geometria

 

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redazione alessia tinelli copertina disegno di ezio pelizzari fotocomposizione e stampa tipolitotas gussago brescia © 1994 desca edizioni manerbio brescia via carducci 30 tel e fax 030 9938506 2

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beppe pea laboratorio di geometria esperienze geometriche per il 2° ciclo della scuola elementare e per l inizio della scuola media hanno collaborato fulvio mercantini piera paderno giorgio putzu ebe valentini giovanna zampatti desca edizioni 3

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indice 5 6 7 8 1 il perche di una metodologia cambiamenti spaziali questioni topologiche trasformazioni posizionali e direzionali 57 58 condizioni per avere una metrica metodi per avere una metrica 11 11 12 12 15 15 15 2 primi passi verso la geometria enti primitivi esempi ed esercizi le linee il piano e i suoi punti primi enti derivati tipi di punti del piano 60 60 60 61 65 65 67 70 70 9 metrica delle lunghezze fasi di un percorso 1 fase campioni arbitrari 2 fase campione geometrico 3 fase pluricampioni 4 fase pluricampioni in rapporto 5 fase pluricampioni in rapporto costante 6 fase pluricampioni in rapporto decimale 7 fase sistema decimale convenzionale 17 19 20 22 3 mondi non euclidei altro esempio percezione non euclidea ed interpretazione euclidea questioni didattiche 73 73 77 78 10 uguaglianze lineari in alcuni poligoni rettangolo quadrato triangolo 25 25 29 4 la rettilineita rette semirette e segmenti relazioni di contenenza fra figure 83 83 86 91 11 metrica delle aree i primi ricoprimenti campioni convenzionali aree dei rettangoli 31 31 34 35 36 38 41 42 43 5 le regioni del piano linee per suddividere il piano in regioni rettilinee per suddividere il piano in regioni poligoni elementi di un poligono angoli angolo giro angolo nullo schede sugli angoli angoli e rapporti topologici 95 95 96 98 101 102 104 108 111 113 115 117 45 45 48 50 51 54 54 55 6 concavita e convessita i segmenti per indagare le regioni semipiano e angolo piatto concavità e convessità con i rapporti topologici schede sulla concavità-convessità 12 metrica degli angoli le direzioni angolo come cambiamento di direzione le direzioni nell orologio l ora come unità di misura delle ampiezze angolari sequenze di cambiamenti di direzioni il goniometro con unità di misura le ore percorsi grafici il minuto nuova unità di misura delle ampiezze angolari unità di misura convenzionale delle ampiezze angolari bisezione di un angolo classificazione degli angoli 7 angoli di un poligono angoli interni di un poligono schede sugli angoli interni 120 120 123 123 13 parallelismo fra rettilinee rette parallele rettilinee parallele il parallelismo nei quadrilateri 57 8 le metriche in geometria 3

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127 127 130 131 134 136 139 14 perpendicolarita fra rettilinee rette perpendicolari rettilinee perpendicolari altezze nelle figure geometriche l ortocentro la perpendicolarità nei quadrilateri le altezze nei trapezi 190 190 191 195 204 204 206 143 143 144 144 148 150 151 153 154 155 157 157 158 158 15 le trasformazioni varianze e invarianze trasformazioni nelle concezioni spaziali traslazioni rotazioni attorno al proprio asse successioni di traslazioni e di rotazioni spostamenti curvilinei trasformazioni di concavità-convessità e di forma trasformazioni compiute su forme di cartoncino con forbici e nastro adesivo trasformazioni dei perimetri trasformazioni sul geopiano trasformazioni sui fili trasformazioni sugli accostamenti trasformazioni con piegatura 207 19 rapporti costanti in geometria i rapporti nella realtà rappresentazione dei rapporti i rapporti ed i numeri decimali le costanti geometriche i rapporti fra apotemi e lati nei poligoni regolari il rapporto fra la circonferenza e il suo diametro il rapporto fra il cerchio e il quadrato di lato il raggio 159 159 162 163 164 167 169 170 172 172 173 173 174 174 175 16 calcolo delle aree trasformazioni di equiestensione trasformazioni dei poligoni più noti in rettangoli parallelogrammo triangolo rombo trapezio poligono regolare 17 angoli e parallelismo nelle trasformazioni le proiezioni luminose per trasformare trasformazioni di forme con proiezioni di raggi paralleli proiezioni di un rettangolo proiezioni di un triangolo proiezioni di un cerchio trasformazioni di forme con proiezioni di raggi divergenti 176 176 180 183 185 188 18 simmetrie rotazioni e omotetie simmetrie assiali simmetrie centrali rotazioni attorno ad un punto omotetie che mantengono le direzioni omotetie che invertono le direzioni 4

