг подход е този на Тент и Циглер в [6], в който приближенията на стойността на реалната функция се изчисляват директно с тотални функции в рационалните числа и така се заобикаля употребата на инфинитарни имена. Еквивалентността на двата подхода е характеризационната теорема на Скордев от [4] и нейната по-обща версия от [2]. Нашата цел е да приложим последната по-обща вер9 сия на тази теорема и по този начин да получим интересна връзка между изчислителната мощ на M 2 , MSO и RO по отношение на реалните функции. ВЪРХУ ОЗНАЧЕНИЯТА В цялата статия N е множеството на неотрицателните цели числа и R е множеството на реалните числа. За естествено m, множеството { f | f : N m  N} на всички m-местни тотални функции в N се означава с Tm , а обединението на всички Tm се означава с T . Различаваме променливи от два типа: f, g, h (и с индекси) пробягват функции от T1 , а x, y, z, s, t, k, l, m, n (и с индекси) пробягват числа от N . Използваме съкращение за крайни редици от функции f , g , h и за крайни редици от числа в N x , y , z , s . Дължините им ще са ясни от контекста. За естествени m, n, изображенията F : T1m  Tn ще наричаме оператори от тип (m, n) или накратко (m, n)-оператори. Оператор е просто (m, n)-оператор за някои m, n. Множеството на всички оператори означаваме с O . Обикновен оператор е (n, 1)оператор за някое n. За клас от оператори OP  O с OP1 бележим класа на обикновените оператори в OP .

[close]

p. 12

КЛАСОВЕТЕ M 2 , RO И MSO Дефиниция 1. За число m и функция а  Tm 1 дефинираме функцията b  Tm 1 с b( x , y )  най-малкото z  y с a( x , z )  0, ако има такова z, b( x , y )  y  1 , иначе. Означаваме b( x , y )   z  y [ a ( x , z )  0] и казваме, че b е по- F ( f )( x )  F0 ( f )( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x )), също принадлежи на RO . 4. За всички m, n, ако F0 е (m, n+1)-оператор, който принадлежи на RO , то същото е вярно за оператора F, дефиниран с F ( f )( x , y )   z  y [ F0 ( f )( x , z )  0]. лучена от a с ограничена минимизация. Дефиниция 2. Проекциите x1...xn . xm (1  m  n) , функцията наследник x. x  1 , отсечената разлика xy . x   y = xy . max( x  y, 0), функцията умножение xy . xy и функцията xy .   ще наричаме изходни функции.  x /( y 1)  Дефиниция 3. Класът M 2 е най-малкият подклас на T , който съдържа изходните функции и е затворен относно субституция и ограничена минимизация. Класът M 2 е естествен пример за тесен субрекурсивен клас, тъй като той съдържа точно онези функции, които са ограничени от полином и имат  0 -oпределими графики, т.