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1 il perche di una metodologia spazi intuitivi e spazi obiettivi tutte le nostre esperienze riguardanti lo spazio e tutte le conclusioni cui si perviene hanno la loro origine in certe proprietà che vengono classificate come proprieta spaziali e quali diventando note solo l attraverso l esperienza immediata e diretta non possono essere definite ulteriormente 1 questa spazialità che scaturisce con le percezioni sensoriali come una proprietà di queste è perciò un dato intuitivo vengono indicati come intuitivi tutti i dati della vita percettiva e rappresentativa e non solo quelli provenienti dall esperienze ottiche quindi alle percezioni ottiche uditive tattili e cinestesiche spettano proprietà che vengono chiamate allo stesso modo spaziali ma la spazialità proveniente dalle sensazioni tattili è molto diversa dalla spazialità proveniente dalle sensazioni ottiche un non-vedente dalla nascita conosce solo le prime e non si può fare alcuna rappresentazione delle seconde lo spazio del tatto non ha alcuna somiglianza con lo spazio della vista e si può affermare che esistono tanti spazi di genere intuitivo per quanti sensi diversi si possiedono esiste uno spazio non intuitivo si consideri un cubo rigido la sua forma cambia per il senso della vista in funzione del lato e della distanza da cui lo si considera la lunghezza ottica dei suoi spigoli è diversa ma anche attraverso una indagine tattile le parti del cubo possono apparire diverse a seconda di come 1 queste considerazioni ed altre che seguiranno in questo paragrafo sono tratte dal pensiero di moritz schlick e sono state pubblicate in un volumetto dal titolo spazio e tempo nella fisica contemporanea una introduzione alla teoria della relatività e della gravitazione bibliopolis napoli 1983 questo libro è una traduzione della 4 edizione di raum und zeit in der gegenwÄrtigen physik pubblicato nel 1922 viene impugnato e di come viene indagato con parti tattili diverse nonostante ciò si considera invariata la sua forma cubica cioè tutti gli spigoli sono lunghi uguali tutte le facce hanno la stessa forma e la stessa estensione ecc si considerino due penne uguali poste una vicina e l altra lontana rispetto a che guarda la vista le percepisce diverse almeno riguardo alle dimensioni ma nonostante ciò si considerano le due penne uguali di conseguenza gli oggetti fisici sono in generale non-intuitivi e lo spazio fisico non è dato in alcun modo dalle percezioni bensì è una costruzione concettuale agli oggetti fisici non si può attribuire la spazialità intuitiva che si conosce dalle sensazioni visive uditive tattili cinestesiche ma soltanto un ordinamento di genere non-intuitivo che viene chiamato spazio obiettivo ed è concepito con-cettualmente l educazione spaziale prevista nei programmi ministeriali e riguardante il 1° ciclo della scuola elementare ha come obiettivo portare il bambino dalla fase dello spazio intuitivo alla fase dello spazio oggettivo cioè allo spazio non legato solo alla osservazione ma frutto di una una costruzione concettuale occorre distinguere bene i due tipi di spazi perché la rappresentazione delle relazioni concettuali non-intuitive avviene obbligatoriamente con rappresentanti intuitivi ma si tratta sempre di rappresentanti sensibili del concetto fisico di spazio per gli educatori risulta particolarmente importante capire la genesi dello spazio obiettivo partendo dai dati intuitivi degli spazi soggetivi gli spazi intuitivi sono dissimili l uno dall altro e sono inconfrontabili ma in base all esperienza sono 5

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associati l uno all altro in modo assolutamente determinato le esperienze tattili sono indipendenti da quelle ottiche ma fra di loro c è una corrispondenza infatti se una indagine tattile comunica un complesso di informazioni riassumibile in forma cubica si può procurare anche al senso della vista un complesso di sensazioni che viene designato con il nome forma cubica l impressione ottica è diversa da quella tattile ma l esperienza insegna che le due procedono in maniera non sconnessa fra loro per portare il bambino verso gli spazi obiettivi non si deve far vivere loro solo le esperienze che portano agli spazi intuitivi percettivi queste esperienze il bambino le vive istante dopo istante ma è necessario far scoprire loro i legami esistenti fra tutte queste percezioni spaziali diverse cambiamenti spaziali attraverso i sensi il bambino si rende conto che le impressioni che riceve sia dall esterno sia dall interno sono soggette a cambiamento ma non tutte infatti mentre alcune impressioni si modificano altre contemporaneamente rimangono invariate quelle che colpiscono di più sono le impressioni che cambiano ed il bambino su queste pone la sua attenzione 2 però se una cartina tornasole ci mostra un cambiamento cromatico percepibile attraverso il senso della vista la stessa cartina successivamente spostata ci mostra un cambiamento di posizione percepibile sempre attraverso il senso della vista si formano allora due classi di trasformazioni quella dove le impressioni sono cambiate perché la fonte che le produceva ha subito un cambiamento di stato quella dove le impressioni sono cambiate perché la fonte ha subito uno spostamento il poincaré esemplifica tale classificazione nel seguente modo «una sfera viene cromaticamente suddivisa in due emisferi est-ovest uno blu e l altro rosso la sfera viene fatta ruotare davanti agli occhi attorno al suo asse in modo da mostrare prima l emisfero blu e poi l emisfero rosso un contenitore trasparente di forma sferica contiene un liquido blu attraverso una reazione chimica si ottiene che il liquido da blu diventi rosso che cosa induce a classificare il 1° cambiamento tra gli spostamenti mentre il 2° viene classificato fra i cambiamenti di stato la risposta è legata ai cambiamenti di posizione che l osservatore può compiere nel 1° caso basta girare attorno alla sfera per avere di nuovo l impressione del colore blu nel 2° caso qualunque spostamento faccia l osservatore non è possibile avere di nuovo l impressione del blu» altro esempio «un uomo è perfettamente immobile non può muovere nemmeno i muscoli dell occhio un oggetto che si sposta davanti al suo occhio produce la percezione di una trasformazione posizionale perché la sensazione che veniva portata dalla fibra nervosa collocata al centro della sua retina è sostituita da un altra sensazione che viene portata da un altra fibra collocata sul bordo della retina stessa sensazioni portate da nervi diversi appaiono qualitativamente diverse potrebbe trattarsi di due immagini diverse che cosa porta a pensare che si tratta della stessa immagine che si è spostata si permetta di seguire con l occhio l oggetto che si sposta l uomo mantiene l immagine al centro della retina tramite movimenti volontari e quindi il tutto viene sentito attraverso attività muscolari quindi come nell esempio precedente un cambiamento di posizione viene classificato tale quando è possibile annullare la percezione della trasformazione con attività di tipo cinestesico» riassumendo si può giungere alla seguente classificazione dei cambiamenti 1 cambiamenti interni sono dipendenti dalla nostra volontà e sono sempre accompagnati da sensazioni muscolari 2 cambiamenti esterni sono indipendenti dalla nostra volontà e non sono accompagnati da sensazioni muscolari questi cambiamenti si possono poi suddividere in altre due classi a cambiamenti esterni correggibili sul piano percettivo tramite un cambiamento interno b cambiamenti esterni non correggibili con un cambiamento interno e collegando questa classificazione alle conoscenze spaziali si ha 2 per quanto esposto in questo paragrafo si fa riferimento a quanto scritto da jules henri poincarÉ nelle sue pubblicazioni e in particolare in la scienza e l ipotesi edizioni dedalo bari 1989 sui fondamenti della geometria editrice la scuola brescia 1990 6