е. определими в стандартния модел на аритметиката с формули, в които участват само ограничени квантори. Поради една друга характеризация 0 -oпределимите релации се наричат рудиментарни и това е причината да използваме същия термин за операторите от класа RO по-долу. От равенството x   x  0 и с приложение на функцията наследник и проекциите виждаме, че константните функции на произволен брой аргументи принадлежат на M 2 . Равенствата ( x  1)( y  1)   ( xy  1)  x  y, x  y  ( x   y)  ( y   x), max( x, y )  x  ( y   x) показват последователно, че функциите събиране и разстояние и бинарният максимум принадлежат на M 2 . С тривиална индукция следва, че m-арният максимум принадлежи на M 2 за m  2 . Дефиниция 4. Класът RO на рудиментарните оператори е най-малкият подклас на O , такъв че: 1. За всички m, n и всяка n-местна изходна функция a, (m, n)-операторът F, дефиниран с F ( f )( x )  a ( x ) , принадлежи на RO . 2. За всички m, k, такива че 1  k  m , (m, 1)операторът F, дефиниран с F ( f1 ,..., f m )( x)  f k ( x) , принадлежи на RO . 3. За всички m, n, k, ако F0 е (m, k)-оператор и F1 ,..., Fk са (m, n)-оператори, всичките в RO , то (m, n)-операторът F, дефиниран с Следващата дефиниция е специален случай на дефиниция 6 в [5], обобщена за оператори от произволни типове. Дефиниция 5. Класът MSO на M 2 - субституционните оператори, е най-малкият подклас на O , такъв че: 1. За всички m, n (1  m  n) и всяка n-местна проекция p, (m, n)-операторът F, дефиниран с F ( f )( x )  p ( x ) , принадлежи на MSO . 2. За всички m, n и k  {1,..., m} , ако F0 е (m, n)оператор, който принадлежи на MSO , то (m, n)-операторът F, дефиниран с F ( f )( x )  f k ( F0 ( f )( x )) , също попада в MSO . 3. За всички m, n, k и а  Tk  M 2 , ако F1 ,..., Fk са (m, n)-оператори, които попадат в MSO , то същото е вярно за оператора F, дефиниран с F ( f )( x )  a ( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x )). Твърдение 1. За произволни m, n и функция а  Tn  M 2 имаме, че (m, n)-операторът F, дефиниран с F ( f )( x )  a ( x ) , е рудиментарен. Доказателство. Лесна индукция по a. Твърдение 2. MSO  RO. Доказателство. При фиксирани m, n, с индукция по (m, n)-операторът F  MSO показваме, че F  RO . Ако F има вида от клауза 1 на дефиниция 5, то F е рудиментарен от клауза 1 на дефиниция 4 (проекциите са изходни). Нека F е дефиниран с F ( f )( x )  f k ( F0 ( f )( x )) и от индуктивната хипотеза F0 е рудиментарен. Тогава F  RO от клаузи 2, 3 на дефиниция 4. Накрая нека F е дефиниран с F ( f )( x )  a ( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x )), където и от индуктивната хипотеза F1 ,..., Fk са рудиментарни. От твърдение 1 константният (m, k)-оператор F0, дефиниран с F0 ( f )( y )  a ( y ) , е рудиментарен. Тогава F също е рудиментарен от клауза 3 на дефиниция 4. Всъщност, включването в твърдение 2 е строго. За да докажем това, се нуждаем от определено свойство за силна непрекъснатост на операторите в MSO . 10 а  Tk  M 2