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si può concludere che senza le attività cinestesi che e quindi senza le sensazioni muscolari è impossibile distinguere i cambiamenti di stato dai cambiamenti di posizione nello spazio un essere che non potesse muoversi non potrebbe mai arrivare ad avere una concezione spaziale anche se le sue sensazioni fossero variabili e se gli oggetti che lo circondano fossero mobili si consideri ora la seguente situazione «un bambino osserva attraverso il movimento oculare un pallone che si sposta da un punto a ad un punto b lo stesso spostamento viene ripetuto non più con un pallone ma con una bottiglia le due percezioni visive sono diverse infatti non c è rapporto fra l impressione di un pallone e quella di una bottiglia eppure il bambino questi cambiamenti esterni li relaziona e li considera come appartenenti alla stessa classe di cambiamenti ciò è dovuto al fatto che sono stati corretti entrambi con lo stesso cambiamento interno e quindi hanno prodotto le stesse sensazioni muscolari» analogamente «quando una madre che è in rapporto di contatto fisico con il figlio si allontana crea per il figlio un cambiamento esterno il figlio può correggere tale cambiamento e rimanere a contatto della madre con proprie attività cinestesiche se al posto della madre ci fosse stato il fratello le impressioni visive ed emotive sarebbero state diverse ma le sensazioni muscolari dovute alle attività cinestesiche praticate per evitare il cambiamento sarebbero state identiche» questa conclusione ha delle ripercussioni sul piano metodologico per gli insegnanti che devono educare i bambini alle concezioni spaziali prima e alla geometria poi non si può educare un bambino alla concezione spaziale facendolo rimanere fermo più frequenti sono le attività cinestesiche e più queste interessano lintera struttura corporea maggiore è la probabilità di giungere ad un atto cognitivo sul versante delle concezioni spaziali quindi non si può insegnare ai bambini le concezioni spaziali spiegando verbalmente lo spazio mostrando immagini relative ad esperienze spaziali fatte da altri facendo disegnare o completare delle schede perché il disegno per il bambino è un momento prettamente linguistico con il disegno il bambino esprime ciò che ha già capito e interiorizzato il disegno può essere usato dall insegnante come momento di verifica per verificare ciò che il bambino ha capito oppure come momento di sistematizzazione o di approfondimento di concetti appresi attraverso attività motorie e psicomotorie occorre rendersi conto che tutti i sensi sono importanti per acquisire conoscenze spaziali ma senza l uso dell intero corpo nelle sue attività cinestesiche difficilmente il bambino giunge a concezioni spaziali obiettive questioni topologiche giungere alla costruzione concettuale dello spazio obiettivo significa saper andare oltre le impressioni sensoriali gli spigoli di un oggetto di forma cubica appaiono di lunghezza diversa ma vengono concepiti di uguale misura saper riconoscere la posizione le differenze di posizione e i cambiamenti di posizione di oggetti indipendentemente dalla apparenza degli oggetti stessi la posizione degli oggetti non è una proprietà intrinseca degli oggetti ma è un valore relazionale un oggetto non è davanti ma è davanti a e quindi per concepire una posizione è necessario saper strutturare lo spazio rispetto ad un riferimento analizzando la frase il pallone si trova davanti a paolo risulta che cosa esprime una posizione si trova davanti di chi è la posizione del pallone rispetto a quale riferimento è la posizione rispetto a paolo il bambino nelle prime fasi delle conoscenze posizionali non ha il concetto di riferimento ed esprime un valore posizionale ubbidendo a stimoli derivanti dall apparenza sensoriale avere davanti è equivalente a vedere avere dietro è equivalente a non poter vedere questi bambini utilizzano le parole davanti-dietro sopra-sotto vicino-lontano ma l insegnante deve capire che non fanno parte di una concezione obiettiva 7

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dello spazio sono termini che esprimono un mondo ancora legato alle apparenze sensoriali l insegnante deve lavorare per portare il bambino verso una concezione posizionale più obiettiva cioè legata alla rappresentazione mentale del riferimento il primo riferimento che il bambino scopre è il proprio corpo la concezione corporea non è un fatto fisico ma concettuale quando il bambino riesce a concepire il proprio corpo come strutturato in parti proprio perché strutturato le parti sono in relazione con il tutto e con le altre parti è pronto ad utilizzare questa concezione proiettandola fuori di sé riuscendo così a ottenere una partizione dello spazio ad esempio attraverso attività psicomotorie il bambino ha sensazioni corrette ma diverse tra il davanti e il dietro del proprio corpo queste sensazioni sono diverse ma relazionabili e ad un certo punto la parte davanti del corpo verrà messa in corrispondenza con la parte dietro ciò significa strutturare il corpo come mentalmente suddiviso in due parti ma l elemento separatore delle due parti non è una parte del corpo ma è una concezione mentale chiamata piano corporeo nel caso del davanti-dietro il piano corporeo viene detto trasversale a questo punto il piano corporeo viene dal soggetto proiettato nello spazio che risulta così suddiviso in due parti identificate con il davanti-dietro rispetto al soggetto ogni oggetto che si viene a trovare in questo spazio assume una posizione rispetto al soggetto a seconda della parte di spazio in cui si trova se il bambino allarga le braccia per capire se il pallone è davanti o dietro a lui compie un atto di proiezione di se stesso nello spazio a questo punto anche se il bambino gira la testa il davanti-dietro non cambia perché non è la vista che lo determina ma il suo piano corporeo analogo procedimento avviene per il piano corporeo longitudinale che permette proiettato nello spazio di identificare le due parti destra-sinistra non esiste concezione spaziale se prima non c è concezione di sé ed è per tale motivo che le attività psicomotorie sono indispensabili per giungere alla conquista della spazio obiettivo ancora una volta le attività che non interessano l intero corpo non sono le più idonee per educare il bambino alla concezione dello spazio obiettivo fig 1 nella figura bruno allargando le braccia proietta il proprio corpo nello spazio e lo divide in due parti una davanti a bruno e l altra dietro avendo in tal modo diviso lo spazio rispetto a se stesso può posizionare ciò che è presente nella stanza e quindi aldo la porta e il banco sono posizionati davanti a bruno mentre maria l armadio e la finestra sono posizionati dietro a bruno per giungere ad interpretare il proprio corpo come riferimento per posizionare ciò che sta fuori dal corpo stesso è necessario che il bambino attraverso attività psicomotorie passi da una percezione ad una concezione del proprio corpo sia in senso globale sia in senso segmentario trasformazioni posizionali e direzionali alcune sensazioni come quelle visiva e muscolare sono legate ai cambiamenti di posizione che l indivi duo può effettuare nello spazio altre sensazioni come quelle gustativa e olfattiva non hanno questo stretto legame con i cambiamenti posizionali mentre ci comunicano molte più informazioni sugli stati e sui cambiamenti di stato si consideri il cambiamento di posizione di un braccio la contrazione del bicipite provoca un movimento del braccio lungo una determinata direzione ma questa direzione nello spazio varia in funzione della posizione del corpo il senso della direzione non è quindi parte integrante delle sensazioni muscolari perché può variare senza che le sensazioni muscolari varino questo non significa che la sensazione della direzione sia associata a qualche cosa di non definibile la percezione di una direzione proviene da sensazioni diverse associate le une alle altre basta una di queste sensazioni per attivare le altre seguendo le normali leggi delle associazioni d idee 8