[close]

p. 13

Твърдение 3. Нека F е (m, n)-оператор, който принадлежи на MSO . Съществува естествено число v със свойството: за всички f1 ,..., f m и x1 ,..., xn съществува крайно множество А, съдържащо не повече от v естествени числа, такова че F ( g1 , ..., g m )( x )  F ( f1 ,..., f m )( x ) - винаги когато gl (t )  fl (t ) за l  {1,..., m} и t  A. т.с.т.к.  z  y [(l  1)   F0 ( f )( x , z )  0]  y  1 т.с.т.к. за z  y т.с.т.к. (l  1)   F0 ( f )( x , z )  0 за z  y  z  y [(l  1)   F0 ( f )( x , z )  0]  ( y  1)  0 . Максимумът на {F0 ( f )( x , z ) | z  y} е горна граница, която съвпада с някой от неговите елементи. Затова дефинираме оператор G с G ( f )( x , y )  t  y [  z  y [( F0 ( f )( x , t )  1)   F0 ( f )( x , z )  0]  ( y  1)  0]. Доказателство. Индукция по F. Ако F е дефиниран с клауза 1 на дефиниция 5, то F не зависи от своите аргументи и можем да вземем v  0. Нека F е дефиниран с F ( f )( x )  f k ( F0 ( f )( x )) и от индуктивната хипотеза нека v0 е съответното число за оператора F0. Тогава можем да вземем v  v0  1. Наистина, нека фиксираме f и x . Нека A0 е съответното крайно множество от не повече от v0 числа за оператора F0. Тогава взимаме A  A0  {F0 ( f )( x )} . Разбира се, A има не повече от v елемента и ако g1 ,..., g m са функции, такива че gl (t )  fl (t ) за l  {1,..., m} и t  A, то от A0  A имаме F0 ( g )( x )  F0 ( f )( x ) и също F0 ( f )( x )  F0 ( g )( x )  A , така че g k ( F0 ( g )( x ))  f k ( F0 ( f )( x )), т.е. F ( g )( x )  F ( f )( x ) . Накрая нека F е дефиниран По-детайлно, G ( f )( x , y ) е най-малкият индекс t  y, такъв че F0 ( f )( x , t ) е горна граница за {F0 ( f )( x , z ) | z  y} , т.е. най-малкият индекс t  y, такъв че F0 ( f )( x , t ) е исканият макси- мум. Не е трудно да се види, че G  RO , като се използват клаузи 3, 4 на дефиниция 4 и твърдение 1. Остава да отбележим, че F ( f )( x , y )  F0 ( f )( x , G ( f )( x , y )) и да използваме клаузи 1, 3 на дефиниция 4. Твърдение 5. MSO  RO. Доказателство. Операторът F от тип (1, 1), дефиниран с F ( f )( y )  max f ( z ), принадлежи zy с F ( f )( x )  a ( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x )), 2 където и от индуктивната хипотеза нека v1 ,..., vk са съответните числа за операторите F1 ,..., Fk . Тогава можем да вземем v  v1  ...  vk . Наистина, нека фиксираме f и x . Нека A1 ,..., Ak са съответните крайни мно- а  Tk  M жества, съдържащи не повече от v1 ,..., vk числа, за операторите F1 ,..., Fk . Взимаме A  A1  ...  Ak . Тогава A има най-много v елементи и ако g1 ,..., g m са функции, такива че gl (t )  fl (t ) за l  {1,..., m} и t  A, то от A1  A,..., Ak  A заключаваме съответно, че F1 ( g )( x )  F1 ( f )( x ),..., Fk ( g )( x )  Fk ( f )( x ), на RO от твърдение 2 и клауза 2 на дефиниция 4, но F не притежава свойството за силна непрекъснатост, така че от твър-дение 3, F  MSO. Наистина, да допуснем, че съществува число v със свойството от твърдение 3. Нека f е унарната константа 0 и да фиксираме y  v. Избираме крайно мно-жество A, съдържащо най-много v числа, та-кова че F ( f )( y )  F ( g )( y ) , винаги когато g (t )  f (t ) за всички t  A. В множеството {x | 0  x  y} има y  1  v числа. Така можем да изберем y0  y, такова че y0  A. Оттук противоречието се извежда лесно. Да изберем функция g, такава че g (t )  f (t )  0 за t  y0 и g ( y0 )  1. Тогава имаме g (t )  f (t ) за всички t  A, но F ( f )( y )  max f ( z )  0 и G ( g )( y )  max g ( z )  1, zy zy така че F ( f )( y )  F ( g )( y ). ТЕОРЕМА ЗА РАВНОМЕРНОСТ ЗА RO така че F ( g )( x )  a( F1 ( g )( x ),..., Fk ( g )( x ))   a ( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x ))  F ( f )( x ). Твърдение 4. Ако F0 е (m, n+1)-оператор от класа RO , то същото е вярно за оператора F, дефиниран с F ( f )( x , y )  max F0 ( f )( x , z ). zy Доказателство. Едно число l е горна граница за множеството {F0 ( f )( x , z ) | z  y} т.с.т.к. F0 ( f )( x , z )  l за z  y т.с.т.к. F0 ( f )( x , z )  l  1 Теоремата за равномерност е съществена за приложенията в анализа. Първо е доказана от Гжегорчик в [1] за класа на всички изчислими оператори и след това от Скордев в [3] за някои субрекурсивни класове. За да докажем теорема за равномерност за RO уточняваме доказателството в [3]. 11

[close]