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collocarsi sulla mattonella di un pavimento è assumere una posizione spaziale ma su questa mattonella ci si può mettere in tanti modi diversi ed in particolare ci si può direzionare verso un oggetto piuttosto che verso un altro il corpo oltre che posizionarsi si direziona nello spazio cosicché un successivo cambiamento di posizione inizia lungo la direzione assunta andare avanti non significa assumere una posizione e nemmeno assumere una direzione ma vuol dire cambiare la posi zione senza cambiare la direzione assunta attraverso le attività c inestesiche che permettono di cambiare posizione il bambino fa esperienze prima sull assunzione di una direzione e poi sul percorrere o no la direzione assunta i valori direzionali hanno dunque a che fare con le trasformazioni provenienti da operazioni compiute nello spazio il bambino apprende meglio i valori direzionali quando viene posto di fronte a problemi che riguardano i cambiamenti o non cambiamenti della direzionalità espressa attraverso il proprio corpo l educazione spaziale è ancora più efficace quando oltre che lavorare con i cambiamenti si lavora con le trasformazioni cioè con i cambiamenti varianze e con i non cambiamenti invarianze spaziali i bambini quando hanno maturato i piani corporei almeno quello trasversale e quello longitudinale riescono a concepire il proprio corpo come riferimento per collocare ciò che si trova nello spazio ma riescono anche a concepire il proprio corpo come indicatore di direzione nello spazio tra le tante operazioni che si possono fare con il proprio corpo ci sono quelle che riguardano i valori posizionali ed i valori direzionali visti contemporaneamente partendo dalla situazione disegnata nella figura sottostante fig 3 cambiamento posizionale e mantenimento direzionale ebe spostandosi in avanti ha cambiato la posizione ma non la direzione del suo corpo rispetto al davantidietro ci sono stati dei cambiamenti fulvio prima era davanti ora è dietro ebe mentre rispetto alla destrasinistra non ci sono stati cambiamenti fig 4 altro tipo di cambiamento posizionale e di mantenimento direzionale ebe spostandosi lateralmente ha cambiato la posizione ma non la direzione del suo corpo rispetto alla destra-sinistra ci sono stati dei cambiamenti giorgio e piera prima erano a destra ora sono a sinistra di ebe mentre rispetto al davantidietro non ci sono stati cambiamenti fig 5 mantenimento posizionale e cambiamento direzionale ebe ruotando attorno al suo asse corporeo non ha cambiato la posizione ma ha cambiato la direzione del suo corpo ci sono stati sia cambiamenti rispetto al davanti-dietro sia cambiamenti rispetto alla destrasinistra fig 2 si possono avere alcune trasformazioni come ad esempio 9

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cambiamento posizionale e cambiamento direzionale ebe facendo un percorso curvilineo ha modificato contemporaneamente la sua posizione e la sua direzione ci sono stati sia cambiamenti rispetto al davanti-dietro sia cambiamenti rispetto alla destrasinistra fig 6 padroneggiare le azioni in modo da risolvere problemi riguardanti contemporaneamente le posizioni e le direzioni è una premessa indispensabile per iniziare a fare la geometria 3 si vedranno ora alcuni esempi tratti dalla vita quotidiana di trasformazioni posizionali e direzionali posizionale non direzionale treno nei tragitti rettilinei trasformazioni direzionale non posizionale impossibile un treno non può ruotare attorno al proprio asse sia posizionale sia direzionale nei tragitti curvilinei mezzo cingolato quando si sposta in avanti o quando muovendo un indietro cingolo in un verso e l altro nel verso opposto ruota attorno al proprio asse quando da un piano sale o scende per raggiungere un altro piano impossibile quando curva attorno ad un ostacolo ascensore impossibile ventilatore fisso impossibile peso del pendolo tartaruga logo impossibile quando viene messo in azione impossibile impossibile quando oscilla appeso al filo che lo regge quando vengono dati i comandi avanti o indietro quando vengono dati i impossibile comandi di ruotare a destra o a sinistra altre realtà che possono essere analizzate utilizzando lo strumento delle trasformazioni possono essere le seguenti la pattinatrice mentre compie un esercizio il bambino quando compie un percorso seguendo il bordo di una aiuola il bambino quando sale una rampa di scale 3 per ulteriori approfondimenti si veda il libro beppe pea laboratorio di topologia esperienze topologiche nel primo ciclo elementare emme edizioni petrini junior torino 10