p. 14

Казваме, че f мажорира g или, че g се мажорира от f, ако g ( x)  f ( x) за всички x. Един (m, n)-оператор F е монотонен, ако F ( g )( x )  F ( f )( y ) за всички x , y , f , g , такива че gl се мажорира от fl за l  {1,..., m} и xk  yk за k  {1,..., n}. Бележка. Максимумът на крайно множество от числа нараства (или не се променя), ако повишим някое от числата в него или добавим нови числа в него. Лема 1. За произволен рудиментарен (m, n)-оператор F съществува монотонен рудиментарен (1, n)-оператор G, такъв че F ( f )( x )  G ( f )( x ) за всички f , f , x , такива че f мажорира f1 ,..., f m . Доказателство. Индукция по F. Нека F е рудиментарен от клауза 1 на дефиниция 4. Ако F е дефиниран с F ( f )( x, y )  x   y или  G0 ( f )( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x ))  G0 ( f )(G1 ( f )( x ),..., Gk ( f )( x ))  G ( f )( x ). Накрая нека F е дефиниран с F ( f )( x , y )   z  y [ F0 ( f )( x , z )  0]. В този случай индуктивната хипотеза не е необходима. Взимаме G ( f )( x , y )  y  1 . Ясно е, че G е рудиментарен от твърдение 1, монотонен и F ( f )( x , y )  G ( f )( x , y ). Дефиниция 6. Нека F е (m, n)-оператор. Казваме, че (1, n)-операторът H определя равномерна граница за F, ако за всички x , f и g1 ,..., g m , h1 ,..., hm , които се мажорират от f, ако g1 (t )  h1 (t ), ..., g m (t )  hm (t ) за t  H ( f )( x ) , то F ( g )( x )  F (h )( x ) . Теорема 1. (за равномерност на RO ) За произволен рудиментарен (m, n)-оператор F съществува монотонен рудиментарен (1, n)оператор H, който определя равномерна граница за F. Доказателство. Индукция по F. Ако F е рудиментарен от клауза 1 на дефиниция 4, то F е константен оператор и можем да вземем H ( f )( x )  0 . Нека F е (m, 1)-операторът, дефиниран с F ( f1 ,..., f m )( x)  f k ( x) , то можем да вземем H ( f )( x )  x (H очевидно е монотонен и рудиментарен от клауза 1 на дефиниция 4). Наистина, ако g1 (t )  h1 (t ),..., g m (t )  hm (t ) за t  H ( f )( x )  x , то в частност g k ( x )  hk ( x ) и то взимаме G ( f )( x, y )  x. В останалите случаи F е монотонен и можем да вземем G ( f )( x )  F ( f )( x ). Сега нека F е (m, 1)-операторът, дефиниран с F ( f1 ,..., f m )( x)  f k ( x) за някое k  {1,..., m}. Тогава взимаме G ( f )( x)  max f ( y ). От твърдеy x F ( f )( x, y )    x / ( y  1)  , ние 4 и клауза 2 на дефиниция 4 G е рудиментарен, а от бележката G е монотонен. За произволни f , f , x , такива че f мажорира f1 ,..., f m , имаме F ( f )( x)  f k ( x)  f ( x)  max f ( y )  G ( f )( x). y x така F ( g )( x)  g k ( x)  hk ( x)  F ( h )( x). По-нататък, По-нататък, нека F е дефиниран с F ( f )( x )  F0 ( f )( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x )) за рудиментарен (m, k)-оператор F0 и рудиментарни (m, n)-оператори F1 ,..., Fk . От индуктивната хипотеза съществуват (1, k)оператор G0 и (1, n)-оператори G1 ,..., Gk , всичките монотонни и рудиментарни, такива че F0 ( f )( y )  G0 ( f )( y ) и Fl ( f )( x )  Gl ( f )( x ) за всички f , f , x , y и l  {1,..., k}, за които f мажорира f1 ,..., f m . С равенството G ( f )( x )  G0 ( f )(G1 ( f )( x ),..., Gk ( f )( x )) нека F ( f )( x )  F0 ( f )( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x )) и от индуктивната хипотеза да изберем монотонен рудиментарен (1, k)-оператор H0, определящ равномерна граница за F0, и (1, n)-оператори H1 ,..., H k , всичките монотонни, рудиментарни и определящи равномерна граница за F1 ,..., Fk , съответно. Прилагаме лема 1 и избираме монотонни и рудиментарни (1, n)-оператори G1 ,..., Gk , такива че за l  {1,..., k} Fl ( f )( x )  Gl ( f )( x ) за всички f , f , x , такива че дефинираме (1, n)-оператор G, който е рудиментарен от клауза 3 на дефиниция 4, и също монотонен, тъй като G0 , G1 ,..., Gk са монотонни. За всички f , f , x , такива че f мажорира f1 ,..., f m , имаме F ( f )( x )  F0 ( f )( F1 ( f )( x ),..., Fk ( f )( x )) f мажорира f1 ,..., f m . Дефинираме оператор H с равенството (1, n)- H ( f )( x )  max( H 0 ( f )(G1 ( f )( x ),..., Gk ( f )( x )), H1 ( f )( x ),..., H k ( f )( x )) и ще покажем, че H има нужните свойства. Първо, H е рудиментарен от твърдение 1 и клауза 3 на дефиниция 4. Второ, H е моното12

[close]