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2 primi passi verso la geometria enti primitivi quando il bambino possiede i concetti spazio-temporali che gli consentono di capire sé e gli altri rispetto ai valori posizionali direzionali e i loro cambiamenti nel tempo si sa collocare e direzionare e sa cogliere le posizioni e le direzioni degli altri è il momento di passare alle prime entità geometriche la geometria tratta enti e operazioni sugli enti che non appartengono al mondo tangibile e quindi è una disciplina formale gli enti geometrici essendo dei concetti possono essere compresi se vengono ricondotti ad altri concetti precedenti anche servendosi delle definizioni e questi a loro volta saranno ricondotti a concetti ancora precedenti si innesca una catena che porta a vedere le entità geometriche come derivanti da altre entità geometriche fino a quando si arriva ad enti che non si possono derivare da altri questi enti sono detti primitivi e non possono essere dati mediante una definizione gli enti geometrici primitivi cioè quegli enti che l insegnante non può definire ma che devono far parte del patrimonio dei bambini sono lo spazio il piano la linea il punto ecc per l insegnante nasce il problema del come far maturare nel bambino questi enti senza poterli definire questo problema viene risolto attraverso il lavoro sulle concezioni spazio-temporali lavoro previsto nel 1° ciclo della scuola elementare bambino scopre l analogia tra il pavimento di una stanza il pavi mento di una palestra il prato il cortile ecc scopre cioè l attributo comune a queste realtà diverse il momento manipolatorio amplierà tale conquista e d anche il ripiano del banco la superficie della lavagna il geopiano ecc saranno relazionati alle superfici del vissuto corporeo analogamente a livello grafico verranno utilizzati il quaderno il foglio ecc questa relazione permette al bambino di usare il banco oppure un foglio per rappresentare le esperienze vissute a livello corporeo il concetto unificante le diverse realtà è quello di piano ed è opportuno evidenziarlo anche verbalmente quindi l insegnante proporrà consegne del tipo posizionati sul piano del pavimento disegna la palla sul piano della lavagna metti la gomma sul piano del banco punto si arriva alla conquista del concetto di punto del piano lavorando sulle posizioni quando il bambino è capace di rappresentarsi mentalmente il pavi mento di una stanza come piano allora la sua posizione diventa un punto del piano in altre parole occorre sviluppare nel bambino le abilità posizionali cogliere riconoscere rappresentare la propria e l altrui posizione rispetto a dei riferimenti per maturare il concetto di punto geometrico allora assumere una posizione sul pavimento della stanza posizionare opportunamente un soldatino sul banco posizionare un disegno sul foglio incollare una figurina in una determinata posizione del foglio fare una crocetta in una particolare posizione della lavagna posizionare le pedine della dama sulla scacchiera 11 piano il bambino attraverso esperienze compiute muovendosi giocando nel cortile sul pavimento di casa in palestra nel giardino nell aula comincia a scoprire delle relazioni fra sé e l ambiente fra gli oggetti e l ambiente e quindi incomincia a relazionare fra loro gli ambienti in funzione della possibilità di muoversi e di giocare arrivato a questa capacità relazionale il