p. 15

нен от бележката и от факта, че всички оператори в дефиницията на H са монотонни. Сега да фиксираме x , f и g1 ,..., g m , h1 ,..., hm , които се мажорират от f, и да предположим, че g1 (t )  h1 (t ),..., g m (t )  hm (t ) за t  H ( f )( x ) . Тогава за l  {1,..., k} от H l ( f )( x )  H ( f )( x ) и от факта, че H l определя равномерна граница за Fl , получаваме Fl ( g )( x )  Fl ( h )( x ) . Също така имаме H 0 ( f )( F1 ( g )( x ), ..., Fk ( g )( x ))  H 0 ( f )(G1 ( f )( x ),..., Gk ( f )( x )) , тъй като H0 е 2. F е затворен относно субституция. 3. Операторът F от тип (n, 1), дефиниран с F ( f )( x)  x , принадлежи на OP . 4. За n и k  {1,..., n} , ако F0 е (n, 1)-оператор, принадлежащ на OP , то същото е вярно за оператора F, дефиниран с F ( f )( x)  f k ( F0 ( f )( x)) . 5. За n, k и а  Tk  F , ако F1 ,..., Fk са (n, 1)оператори, които попадат в OP , то същото е вярно за оператора F, дефиниран с F ( f )( x)  a ( F1 ( f )( x),..., Fk ( f )( x)). монотонен. Разбира се, тогава и тъй като H0 определя равномерна граница за F0, F0 ( g )( F1 ( g )( x ),..., Fk ( g )( x ))  F0 (h )( F1 ( g )( x ),..., Fk ( g )( x )) . Сега имаме H 0 ( f )( F1 ( g )( x ),..., Fk ( g )( x ))  H ( f )( x ) F ( g )( x )  F0 ( g )( F1 ( g )( x ),..., Fk ( g )( x ))  F0 (h )( F1 ( g )( x ),..., Fk ( g )( x ))  F0 (h )( F1 (h )( x ),..., Fk (h )( x ))  F (h )( x ). Накрая дефиниран с F ( f )( x , y )   z  y [ F0 ( f )( x , z )  0] и от индукнека F е тивната хипотеза да изберем монотонен рудиментарен (1, n)-оператор H0, който определя равномерна граница за F0. Взимаме H ( f )( x , y )  max H 0 ( f )( x , z ). Тогава H  RO от zy 6. За n, l и а1 ,..., an  Tl 1  F , ако F  OP е (n, 1)-оператор, то функцията b  Tl 1 , такава че b( s , x)  F (t .a1 ( s , t ),..., t .an ( s , t ))( x) , попада в класа F . 7. За произволен (n, 1)-оператор F  OP съществува (n, 1)-оператор H  OP , който определя равномерна граница за F. Теорема 2. ( M 2 , MSO1 ) е приемлива двойка. Доказателство. Очевидно е, че M 2 изпълнява клаузи 1, 2 на дефиниция 7. Също е вярно, че всяка функция в M 2 се доминира от полином (това се доказва лесно с индукция). В означенията на [2] имаме MSO1  OM 2 и остава да приложим теорема 1 от [2]. Теорема 3. ( M 2 , RO1 ) е приемлива двойка. Доказателство. Вече отбелязохме, че M 2 изпълнява клаузи 1, 2 на дефиниция 7. Клаузи 3, 4, 5 могат да се проверят по същия начин, както в доказателството на твърдение 2. Последната клауза 7 следва от теорема 1. Ос-тава да докажем клауза 6. Тя е частен случай на следното по-общо твърдение: функцията b  Tl  m , дефинирана с b( s , x )  F (t .a1 ( s , t ),..., t .an ( s , t ))( x ) , попада в класа M 2 за всеки (n, m)-оператор F  RO и произволни функции а1 ,..., an  Tl 1  M 2 . То се доказва с индукция по F. ОСНОВЕН РЕЗУЛТАТ твърдение 4 и H е монотонен от бележката и от факта, че H0 е монотонен. Фиксираме x , y , f и g1 ,..., g m , h1 ,..., hm , които се мажорират от f, и да предположим, че g1 (t )  h1 (t ),..., g m (t )  hm (t ) за t  H ( f )( x , y ) . От H 0 ( f )( x , z )  H ( f )( x , y ) за z  y и от факта, че H0 определя равномерна граница за F0, получаваме F0 ( g )( x , z )  F0 (h )( x , z ) за z  y и така F ( g )( x , y )   z  y [ F0 ( g )( x , z )  0]   z  y [ F0 (h )( x , z )  0]  F (h )( x , y ). ПРИЕМЛИВОСТ НА ДВОЙКИТЕ ( M 2 , RO1 ) И ( M 2 , MSO1 ) Понятието приемлива двойка е дефинирано от Скордев в [2]. То е съществено за общата теорема на характеризация. Дефиниция 7. Нека F  T и OP  O1 . Двойката ( F , OP ) ще наричаме приемлива, ако са в сила следните условия: 1. Изходните функции принадлежат на F . Tройката ( f , g , h) е име на реалното число  , ако f (t )  g (t ) h (t )  1   1 t 1 за всички t. Използваме дефиницията за относителна изчислимост на реална функция от [2]. 13

[close]

Comments

no comments yet