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sono tutte esperienze che presentano analogie e portano ad un unico concetto geometrico il punto del piano il punto geometrico non è un fatto fisico ma è un collocamento spaziale disegnare un punto significa indicare una collocazione quindi il grafismo di tale punto è un mero significante posizione del foglio viene spostato in un altra posizione compie un percorso di cui rimane traccia tutti i percorsi comunque effettuati a livello corporeo manipolatorio e grafico concorrono a creare il concetto geometrico di linea per dare un immagine della linea è opportuno che tutti i percorsi vengano rimarcati con corde con rappresentazioni grafiche con l evidenziazione di tutte le posizioni intermedie via via assunte se un aereo attraversa il cielo senza lasciare scia il bambino coglie il cambiamento di posizione ma non relaziona tutte le posizioni assunte non coglie il percorso come linea viceversa se l aereo lascia dietro di sé una scia di condensa il bambino identifica tale scia con il percorso fatto cioè con la linea come già detto nella premessa i percorsi quando vengono visti come trasformazioni di posizioni sono legati alla direzionalità quindi assumere una posizione nello spazio è un fatto statico relazionale legato al concetto di punto assumere una posizione contemporaneamente ad una direzione significa prevedere degli spostamenti che presuppongono una visione dinamica trasformazionale delle posizioni nello spazio linea i valori posizionali sono esprimibili e si possono pensare in un ambito statico la realtà topologica ha però bisogno anche di valori dinamici valori che permettono di descrivere le variazioni di posizione nel tempo una corretta interpretazione della realtà può avvenire solo attraverso le trasformazioni di posizione per passare da una posizione ad un altra il bambino compie un percorso assume via via tante posizioni intermedie analogamente se sposta un soldatino da una posizione all altra sul banco gli fa compiere un percorso se un pennarello puntato in una determinata esempi ed esercizi le linee il concetto di linea ha le sue origini nella pratica spaziale dei percorsi perciò degli esercizi opportuni possono essere i seguenti · mettere ostacoli diversi per terra il bambino effettua un percorso eseguendo dei comandi · un compagno rappresenta il percorso alla lavagna evidenziando la corrispondenza tra il vissuto e la sua rappresentazione grafica nel caso rappresentato il bambino deve compiere un percorso partendo da una posizione p ed arrivando ad una posizione a della stanza aggirando gli ostacoli a sinistra fig 7 dopo aver strutturato lo spazio con del materiale vedi figure seguenti un bambino effettua dei percorsi diversi partendo sempre dalla forma rettangolare ed arrivando a 12 quella triangolare gli altri bambini li rappresentano su scheda si analizzano poi i percorsi e si confrontano.

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percorsi aperti semplice con aggiramento del tondo a destra percorsi chiusi semplice con aggiramento del tondo a sinistra intrecciato con aggiramento del tondo a sinistra semplice con aggiramento di entrambe le forme a destra intrecciato con aggiramento delle forme a sinistra una e a destra l altra intrecciato con aggiramento di entrambe le forme a destra analizzando i percorsi si introduce la terminologia in funzione delle differenze linea aperta percorso aperto quando la posizione di partenza non coincide con quella di arrivo linea chiusa percorso chiuso quando la posizione di partenza coincide con quella di arrivo linea semplice percorso semplice quando durante il percorso non si ripassa mai per una posizione già attraversata linea intrecciata percorso intrecciato quando durante il percorso si ripassa per almeno una posizione già attraversata e preferibile introdurre il lavoro partendo da percorsi eseguiti dall insegnante il bambino ha una scheda nella quale riproduce i percorsi successivamente gli si può chiedere di effettuare percorsi richiesti utilizzando la terminologia appropriata fig 8 partendo dalla forma quadrata fai un percorso semplice aperto fino al rettangolo che aggiri le altre forme a destra partendo dalla forma tonda esegui un percorso semplice chiuso che racchiuda due forme partendo dalla forma triangolare esegui un percorso aperto intrecciato fino al tondo che non aggiri le altre forme partendo dalla forma rettangolare esegui un percorso chiuso intrecciato che includa il triangolo nell intreccio e lasci il tondo all esterno 13

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